辽宁省本溪市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列各数是正数的是（　　） A．0 B．5 C．﹣ D．﹣ 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． D． C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x7÷x＝x7 C．x3•x3＝2×6 B．（﹣3×2）2＝﹣9×4 D．（x3）2＝x6 4．（3分）2019年 6月 8日，全国铁路发送旅客约 9560000次，将数据 9560000科学记数法表示为（　　） A．9.56×106 B．95.6×105 C．0.956×107 D．956×104 5．（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县气温（℃） 26 26 25 25 25 23 22 则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（　　） A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25 6．（3分）不等式组的解集是（　　） A．x＞3 B．x≤4 C．x＜3 D．3＜x≤4 7．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（　　） 1A． B． D． C． 8．（3分）下列事件属于必然事件的是（　　） A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立 C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数 9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用 360万元购买甲型机器人和用 480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140万元．若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． C．＝B． D．＝+＝140 ﹣140＝ 10．（3分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC 于点 D，连接 AP，设 AP＝x，PA﹣PD＝y，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（　　） 2A． B． C． D．二、填空题（本題共 8小题，每小题 3分，共 24分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为　　． 12．（3分）函数 y＝5x 的图象经过的象限是　　． 13．（3分）如果关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+k＝0有实数根，那么 k 的取值范围是　　． 14．（3分）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2），B（5，0），以点 O 为位似中心，相们比为，把△ABO 缩小，得到△A1B1O，则点 A 的对应点 A1 的坐标为　． 15．（3分）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BE＝BF；分别以 E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP＝3，则点 P 到 BD 的距离为　． 316．（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形 ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x 轴上，点 C 在 OB 边上，S△ABD ＝，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 B，则 k 的值为　． 18．（3分）如图，点 B1在直线 l：y＝ x 上，点 B1的横坐标为 2，过 B1作 B1A1⊥1，交 x 轴于点 A1，以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3延长 B4C3交 x 轴于点 A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为　（结果用含正整数 n 的代数式表示） 4三、解答题（第 19题 10分，第 20题 12分，共 22分） 19．（10分）先化简，再求值（ ﹣）÷ ，其中 a 满足 a2+3a﹣2＝0． 20．（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋， C．羽毛球，D．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 A 所占扇形的圆心角为 36°．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有　　人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1000学生加入了社团，请你估计这 1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（第 21题 12分，第 22题 12分，共 24分） 21．（12分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长 CD 到点 E，使 DE 5＝DA，连接 AE．（1）求证：AE＝BC；（2）若 AB＝3，CD＝1，求四边形 ABCE 的面积． 22．（12分）小李要外出参加“建国 70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆 DF＝30cm，CE：CD＝ 1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列向题．（1）求 AC 的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离（结果保留根号）．五、解答题（满分 12分） 23．（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）若一次性批发量不超过 60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 6六、解答题（满分 12分） 24．（12分）如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，⊙O 是△DEF 的外接圆，连接 DP．（1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若 tan∠PDC＝，正方形ABCD 的边长为 4，求⊙O 的半径和线段 OP 的长．七、解答题（满分 12分） 25．（12分）在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D 是 AC 边上一点，且 DA＝DB，O 是 AB 的中点，CE 是△BCD 的中线．（1）如图 a，连接 OC，请直接写出∠OCE 和∠OAC 的数量关系：　　；（2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得射线 ON，使∠MON＝∠ ADB，ON 与射线 CA 交于点 N． ①如图 b，猜想并证明线段 OM 和线段 ON 之间的数量关系； ②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段 ME 的长度（用含 m 的代数式表示）． 7八、解答题（满分 14分） 26．（14分）抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为 C，对称轴交 x 轴于点 D，点 P 为抛物线对称轴 CD 上的一动点（点 P 不与 C，D 重合）．过点 C 作直线 PB 的垂线交 PB 于点 E，交 x 轴于点 F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为 5时，求点 P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标． 82019年辽宁省本溪市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；故选：B．和都是负数． 2．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B． 3．【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此选项错误； B、（﹣3×2）2＝9×4，故此选项错误； C、x3•x3＝x6，故此选项错误； D、（x3）2＝x6，故此选项正确；故选：D． 4．【解答】解：将数据 9560000科学记数法表示为 9.56×106．故选：A． 5．【解答】解：∵在这 7个数中，25（℃）出现了 3次，出现的次数最多， ∴该日最高气温（℃）的众数是 25；把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是 25，则中位数为：25；故选：A． 6．【解答】解：，由①得：x＞3，由②得：x≤4，则不等式组的解集为 3＜x≤4，故选：D． 97．【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，故选：B． 8．【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意； B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意； C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意； D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；故选：C． 9．【解答】解：设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得：，故选：A． 10．【解答】设：圆的半径为 R，连接 PB，则 sin∠ABP＝，∵CA⊥AB，即 AC 是圆的切线，则∠PDA＝∠PBA＝α，则 PD＝APsinα＝x× 则 y＝PA﹣PD＝﹣ ＝x2， x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．二、填空题（本題共 8小题，每小题 3分，共 24分） 11．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2． 12．【解答】解：函数 y＝5x 的图象经过一三象限，故答案为：一、三 13．【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，解得：k≤4． 10 故答案为：k≤4． 14．【解答】解：以点 O 为位似中心，相们比为，把△ABO 缩小，点 A 的坐标是 A（4，2），则点 A 的对应点 A1的坐标为（4× ，2× ）或（﹣4× ，﹣2× ），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 15．【解答】解：结合作图的过程知：BP 平分∠ABD， ∵∠A＝90°，AP＝3， ∴点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3，故答案为：3． 16．【解答】解：如图所示，AD 与直线的交点为 E，AB 与直线的交点为 F，根据题意可知 ∴，AF＝，＝，∴小球停留在阴影区域的概率为：1﹣ ．故答案为： 17．【解答】解：连接 OD， ∵△OAB 是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形 OCDE 是菱形， ∴DE∥OB， ∴∠DEO＝∠AOB＝60°， ∴△DEO 是等边三角形， ∴∠DOE＝∠BAO＝60°， ∴OD∥AB， 11 ∴S△BDO＝S△AOD ∵S 四边形 ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB ∴S△AOB＝S△ABD ，，＝，过 B 作 BH⊥OA 于 H， ∴OH＝AH， ∴S△OBH ＝，∵反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 B， ∴k 的值为，故答案为：．18．【解答】解：过点 B1、C1、C2、C3、C4分别作 B1D⊥x 轴，C1D1⊥x 轴，C2D2⊥x 轴，C3D3⊥ x 轴，C4D4⊥x 轴，……垂足分别为 D、D1、D2、D3、D4…… ∵点 B1在直线 l：y＝ x 上，点 B1的横坐标为 2， ∴点 B1的纵坐标为 1，即：OD＝2，B1D＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2， ∴点 C1的横坐标为：2+ +（）0， 1点 C2的横坐标为：2+ +（）0+（）0× +（）1＝ +（）0× +（）0点 C3的横坐标为：2+ +（）0+（）0× +（）1+（）1× +（）2＝ +（）2× +（）1× ++（）3点 C4的横坐标为：＝ +（）0× +（）1× +（）2× +（）12 …… 点∁n的横坐标为：＝ +（）0× +（）1× +（）2× +（）3× +（）4× n﹣1 ……+（）n﹣1 ＝ + [（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）＝故答案为：三、解答题（第 19题 10分，第 20题 12分，共 22分） 19．【解答】解：（＝[ ﹣）÷ ]＝（＝）＝＝，∵a2+3a﹣2＝0， ∴a2+3a＝2， ∴原式＝＝1． 20．【解答】解：（1）∵A 类有 20人，所占扇形的圆心角为 36°， ∴这次被调查的学生共有：20÷ ＝200（人）； 13 故答案为：200；（2）C 项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图．（3）1000× ＝300（人）答：这 1000名学生中有 300人参加了羽毛球社团；（4）画树状图得： ∵共有 12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2种， ∴P（选中甲、乙）＝＝．四、解答题（第 21题 12分，第 22题 12分，共 24分） 21．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45° ∴∠C+∠B＝180° ∴∠C＝135° ∵DE＝DA，AD⊥CD ∴∠E＝45° ∵∠E+∠C＝180° ∴AE∥BC，且 AB∥CD ∴四边形 ABCE 是平行四边形 ∴AE＝BC 14 （2）∵四边形 ABCE 是平行四边形 ∴AB＝CE＝3 ∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2 ∴四边形 ABCE 的面积＝3×2＝6 22．【解答】解：（1）过 F 作 FH⊥DE 于 H， ∴∠FHC＝∠FHD＝90°， ∵∠FDC＝30°，DF＝30， ∴FH＝ DF＝15，DH＝ DF＝15 ，∵∠FCH＝45°， ∴CH＝FH＝15， ∴，∵CE：CD＝1：3， ∴DE＝ CD＝20+20 ∵AB＝BC＝DE，，∴AC＝（40+40 ）cm；（2）过 A 作 AG⊥ED 交 ED 的延长线于 G， ∵∠ACG＝45°， ∴AG＝ AC＝20 +20 ，答：拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离为（20 +20 ）cm．五、解答题（满分 12分） 23．【解答】解：（1）当 0＜x≤20且 x 为整数时，y＝40；当 20＜x≤60且 x 为整数时，y＝﹣ x+50； 15 当 x＞60且 x 为整数时，y＝20；（2）设所获利润 w（元），当 0＜x≤20且 x 为整数时，y＝40， ∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当 0＜x≤20且 x 为整数时，y＝40， ∴当 20＜x≤60且 x 为整数时，y＝﹣ x+50， ∴w＝（y﹣16）x＝（﹣ x+50﹣16）x， ∴w＝﹣ x2+34x， ∴w＝﹣ （x﹣34）2+578， ∵﹣ ＜0， ∴当 x＝34时，w 最大，最大值为 578元．答：一次批发 34件时所获利润最大，最大利润是 578元．六、解答题（满分 12分） 24．【解答】（1）连接 OD， ∵正方形 ABCD 中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°， ∴△CDP≌△CBP（SAS）， ∴∠CDP＝∠CBP， ∵∠BCD＝90°， ∴∠CBP+∠BEC＝90°， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， 16 ∠OED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE， ∴∠CDP+∠ODE＝90°， ∴∠ODP＝90°， ∴DP 是⊙O 的切线；（2）∵∠CDP＝∠CBE， ∴tan ，∴CE＝，∴DE＝2， ∵∠EDF＝90°， ∴EF 是⊙O 的直径， ∴∠F+∠DEF＝90°， ∴∠F＝∠CDP，在 Rt△DEF 中， ∴DF＝4，，∴∴＝＝2 ，，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD， ∴△DPE∽△FPD， ∴，设 PE＝x，则 PD＝2x， ∴，解得 x＝，∴OP＝OE+EP＝．七、解答题（满分 12分） 25．【解答】解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图 1中，连接 OE． 17 ∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA， ∵CE＝ED＝EB＝ BD，CO＝OA＝OB， ∴∠OCA＝∠A， ∵BE＝ED，BO＝OA， ∴OE∥AD，OE＝ AD， ∴CE＝EO． ∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO， ∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图 2中， ∵OC＝OA，DA＝DB， ∴∠A＝∠OCA＝∠ABD， ∴∠COA＝∠ADB， ∵∠MON＝∠ADB， ∴∠AOC＝∠MON， ∴∠COM＝∠AON， 18 ∵∠ECO＝∠OAC， ∴∠MCO＝∠NAO， ∵OC＝OA， ∴△COM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON． ②如图 3﹣1中，当点 N 在 CA 的延长线上时， ∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°， ∴∠AON＝∠ANO＝15°， ∴OA＝AN＝m， ∵△OCM≌△OAN， ∴CM＝AN＝m，在 Rt△BCD 中，∵BC＝m，∠CDB＝60°， ∴BD＝ m， ∵BE＝ED， ∴CE＝ BD＝ m， ∴EM＝CM+CE＝m+ m．如图 3﹣2中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OH⊥AC 于 H． 19 ∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°， ∴∠ONH＝15°+30°＝45°， ∴OH＝HN＝ m， ∵AH＝ ∴CM＝AN＝ ∵EC＝ m， ∴EM＝EC﹣CM＝ m， m﹣ m， m﹣（ m﹣ m）＝ m﹣ m 或 m﹣ m， m．综上所述，满足条件的 EM 的值为 m+ 八、解答题（满分 14分） 26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝﹣ x2+ x+ ；（2）抛物线的对称轴为 x＝1，则点 C（2，2），设点 P（2，m），将点 P、B 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得：函数 PB 的表达式为：y＝﹣ mx+ …①， ∵CE⊥PE，故直线 CE 表达式中的 k 值为，将点 C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线 CE 的表达式为：y＝ …②，联立①②并解得：x＝2﹣ 故点 F（2﹣ ，0）， S△PCF＝ ×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣ ，﹣2）＝5， 20 解得：m＝5或﹣3（舍去 5），故点 P（2，﹣3）；（3）由（2）确定的点 F 的坐标得： CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2， ①当 CP＝CF 时，即：（2﹣m）＝（ ②当 CP＝PF 时，（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（均舍去），）2+m2，解得：m＝或3（舍去 3）， ③当 CF＝PF 时，同理可得：m＝±2（舍去 2），故点 P（2，）或（2，﹣2）． 21