2012 年天津市高考数学试卷（文科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．（2012•天津）i 是虚数单位，复数 =（ ） A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i 2．（2012•天津）设变量 x，y 满足约束条件 A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3 则目标函数 z=3x﹣2y 的最小值为（ ） 3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为（ ） A．8 B．18 C．26 D．80 4．（2012•天津）已知 a=21.2，b=（ ）﹣0.8，c=2log52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5．（2012•天津）设 x∈R，则“x＞ ”是“2×2+x﹣1＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ） A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R 且 x≠0 C．y= D．y=x3+1，x∈R 7．（2012•天津）将函数 y=sinωx（其中 ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，则 ω 的最小值是（ ） A．B．1 C．D．2 8．（2012•天津）在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点 P，Q 满足 =2，则 λ=（ ） ，，λ∈R． 若 A．B．C．D．2 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．（2012•天津）集合 A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 _________ ． 10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 _________ m3． 11．（2012•天津）已知双曲线 C1： 与双曲线 C： （a＞0，b＞0）有相同 的渐近线，且 C1 的右焦点为 F（ ，0）．则 a= _________ ，b= _________ ． 12．（2012•天津）设 m，n∈R，若直线 l：mx+ny﹣1=0 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为 _________ ． 13．（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段 CD 的长为 _________ ． 14．（2012•天津）已知函数 y= _________ ． 的图象与函数 y=kx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 第 2 页 共 17 页 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（2012•天津）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学 校对学生进行视力调查． （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析． （ⅰ）列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率． 16．（2012•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a=2，c= ，cosA=﹣ ．（1）求 sinC 和 b 的值； （2）求 cos（2A+ ）的值． 17．（2012•天津）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2． （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （2）证明：平面 PDC⊥平面 ABCD； （3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列，且 a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）记 Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn﹣8=an﹣1 n+1（n∈N*，n≥2）． b19．（2012•天津）已知椭圆 （1）求椭圆的离心率； ，点 P（ ）在椭圆上． （2）设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线 OQ 的斜率的值． 20．（2012•天津）已知函数 f（x）= x3+ （1）求函数 f（x）的单调区间； x2﹣ax﹣a，x∈R，其中 a＞0． （2）若函数 f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围； （3）当 a=1 时，设函数 f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为 M（t），最小值为 m（t）．记 g（t）=M（t）﹣m（t） ，求函数 g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值． 第 3 页 共 17 页 2012 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．（2012•天津）i 是虚数单位，复数 =（ ） A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i 考点：复数代数形式的乘除运算。 专题：计算题。 分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果． 解答： 解： ===1+i 故选 C． 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题． 2．（2012•天津）设变量 x，y 满足约束条件 A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3 则目标函数 z=3x﹣2y 的最小值为（ ） 考点：简单线性规划。 专题：计算题。 分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值 解答：解：画出可行域如图阴影区域： 目标函数 z=3x﹣2y 可看做 y= x﹣ z，即斜率为 ，截距为﹣ z 的动直线， 数形结合可知，当动直线过点 A 时，z 最小 由得 A（0，2） ∴目标函数 z=3x﹣2y 的最小值为 z=3×0﹣2×2=﹣4 故选 B 第 4 页 共 17 页 点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法， 属基础题 3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为（ ） A．8 B．18 C．26 D．80 考点：数列的求和；循环结构。 专题：计算题。 分析： 根据框图可求得 S1=2，S2=8，S3=26，执行完后 n 已为 4，故可得答案． 解：由程序框图可知，当 n=1，S=0 时，S =0+31﹣30=2； 解答： 1同理可求 n=2，S1=2 时，S2=8； n=3，S2=8 时，S3=26；执行完后 n 已为 4， 故输出的结果为 26． 故选 C． 点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题． 4．（2012•天津）已知 a=21.2，b=（ ）﹣0.8，c=2log52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 考点：不等式比较大小。 专题：计算题。 第 5 页 共 17 页 x0分析： 解答： 由函数 y=2 在 R 上是增函数可得 a＞b＞2 =1，再由 c=2log52=log54＜log55=1，从而得到 a，b，c 的大小关系 解：由于函数 y=2x 在 R 上是增函数，a=21.2，b=（ ）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0， ∴a＞b＞20=1． 再由 c=2log52=log54＜log55=1， 可得 a＞b＞c， 故选 A． 点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5．（2012•天津）设 x∈R，则“x＞ ”是“2×2+x﹣1＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题：计算题。 分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可． 解答： 解：由 2×2+x﹣1＞0，可知 x＜﹣1 或 x＞ ； 所以当“x＞ ”⇒“2×2+x﹣1＞0”； 但是“2×2+x﹣1＞0”推不出“x＞ ”． 所以“x＞ ”是“2×2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选 A． 点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力． 6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ） A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R 且 x≠0 C．y= D．y=x3+1，x∈R 考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。 专题：计算题。 分析：利用函数奇偶性的定义可排除 C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除 A，从而可得答案． 解：对于 A，令 y=f（x）=cosx，则 f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数， 解答： 而 f（x）=cosx 在[0，π]上单调递减，（1，2）⊂[0，π]， 故 f（x）=cosx 在区间（1，2）内是减函数，故排除 A； 对于 B，令 y=f（x）=log2|x|，x∈R 且 x≠0，同理可证 f（x）为偶函数，当 x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x ，为增函数，故 B 满足题意； 对于 C，令 y=f（x）= ，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除 C； 而 D，为非奇非偶函数，可排除 D； 故选 B． 点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中 第 6 页 共 17 页 的作用，属于基础题． 7．（2012•天津）将函数 y=sinωx（其中 ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，则 ω 的最小值是（ ） A．B．1 C．D．2 考点：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换。 专题：计算题。 分析： 图象变换后所得图象对应的函数为 y=sinω（x﹣ ），再由所得图象经过点 可得 sinω（ ﹣）=sin（ω ）=0，故 ω• =kπ，由此求得 ω 的最小值． 解答： 解：将函数 y=sinωx（其中 ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣ ）．再由所得图象经过点 可得 sinω（ ﹣）=sin（ω ）=0，∴ω• =kπ，k∈z． 故 ω 的最小值是 2， 故选 D． 点评：本题主要考查 y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由 y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题 ．8．（2012•天津）在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点 P，Q 满足 =2，则 λ=（ ） ，，λ∈R． 若 A．B．C．D．2 考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析： 由题意可得 =0，根据 =0， =﹣（1﹣λ） ）=[ ﹣λ =（λ﹣1）4﹣λ×1=2，求得 λ 的值． 解答： 解：由题意可得 由于 =（ ）•（ ﹣]•[ ﹣]=﹣（1﹣λ） ﹣λ =（λ﹣1）4﹣λ×1=2， 解得 λ=2， 故选 D． 点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算 ，属于中档题． 第 7 页 共 17 页 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．（2012•天津）集合 A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 ﹣3 ． 考点：绝对值不等式的解法。 专题：计算题。 由|x﹣2|≤5 可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案． 分析： 解答： 解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}， ∴由|x﹣2|≤5 得， ﹣5≤x﹣2≤5， ∴﹣3≤x≤7， ∴集合 A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3． 故答案为﹣3． 本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方 点评： ，去掉绝对值符号解之，属于基础题． 10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 30 m3． 考点：由三视图求面积、体积。 专题：计算题。 分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可． 解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为 3 和 4，高为 2， 上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为 2 和 1，高为 1，棱柱的高为 4， 所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是 5 边形， 几何体的体积为：（2×3+ 故答案为：30． ）×4=30（m3）． 第 8 页 共 17 页 点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算 能力． 11．（2012•天津）已知双曲线 C1： 与双曲线 C： （a＞0，b＞0）有相同 的渐近线，且 C1 的右焦点为 F（ ，0）．则 a= 1 ，b= 2 ． 考点：双曲线的简单性质。 专题：计算题。 分析： 双曲线 C1： 的渐近线方程为 y=± x，右焦点为（c，0），结合已知即可得 =2 ，c= ，列方程即可解得 a、b 的值 解答： 解：∵双曲线 C： ∴ =2 （a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±2x， ∵且 C1 的右焦点为 F（ ，0）． ∴c= ，由 a2+b2=c2 解得 a=1，b=2 故答案为 1，2 点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题 12．（2012•天津）设 m，n∈R，若直线 l：mx+ny﹣1=0 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为 3 ． 考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。 专题：计算题。 分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径 r，由直线 l 被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直 线 l 的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离，两者相等列出关系式，整理后求 出 m2+n2 的值，再由直线 l 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，由直线 l 的解析式分别令 x=0 及 y=0，得出 A 的横坐标及 B 的纵坐标，确定出 A 和 B 的坐标，得出 OA 及 OB 的长，根据三角形 AOB 为直角三角形，表 第 9 页 共 17 页 示出三角形 AOB 的面积，利用基本不等式变形后，将 m2+n2 的值代入，即可求出三角形 AOB 面积的最小值 ．22解答： 解：由圆 x +y =4 的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径 r=2， ∵直线 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦 CD=2， ∴圆心到直线 l 的距离 d= =，∴圆心到直线 l：mx+ny﹣1=0 的距离 d= =，整理得：m2+n2= ， 令直线 l 解析式中 y=0，解得：x= ， ∴A（ ，0），即 OA= 令 x=0，解得：y= ， ∴B（0， ），即OB= ，，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号， ∴|mn|≤ ，又△AOB 为直角三角形， ∴S△ABC= OA•OB= ≥=3， 则△AOB 面积的最小值为 3． 故答案为：3 点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般 式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半 ，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题． 13．（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段 CD 的长为 ． 考点：与圆有关的比例线段。 专题：计算题。 2分析： 由相交弦定理求出 FC，由相似比求出 BD，设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理，BD =CD•AD 求解． 解：由相交弦定理得到 AF•FB=EF•FC，即 3×1= ×FC，FC=2，在△ABD 中 AF：AB=FC：BD，即 3：4=2： 解答： 第 10 页 共 17 页 BD，BD= ， 设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即 x•4x=（ ）2，x= 故答案为： 点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性 质． 14．（2012•天津）已知函数 y= 1）∪（1，2） ． 的图象与函数 y=kx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 （0， 考点：函数的零点与方程根的关系。 专题：计算题。 分析： 函数 y= ==，如图所示，可得直线 y=kx 与函数 y= 的图象相交于两点时，直线的斜率 k 的取值范围． 解答： 解：函数 y= ==，如图所示： 故当一次函数 y=kx 的斜率 k 满足 0＜k＜1 或 1＜k＜2 时，直线 y=kx 与函数 y= 的图象相交于两点 ，故答案为 （0，1）∪（1，2）． 点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于 基础题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 第 11 页 共 17 页 15．（2012•天津）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学 校对学生进行视力调查． （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析． （ⅰ）列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。 专题：计算题。 分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目； （2）（i）从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校，所有结果共有 =15 种，按规律列举即可； （ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果 解答： 解：（I）抽样比为 = ， 故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为 21× =3，14× =2，7× =1 （II）（i）在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 1、2、3，两所中学分别记为 a、b，大学记为 A 则抽取 2 所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2 ，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共 15 种 （ii）设 B={抽取的 2 所学校均为小学}，事件 B 的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共 3 种， ∴P（B）= =点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题 16．（2012•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a=2，c= ，cosA=﹣ ．（1）求 sinC 和 b 的值； （2）求 cos（2A+ ）的值． 考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用。 专题：计算题。 分析：（1）△ABC 中，利用同角三角函数的基本关系求出 sinA，再由正弦定理求出 sinC，再由余弦定理求得 b=1． （2）利用二倍角公式求得 cos2A 的值，由此求得 sin2A，再由两角和的余弦公式求出 cos（2A+ ）=cos2Acos ﹣sin2Asin 的值． 解答： 解：（1）△ABC 中，由 cosA=﹣ 可得 sinA= ．．再由 由 a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得 b2+b﹣2=0，解得 b=1． （2）由 cosA=﹣ 、sinA= 可得 cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ，sin2A=2sinAcosA=﹣ =以及 a=2、c= ，可得 sinC= ．故 cos（2A+ ）=cos2Acos ﹣sin2Asin =．第 12 页 共 17 页 点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的 应用，属于中档题． 17．（2012•天津）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2． （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （2）证明：平面 PDC⊥平面 ABCD； （3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。 专题：计算题；证明题；综合题。 分析：（1）判断∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成角，在 Rt△PDA 中，求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （2）说明 AD⊥BC，通过 AD⊥PD，CD∩PD=D，证明 AD⊥平面 PDC，然后证明平面 PDC⊥平面 ABCD． （3）在平面 PDC 中，过点 P 作 PE⊥CD 于 E，连接 EB．说明∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角，求出 PE ，PB，在 Rt△PEB 中，通过 sin∠PBE= ，求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． （1）解：如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中， 因为底面 ABCD 是矩形，所以 AD=BC，且 AD∥BC， 又因为 AD⊥PD， 解答： 故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成角， 在 Rt△PDA 中， =2， 所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为：2． （2）证明：由于底面 ABCD 是矩形，故 AD⊥BC， 由于 AD⊥PD，CD∩PD=D， 因此 AD⊥平面 PDC，而 AD⊂平面 ABCD，所以平面 PDC⊥平面 ABCD． （3）解：在平面 PDC 中，过点 P 作 PE⊥CD 于 E，连接 EB． 由于平面 PDC⊥平面 ABCD， 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线， 故 PE⊥平面 ABCD． 由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角， 在△PDC 中， 由于 PD=CD=2，PC=2 ，可得∠PCD=30°， 在 Rt△PEC 中，PE=PCsin30°= ．由 AD∥BC，AD⊥平面 PDC，得 BC⊥平面 PDC， 因此 BC⊥PC． 在 Rt△PCB 中，PB= =．第 13 页 共 17 页 在 Rt△PEB 中，sin∠PBE= =．所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ．点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算 能力． 18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列，且 a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）记 Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn﹣8=an﹣1 n+1（n∈N*，n≥2）． b考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项． （2）先借助于错位相减法求出 Tn 的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立． 解答：解：（1）设等差数列的公差为 d，等比数列的首项为 q， 由 a1=b1=2，得 a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d， 由 a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组 ，解得 ，所以：an=3n﹣1，bn=2n． （2）证明：由第一问得：Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n； ①； 2Tn=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②． 由①﹣②得，﹣Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1 =﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2 =﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8． 即 Tn﹣8=（3n﹣4）×2n+1 ．而当 n≥2 时，an﹣1 n+1 b=（3n﹣4）×2n+1 ．∴Tn﹣8=a bn﹣1 n+1（n∈N*，n≥2）． 点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并 考察计算能力． 第 14 页 共 17 页 19．（2012•天津）已知椭圆 （1）求椭圆的离心率； ，点 P（ ）在椭圆上． （2）设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线 OQ 的斜率的值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。 专题：综合题。 分析： （1）根据点 P（ ）在椭圆上，可得 ，由此可求椭圆的离心率； （2）设直线 OQ 的斜率为 k，则其方程为 y=kx，设点 Q 的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立， ，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求 ，由此可求直线 OQ 的斜率的值． 解答： 解：（1）因为点 P（ ）在椭圆上，所以 ∴∴∴（2）设直线 OQ 的斜率为，则其方程为 y=kx 设点 Q 的坐标为（x0，y0），由条件得 ，消元并整理可得 ①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0， ∴∴∵x0≠0，∴ 代入①，整理得 ∵第 15 页 共 17 页 ∴∴5k4﹣22k2﹣15=0 ∴k2=5 ∴点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键． 20．（2012•天津）已知函数 f（x）= x3+ （1）求函数 f（x）的单调区间； x2﹣ax﹣a，x∈R，其中 a＞0． （2）若函数 f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围； （3）当 a=1 时，设函数 f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为 M（t），最小值为 m（t）．记 g（t）=M（t）﹣m（t） ，求函数 g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。 专题：综合题。 分析：（1）求导函数，令 f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令 f′（x）＜0，可得单调递减区间； （2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内 恰有两个零点，由此可求 a 的取值范围； （3）a=1 时，f（x）= ，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递 减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当 t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在 [t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为 M（t）=f（﹣1）=﹣ ，而 最小值 m（t）为 f（t）与 f（t+3）中的较小者，从而可得 g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当 t∈[﹣2，﹣1] 时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较 f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数 g（t） 在区间[﹣3，﹣1]上的最小值． 解：（1）求导函数可得 f′（x）=（x+1）（x﹣a），令 f′（x）=0，可得 x =﹣1，x =a＞0 解答： 12令 f′（x）＞0，可得 x＜﹣1 或 x＞a；令 f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a 故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，） （2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内 恰有两个零点， ∴，∴ ，∴0＜a＜ ∴a 的取值范围为 ；（3）a=1 时，f（x）= ，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递 减，在（1，2）上单调递增 ①当 t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减 因此函数在[t，t+3]上的最大值为 M（t）=f（﹣1）=﹣ ，而最小值 m（t）为 f（t）与 f（t+3）中的较小者 由 f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当 t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故 m（t）=f（t），所以 g（ t）=f（﹣1）﹣f（t） 第 16 页 共 17 页 而 f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此 f（t）≤f（﹣2）=﹣ ，所以 g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为 ②当 t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较 f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小． 由 f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有 f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2） ∵f（1）=f（﹣2）=﹣ ，f（﹣1）=f（2）=﹣ ∴M（t）=f（﹣1）=﹣ ，m（t）=f（1）=﹣ ∴g（t）=M（t）﹣m（t）= 综上，函数 g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为 ． 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分 类讨论是解题的关键． 第 17 页 共 17 页
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