第 1 页 共 23 页 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科） 本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求 的一项. 1．已知集合 A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A∩B= 22A （- ，-1）B （-1，- ） C （- ,3）D (3,+ )330 x 2, 0 y 2 2．设不等式组 ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是 4 2 264 4（A） （B） （C） （D） 3．设 a，b∈R。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）第 1 页 共 23 页 第 2 页 共 23 页 A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( )22CE•CB=AD•DB CE•CB=AD•AB A． B． C． D． CE•EB=CD AD•AB=CD 6.从 0，2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 ()A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 5B. 30+6 5C. 56+ 12 5D. 60+125 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年 平均产量最高。m 值为（ A.5 B.7C.9 ）D.11 第 2 页 共 23 页 第 3 页 共 23 页 第二部分(非选择题共 110 分) 二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分. x 2 t x 3cos y 3sin 9．直线 (t 为参数)与曲线 ( 为参数)的交点个数为______。 y 1 t 110．已知{an}等差数列 11．在△ABC 中，若 Sn 为其前 n 项和。若 a1 ，S2 a3 ，则 a2 =_______。 21a=2，b+c=7，cosB= ，则 b=_______。 412．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点. 其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为 13．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为________， DE DC 的最大值为______。 14.已知 f (x) m(x 2m)(x m 3) ，g(x) 2x 2 ，若同时满足条件： ①②x R ，f (x) 0 或g(x) 0 ；。x(,4) ,f (x) g(x) 0 则 m 的取值范围是_______。 第 3 页 共 23 页 第 4 页 共 23 页 三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分） 已知函数(sin x cos x)sin 2x sin x f (x) 。（1）求 f (x) 的定义域及最小正周 期； （2）求 f (x) 的单调递增区间。 16．（本小题共 14 分） 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DE∥ BC，DE=2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证：A1C⊥平面 BCDE； (II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由 第 4 页 共 23 页 第 5 页 共 23 页 17．（本小题共 13 分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾” “可回收物” “其他垃圾” 箱箱箱400 30 100 240 20 100 30 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 20 60 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c 其中 a＞0， a b c =600。当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时，写出 a,b,c 的值（结论 不要求证明），并求此时 s2 的值。 1（注： s2 [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 ]，其中 x为数据 x1, x2,, xn 的平均数） n18．（本小题共 13 分） 已知函数 f (x) ax2 1 a 0 ，g(x) x3 bx .（1）若曲线 y f (x) 与曲线 y g(x) 在它们的交点 1,c 处具有公共切线，求 a， 的值； b第 5 页 共 23 页 第 6 页 共 23 页 （2）当 a2 4b 时，求函数 f (x) g(x) 的单调区间，并求其在区间 ,1 上的最大值. 19．（本小题共 14 分） 已知曲线C : 5 m x2 m 2 y2 8 mR .（1）若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，求 轴的交点为 m的取值范围； （点 位于点 B的上方），直线 y kx 4 （2）设 m 4 ，曲线 C与yA，BA与曲线 M A 交于不同的两点 ， ，直线y 1与直线 BM 交于点 ，求证： ， ， C N G GN 三点共线. 20．（本小题共 13 分） 设A是由 mn 个实数组成的 m行n1列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 ，且所 有数的和为零. 记 S m,n 为所有这样的数表组成的集合. 对于 AS m,n ，记 r (A) 为Ai的第 i行各数之和（1„ i „ m）， cj (A) r (A) ，…， rm (A) c1(A) A为 的第j 列各数之和（1„ j „ n）；记 k(A) 为 r (A) ，，，c2 (A) ，…， cn (A) 中的最小值. 12（1）对如下数表 A，求 k(A) 的值； 0.8 1 110.1 0.3 （2）设数表 AS 2,3 形如 第 6 页 共 23 页 第 7 页 共 23 页 c11ab1 求k(A) 的最大值； （3）给定正整数t ，对于所有的 AS 2,2t 1 ，求 k(A) 的最大值. 2012 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题．每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要 求的一项. 1．（5 分）（2012•北京）已知集合 A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}， 则 A∩B=（ ） （﹣∞，﹣1） A． B． C． D．（3，+∞） （﹣1， ）﹙，3﹚ 考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．菁优网版权所有 专题：集合． 分析：求出集合 B，然后直接求解 A∩B． 解：因为 B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1 或 x＞3}， 解答： 又集合 A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x }， 所以 A∩B={x|x 故选：D． }∩{x|x＜﹣1 或 x＞3}={x|x＞3}， 点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力． 2．（5 分）（2012•北京）设不等式组 ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机 取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题 中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2 的点构成的区域的面积 第 7 页 共 23 页 第 8 页 共 23 页 后再求它们的比值即可． 解答： 解：其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形，面积为 S1=4， 满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2 为半径的圆外部， 面积为 =4﹣π， ∴在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 P= 故选：D． 点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到， 本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值． 3．（5 分）（2012•北京）设 a，b∈R．“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件． 解答：解：因为 a，b∈R．“a=O”时“复数 a+bi 不一定是纯虚数”． “复数 a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立． 所以 a，b∈R．“a=O”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． 故选 B． 点评：本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的 掌握程度． 4．（5 分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 8 页 共 23 页 第 9 页 共 23 页 A．2 B．4 C．8 D．16 考点：循环结构．菁优网版权所有 专题：算法和程序框图． 分析：列出循环过程中 S 与 K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解答：解：第 1 次判断后 S=1，k=1， 第 2 次判断后 S=2，k=2， 第 3 次判断后 S=8，k=3， 第 4 次判断后 3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选 C． 点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力． 5．（5 分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交 于点 E．则（ ） 22CE•CB=AD•DB CE•CB=AD•AB A． B． C． D． CE•EB=CD AD•AB=CD 考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 专题：直线与圆． 分析：连接 DE，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D ，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出 CE•CB=AD•BD． 解答：解：连接 DE， ∵以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E， ∴DE⊥BE， 第 9 页 共 23 页 第 10 页 共 23 页 ∵∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D， ∴△ACD∽△CBD， ∴，∴CD2=AD•BD． ∵CD2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD， 故选 A． 点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注 意三角形相似和切割线定理的灵活运用． 6．（5 分）（2012•北京）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复 数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A．24 B．18 C．12 D．6 考点：计数原理的应用．菁优网版权所有 专题：算法和程序框图． 分析：分类讨论：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位；从 0、2 中选一个数字 2， 则 2 排在十位或百位，由此可得结论． 解答：解：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位 与百位，共有 =6 种； 从 0、2 中选一个数字 2，则 2 排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位， 共有 =6 种； 2 排在百位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有 =6 种； 故共有 3 =18种 故选 B． 点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键． 7．（5 分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） 第 10 页 共 23 页 第 11 页 共 23 页 A． B． C． D． 60+12 28+6 30+6 56+12 考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：立体几何． 分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图， 所以 S 底 ==10， S 后 S 右 S 左 ===，=10， =6 ．几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 故选：B． ．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力． 8．（5 分）（2012•北京）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前 记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ） 第 11 页 共 23 页 第 12 页 共 23 页 A．5 B．7 C．9 D．11 考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．菁优网版权所有 专题：函数的性质及应用． 分析：由已知中图象表示某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系，可分析出平均产量的 几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案． 解答：解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S，n）点 则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率 由图易得当 n=9 时，直线 OP 的斜率最大 即前 9 年的年平均产量最高， 故选 C 点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产 量的几何意义是解答本题的关键． 二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分. 9．（5 分）（2012•北京）直线 的交点个数为 2 ． （t 为参数）与曲线 （α 为参数） 考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．菁优网版权所有 专题：直线与圆． 分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 解答： 解：直线 （t 为参数）化为普通方程为 x+y﹣1=0 曲线 （α 为参数）化为普通方程为 x2+y2=9 ∵圆心（0，0）到直线 x+y﹣1=0 的距离为 d= ∴直线与圆有两个交点 故答案为：2 点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 第 12 页 共 23 页 第 13 页 共 23 页 10．（5 分）（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn 为其前 n 项和．若 a1= ，s2=a3，则 a2= 1 ． 考点：等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析： 由﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3，知 =，解得 d= ，由此能求出 a2． 解答： 解：∵﹛an﹜是等差数列，a1= ，S2=a3， ∴=，解得 d= ， a2= =1． 故答案为：1． 点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 11．（5 分）（2012•北京）在△ABC 中，若 a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则 b= 4 ． 考点：解三角形．菁优网版权所有 专题：解三角形． 分析： 根据 a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，利用余弦定理可得 ，即可求得 b 的值． 解答： 解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ ， ∴∴b=4 故答案为：4 点评：本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于 b 的方程，属于基础题． 12．（5 分）（2012•北京）在直角坐标系 xOy 中．直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F．且与该 抛物线相交于 A、B 两点．其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°．则△OAF 的面 积为 ． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质．菁优网版权所有 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：确定直线 l 的方程，代入抛物线方程，确定 A 的坐标，从而可求△OAF 的面积． 2解答： 解：抛物线 y =4x 的焦点 F 的坐标为（1，0） 第 13 页 共 23 页 第 14 页 共 23 页 ∵直线 l 过 F，倾斜角为 60° ∴直线 l 的方程为： ，即 代入抛物线方程，化简可得 ∴y=2 ，或 y=﹣ ∵A 在 x 轴上方 ∴△OAF 的面积为 =故答案为： 点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定 A 的坐标是解题的关键 ． 13．（5 分）（2012•北京）己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 的值为 1 ． 考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：平面向量及应用． 分析：直接利用向量转化，求出数量积即可． 解答： 解：因为 ====1． 故答案为：1 点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力． 14．（5 分）（2012•北京）已知 f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时 满足条件： ①∀x∈R，f（x）＜0 或 g（x）＜0； ②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0． 则 m 的取值范围是 （﹣4，﹣2） ． 考点：全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．菁优网版权所有 专题：简易逻辑． ①由于 g（x）=2x﹣2≥0 时，x≥1，根据题意有 f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0 分析： 在 x＞1 时成立，根据二次函数的性质可求 ②由于 x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而 g（x）=2x﹣2＜0，则 f（x）=m（x﹣2m 第 14 页 共 23 页 第 15 页 共 23 页 ）（x+m+3）＞0 在 x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求 解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当 x＜1 时，g（x）＜0， 解答： 又∵①∀x∈R，f（x）＜0 或 g（x）＜0 ∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左面 则∴﹣4＜m＜0 即①成立的范围为﹣4＜m＜0 又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0 ∴此时 g（x）=2x﹣2＜0 恒成立 ∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0 在 x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4 比 x1，x2 中的较小的根大即可， （i）当﹣1＜m＜0 时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4 不成立， （ii）当 m=﹣1 时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立， （iii）当﹣4＜m＜﹣1 时，较小的根为 2m，2m＜﹣4 即 m＜﹣2 成立． 综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2． 故答案为：（﹣4，﹣2）． 点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答 本题的关键． 三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）（2012•北京）已知函数 f（x）= ．（1）求 f（x）的定义域及最小正周期； （2）求 f（x）的单调递增区间． 考点三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．菁优网版权所有 ：专题三角函数的图像与性质． ：分析通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正 ：周期． （2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 解答解： ：第 15 页 共 23 页 第 16 页 共 23 页 =sin2x﹣1﹣cos2x= sin（2x﹣ ）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z} （1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为 π． （2）由 ，k∈Z， ，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}， ，k∈Z， 解得 原函数的单调递增区间为 ，k∈Z 点评本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性， ： 注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力． 16．（14 分）（2012•北京）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别 是 AC，AB 上的点，且 DE∥BC，DE=2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD ，如图 2． （1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由． 考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与 平面的夹角．菁优网版权所有 专题：空间位置关系与距离． 分析： （1）证明 A1C⊥平面 BCDE，因为 A1C⊥CD，只需证明 A1C⊥DE，即证明 DE⊥平面 A1CD； （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面 A1BE 法向量 ，=（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）设线段 BC 上存在点 P，设 P 点坐标为（0，a，0），则 a∈[0，3]，求出平面 A1DP 法向量为 第 16 页 共 23 页 第 17 页 共 23 页 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，则 ，可求得 0≤a≤3，从而可得结论． 解答： （1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， ∴DE⊥平面 A1CD， 又∵A1C⊂平面 A1CD，∴A1C⊥DE 又 A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面 BCDE （2）解：如图建系，则 C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2 ），B（ 0，3，0），E（﹣2，2，0） ∴，设平面 A1BE 法向量为 则∴∴∴又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）∴∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小 45° （3）解：设线段 BC 上存在点 P，设 P 点坐标为（0，a，0），则 a∈[0，3] ∴，设平面 A1DP 法向量为 则∴∴假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，则 ，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段 BC 上存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 第 17 页 共 23 页 第 18 页 共 23 页 点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运 用，要加以体会． 17．（13 分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨 余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类 投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ；“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 100 240 20 100 30 20 60 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a，b，c ，其中 a＞0，a+b+c=600．当数据 a，b，c 的方差 s2 最大时，写出 a，b，c 的值（结论不要 求证明），并求此时 s2 的值． （求：S2= [ ++…+ ]，其中 为数据x1，x2， …，xn 的平均数） 考点模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．菁优网版权所有 ：专题概率与统计． ：分析（1）厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率； （2）生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率； ：（3）计算方差可得 =，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有 s2=80000． 解答解：（1）由题意可知：厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故厨余垃圾投放正确的 ：概率为 ；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 ；第 18 页 共 23 页 第 19 页 共 23 页 （3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c 的平均数为 200 ∴=，∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有 s2=80000． 点评本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题． ： 18．（13 分）（2012•北京）已知函数 f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx （1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的 值； （2）当 a2=4b 时，求函数 f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最 大值． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上 某点切线方程．菁优网版权所有 专题：导数的概念及应用． 分析：（1）根据曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可 知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 a、b 的值； （2）根据 a2=4b，构建函数 ，求导函 数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞ ，﹣1）上的最大值． 23解答： 解：（1）f（x）=ax +1（a＞0），则 f’（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x +bx，则 g′（x） =3×2+b，k2=3+b， 由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又 f（1）=a+1，g（1）=1+b， ①∴a+1=1+b，即 a=b，代入①式可得： （2）由题设 a2=4b，设 ．则，令 h’（x）=0，解得： ，；∵a＞0，∴ ，x（﹣∞，﹣ ﹣ ））﹣h′（x） h（x） ++极大值 极小值 ∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在 ）上单调递增 ①若 ，即 0＜a≤2 时，最大值为 ；第 19 页 共 23 页 第 20 页 共 23 页 ②若 ＜﹣ ，即 2＜a＜6 时，最大值为 ③若﹣1≥﹣ 时，即 a≥6 时，最大值为 h（﹣ ）=1 综上所述：当 a∈（0，2]时，最大值为 ；当 a∈（2，+∞）时，最大 值为 ．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的 关键是正确求出导函数． 19．（14 分）（2012•北京）已知曲线 C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R） （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方），直线 y=kx+4 与曲 线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G．求证：A，G，N 三点共线． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得不等式 组，即可求得 m 的取值范围； （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）， 解得： ：，设 N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB 方程为 ，则 ，从而可得 ，=（ xN，kxN+2），欲证 A，G，N 三点共线，只需证 证明． ，共线，利用韦达定理，可以 解答： （1）解：原曲线方程可化简得： 由题意，曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得： ，解得： （2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3 ）＞0，解得： 由韦达定理得： ①， ，② 第 20 页 共 23 页 第 21 页 共 23 页 设 N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB 方程为： ，则，∴，=（xN，kxN+2）， 欲证 A，G，N 三点共线，只需证 ，共线 即成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN） 将①②代入可得等式成立，则 A，G，N 三点共线得证． 点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键 是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解． 20．（13 分）（2012•北京）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数 的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为 A 的第 j 列各数 之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）| ，…，|Cn（A）|中的最小值． （1）如表 A，求 K（A）的值； ﹣0.8 ﹣1 11﹣0.3 0.1 （2）设数表 A∈S（2，3）形如 11bc﹣1 a求 K（A）的最大值； （3）给定正整数 t，对于所有的 A∈S（2，2t+1），求 K（A）的最大值． 考点：进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理．菁优网版权所有 专题：压轴题；新定义；推理和证明． 分析： （1）根据 ri（A），Cj（A），定义求出 r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（ A），再根据 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3 （A）|中的最小值，即可求出所求． （2）先用反证法证明 k（A）≤1，然后证明 k（A）=1 存在即可； （3）首先构造满足 的 A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后 证明 是最大值即可． 解：（1）由题意可知 r （A）=1.2，r （A）=﹣1.2，c （A）=1.1，c （A）=0.7，c 解答： 12123（A）=﹣1.8 第 21 页 共 23 页 第 22 页 共 23 页 ∴K（A）=0.7 （2）先用反证法证明 k（A）≤1： 若 k（A）＞1 则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0 同理可知 b＞0，∴a+b＞0 由题目所有数和为 0 即 a+b+c=﹣1 ∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k（A）≤1． 易知当 a=b=0 时，k（A）=1 存在 ∴k（A）的最大值为 1 （3）k（A）的最大值为 ．首先构造满足 的 A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： ，．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且 ，，．下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 A∈S（2，2t+1），使得 ．由 k（A）的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x，而两个绝对值不超 过 1 的数的和，其绝对值不超过 2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2] 中．由于 x＞1，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 x﹣1． 设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 g＜h，则 g≤t，h≥t+1 ．另外，由对称性不妨设 A 的第一行行和为正，第二行行和为负． 考虑 A 的第一行，由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t+1 个负数， 每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1），每个负数的绝对值不小于 x﹣1（即每个负数均不超过 1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x） =2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x， 第 22 页 共 23 页 第 23 页 共 23 页 故 A 的第一行行和的绝对值小于 x，与假设矛盾．因此 k（A）的最大值为 ．点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查 了分析问题的能力，属于难题． 第 23 页 共 23 页
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