2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2010 年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)复数( )2=(  ) A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i 2.(5 分)函数 的反函数是(  ) A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) B.y=e2x﹣1+1(x>0) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 3.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=(  ) A.14 B.21 C.28 D.35 5.(5 分)不等式 >0 的解集为(  ) A.{x|x<﹣2,或 x>3} B.{x|x<﹣2,或 1<x<3} C.{x|﹣2<x<1,或 x>3} D.{x|﹣2<x<1,或 1<x<3} 6.(5 分)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (  ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 7.(5 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象,只需把函数 y=sin(2x+ )的图象(  ) A.向左平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 8.(5 分)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 = , = ,| |=1 ,| |=2,则 =(  ) 第 1 页(共 24 页) A. +B. +C. +D. +9.(5 分)已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=2 ,那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为(  ) A.1 B. C.2 D.3 10.(5 分)若曲线 y= 的面积为 18,则 a=(  ) A.64 B.32 在点(a, )处的切线与两个坐标围成的三角形 C.16 D.8 11.(5 分)与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点(  ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个 12.(5 分)已知椭圆 T: +=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点F 且 斜率为 k(k>0)的直线与 T 相交于 A,B 两点,若 =3 ,则 k=(  ) A.1 B. C. D.2  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)已知 a 是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣ ,则 tanα=   . 14.(5 分)若(x﹣ )9 的展开式中 x3 的系数是﹣84,则 a=   . 15.(5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p=   . 16.(5 分)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,AB=4,若 OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= .  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= , 求 AD. 第 2 页(共 24 页) 18.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(n2+n)•3n. (Ⅰ)求 ;(Ⅱ)证明: +…+ >3n. +19.(12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中 点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小. 20.(12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4, 电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 P,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电流能否 通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 .(Ⅰ)求 P; 第 3 页(共 24 页) (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 21.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 相交 于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|•|BF|=17,证明:过 A、B、D 三 点的圆与 x 轴相切. 22.(12 分)设函数 f(x)=1﹣e﹣x. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 时,f(x)≥ ;(Ⅱ)设当 x≥0 时,f(x)≤ ,求 a 的取值范围.  第 4 页(共 24 页) 2010 年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)复数( A.﹣3﹣4i )2=(  ) B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复 数整理成整式形式,再进行复数的乘方运算,合并同类项,得到结果. 【解答】解:( )2=[ ]2=(1﹣2i)2=﹣3﹣4i. 故选:A. 【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算,是一个基础题,解题时没有规 律和技巧可寻,只要认真完成,则一定会得分.  2.(5 分)函数 的反函数是(  ) B.y=e2x﹣1+1(x>0) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) 【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】从条件中 中反解出 x,再将 x,y 互换即得.解答 本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y 换 位,2、解:解出 y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数. 【解答】解:由原函数解得 第 5 页(共 24 页) x=e 2y﹣1+1, ∴f﹣1(x)=e 2x﹣1+1, 又 x>1,∴x﹣1>0; ∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中 x∈R, 故选:D. 【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式 y=f(x)反求出 x=Ф (y);(2)交换 x=Ф(y)中 x、y 的位置;(3)求出反函数的定义域(一 般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).  3.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A.1 B.2 ,则 z=2x+y 的最大值为(  ) D.4 C.3 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 m 值即可. 【解答】解:作出可行域,作出目标函数线, 可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点, ∴即为 B(1,1),当 x=1,y=1 时 zmax=3. 故选:C. 【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 第 6 页(共 24 页)  4.(5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=(  ) A.14 B.21 C.28 D.35 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【分析】由等差数列的性质求解. 【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, ∴a1+a2+…+a7= 故选:C. =7a4=28 【点评】本题主要考查等差数列的性质.  5.(5 分)不等式 >0 的解集为(  ) A.{x|x<﹣2,或 x>3} C.{x|﹣2<x<1,或 x>3} B.{x|x<﹣2,或 1<x<3} D.{x|﹣2<x<1,或 1<x<3} 【考点】73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】解 ,可转化成 f(x)•g(x)>0,再利用根轴法进行求解. ⇔(x﹣3)(x+2)(x﹣1)>0 【解答】解: ⇔利用数轴穿根法解得﹣2<x<1 或 x>3, 故选:C. 【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法,属于不等式的基础 题.  6.(5 分)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (  ) 第 7 页(共 24 页) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】本题是一个分步计数问题,首先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不 2同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C4 ,余下放入最后一个 信封,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题, ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2,有 =3 种不同的选法;根据分组公式,其他 四封信放入两个信封,每个信封两个有 =6 种放法, ∴共有 3×6×1=18. 故选:B. 【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的 关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中,这里包含两 个步骤,先平均分组,再排列.  7.(5 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象,只需把函数 y=sin(2x+ )的图象(  ) A.向左平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 【考点】HJ:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 【专题】1:常规题型. 【分析】先将 2 提出来,再由左加右减的原则进行平移即可. 【解答】解:y=sin(2x+ )=sin2(x+ ),y=sin(2x﹣ )=sin2(x﹣ ),第 8 页(共 24 页) 所以将 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个长度单位得到y=sin(2x﹣ )的 图象, 故选:B. 【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的 x 来说的.  8.(5 分)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 = , = ,| |=1 ,| |=2,则 =(  ) A. +B. +C. +D. +【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有 【分析】由△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,根据三角形内角平分线 定理,我们易得到 即可得到答案. ,我们将 后,将各向量用 , 表示, 【解答】解:∵CD 为角平分线, ∴,∵∴,,∴故选:B. 【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定 理,即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线,则 AB:AC=BD:CD  9.(5 分)已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=2 ,那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为(  ) A.1 B. C.2 D.3 第 9 页(共 24 页) 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得 最大值时,高的值. 【解答】解:设底面边长为 a,则高 h= V= a2h= =,所以体积 ,设 y=12a4﹣ a6,则 y′=48a3﹣3a5,当 y 取最值时,y′=48a3﹣3a5=0,解得 a=0 或 a=4 时,当 a=4 时,体积最大, 此时 h= =2, 故选:C. 【点评】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函数的最值问题的求法.是中 档题.  10.(5 分)若曲线 y= 的面积为 18,则 a=(  ) A.64 B.32 在点(a, )处的切线与两个坐标围成的三角形 C.16 D.8 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合. 【分析】欲求参数 a 值,必须求出在点(a, )处的切线方程,只须求出其 斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=a 处的导函数值,再结合导数的几何 意义即可求出切线的斜率得到切线的方程,最后求出与坐标轴的交点坐标结 合三角形的面积公式.从而问题解决. 【解答】解:y′=﹣ ,∴k=﹣ ,第 10 页(共 24 页) 切线方程是 y﹣ 令 x=0,y= =﹣ (x﹣a), ,令 y=0,x=3a, ∴三角形的面积是 s= •3a• =18, 解得 a=64. 故选:A. 【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的 面积公式,考查考生的计算能力.  11.(5 分)与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点(  ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个 【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】由于点 D、B1 显然满足要求,猜想 B1D 上任一点都满足要求,然后想 办法证明结论. 【解答】解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 上建立如图所示空间直角坐标系, 并设该正方体的棱长为 1,连接 B1D,并在 B1D 上任取一点 P, 因为 =(1,1,1), 所以设 P(a,a,a),其中 0≤a≤1. 作 PE⊥平面 A1D,垂足为 E,再作 EF⊥A1D1,垂足为 F, 则 PF 是点 P 到直线 A1D1 的距离. 所以 PF= ;同理点 P 到直线 AB、CC1 的距离也是 .所以 B1D 上任一点与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线 第 11 页(共 24 页) 的距离都相等, 所以与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的 点有无数个. 故选:D. 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法.  12.(5 分)已知椭圆 T: +=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点F 且 斜率为 k(k>0)的直线与 T 相交于 A,B 两点,若 =3 ,则 k=(  ) A.1 B. C. D.2 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据 率设 求得 y1 和 y2 关系根据离心 ,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去 x,根据韦达 定理表示出 y1+y2 和 y1y2,进而根据 y1 和 y2 关系求得 k. 【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∵,∴y1=﹣3y2, ,设 ,b=t, ∴x2+4y2﹣4t2=0①, 设直线 AB 方程为 ,代入①中消去 x,可得 ,第 12 页(共 24 页) ∴,,解得 ,故选:B. 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强, 要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识 的运用.  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)已知 a 是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣ ,则 tanα= . 【考点】GO:运用诱导公式化简求值;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】根据诱导公式 tan(π+α)=tanα 得到 tan2α,然后利用公式 tan(α+β) =求出 tanα,因为 α 为第二象限的角,判断取值即可. 【解答】解:由 tan(π+2a)=﹣ 得 tan2a=﹣ ,又 tan2a= =﹣ , 解得 tana=﹣ 或 tana=2, 又 a 是第二象限的角,所以 tana=﹣ . 故答案为: .【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程, 考查考生的计算能力.  14.(5 分)若(x﹣ )9 的展开式中 x3 的系数是﹣84,则 a= 1 . 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 3 得展开式中 第 13 页(共 24 页) x3 的系数,列出方程解得. r【解答】解: 展开式的通项为 =(﹣a)rC9 x9﹣2r 令 9﹣2r=3 得 r=3 3∴展开式中 x3 的系数是 C9 (﹣a)3=﹣84a3=﹣84, ∴a=1. 故答案为 1 【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.  15.(5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= 2 . 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3×2+(﹣6﹣2p)x+3=0, 进而根据 ,可知M 为 A、B 的中点, 可得 p 的关系式,解方程即可求得 p. 【解答】解:设直线 AB: ,代入 y2=2px 得 3×2+(﹣6﹣2p)x+3=0, 又∵ ,即 M 为 A、B 的中点, ∴xB+(﹣ )=2,即 xB=2+ , 得 p2+4P﹣12=0, 解得 p=2,p=﹣6(舍去) 故答案为:2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质.属基础题.  16.(5 分)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,AB=4,若 OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= 3 . 第 14 页(共 24 页) 【考点】JE:直线和圆的方程的应用;ND:球的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】根据题意画出图形,欲求两圆圆心的距离,将它放在与球心组成的三 角形 MNO 中,只要求出球心角即可,通过球的性质构成的直角三角形即可 解得. 【解答】解法一:∵ON=3,球半径为 4, ∴小圆 N 的半径为 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直于 AB, ∴NE= ,同理可得 ∵NE= ,ON=3, ,在直角三角形 ONE 中, ∴,,∴∴MN=3. 故填:3. 解法二:如下图:设 AB 的中点为 C,则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E,因为 OM=ON=3, 故小圆半径 NB 为 C 为 AB 中点,故 CB=2;所以 NC= ,∵△ONC 为直角三角形,NE 为△ONC 斜边上的高,OC= ∴MN=2EN=2•CN• =2× ×=3 第 15 页(共 24 页) 故填:3. 【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算,还考查球、直线与圆的基 础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= , 求 AD. 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.菁优网版权所有 【分析】先由 cos∠ADC= 确定角 ADC 的范围,因为∠BAD=∠ADC﹣B 所以可求 其正弦值,最后由正弦定理可得答案. 【解答】解:由 cos∠ADC= >0,则∠ADC< ,又由知 B<∠ADC 可得 B< 由 sinB= ,可得 cosB= ,,又由 cos∠ADC= ,可得 sin∠ADC= . 从 而sin ∠ BAD=sin ( ∠ ADC﹣B ) =sin ∠ ADCcosB﹣cos ∠ ADCsinB= =.由正弦定理得 ,第 16 页(共 24 页) 所以 AD= =.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试 题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题, 估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知 条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.  18.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(n2+n)•3n. (Ⅰ)求 ;(Ⅱ)证明: ++…+ >3n. 【考点】6F:极限及其运算;R6:不等式的证明.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(1)由题意知 ,由此可知答案. (2)由题意知, ==,由此 可知,当 n≥1 时, .【解答】解:(1),所以 = ; 第 17 页(共 24 页) (2)当 n=1 时, ;当 n>1 时, ===所以,n≥1 时, .【点评】本题考查数列的极限问题,解题时要注意公式的灵活运用.  19.(12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中 点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小. 【考点】LM:异面直线及其所成的角;LQ:平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(1)欲证 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线,即证 DE 与异面直线 AB1 与 CD 垂直相交即可; (2)将 AB1 平移到 DG,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角,在三角形 B1KH 中求出此角即可. 第 18 页(共 24 页) 【解答】解:(1)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1, 又 AE=3EB1,所以 FE=EB1, 又 D 为 BB1 的中点, 故 DE∥BF,DE⊥AB1. 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1, 故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (2)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又 作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角. B1H= ,C1H= ,AC1= ,HK= tan∠B1KH= ,∴二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小为 arctan .【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想 象与推理计算的能力.三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的 热点,它是处理线线垂直问题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角 的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式来处理立体几何问题,淡 化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变 得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. 第 19 页(共 24 页)  20.(12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4, 电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 P,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电流能否 通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 .(Ⅰ)求 P; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;C8:相互独立事件和相互独立事件的 概率乘法公式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p. (Ⅱ)根据题意,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过,根据电路图,可得 B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3,由互斥事件的概率公式,代 入数据计算可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,记电流能通过 Ti 为事件 Ai,i=1、2、3、4, A 表示事件:T1,T2,T3,中至少有一个能通过电流, 易得 A1,A2,A3 相互独立,且 ,P( )=(1﹣p)3=1﹣0.999=0.001, 计算可得,p=0.9; (Ⅱ)根据题意,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过, 有 B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3, 则 P(B)=P(A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3) 第 20 页(共 24 页) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891. 【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,注意先 明确事件之间的关系,进而选择对应的公式来计算.  21.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 相交 于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|•|BF|=17,证明:过 A、B、D 三 点的圆与 x 轴相切. 【考点】J9:直线与圆的位置关系;KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线 的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题. 【分析】(Ⅰ)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a ,b 的关系式即求得离心率. (Ⅱ)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含 a 的代数式表示,即可求得 a,则 A 点坐标可得(1,0),由于 A 在 x 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得. 【解答】解:(Ⅰ)由题设知,l 的方程为:y=x+2,代入 C 的方程,并化简, 得(b2﹣a2)x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0, 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 由 M(1,3)为 BD 的中点知 ,,① .故故,即 b2=3a2,② ,第 21 页(共 24 页) ∴C 的离心率 .(Ⅱ)由①②知,C 的方程为:3×2﹣y2=3a2,A(a,0),F(2a,0), .故不妨设 x1≤﹣a,x2≥a, ,,|BF|•|FD|=(a﹣2×1)(2×2﹣a)=﹣4x1x2+2a(x1+x2)﹣a2=5a2+4a+8. 又|BF|•|FD|=17,故 5a2+4a+8=17. 解得 a=1,或 (舍去), 故=6, 连接 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD,且 MA⊥x 轴, 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切, 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决 问题的能力.  22.(12 分)设函数 f(x)=1﹣e﹣x. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 时,f(x)≥ ;(Ⅱ)设当 x≥0 时,f(x)≤ ,求 a 的取值范围. 第 22 页(共 24 页) 【考点】6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题. 【分析】(1)将函数 f(x)的解析式代入 f(x)≥ 整理成 ex≥1+x,组成新 函数 g(x)=ex﹣x﹣1,然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g(x) 的最小值 g(0),进而 g(x)≥g(0)可得证. (2)先确定函数 f(x)的取值范围,然后对 a 分 a<0 和 a≥0 两种情况进行讨 论.当 a<0 时根据 x 的范围可直接得到 f(x)≤ 不成立;当 a≥0 时, 令 h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,然后对函数 h(x)进行求导,根据导函数判 断单调性并求出最值,求 a 的范围. 【解答】解:(1)当 x>﹣1 时,f(x)≥ 令 g(x)=ex﹣x﹣1,则 g’(x)=ex﹣1 当且仅当 ex≥1+x 当 x≥0 时 g’(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数 当 x≤0 时 g’(x)≤0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数 于是 g(x)在 x=0 处达到最小值,因而当 x∈R 时,g(x)≥g(0)时,即 ex≥1+x 所以当 x>﹣1 时,f(x)≥ (2)由题意 x≥0,此时 f(x)≥0 当 a<0 时,若 x>﹣ ,则 当 a≥0 时,令 h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则 f(x)≤ 当且仅当h(x)≤0 <0,f(x)≤ 不成立; 因为 f(x)=1﹣e﹣x,所以 h’(x)=af(x)+axf’(x)+f’(x)﹣1=af(x)﹣axf( x)+ax﹣f(x) (i)当 0≤a≤ 时,由(1)知 x≤(x+1)f(x) h’(x)≤af(x)﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x) 第 23 页(共 24 页) =(2a﹣1)f(x)≤0, h(x)在[0,+∞)是减函数,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤ (ii)当 a> 时,由y=x﹣f(x)=x﹣1+e﹣x, ;y′=1﹣e﹣x,x>0 时,函数 y 递增;x<0,函数 y 递减. 可得 x=0 处函数 y 取得最小值 0,即有 x≥f(x). h’(x)=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f(x)≥af(x)﹣axf(x)+af(x)﹣f(x)=( 2a﹣1﹣ax)f(x) 当 0<x< f(x)> 时,h’(x)>0,所以 h’(x)>0,所以 h(x)>h(0)=0,即 综上,a 的取值范围是[0, ] 【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用 知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题 的能力;导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求 考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算 能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用 导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论, 这也是难点之所在. 第 24 页(共 24 页)

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