2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版ⅱ）（含解析版）下载

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数（ ）2=（　　） A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i 2．（5 分）函数 的反函数是（　　） A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） D．y=e2x﹣1+1（x∈R） 3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+…+a7=（　　） A．14 B．21 C．28 D．35 5．（5 分）不等式 ＞0 的解集为（　　） A．{x|x＜﹣2，或 x＞3} B．{x|x＜﹣2，或 1＜x＜3} C．{x|﹣2＜x＜1，或 x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或 1＜x＜3} 6．（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若 每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （　　） A．12 种 B．18 种 C．36 种 D．54 种 7．（5 分）为了得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin（2x+ ）的图象（　　） A．向左平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 8．（5 分）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1 ，| |=2，则 =（　　） 第 1 页（共 24 页） A． +B． +C． +D． +9．（5 分）已知正四棱锥 S﹣ABCD 中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时， 它的高为（　　） A．1 B． C．2 D．3 10．（5 分）若曲线 y= 的面积为 18，则 a=（　　） A．64 B．32 在点（a， ）处的切线与两个坐标围成的三角形 C．16 D．8 11．（5 分）与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点（　　） A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无数个 12．（5 分）已知椭圆 T： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F 且 斜率为 k（k＞0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=（　　） A．1 B． C． D．2 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）已知 a 是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣ ，则 tanα=　 　． 14．（5 分）若（x﹣ ）9 的展开式中 x3 的系数是﹣84，则 a=　 　． 15．（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=　 　． 16．（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=　． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）△ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC= ， 求 AD． 第 2 页（共 24 页） 18．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=（n2+n）•3n． （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）证明： +…+ ＞3n． +19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1 的中 点，E 为 AB1 上的一点，AE=3EB1． （Ⅰ）证明：DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°，求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小． 20．（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4， 电流能通过 T1，T2，T3 的概率都是 P，电流能通过 T4 的概率是 0.9，电流能否 通过各元件相互独立．已知 T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 ．（Ⅰ）求 P； 第 3 页（共 24 页） （Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率． 21．（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 相交 于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1，3）． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|•|BF|=17，证明：过 A、B、D 三 点的圆与 x 轴相切． 22．（12 分）设函数 f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当 x＞﹣1 时，f（x）≥ ；（Ⅱ）设当 x≥0 时，f（x）≤ ，求 a 的取值范围． 　第 4 页（共 24 页） 2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数（ A．﹣3﹣4i ）2=（　　） B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复 数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果． 【解答】解：（ ）2=[ ]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i． 故选：A． 【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规 律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分． 　2．（5 分）函数 的反函数是（　　） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） D．y=e2x﹣1+1（x∈R） A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） 【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】从条件中 中反解出 x，再将 x，y 互换即得．解答 本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换 位，2、解：解出 y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数． 【解答】解：由原函数解得 第 5 页（共 24 页） x=e 2y﹣1+1， ∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1， 又 x＞1，∴x﹣1＞0； ∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中 x∈R， 故选：D． 【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=Ф （y）；（2）交换 x=Ф（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一 般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）． 　3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 A．1 B．2 ，则 z=2x+y 的最大值为（　　） D．4 C．3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z 的几何意义求最值， 只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 m 值即可． 【解答】解：作出可行域，作出目标函数线， 可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点， ∴即为 B（1，1），当 x=1，y=1 时 zmax=3． 故选：C． 【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 第 6 页（共 24 页） 　4．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+…+a7=（　　） A．14 B．21 C．28 D．35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【分析】由等差数列的性质求解． 【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4， ∴a1+a2+…+a7= 故选：C． =7a4=28 【点评】本题主要考查等差数列的性质． 　5．（5 分）不等式 ＞0 的解集为（　　） A．{x|x＜﹣2，或 x＞3} C．{x|﹣2＜x＜1，或 x＞3} B．{x|x＜﹣2，或 1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜1，或 1＜x＜3} 【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】解 ，可转化成 f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解． ⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0 【解答】解： ⇔利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1 或 x＞3， 故选：C． 【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础 题． 　6．（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若 每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （　　） 第 7 页（共 24 页） A．12 种 B．18 种 C．36 种 D．54 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题是一个分步计数问题，首先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不 2同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C4 ，余下放入最后一个 信封，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， ∵先从 3 个信封中选一个放 1，2，有 =3 种不同的选法；根据分组公式，其他 四封信放入两个信封，每个信封两个有 =6 种放法， ∴共有 3×6×1=18． 故选：B． 【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的 关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两 个步骤，先平均分组，再排列． 　7．（5 分）为了得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin（2x+ ）的图象（　　） A．向左平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】1：常规题型． 【分析】先将 2 提出来，再由左加右减的原则进行平移即可． 【解答】解：y=sin（2x+ ）=sin2（x+ ），y=sin（2x﹣ ）=sin2（x﹣ ），第 8 页（共 24 页） 所以将 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个长度单位得到y=sin（2x﹣ ）的 图象， 故选：B． 【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的 x 来说的． 　8．（5 分）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1 ，| |=2，则 =（　　） A． +B． +C． +D． +【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有 【分析】由△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，根据三角形内角平分线 定理，我们易得到 即可得到答案． ，我们将 后，将各向量用 ， 表示， 【解答】解：∵CD 为角平分线， ∴，∵∴，，∴故选：B． 【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定 理，即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线，则 AB：AC=BD：CD 　9．（5 分）已知正四棱锥 S﹣ABCD 中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时， 它的高为（　　） A．1 B． C．2 D．3 第 9 页（共 24 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得 最大值时，高的值． 【解答】解：设底面边长为 a，则高 h= V= a2h= =，所以体积 ，设 y=12a4﹣ a6，则 y′=48a3﹣3a5，当 y 取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得 a=0 或 a=4 时，当 a=4 时，体积最大， 此时 h= =2， 故选：C． 【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中 档题． 　10．（5 分）若曲线 y= 的面积为 18，则 a=（　　） A．64 B．32 在点（a， ）处的切线与两个坐标围成的三角形 C．16 D．8 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】欲求参数 a 值，必须求出在点（a， ）处的切线方程，只须求出其 斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=a 处的导函数值，再结合导数的几何 意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结 合三角形的面积公式．从而问题解决． 【解答】解：y′=﹣ ，∴k=﹣ ，第 10 页（共 24 页） 切线方程是 y﹣ 令 x=0，y= =﹣ （x﹣a）， ，令 y=0，x=3a， ∴三角形的面积是 s= •3a• =18， 解得 a=64． 故选：A． 【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的 面积公式，考查考生的计算能力． 　11．（5 分）与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点（　　） A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无数个 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】由于点 D、B1 显然满足要求，猜想 B1D 上任一点都满足要求，然后想 办法证明结论． 【解答】解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 上建立如图所示空间直角坐标系， 并设该正方体的棱长为 1，连接 B1D，并在 B1D 上任取一点 P， 因为 =（1，1，1）， 所以设 P（a，a，a），其中 0≤a≤1． 作 PE⊥平面 A1D，垂足为 E，再作 EF⊥A1D1，垂足为 F， 则 PF 是点 P 到直线 A1D1 的距离． 所以 PF= ；同理点 P 到直线 AB、CC1 的距离也是 ．所以 B1D 上任一点与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线 第 11 页（共 24 页） 的距离都相等， 所以与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的 点有无数个． 故选：D． 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法． 　12．（5 分）已知椭圆 T： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F 且 斜率为 k（k＞0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据 率设 求得 y1 和 y2 关系根据离心 ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x，根据韦达 定理表示出 y1+y2 和 y1y2，进而根据 y1 和 y2 关系求得 k． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵∵，∴y1=﹣3y2， ，设 ，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线 AB 方程为 ，代入①中消去 x，可得 ，第 12 页（共 24 页） ∴，，解得 ，故选：B． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强， 要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识 的运用． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）已知 a 是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣ ，则 tanα=　． 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据诱导公式 tan（π+α）=tanα 得到 tan2α，然后利用公式 tan（α+β） =求出 tanα，因为 α 为第二象限的角，判断取值即可． 【解答】解：由 tan（π+2a）=﹣ 得 tan2a=﹣ ，又 tan2a= =﹣ ， 解得 tana=﹣ 或 tana=2， 又 a 是第二象限的角，所以 tana=﹣ ． 故答案为： ．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程， 考查考生的计算能力． 　14．（5 分）若（x﹣ ）9 的展开式中 x3 的系数是﹣84，则 a=　1　． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 3 得展开式中 第 13 页（共 24 页） x3 的系数，列出方程解得． r【解答】解： 展开式的通项为 =（﹣a）rC9 x9﹣2r 令 9﹣2r=3 得 r=3 3∴展开式中 x3 的系数是 C9 （﹣a）3=﹣84a3=﹣84， ∴a=1． 故答案为 1 【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法． 　15．（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=　2　． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3×2+（﹣6﹣2p）x+3=0， 进而根据 ，可知M 为 A、B 的中点， 可得 p 的关系式，解方程即可求得 p． 【解答】解：设直线 AB： ，代入 y2=2px 得 3×2+（﹣6﹣2p）x+3=0， 又∵ ，即 M 为 A、B 的中点， ∴xB+（﹣ ）=2，即 xB=2+ ， 得 p2+4P﹣12=0， 解得 p=2，p=﹣6（舍去） 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题． 　16．（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=　3　． 第 14 页（共 24 页） 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三 角形 MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可 解得． 【解答】解法一：∵ON=3，球半径为 4， ∴小圆 N 的半径为 ，∵小圆 N 中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB， ∴NE= ，同理可得 ∵NE= ，ON=3， ，在直角三角形 ONE 中， ∴，，∴∴MN=3． 故填：3． 解法二：如下图：设 AB 的中点为 C，则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E，因为 OM=ON=3， 故小圆半径 NB 为 C 为 AB 中点，故 CB=2；所以 NC= ，∵△ONC 为直角三角形，NE 为△ONC 斜边上的高，OC= ∴MN=2EN=2•CN• =2× ×=3 第 15 页（共 24 页） 故填：3． 【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基 础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）△ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC= ， 求 AD． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【分析】先由 cos∠ADC= 确定角 ADC 的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B 所以可求 其正弦值，最后由正弦定理可得答案． 【解答】解：由 cos∠ADC= ＞0，则∠ADC＜ ，又由知 B＜∠ADC 可得 B＜ 由 sinB= ，可得 cosB= ，，又由 cos∠ADC= ，可得 sin∠ADC= ． 从 而sin ∠ BAD=sin （ ∠ ADC﹣B ） =sin ∠ ADCcosB﹣cos ∠ ADCsinB= =．由正弦定理得 ，第 16 页（共 24 页） 所以 AD= =．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试 题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题， 估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知 条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化． 　18．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=（n2+n）•3n． （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）证明： ++…+ ＞3n． 【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）由题意知 ，由此可知答案． （2）由题意知， ==，由此 可知，当 n≥1 时， ．【解答】解：（1），所以 = ； 第 17 页（共 24 页） （2）当 n=1 时， ；当 n＞1 时， ===所以，n≥1 时， ．【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用． 　19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1 的中 点，E 为 AB1 上的一点，AE=3EB1． （Ⅰ）证明：DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°，求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小． 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）欲证 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线，即证 DE 与异面直线 AB1 与 CD 垂直相交即可； （2）将 AB1 平移到 DG，故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角，作 HK⊥AC1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角，在三角形 B1KH 中求出此角即可． 第 18 页（共 24 页） 【解答】解：（1）连接 A1B，记 A1B 与 AB1 的交点为 F． 因为面 AA1BB1 为正方形，故 A1B⊥AB1，且 AF=FB1， 又 AE=3EB1，所以 FE=EB1， 又 D 为 BB1 的中点， 故 DE∥BF，DE⊥AB1． 作 CG⊥AB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点． 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B．连接 DG，则 DG∥AB1， 故 DE⊥DG，由三垂线定理，得 DE⊥CD． 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线． （2）因为 DG∥AB1，故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角，∠CDG=45° 设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= ．作 B1H⊥A1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1，故 B1H⊥面 AA1C1C．又 作 HK⊥AC1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角． B1H= ，C1H= ，AC1= ，HK= tan∠B1KH= ，∴二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小为 arctan ．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想 象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的 热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角 的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡 化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变 得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处． 第 19 页（共 24 页） 　20．（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4， 电流能通过 T1，T2，T3 的概率都是 P，电流能通过 T4 的概率是 0.9，电流能否 通过各元件相互独立．已知 T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 ．（Ⅰ）求 P； （Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的 概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1，T2，T3 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p． （Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，根据电路图，可得 B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代 入数据计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过 Ti 为事件 Ai，i=1、2、3、4， A 表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流， 易得 A1，A2，A3 相互独立，且 ，P（ ）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001， 计算可得，p=0.9； （Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过， 有 B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3， 则 P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3） 第 20 页（共 24 页） =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891． 【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先 明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算． 　21．（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 相交 于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1，3）． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|•|BF|=17，证明：过 A、B、D 三 点的圆与 x 轴相切． 【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线 的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a ，b 的关系式即求得离心率． （Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含 a 的代数式表示，即可求得 a，则 A 点坐标可得（1，0），由于 A 在 x 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：y=x+2，代入 C 的方程，并化简， 得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0， 设 B（x1，y1），D（x2，y2），则 由 M（1，3）为 BD 的中点知 ，，① ．故故，即 b2=3a2，② ，第 21 页（共 24 页） ∴C 的离心率 ．（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：3×2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0）， ．故不妨设 x1≤﹣a，x2≥a， ，，|BF|•|FD|=（a﹣2×1）（2×2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8． 又|BF|•|FD|=17，故 5a2+4a+8=17． 解得 a=1，或 （舍去）， 故=6， 连接 MA，则由 A（1，0），M（1，3）知|MA|=3， 从而 MA=MB=MD，且 MA⊥x 轴， 因此以 M 为圆心，MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点，且在点 A 处与 x 轴相切， 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切． 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决 问题的能力． 　22．（12 分）设函数 f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当 x＞﹣1 时，f（x）≥ ；（Ⅱ）设当 x≥0 时，f（x）≤ ，求 a 的取值范围． 第 22 页（共 24 页） 【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）将函数 f（x）的解析式代入 f（x）≥ 整理成 ex≥1+x，组成新 函数 g（x）=ex﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g（x） 的最小值 g（0），进而 g（x）≥g（0）可得证． （2）先确定函数 f（x）的取值范围，然后对 a 分 a＜0 和 a≥0 两种情况进行讨 论．当 a＜0 时根据 x 的范围可直接得到 f（x）≤ 不成立；当 a≥0 时， 令 h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数 h（x）进行求导，根据导函数判 断单调性并求出最值，求 a 的范围． 【解答】解：（1）当 x＞﹣1 时，f（x）≥ 令 g（x）=ex﹣x﹣1，则 g’（x）=ex﹣1 当且仅当 ex≥1+x 当 x≥0 时 g’（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数 当 x≤0 时 g’（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数 于是 g（x）在 x=0 处达到最小值，因而当 x∈R 时，g（x）≥g（0）时，即 ex≥1+x 所以当 x＞﹣1 时，f（x）≥ （2）由题意 x≥0，此时 f（x）≥0 当 a＜0 时，若 x＞﹣ ，则 当 a≥0 时，令 h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则 f（x）≤ 当且仅当h（x）≤0 ＜0，f（x）≤ 不成立； 因为 f（x）=1﹣e﹣x，所以 h’（x）=af（x）+axf’（x）+f’（x）﹣1=af（x）﹣axf（ x）+ax﹣f（x） （i）当 0≤a≤ 时，由（1）知 x≤（x+1）f（x） h’（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x） 第 23 页（共 24 页） =（2a﹣1）f（x）≤0， h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即 f（x）≤ （ii）当 a＞ 时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x， ；y′=1﹣e﹣x，x＞0 时，函数 y 递增；x＜0，函数 y 递减． 可得 x=0 处函数 y 取得最小值 0，即有 x≥f（x）． h’（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（ 2a﹣1﹣ax）f（x） 当 0＜x＜ f（x）＞ 时，h’（x）＞0，所以 h’（x）＞0，所以 h（x）＞h（0）=0，即 综上，a 的取值范围是[0， ] 【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用 知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题 的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求 考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算 能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用 导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论， 这也是难点之所在． 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