2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）下载

2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设 z= A．﹣1+3i ，则 z 的共轭复数为（　　） B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 2．（5 分）设集合 M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则 M∩N=（　　） A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0] 3．（5 分）设 a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5 分）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（　　） A．2 B． C．1 D． 5．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 6．（5 分）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率 为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方 程为（　　） A． =1 7．（5 分）曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A．2e B．e C．2 D．1 +B． +y2=1 C． +=1 D． +=1 8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（　　） A． B．16π C．9π D． 9．（5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，则 cos∠AF2F1=（　　） 第 1 页（共 23 页） A． B． C． D． 10．（5 分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前 8 项和等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（5 分）已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C∈l ，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称， 则 y=f（x）的反函数是（　　） A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13．（5 分） 的展开式中 x2y2 的系数为　 　．（用数字作答） 14．（5 分）设 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为　 　． 15．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为（1，3）， 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于　． 16．（5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ ，）是减函数，则 a 的取 值范围是　 　． 　三、解答题 17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA ，tanA= ，求 B． 第 2 页（共 23 页） 18．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1=13，a2 为整数，且 Sn≤S4 ．（1）求{an}的通项公式； （2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2． （Ⅰ）证明：AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小． 20．（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望． 第 3 页（共 23 页） 21．（12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交 点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M 、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 22．（12 分）函数 f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）． ＜an≤ （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a1=1，an+1=ln（an+1），证明： （n∈N*）． 　第 4 页（共 23 页） 2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设 z= A．﹣1+3i ，则 z 的共轭复数为（　　） B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【考点】A1：虚数单位 i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则 z 的共轭可求． 【解答】解：∵z= =，∴．故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题 ．　2．（5 分）设集合 M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则 M∩N=（　　） A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求解一元二次不等式化简集合 M，然后直接利用交集运算求解． 【解答】解：由 x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4． ∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}， 又 N={x|0≤x≤5}， ∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）． 第 5 页（共 23 页） 故选：B． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 　3．（5 分）设 a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】可得 b=sin35°，易得 b＞a，c=tan35°= ＞sin35°，综合可得． 【解答】解：由诱导公式可得 b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知 b＞a， 而 c=tan35°= ＞sin35°=b， ∴c＞b＞a 故选：C． 【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性， 属基础题． 　4．（5 分）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=（　　） A．2 B． C．1 D． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（ + ）• =0，（2 + ）• =0， 由此求得| |． 【解答】解：由题意可得，（ + ）• = +=1+ =0，∴ =﹣1； 第 6 页（共 23 页） （2 + ）• =2 则| |= 故选：B． +=﹣2+ =0，∴b2=2， ，【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等 于零，属于基础题． 　5．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中 选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算 可得答案． 2【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C6 =15 种选法， 1再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C5 =5 种选法， 则不同的选法共有 15×5=75 种； 故选：C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 　6．（5 分）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率 为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方 程为（　　） A． =1 +B． +y2=1 C． +=1 D． +=1 第 7 页（共 23 页） 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF1B 的周长为 4 ，求出 a= ，根据离心率为 ，可得c=1， 求出 b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B 的周长为 4 ，∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4 ∴a= ，，∵离心率为 ，∴，c=1， ∴b= =，∴椭圆 C 的方程为 故选：A． +=1． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能 力，属于基础题． 　7．（5 分）曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A．2e B．e C．2 D．1 【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为 f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1 当 x=1 时，f′（1）=2， ，即曲线 y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率 k=f′（1）=2， 故选：C． 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键， 比较基础． 　8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（　　） A． B．16π C．9π D． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，记为 O，求出 PO1 ，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为 R，则 ∵棱锥的高为 4，底面边长为 2， ∴R2=（4﹣R）2+（ ）2， ∴R= ， ∴球的表面积为 4π•（ ）2= 故选：A． ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题 ．　9．（5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，则 cos∠AF2F1=（　　） A． B． C． D． 第 9 页（共 23 页） 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线 C 的离心率为 2， ∴e= ，即 c=2a， 点 A 在双曲线上， 则|F1A|﹣|F2A|=2a， 又|F1A|=2|F2A|， ∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c， 则由余弦定理得cos ∠AF2F1= ==．故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解 决本题的关键，考查学生的计算能力． 　10．（5 分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前 8 项和等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性 质即可得出． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5， ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10． ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1a2•…•a8） 第 10 页（共 23 页） =4lg10 =4． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题． 　11．（5 分）已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C∈l ，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角， 利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案． 【解答】解：如图，过 A 点做 AE⊥l，使 BE⊥β，垂足为 E，过点 A 做 AF∥CD， 过点 E 做 EF⊥AE，连接 BF， ∵AE⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45° 在 Rt△BEA 中，设 AE=a，则 AB=2a，BE= a， 在 Rt△AEF 中，则 EF=a，AF= a， 在 Rt△BEF 中，则 BF=2a， ∴异面直线 AB 与 CD 所成的角即是∠BAF， ∴cos∠BAF= ==．第 11 页（共 23 页） 故选：B． 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面 角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题． 　12．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称， 则 y=f（x）的反函数是（　　） A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】设 P（x，y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则 P 关于 y=x 的 对称点 P′（y，x）一点在 y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线 x+y=0 的对 称点 P″（﹣x，﹣y）在 y=g（x）图象上，代入解析式变形可得． 【解答】解：设 P（x，y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点， 则 P 关于 y=x 的对称点 P′（y，x）一点在 y=f（x）的图象上， 又∵函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称， ∴P′（y，x）关于直线 x+y=0 的对称点 P″（﹣x，﹣y）在 y=g（x）图象上， ∴必有﹣y=g（﹣x），即 y=﹣g（﹣x） ∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x） 故选：D． 【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题． 　第 12 页（共 23 页） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13．（5 分） 的展开式中 x2y2 的系数为　70　．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5P：二项式定理． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x、y 的幂指数都等于 2，求得 r 的值，即可求得展开式中 x2y2 的系数． 【解答】解： 的展开式的通项公式为 Tr+1= •（﹣1）r• •=•（﹣1）r• •，令 8﹣ =﹣4=2，求得 r=4， 故展开式中 x2y2 的系数为 故答案为：70． =70， 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的 通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 　14．（5 分）设 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为　5　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最 优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 第 13 页（共 23 页） 联立 ，解得 C（1，1）． 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得 ．由图可知，当直线 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大． 此时 zmax=1+4×1=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 ．　15．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为（1，3）， 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于　． 【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部，由直 角三角形中的边角关系求得 sinθ= tan2θ= ，计算求得结果． 的值，可得 cosθ、tanθ 的值，再根据 【解答】解：设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= =，，∴sinθ= ∴cosθ= =，，tanθ= = ， 第 14 页（共 23 页） ∴tan2θ= == ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三 角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 　16．（5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ 值范围是　（﹣∞，2]　． ，）是减函数，则 a 的取 【考点】HM：复合三角函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令 t=sinx 换元，根据给出的 x 的 范围求出 t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求 解 a 的范围． 【解答】解：由 f（x）=cos2x+asinx =﹣2sin2x+asinx+1， 令 t=sinx， 则原函数化为 y=﹣2t2+at+1． ∵x∈（ ，）时 f（x）为减函数， 则 y=﹣2t2+at+1 在 t∈（ ，1）上为减函数， ∵y=﹣2t2+at+1 的图象开口向下，且对称轴方程为 t= ． ∴，解得：a≤2． ∴a 的取值范围是（﹣∞，2]． 故答案为：（﹣∞，2]． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减 函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题． 第 15 页（共 23 页） 　三、解答题 17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA ，tanA= ，求 B． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同 角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C ）即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA= ， ∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B= 【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公 式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属 于中档题． 　18．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1=13，a2 为整数，且 Sn≤S4 ．（1）求{an}的通项公式； （2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 第 16 页（共 23 页） 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）通过 Sn≤S4 得 a4≥0，a5≤0，利用 a1=13、a2 为整数可得 d=﹣4， 进而可得结论； （2）通过 an=13﹣3n，分离分母可得 bn= （ ﹣），并项相加即可． 【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由 Sn≤S4 得： a4≥0，a5≤0， 又∵a1=13， ∴，解得﹣ ≤d≤﹣ ，∵a2 为整数，∴d=﹣4， ∴{an}的通项为：an=17﹣4n； （2）∵an=17﹣4n， ∴bn= ==﹣ （ ﹣）， 于是 Tn=b1+b2+……+bn =﹣ [（ =﹣ （ =﹣）+（ ﹣）+……+（ ﹣）] ﹣）．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累 ，属于中档题． 　19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2． （Ⅰ）证明：AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小． 第 17 页（共 23 页） 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得； （Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角 函数可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面 ABC，A1D⊂平面 AA1C1C， ∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC ∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C， 由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥A1C， 又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C， ∴AC1⊥平面 A1BC，AB1⊂平面 A1BC， ∴AC1⊥A1B； （Ⅱ）∵BC⊥平面 AA1C1C，BC⊂平面 BCC1B1， ∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1， 作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面 BCC1B1， 又直线 AA1∥平面 BCC1B1， ∴A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离，即 A1E= ，∵A1C 为∠ACC1 的平分线，∴A1D=A1E= 作 DF⊥AB，F 为垂足，连结 A1F， 又可得 AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1， ∴AB⊥平面 A1DF，∵A1F⊂平面 A1DF ∴A1F⊥AB， ，第 18 页（共 23 页） ∴∠A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣C 的平面角， 由 AD= =1 可知 D 为 AC 中点， ∴DF= ==，，∴tan∠A1FD= ∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan 【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键 ，属中档题． 　20．（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机 变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】记 Ai 表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B 表示事 件：甲需要设备，C 表示事件，丁需要设备，D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备 （Ⅰ）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加， 即得所求． （Ⅱ）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PXi，再利用数学期望公式计算 第 19 页（共 23 页） 即可． 【解答】解：由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6× 0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31． （Ⅱ）X 的可能取值为 0，1，2，3，4 P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06 P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52× （1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06， P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25， P （ X=2 ） =1﹣P （ X=0 ） ﹣P （ X=1 ） ﹣P （ X=3 ） ﹣P （ X=4 ） =1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38． 故数学期望 EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2 【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件， 计算要有耐心，属于难题． 　21．（12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交 点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M 、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程 ，求得 x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程． 第 20 页（共 23 页） （Ⅱ）设 l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、 中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线 l′的方程代入抛物线方程化简， 利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线 C：y2=2px （p＞0）， 可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴|PQ|= ． 又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|， ∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故 C 的方程为 y2=4x． （Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点 F（1，0）， 设 l 的方程为 x=my+1（m≠0）， 代入抛物线方程可得 y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m， y1•y2=﹣4． ∴AB 的 中 点 坐 标 为D （ 2m2+1 ， 2m ） ， 弦 长 |AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）． 又直线 l′的斜率为﹣m，∴直线 l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3． 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两 点， 把线 l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3•y4=﹣4 （2m2+3）． 故线段 MN 的中点 E 的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，∵MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|， 第 21 页（共 23 页） ∴+DE2= MN2， ∴ 4 （ m2+1 ） 2 + m2﹣1=0， += × ， 化 简 可 得 ∴m=±1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用 ，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 　22．（12 分）函数 f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a1=1，an+1=ln（an+1），证明： ＜an≤ （n∈N*）． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论 a 的取值范围，即可得到 f（x）的单调 性； （Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式． 【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）= ，①当 1＜a＜2 时，若 x∈（﹣1，a2﹣2a），则 f′（x）＞0，此时函数 f（x）在（﹣1 ，a2﹣2a）上是增函数， 若 x∈（a2﹣2a，0），则 f′（x）＜0，此时函数 f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函 数， 若 x∈（0，+∞），则 f′（x）＞0，此时函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数． ②当 a=2 时，f′（x）≥0，此时函数 f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数， 第 22 页（共 23 页） ③当 a＞2 时，若 x∈（﹣1，0），则 f′（x）＞0，此时函数 f（x）在（﹣1，0） 上是增函数， 若 x∈（0，a2﹣2a），则 f′（x）＜0，此时函数 f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函 数， 若 x∈（a2﹣2a，+∞），则 f′（x）＞0，此时函数 f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是 增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a=2 时，此时函数 f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数， 当 x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0， 即 ln（x+1）＞ ，（x＞0）， 又由（Ⅰ）知，当 a=3 时，f（x）在（0，3）上是减函数， 当 x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，下面用数学归纳法进行证明 ＜an≤ 成立， ①当 n=1 时，由已知 ，故结论成立． ②假设当 n=k 时结论成立，即 ，）则当 n=k+1 时，an+1=ln（an+1）＞ln（ ，ak+1=ln（ak+1）＜ln（ 即当 n=k+1 时， ），成立， 综上由①②可知，对任何 n∈N•结论都成立． 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明 不等式，综合性较强，难度较大． 第 23 页（共 23 页）