2008年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）下载

第 1 页共 24 页绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 得分评卷人一. 填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．不等式 x 1 1的解集是 2．若集合 A  x x 2 B  3．若复数满足z  i(2  z) 4．若函数 f (x) 的反函数为 .、x x a 是虚数单位），则 1 (x)  log2 x ，则 f ( x)  满足 A  B  2，则实数 a=.z（iz=.f.π5．若向量 a、b满足 a 1 ，b  2 ，且 a与b的夹角为，则a  b =.36．若直线 ax  y 1 0 经过抛物线 y2  4x 的焦点，则实数 a  7．若是实系数方程 x2  2x  p  0 的一个虚根，且 z  2 ，则 p  8．在平面直角坐标系中，从五个点： A(0, 0)B( 2, 0)C(1,1) .z.、、、D(0, 2) 、 E( 2, 2) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）. 9．若函数 f (x)  ( x  a )(bx  2a ) (常数a、bR ) 是偶函数，且它的值域为  , 4 则该函数的解析式 f (x)  ，.10．已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， a ，b ，12，13.7，18.3，20，第 1 页共 24 页第 2 页共 24 页且总体的中位数为10.5 . 若要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别是 .11．在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）. 如果 P( x, y ) 是△ ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当 w  xy 取到最大值时，点 P的坐标是 .二. 选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．得分评卷人 x2 y2 12. 设 P是椭圆 1上的点. 若 F1 、F2 是椭圆的两个焦点，则 PF  PF2 等于 125 16 [答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. 与平面 (D) 10. 13. 给定空间中的直线 l及平面 . 条件“直线 l内两条相交直线都垂直”是“直 [答] ( 线l与平面垂直”的 )(A) 充分非必要条件. (C) 充要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 314. 若数列 an 是首项为 1，公比为 a  的无穷等比数列，且 an 各项的和为 a ，则 a 2的值是 [答] ( )15(A) 1. (B) 2. (C) .(D) .2415. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x轴的正半轴、 y轴的正半轴分别相切于点 C、 D 的定圆所围成的区域（含边界）， A、B、C、D 是该 圆的四等分点. 若点 P( x, y ) 、点 Px , y 满足 x  x 且y  y ，则称 P优于 P. 如果 中的点 Q满足：不存在 中的其它点优于Q，那么所有这样的点 AB QBC 组成的集合是劣弧 [答] ( DA .)CD (A) .(B) .(C) .(D) 三. 解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．第 2 页共 24 页第 3 页共 24 页 16.（本题满分 12 分）得分评卷人如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E是BC1 的中点. 求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解] 第 3 页共 24 页第 4 页共 24 页 17.（本题满分 13 分）得分评卷人如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC . 小区的两个出入口设置在点区里有两条笔直的小路 AD DC ，且拐弯处的转角为 120°. 已知某人从了 10 分钟，从 DA 走到 A及点 C 处. 小、C沿CD 走到 D 用 D沿A用了 6 分钟. 若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径OA 的长（精确到 1 米）. [解] 第 4 页共 24 页第 5 页共 24 页 18.（本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，得分评卷人第 2 小题满分 10 分． π已知函数 f (x)  sin 2x, g(x)  cos 2x  ，直线 x  t (t R ) 与函数 f (x) 、 g(x) 的 6图像分别交于 M、N 两点. π（1）当t  时，求 | MN | 的值； 4π（2）求 | MN | [解]（1）在t  0, 时的最大值. 2（2）第 5 页共 24 页第 6 页共 24 页得分评卷人 19.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分． 12|x| 已知函数 f (x)  2x  （1）若 f (x)  2 ，求 .x的值；（2）若 2t f (2t)  mf (t)  0 对于t [1, 2]恒成立，求实数 [解] （1） m 的取值范围. （2）第 6 页共 24 页第 7 页共 24 页 20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 得分评卷人分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 7 分． x2 已知双曲线C : （1）求双曲线  y2 1 .2C的渐近线方程；（2）已知点   MP  MQ . 求（3）已知点 D、E、M 的坐标分别为 (  2, 1)、( 2,1)、(0, 1) 第一象限内的点. 记为经过原点与点的直线，为△DEM 截直线表示为直线的斜率的函数. [解]（1） M的坐标为 (0, 1). 设 P 是双曲线C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点. 记 的取值范围；，P为双曲线 C 上在 lPsl 所得线段的长. 试将 slk第 7 页共 24 页第 8 页共 24 页（2）（3）第 8 页共 24 页第 9 页共 24 页 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，得分评卷人第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．已知数列 an ： a1 1， a2  2， a3  r ， an3  an  2 （ n 是正整数），与数列 第 9 页共 24 页第 10 页共 24 页 bn ：b1 1 ，b2  0 ，b3  1 ，b4  0，bn4  bn （ n 是正整数）. 记 Tn  b1a1  b2a2  b3a3   bn an .（1）若 a1  a2  a3   a12  64 ，求（2）求证：当是正整数时，T12n  4n （3）已知 r  0 ，且存在正整数，使得在 T12m1, T12m2 ,  100. 求的值，并指出哪4 项为 100. r 的值； n；m， T12m12 中有 4 项为 r[解] (1) [证明]（2） [解]（3）第 10 页共 24 页第 11 页共 24 页 2008 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第 1 题至第 11 题） 1. (0, 2) 5. .2. 2.3. 1 7. i.4. 2x ( xR ) .47.6. 1 .4.8. .5529.  2×2  4 二、（第 12 题至第 15 题） .10. a 10.5, b 10.5 .11. , 5 .题代号号12 D13 C14 B15 D三、（第 16 题至第 21 题） 16．[解] 过 E作EF  BC ，交 BC 于 F ，连接 DF . EF  平面ABCD ， EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. …… 4 分 1由题意，得 EF  CC1 1 .21 CF  CB 1 , DF  5 .…… 8 分 2EF DF 5 EF  DF ， tan EDF  .…… 10 分 5第 11 页共 24 页第 12 页共 24 页 5故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan .…… 12 分 517. [解法一] 设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得 CD =500（米）， DA =300（米）， CDO  60 .…… 4 分 …… 6 分 …… 9 分在△CDO 中，CD2  OD2  2 CD OD  cos60  OC2 ，1即5002  (r  300)2  2 500 (r  300)  r2 ,24900 解得 r   445 （米）. 11 答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米. [解法二] 连接 AC ，作OH  AC ，交 AC …… 13 分 …… 2 分于H.由题意，得CD =500（米）， AD =300（米）， CDA 120 .…… 4 分在△ ACD 中， AC2  CD2  AD2  2 CD  AD  cos120 1 5002  3002  2 500 300  7002 ，2AC  700 （米）， …… 6 分 AC2  AD2  CD2 11 cosCAD  .…… 9 分 2  AC  AD 14 11 14 在直角△ HAO 中， AH  350 （米）， cosHAO  ，AH 4900 11 OA   445 （米）. cosHAO 答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米. …… 13 分 …… 2 分 πππ18. [解] （1）| MN | sin 2  cos 2 4462π 3 1 cos .…… 5 分 32π（2） | MN |  sin 2t  cos 2t  6323sin 2t  cos 2t …… 8 分 2第 12 页共 24 页第 13 页共 24 页 π 3 sin2t  .…… 11 分 …… 13 分 6ππππt  0, ，2t   , π  ，2666| MN | 的最大值为 3.…… 15 分 …… 2 分 12x 19. [解] （1）当 x  0时， f (x)  0 ；当 x  0时， f (x)  2x  .12x 由条件可知 2x  解得 2x 1 2  2 ，即 22x  2  2x 1 0 ，.…… 6 分 …… 8 分  2x  0 ， x  log2 1 2 .122t 12t （2）当t [1, 2]时， 2t 22t  m 2t   0 ，…… 10 分 即m22t 1   24t 1 . 22t 1 0 ，m   22t 1 .…… 13 分 …… 16 分  t [1, 2],  1 22t [ 17,  5] ，故m的取值范围是[  5,  ) .2220. [解]（1）所求渐近线方程为 y  x  0, y  x  0 .…… 3 分 …… 4 分 22（2）设 P的坐标为 x0 , y0 ，则 Q的坐标为  x0 ,  y0 .   MP  MQ  x0 , y0 1  x0 ,  y0 1 3 x02  y02 1  x02  2 .…… 7 分 2x0  2 的取值范围是为双曲线 , , 1 .…… 9 分（3）若 PC 上第一象限内的点，第 13 页共 24 页第 14 页共 24 页 2则直线 l的斜率 k  0, .…… 11 分 2122由计算可得，当 k  0, 时， s(k)  1 k 2 ；1 k 2 1222k 1 k  k 2 当k  ,时， s(k)  1 k 2 .…… 15 分 2 s 表示为直线 l的斜率 k的函数是 211 k 2 , 1 k 2 , 0  k   k  ,2221 k 2k 1 s(k)  …… 16 分 1.222k  k 21. [解]（1） a1  a2  a3   a12 1 2  r  3  4  (r  2)  5  6  (r  4)  7  8  (r  6)  48  4r .…… 2 分 …… 4 分  48  4r  64 ， r  4 . [证明]（2）用数学归纳法证明：当 nZ 时， T12n  4n .① 当n 1时，T12  a1  a3  a5  a7  a9  a11  4 ，等式成立. …… 6 分 ② 假设n  k 时等式成立，即T12k  4k 那么当 n  k 1时，，T12(k1)  T12k  a12k1  a12k3  a12k5  a12k7  a12k9  a12k11 …… 8 分  4k  (8k 1)  (8k  r)  (8k  4)  (8k  5)  (8k  r  4)  (8k  8)  4k  4  4(k 1) ，等式也成立. 根据①和②可以断定：当 nZ 时，T12n  4n [解]（3）T12m  4m m 1). n 12m 1, 12m  2时，Tn  4m 1 .…… 10 分 (当当；n 12m  3, 12m  4 时，Tn  4m 1 r ；第 14 页共 24 页第 15 页共 24 页当当当当n 12m  5, 12m  6 时，Tn  4m  5  r ； n 12m  7, 12m  8 时，Tn  4m  r n 12m  9, 12m 10时，Tn  4m  4 ；；n 12m 11, 12m 12 时，Tn  4m  4 .…… 13 分 4m 1是奇数，  4m 1 r 这些项均不可能取到 100. ， 4m  r ， 4m  4均为负数， …… 15 分 …… 18 分 4m  5  r  4m  4 100 ，解得 m  24 ，r 1，此时T293 , T294 , T297 , T298 为 100. 1．不等式 x 1＜1的解集是　　　　　．【答案】 (0,2) 【解析】由 1 x 11 0  x  2 .2．若集合 A  x | x≤2 ，B  x | x≥a 满足 A B {2}，则实数 a= ．【答案】 2【解析】由 A  B {2} A,B 只有一个公共元素 2  a  2 .3．若复数 z 满足 z  i(2  z) (i 是虚数单位)，则 z= 【答案】1 i ．2i 2i(1i) 【解析】由 z  i(2  z)  z  1 i .1 i (1 i)(1i) 4．若函数 f (x) 的反函数为 f 1(x)  log2 x ，则 f (x)  【答案】 2x x R ．【解析】令 y  log2 x(x  0), 则且y R 且x  2y , f (x)  2x x R .     35．若向量 a，b满足 a 1，b  2 a 与b 的夹角为，则a  b  　　　　．第 15 页共 24 页第 16 页共 24 页【答案】 7         【解析】|ab|2(ab)(ab) aabb2ab     3| a |2  | b |2 2 | a || b | cos 7 | a  b | 7. 6．若直线 ax  y 1 0 经过抛物线 y2  4x 的焦点，则实数 a 　　　　　．【答案】-1 【解析】直线 ax  y 1 0 经过抛物线 y2  4x 的焦点 F(1,0), 是实系数方程 x2  2x  p  0的一个虚根，且 z  2，则 p  【答案】4 则a 1 0a  1. 7．若 z．【解析】设 z  a  bi ,则方程的另一个根为 z  a bi ,且 z  2  a2  b2  2 ，由韦达定理直线 z  z  2a  2,a  1,b2  3,b  3, 所以 p  z  z  (1 3i)(1 3i)  4. 8．在平面直角坐标系中，从五个点： A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　　（结果用分数表示）． 4【答案】 5【解析】由已知得 A、C、E三点共线, B、C、D 三点共线, C33 2 C53 45所以五点中任选三点能构成三角形的概率为  . 9．若函数 f (x)  (x  a)(bx  2a) （常数 a，bR ）是偶函数，且它的值域为 ，4 ，则该函数的解析式 f (x)  【答案】 2×2  4 ．【解析】 f (x)  (x  a)(bx  2a)  bx2  (2a  ab)x  2a2 是偶函数，则其图象关于 y 轴对称, 2a  ab  0  b  2,  f (x)  2×2  2a2 , 且值域为 ，4 ，2a2  4,  f (x)  2×2  4. 第 16 页共 24 页第 17 页共 24 页 10．已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5．若要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别　　　　．【答案】 a 10.5,b 10.5 【解析】中位数为 10.5 a  b  21, 根据均值不等式知，只需 a  b 10.5时，总体方差最小. 11．在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为 (0，1)，(4，2)，(2，6) ．如果 P(x，y) 是是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当  xy 取到最大值时，点 P 的坐标．5【答案】 ,5 2【解析】作图知  xy 取到最大值时，点 P 在线段 BC 上, BC : y  2x 10, x[2,4], 5  xy  x(2x 10), 故当 x  , y  5 时, 取到最大值. 2二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． x2 y2 12．设 p是椭圆 1上的点．若 F，F2 是椭圆的两个焦点， 125 16 则PF  PF2 等于（）1A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由椭圆的第一定义知 PF  PF2  2a 10. 113．给定空间中的直线 l 及平面是“直线 l 与平面垂直”的（　　　）Ａ．充分非必要条件　　　　　　　　Ｂ．必要非充分条件 ．条件“直线 l 与平面 内两条相交直线都垂直” C．充要条件　　　　　　　　　　　Ｄ．既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】“直线 l 与平面 内两条相交直线都垂直” “直线 l 与平面 垂直”. 第 17 页共 24 页第 18 页共 24 页 314．若数列 a是首项为 1，公比为 a  的无穷等比数列，且 a各项的和为 a，     nn2则a的值是（　　）Ｂ．2 1254Ａ．1 Ｃ．Ｄ．【答案】B 1a  1a1 a  或a  2 3S  1 a  21 q 【解析】由  a  2 . 21523 a  | q |1 | a  |1 2 215．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D 是该圆的四等分点．若点 P(x，y) 、  点P (x，y ) 满足 x  x 且y  y ，则称 P 优于 P．如果 中的点 Q满足：不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧（　 D　　） Ａ． AB 　　B． BC C．CD D． DA 【答案】 D的左上方, 【解析】由题意知，若 P 优于 P,则 P 在 PyA当 Q 在 DA 上时, 左上的点不在圆上, B不存在其它优于 Q 的点, DxQ 组成的集合是劣弧 DA .OC三、解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分 12 分) 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A B C1D 中，E 是 BC1 的中点．求直线 DE 与平面 111ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过 E 作 EF⊥BC，交 BC 于 F，连接 DF. ∵ EF⊥平面 ABCD， ∴ ∠EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. ……………4 分 1由题意，得 EF= CC1 1. 2第 18 页共 24 页第 19 页共 24 页 1∵CF  CB 1,DF  5. …………………………..8 分 2EF DF 5∵ EF⊥DF， ∴tan EDF  .……………..10 分 55故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan ….12 分 5D1 C1 D1 C1 B1 A1 B1 A1 EEDDCCFABAB17．（本题满分 13 分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC．小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD，DC ，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从 C 沿CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D沿DA 走到 A用了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA的长（精确到 1 米）． C17. 【解法一】设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= 600 ……………………………4 分 A0120 O在CDO 中，CD2  OD2  2CDODcos600  OC2 , ……………6 分 12即5002  r 300  2500 r 300  r2 , …………………….9 分 24900 解得 r   445 （米）. …………………………………………….13 分 11 【解法二】连接 AC，作 OH⊥AC，交 AC 于 H…………………..2 分由题意，得 CD=500（米），AD=300（米）， CDA 1200 ………….4 分 C在ACD中, AC2  CD2  AD2  2CD ADcos1200 HA1 5002  3002  2500300 7002 , 0120 2O∴ AC=700（米） …………………………..6 分第 19 页共 24 页第 20 页共 24 页 AC2  AD2 CD2 11 cosCAD  .………….…….9 分 2 AC  AD 14 11 在直角 HAO中, AH  35（0 米）,cosHA0  ,14 AH 4900 11 ∴OA   445（米）. ………………………13 分 cosHAO 18．（本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 个题满分 5 分，第 2 小题满分 10 分． π已知函数 f(x)=sin2x，g(x)=cos 2x  ，直线 x  t(t R) 6与函数 f (x)，g(x) 的图象分别交于 M、N 两点． π（1）当t  时，求｜MN｜的值； 4π（2）求｜MN｜在t  0，时的最大值． 244618、【解】（1） MN  sin 2  cos 2 …………….2 分 2 33 1 cos  .………………………………5 分 26323（2） MN  sin 2t  cos 2t  sin 2t  cos2t ………8 分 26 3 sin2t  …………………………….11 分 2666∵t  0, ,2t   ,  ,…………13 分 ∴ ｜MN｜的最大值为 3.……………15 分 19．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分．第 20 页共 24 页第 21 页共 24 页 12|x| 已知函数 f (x)  2x  ．（1）若 f (x)  2 ，求 x的值；（2）若 2t f (2t)  mf (t)  0 对于t [1，2] 恒成立，求实数 m 的取值范围． 12x 19、【解】（1）当x  0时，f x 0;当x  0时, f x 2x     .…………….2 分 12x 由条件可知， 2x   2,即22x  22x 1 0, 解得 2x 1 2.…………6 分 ∵2x  0,x  log 1 2 …………..8 分 2  122t 12t （2）当t [1,2]时,2t 22t   m 2t   0, ……………10 分 即m 22t 1  24t 1 . 22t 1 0,m  22t 1 . ………………13 分 …………….16 分 t [1,2], 1 22t [17,5], 故 m 的取值范围是[5,) 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 7 分． x2 已知双曲线C：  y2 1 ．2（1）求双曲线（2）已知点 C 的渐近线方程； M的坐标为 (0，1) ．设   的取值范围； P 是双曲线C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点．记  MPMQ ．求 （3）已知点 D，E，M 的坐标分别为 (2，1)，(2，1)，(0，1) ，P为双曲线 C上在第一象限内的点．记表示为直线 ll为经过原点与点 P 的斜率的函数．的直线， s为△DEM 截直线 l所得线段的长．试将 sk2220、【解】（1）所求渐近线方程为 y  x  0, y  x  0 ………………3 分 22（2）设 P 的坐标为 x , y ，则 Q 的坐标为 x ,y ， …………….4 分 0  0  00第 21 页共 24 页第 22 页共 24 页     MPMQ  x , y 1  x ,y 1   000o3 x02  y02 1 x02  2. ……………7 分 2 x0  2  的取值范围是 (,1]. ……………9 分 ……………11 分（3）若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点， 2则直线 l的斜率 k  0, .212由计算可得，当 k (0, ]时,s k 1 k2 ;   21 k2 1222k 1 当k  ,时,s k 1 k2 . ……………15 分   2k  k2 ∴ s 表示为直线 l的斜率 k 的函数是 211 k2 , k (0, ], 21 k 2s k   ….16 分 2k 1 k  k 1221 k2 , k  ,.2221．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分４分，第 2 小题满分６分，第 3 小题满分 8 分．已知数列 a：a1 1 ，a2  2 ，，a3  r b4  0 ．，，an3  an  2 是正整数），与数列（n  nb：b 1 ，b2  0 ，b3  1 bn4  bn （ n 是正整数）．   n1记Tn  b a1  b2a2  b3a3  bnan 1（1）若 a1  a2  a3  a12  64 ，求 r的值；；（2）求证：当 n 是正整数时，T 12n  4n （3）已知 r  0 ，且存在正整数 100． m，使得在 T，T，， T12m12 中有 4 项为 12m1 12m2 求 r 的值，并指出哪 4 项为 100．第 22 页共 24 页第 23 页共 24 页 21、【解】（1） a1  a2  a3 … a12 1 2  r  3 4  r  2  5  6  r  4  7  8  r  6  48 4r. ………………..2 分 ………………..4 分 ∵48 4r  64,r  4. 【证明】（2）用数学归纳法证明：当 nZ时,T  4n. 12n ① 当n=1时，T  a1  a3  a5  a7  a9  a11  4, 等式成立….6分 12 ② 假设n=k时等式成立，即那么当 n  k 1时， T 4k, 12k T T  a12k1  a12k3  a12k5  a12k7  a12k9  a12k11 ………8 分 12k 12 k1  4k  8k 1  8k  r  8k  4  8k  5  8k  r  4  8k 8        4k  4  4 k 1 ,等式也成立. 根据①和②可以断定：当 nZ时,T  4n.……………………10 分 12n 【解】（3） T 4m m1 . 12m 当n 12m 1, 12m  2时，Tn  4m 1; 当n 12m  3, 12m  4时，T  4m 1 r; n当n 12m  5, 12m  6时，Tn  4m  5 r; 当n 12m  7, 12m 8时，Tn  4m  r; 当n 12m  9, 12m 10时，Tn  4m  4; 当n 12m 11, 12m 12时,Tn  4m  4.………………………..13 分 ∵ 4m+1 是奇数， 4m 1 r,4m  r,4m  4 均为负数， ∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15 分此时，T293, T294 , T297 , T298 为 100. …………………………18 分第 23 页共 24 页第 24 页共 24 页第 24 页共 24 页