2018年江苏高考数学试题及答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2018 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时 间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: 1锥体的体积V  Sh ,其中 S是锥体的底面积, h是锥体的高. 3一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1.已知集合 A {0,1,2,8} ,B {1,1,6,8},那么 A  B  ▲ . 2.若复数 z满足i  z 1 2i ,其中 i 是虚数单位,则 的实部为 ▲ . z3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为 ▲.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为 ▲ . 5.函数 f (x)  log2 x 1 的定义域为 ▲ . 6.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名 女生的概率为 ▲.2237.已知函数 y  sin(2x )(   )的图象关于直线 x  对称,则 的值是 ▲ . x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 1(a  0,b  0) 的右焦点 F(c,0) 到一条渐近 a2 b2 3线的距离为 c,则其离心率的值是 ▲.2x cos ,0 x  2, 219.函数 f (x) 满足 f (x  4)  f (x)(xR) ,且在区间 (2,2]上, f (x)  则| x  |,- 2  x  0, 2f ( f (15)) 的值为 ▲.10.如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ . 11.若函数 f (x)  2×3  ax2 1(aR) 最大值与最小值的和为 在 (0,) 内有且只有一个零点,则 f (x) 在[1,1] 上的 ▲.12.在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线l : y  2x 上在第一象限内的点, B(5,0) ,以 AB 为   直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 AB CD  0 ,则点 A 的横坐标为 ▲ . 13.在△ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ABC 120 ABC 的平分线交 AC , , 于点 D,且 BD 1,则 4a  c 的最小值为 14.已知集合 A {x | x  2n 1,nN*} ▲ . ,B {x | x  2n ,nN*}.将 A  B 的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列{an}.记 n 的最小值为 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则使得 Sn 12an1 成立的 ▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平行六面体 ABCD  A B C1D1 中, AA  AB, AB  B C1 .11111求证:(1) AB∥平面A B C ;11(2) 平面ABB A 平面A BC .11116.(本小题满分 14 分) 435已知, 为锐角, tan  (1)求 cos2 的值; ,cos(  )   .5(2)求 tan(  ) 的值. 17.(本小题满分 14 分) 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN (P 为此圆弧的中点) 和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此 农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为 △CDP ,要求 A, B 均在线段 MN 上,C, D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为 .(1)用 分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4:3 .求当 18.(本小题满分 16 分) 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 1如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点 ( 3, ),焦点 2F ( 3,0), F2 ( 3,0),圆 O 的直径为 F F2 .11(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 2 6 ②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.若△OAB 的面积为 ,7求直线 l 的方程. 19.(本小题满分 16 分)   f (x), g (x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数.若存在 x0 R ,满足 f (x0 )  g(x0 ) 且 记f (x0 )  g (x0 ) ,则称 (1)证明:函数 f (x)  x (2)若函数 f (x)  ax2 1 (3)已知函数 f (x)  x2  a f (x) 20.(本小题满分 16 分) {an}是首项为 b 1 ,公差为 d 的等差数列,{bn}是首项为 1 ,公比为 q 的等比数列. x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”. 与g(x)  x2  2x  2不存在“S 点”; 与g(x)  ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值; bex ,g(x)  .对任意 a  0 ,判断是否存在 b  0 ,使函 x数与 g(x) 在区间 (0,) 内存在“S 点”,并说明理由. 设a(1)设 a1  0,b 1,q  2 ,若| an  bn | b1 对 n 1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围; 1( 2 ) 若a1  b  0,mN*,q(1,m 2] , 证 明 : 存 在d R , 使 得 | an  bn | b1 对 1n  2,3,,m 1均成立,并求 d的取值范围(用b ,m,q 表示). 1数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分. 1.{1,8} 2.2 3.90 4.8 8.2 3π5.[2,+∞) 6. 7. 10 62439. 10. 11.–3 12.3 213.9 14.27 二、解答题 15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象 能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明:(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥A1B1. 因为 AB 平面 A1B1C,A1B1 平面 A1B1C, 所以 AB∥平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形. 又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形, 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC=B,A1B 所以 AB1⊥平面 A1BC.  平面 A1BC,BC  平面 A1BC, 因为 AB1 平面 ABB1A1, 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. 16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求 解能力.满分 14 分. 43sin cos 4tan  tan  sin  cos 解:(1)因为 ,,所以 .39cos2   因为sin2   cos2  1,所以 ,25 7cos2  2cos2  1  因此, .25 (2)因为 为锐角,所以 .   (0,π) , 52 5 52又因为 ,所以 ,cos(  )   sin(  )  1 cos (  )  5因此 .tan(   )  2 432tan 24 7tan  tan 2    因为 ,所以 ,1 tan2  tan 2  tan(   ) 1+ tan 2 tan(   ) 2因此, .tan(   )  tan[2  (   )]    11 17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解:(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PH⊥MN,所以 OH=10. 过 O 作 OE⊥BC 于 E,则 OE∥MN,所以∠COE=θ, 故 OE=40cosθ,EC=40sinθ, 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), 1△CDP 的面积为 ×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ). 2过 N 作 GN⊥MN,分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K,则 GK=KN=10. 1π令∠GOK=θ0,则 sinθ0= ,θ0∈(0, ). 46π当 θ∈[θ0, )时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 21所以 sinθ 的取值范围是[ ,1). 4答:矩形 ABCD 的面积为 800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP 的面积为 11600(cosθ–sinθcosθ),sinθ 的取值范围是[ ,1). 4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3, 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k>0), 则年总产值为 4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) π=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0, ). 2π设 f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0, ), 2则令f′()  cos2   sin2   sin  (2sin2   sin 1)  (2sin 1)(sin 1) .πf′()=0 ,得 θ= ,6π当 θ∈(θ0, )时,f′()>0 ,所以 f(θ)为增函数; 6ππ当 θ∈( ,)时, f′()<0 ,所以 f(θ)为减函数, 62π因此,当 θ= 时,f(θ)取到最大值. 6π答:当 θ= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 618.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分. 解:(1)因为椭圆 C 的焦点为 F ( 3,0), F2 ( 3,0) ,1×2 y2 1可设椭圆 C 的方程为 1(a  b  0) .又点 ( 3, )在椭圆 C 上, a2 b2 23121, a  4, b2 1, 所以 a2 4b2 ,解得 22a  b  3, x2 因此,椭圆 C 的方程为  y2 1 .4因为圆 O 的直径为 F F2 ,所以其方程为 x2  y2  3 .122(2)①设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0 , y0 )(x0  0, y0  0) ,则 x0  y0  3 ,x0 x0 3所以直线 l 的方程为 y  (x  x0 )  y0 ,即 y  x  .y0 y0 y0 2x y2 1,  4 x0 y  x  y0 由,消去 y,得 3,y0 222(4×0  y0 )x2  24×0 x  36  4y0  0 .(*) 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 22222所以   (24×0 )2  4(4×0  y0 )(36  4y0 )  48y0 (x0  2)  0 .因为 x0 , y0  0 ,所以 x0  2, y0 1 因此,点 P 的坐标为 ( 2,1) ..2 6 712 6 74 2 7②因为三角形 OAB 的面积为 ,所以 AB OP  ,从而 AB  .2设A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,2224×0  48y0 (x0  2) 由(*)得 x1,2 ,222(4×0  y0 ) 所以 AB2  (x1  x2 )2  (y1  y2 )2 222×0 48y0 (x0  2)  (1 2 ) .22y0 (4×0  y0 )2 22因为 x0  y0  3 ,216(x0  2) 32 49 42所以 AB2  ,即 2×0  45×0 100  0 ,(x0 1)2 210 2251222解得 x0 (x0  20 舍去),则 y0 ,因此 P 的坐标为 (,) . 222综上,直线 l 的方程为 y  5x  3 2 .19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力.满分 16 分. 解:(1)函数 f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则 f′(x)=1,g′(x)=2x+2. 由 f(x)=g(x)且 f′(x)= g′(x),得 2x  x  2x  2 ,此方程组无解, 1 2x  2 因此,f(x)与 g(x)不存在“S”点. (2)函数 (f x) ax2 1 ,g(x)  ln x , 1则f( x) 2ax,g( x) .x设 x0 为 f(x)与 g(x)的“S”点,由 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0),得 2ax0 1 ln x0 20ax 1 ln x 0,即 ,(*) 12ax2 1 2ax0  0x0 1得ln x0  ,即 x0  e 2 ,则 a  .11e122222(e ) 1当a  时, x0  e 2 满足方程组(*),即 x0 为 f(x)与 g(x)的“S”点. e2e因此,a 的值为 .2(3)对任意 a>0,设 h(x)  x3  3×2  ax  a .因为 h(0)  a  0,h(1) 1 3  a  a  2  0 ,且 h(x)的图象是不间断的, 2×03 所以存在 x0 ∈(0,1),使得 h(x0 )  0 ,令b  ,则 b>0. ex0 (1 x0 ) bex 函数 f (x)  x2  a ,g(x)  ,xbex (x 1) 则f′(x)  2x ,g′(x)  .x2 由 f(x)=g(x)且 f′(x)=g′(x),得 2×03 ex0 (1 x0 ) ex bex x2  a  x2  a  xx,即 (**) bex (x 1) 2×03 ex (x 1) 2x  2x  x2 ex0 (1 x0 ) x2 x x 此时, 0 满足方程组(**),即 0 是函数 f(x)与 g(x)在区间(0,1)内的一个“S 点”. 因此,对任意 a>0,存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在“S 点”. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分 16 分. an  (n  1)d , bn  2n 1 解:(1)由条件知: .因为| an  bn | b1 对 n=1,2,3,4 均成立, n 1 即对 n=1,2,3,4 均成立, | 1 | (n  1)d  2 752       d  即 1 1,1 d 3,3 2d 5,7 3d 9,得 .37 5 [ , ] 因此,d 的取值范围为 .3 2 an  b1  (n  1)d , bn  b1 q n 1 (2)由条件知: .若存在 d,使得| an  bn | b1 (n=2,3,···,m+1)成立, | b1  (n  1)d  b1q n 1 | b1 (n  2, 3, , m  1) 即,qn1  2 n 1 qn1 即当 n  2,3,,m 1时,d 满足 b  d  b.11n 1 q(1,m 2] n 1  q m  2 ,因为 从而 ,则 1  q qn1  2 n 1 qn1 b  0 ,b  0 ,对 n  2,3,,m 1均成立. 11n 1 因此,取 d=0 时,| an  bn | b1 对 n  2,3,,m 1均成立. qn1  2 n 1 qn1 下面讨论数列 {}的最大值和数列 {}的最小值( n  2,3,,m 1). n1 qn  2 qn1  2 nqn  qn  nqn1  2 n(qn  qn1 )  qn  2 2  n  m ①当 时, ,nn  1 n(n  1) n(q  q n 1 )  q n  2  0 .n(n  1) 1nn qm  2 m当时,有 ,从而 1  q  2 qqn1  2 n 1 2  n  m1 因此,当 时,数列 {}单调递增, qn1  2 n 1 qm 2 m故数列 ②设 {}的最大值为 .xx,当 x>0 时, ,f ( x)  2 (1 x) f (x) f (x)  (ln 2  1  x ln 2)2 0 所以 单调递减,从而 <f(0)=1. f (x) qn n1q(n 1) 11 2n (1 )  f ( )1 ,2  n  m 当时, qn1 nnnn 1 qn1 2  n  m1 因此,当 时,数列 {}单调递减, n1 qn1 qm 故数列 {}的最小值为 .n1 mb1 (qm  2) b1qm 因此,d 的取值范围为 .][,mm数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,圆 O 的半径为 2,AB 为圆 O 的直径,P 为 AB 延长线上一点, 过 P 作圆 O 的切线,切点为 C.若 PC  2 3,求 BC 的长. B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 2 3 已知矩阵 A  .1 2 (1)求 A的逆矩阵 A1 对应的变换作用下得到点 P (3,1) ,求点 P 的坐标. ;(2)若点 P 在矩阵 AC.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) π在极坐标系中,直线 l 的方程为  sin( )  2 ,曲线 C 的方程为   4cos ,求直线 l 6被曲线 C 截得的弦长. D.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 若 x,y,z 为实数,且 x+2y+2z=6,求 x2  y2  z2 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1=2,点 P,Q 分别为 A1B1, BC 的中点. (1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值. 23.(本小题满分 10 分) 设nN* ,对 1,2,···,n 的一个排列i1i2 in ,如果当 s<t 时,有 is  it ,则称 (is ,it ) 是排列i1i2 in 的一个逆序,排列i1i2 in 的所有逆序的总个数称为其 逆序数.例如:对 1,2,3 的一个排列 231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列 231 的逆序数为 2.记 fn (k) 为 1,2,···,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数. (1)求 f3 (2), f4 (2) 的值; (2)求 fn (2)(n  5) 的表达式(用 n 表示). 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21.【选做题】 A.[选修 4—1:几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:连结 OC.因为 PC 与圆 O 相切,所以 OC⊥PC. 又因为 PC= 2 3,OC=2, 所以 OP= PC2  OC2 =4. 又因为 OB=2,从而 B 为 Rt△OCP 斜边的中点,所以 BC=2. B.[选修 4—2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 2 3 解:(1)因为 A  , det(A)  2 2 13 1 0 ,所以 A 可逆, 1 2 2 3 从而 A1 .1 2 2 3 x3x33       (2)设 P(x,y),则 ,所以  A1 ,       1 2 y1y  1  1    因此,点 P 的坐标为(3,–1). C.[选修 4—4:坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 解:因为曲线 C 的极坐标方程为 =4cos ,所以曲线 C 的圆心为(2,0),直径为 4 的圆. π因为直线 l 的极坐标方程为  sin( )  2 ,6π则直线 l 过 A(4,0),倾斜角为 ,6所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点. π设另一个交点为 B,则∠OAB= .6π连结 OB,因为 OA 为直径,从而∠OBA= ,2π所以 AB  4cos  2 3 .6因此,直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 D.[选修 4—5:不等式选讲] .本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:由柯西不等式,得 (x2  y2  z2 )(12  22  22 )  (x  2y  2z)2 因为 x  2y  2z=6 ,所以 x2  y2  z2  4 .,xyz2443当且仅当 时,不等式取等号,此时 x  ,y  ,z  ,12233所以 x2  y2  z2 的最小值为 4. 22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用 空间向量解决问题的能力.满分 10 分. 解:如图,在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中,设 AC,A1C1 的中点分别为 O,O1,则 OB⊥    OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{OB,OC,OO }为基底,建立空间直角坐标系 O−xyz. 1因为 AB=AA1=2, 所以 A(0,1,0), B( 3,0,0),C(0,1,0), A (0,1,2), B ( 3,0,2),C1(0,1,2) .1131(1)因为 P 为 A1B1 的中点,所以 P( , ,2) ,22  31从而 BP  ( , ,2), AC1  (0,2,2) ,22    | BP  AC1 | | 1 4 |3 10   故| cosBP, AC1 | .20 | BP || AC1 | 5  2 2 3 10 20 因此,异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 .3 1 (2)因为 Q 为 BC 的中点,所以Q( ,,0) ,22 因此 AQ  ( ,,0)   3 3 ,AC1  (0,2,2),CC1  (0,0,2) .22设 n=(x,y,z)为平面 AQC1 的一个法向量,  33AQ  n  0, x  y  0, 则即 22AC  n  0, 12y  2z  0. 不妨取 n  ( 3,1,1) ,设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ,   | CC1  n | 25 则sin | cosCC1,n | ,5| CC1 || n| 5  2 5所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 .523.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证 能力.满分 10 分. 解:(1)记 (abc) 为排列 abc 的逆序数,对 1,2,3 的所有排列,有  (123)=0, (132)=1, (213)=1, (231)=2, (312)=2, (321)=3 所以 f3 (0) 1,f3 (1)  f3 (2)  2 ,.对 1,2,3,4 的排列,利用已有的 1,2,3 的排列,将数字 4 添加进去,4 在新排列 中的位置只能是最后三个位置. 因此, f4 (2)  f3 (2)  f3 (1)  f3 (0)  5 (2 )对一般的 n (n≥4)的情形,逆序数为 0 的排列只有一个:12…n ,所以 fn (0) 1 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所 fn (1)  n 1 ..以.为计算 fn1(2) ,当 1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将 n+1 添加进原排列,n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此, fn1(2)  fn (2)  fn (1)  fn (0)  fn (2)  n 当 n≥5 时, .fn (2)  [ fn (2)  fn1(2)] [ fn1(2)  fn2 (2)] … [ f5 (2)  f4 (2)]  f4 (2) n2  n  2  (n 1)  (n  2)  4  f4 (2)  ,2n2  n  2 因此,n≥5 时, fn (2)  .2

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