2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版ⅱ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2010 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅱ) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)= (  ) A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 2.(5 分)不等式 <0 的解集为(  ) A.{x|﹣2<x<3} B.{x|x<﹣2} D.{x|x>3} C.{x|x<﹣2 或 x>3} 3.(5 分)已知 sinα= ,则 cos(π﹣2α)=(  ) A.﹣ B.﹣ C. D. 4.(5 分)函数 的反函数是(  ) A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) B.y=e2x﹣1+1(x>0) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 5.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为(  ) A.1 6.(5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=(  ) A.14 B.21 C.28 D.35 7.(5 分)若曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则(  ) B.2 C.3 D.4 A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣2 8.(5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 9.(5 分)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 第 1 页(共 25 页) (  ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 10.(5 分)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 = , = ,| |=1 ,| |=2,则 =(  ) A. +B. +C. +D. +11.(5 分)与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离 相等的点(  ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个 12.(5 分)已知椭圆 T: +=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点F 且 斜率为 k(k>0)的直线与 T 相交于 A,B 两点,若 =3 ,则 k=(  ) A.1 B. C. D.2  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)已知 α 是第二象限的角,tanα=﹣ ,则 cosα=   . 14.(5 分)(x+ )9 展开式中 x3 的系数是   .(用数字作答) 15.(5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p=   . 16.(5 分)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,AB=4,若 OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= .  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= , 求 AD. 第 2 页(共 25 页) 18.(12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列 a1+a2=2( a3+a4+a5=64 ), ++)(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(an+ )2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.(12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中 点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小. 第 3 页(共 25 页) 20.(12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4, 电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 P,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电流能否 通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 .(Ⅰ)求 P; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 21.(12 分)已知函数 f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx. (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间(0, )上是减函数,求实数a 的取值范围. 22.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 相交 于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|•|BF|=17,证明:过 A、B、D 三点 的圆与 x 轴相切.  第 4 页(共 25 页) 第 5 页(共 25 页) 2010 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅱ) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)= (  ) A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由全集 U={x∈N+|x<6},可得 U={1,2,3,4,5},然后根据集合混合 运算的法则即可求解. 【解答】解:∵A={1,3},B={3,5}, ∴A∪B={1,3,5}, ∵U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5}, ∴∁U(A∪B)={2,4}, 故选:C. 【点评】本题考查了集合的基本运算,属于基础知识,注意细心运算.  2.(5 分)不等式 <0 的解集为(  ) A.{x|﹣2<x<3} B.{x|x<﹣2} C.{x|x<﹣2 或 x>3} D.{x|x>3} 【考点】73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】本题的方法是:要使不等式小于 0 即要分子与分母异号,得到一个一元 二次不等式,讨论 x 的值即可得到解集. 第 6 页(共 25 页) 【解答】解:∵ ,得到(x﹣3)(x+2)<0 即 x﹣3>0 且 x+2<0 解得:x>3 且 x<﹣2 所以无解; 或 x﹣3<0 且 x+2>0,解得﹣2<x<3, 所以不等式的解集为﹣2<x<3 故选:A. 【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力,是一道基础题.  3.(5 分)已知 sinα= ,则 cos(π﹣2α)=(  ) A.﹣ B.﹣ C. D. 【考点】GO:运用诱导公式化简求值;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先根据诱导公式求得 cos(π﹣2a)=﹣cos2a 进而根据二倍角公式把 sinα 的值代入即可求得答案. 【解答】解:∵sina= , ∴cos(π﹣2a)=﹣cos2a=﹣(1﹣2sin2a)=﹣ . 故选:B. 【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式.考查了学生对三角函数基础公式的 记忆.  4.(5 分)函数 的反函数是(  ) B.y=e2x﹣1+1(x>0) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) 【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有 第 7 页(共 25 页) 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】从条件中 中反解出 x,再将 x,y 互换即得.解答 本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y 换位 ,2、解:解出 y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数. 【解答】解:由原函数解得 x=e 2y﹣1+1, ∴f﹣1(x)=e 2x﹣1+1, 又 x>1,∴x﹣1>0; ∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中 x∈R, 故选:D. 【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式 y=f(x)反求出 x=Ф (y);(2)交换 x=Ф(y)中 x、y 的位置;(3)求出反函数的定义域(一 般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).  5.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A.1 B.2 ,则 z=2x+y 的最大值为(  ) D.4 C.3 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 m 值即可. 【解答】解:作出可行域,作出目标函数线, 可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点, ∴即为 B(1,1),当 x=1,y=1 时 zmax=3. 故选:C. 第 8 页(共 25 页) 【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题.  6.(5 分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=(  ) A.14 B.21 C.28 D.35 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【分析】由等差数列的性质求解. 【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, ∴a1+a2+…+a7= 故选:C. =7a4=28 【点评】本题主要考查等差数列的性质.  7.(5 分)若曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则(  ) A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;52:导数的概念及应用. 【分析】由 y=x2+ax+b,知 y′=2x+a,再由曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线 方程为 x﹣y+1=0,求出 a 和 b. 【解答】解:∵y=x2+ax+b, ∴y′=2x+a, ∵y′|x=1=2+a, 第 9 页(共 25 页) ∴曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程为 y﹣b=(2+a)(x﹣1), ∵曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程为 x﹣y+1=0, ∴a=﹣1,b=2. 故选:B. 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用,解题时要认真审题, 仔细解答.  8.(5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由图,过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连接 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F,连 BF,由题设条件证出∠ABF 即所求线面角.由数据求出其正弦 值. 【解答】解:过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连接 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F,连 BF, ∵正三角形 ABC, ∴E 为 BC 中点, ∵BC⊥AE,SA⊥BC, ∴BC⊥面 SAE, ∴BC⊥AF,AF⊥SE, ∴AF⊥面 SBC, ∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由正三角形边长 2, ∴AE= ,AS=3, ∴SE=2 ,AF= , 第 10 页(共 25 页) ∴sin∠ABF= . 故选:D. 【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.  9.(5 分)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (  ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】本题是一个分步计数问题,首先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不 2同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C4 ,余下放入最后一个 信封,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题, ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2,有 =3 种不同的选法;根据分组公式,其他 四封信放入两个信封,每个信封两个有 =6 种放法, ∴共有 3×6×1=18. 故选:B. 【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关 键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个 步骤,先平均分组,再排列. 第 11 页(共 25 页)  10.(5 分)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 = , = ,| |=1 ,| |=2,则 =(  ) A. +B. +C. +D. +【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有 【分析】由△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,根据三角形内角平分线 定理,我们易得到 即可得到答案. ,我们将 后,将各向量用 , 表示, 【解答】解:∵CD 为角平分线, ∴,∵∴,,∴故选:B. 【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定理 ,即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线,则 AB:AC=BD:CD  11.(5 分)与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离 相等的点(  ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个 【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】由于点 D、B1 显然满足要求,猜想 B1D 上任一点都满足要求,然后想办 法证明结论. 第 12 页(共 25 页) 【解答】解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 上建立如图所示空间直角坐标系, 并设该正方体的棱长为 1,连接 B1D,并在 B1D 上任取一点 P, 因为 =(1,1,1), 所以设 P(a,a,a),其中 0≤a≤1. 作 PE⊥平面 A1D,垂足为 E,再作 EF⊥A1D1,垂足为 F, 则 PF 是点 P 到直线 A1D1 的距离. 所以 PF= ;同理点 P 到直线 AB、CC1 的距离也是 .所以 B1D 上任一点与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线 的距离都相等, 所以与正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的 点有无数个. 故选:D. 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法.  12.(5 分)已知椭圆 T: +=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点F 且 斜率为 k(k>0)的直线与 T 相交于 A,B 两点,若 =3 ,则 k=(  ) A.1 B. C. D.2 【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 第 13 页(共 25 页) 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据 求得 y1 和 y2 关系根据离心 率设 ,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去 x,根据韦达 定理表示出 y1+y2 和 y1y2,进而根据 y1 和 y2 关系求得 k. 【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∵,∴y1=﹣3y2, ,设 ,b=t, ∴x2+4y2﹣4t2=0①, 设直线 AB 方程为 ,代入①中消去 x,可得 ,∴,,解得 ,故选:B. 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要 求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的 运用.  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)已知 α 是第二象限的角,tanα=﹣ ,则 cosα=   . 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有 【分析】根据 ,以及 sin2α+cos2α=1 可求出答案. 【解答】解:∵ = ,∴2sinα=﹣cosα 又∵sin2α+cos2α=1,α 是第二象限的角 ∴第 14 页(共 25 页) 故答案为: 【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识.  14.(5 分)(x+ )9 展开式中 x3 的系数是 84 .(用数字作答) 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【分析】本题考查二项式定理的展开式,解题时需要先写出二项式定理的通项 Tr+1,因为题目要求展开式中 x3 的系数,所以只要使 x 的指数等于 3 就可以, 用通项可以解决二项式定理的一大部分题目. 【解答】解:写出(x+ )9 通项 ,∵要求展开式中 x3 的系数 ∴令 9﹣2r=3 得 r=3, 3∴C9 =84 故答案为:84. 【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法.解本题时容易公式记不清楚导 致计算错误,所以牢记公式.它是经常出现的一个客观题.  15.(5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= 2 . 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3×2+(﹣6﹣2p)x+3=0, 进而根据 ,可知M 为 A、B 的中点, 可得 p 的关系式,解方程即可求得 p. 【解答】解:设直线 AB: ,代入 y2=2px 得 3×2+(﹣6﹣2p)x+3=0, 又∵ ,即 M 为 A、B 的中点, 第 15 页(共 25 页) ∴xB+(﹣ )=2,即 xB=2+ , 得 p2+4P﹣12=0, 解得 p=2,p=﹣6(舍去) 故答案为:2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质.属基础题.  16.(5 分)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,AB=4,若 OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= 3 . 【考点】JE:直线和圆的方程的应用;ND:球的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】根据题意画出图形,欲求两圆圆心的距离,将它放在与球心组成的三角 形 MNO 中,只要求出球心角即可,通过球的性质构成的直角三角形即可解得 .【解答】解法一:∵ON=3,球半径为 4, ∴小圆 N 的半径为 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直于 AB, ∴NE= ,同理可得 ∵NE= ,ON=3, ,在直角三角形 ONE 中, ∴,,∴∴MN=3. 第 16 页(共 25 页) 故填:3. 解法二:如下图:设 AB 的中点为 C,则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E,因为 OM=ON=3, 故小圆半径 NB 为 C 为 AB 中点,故 CB=2;所以 NC= ∵△ONC 为直角三角形,NE 为△ONC 斜边上的高,OC= ∴MN=2EN=2•CN• =2× =3 ,×故填:3. 【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算,还考查球、直线与圆的基础 知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= , 第 17 页(共 25 页) 求 AD. 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.菁优网版权所有 【分析】先由 cos∠ADC= 确定角 ADC 的范围,因为∠BAD=∠ADC﹣B 所以可求 其正弦值,最后由正弦定理可得答案. 【解答】解:由 cos∠ADC= >0,则∠ADC< ,又由知 B<∠ADC 可得 B< 由 sinB= ,可得 cosB= ,,又由 cos∠ADC= ,可得 sin∠ADC= . 从 而sin ∠ BAD=sin ( ∠ ADC﹣B ) =sin ∠ ADCcosB﹣cos ∠ ADCsinB= =.由正弦定理得 ,所以 AD= =.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题 中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题, 估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知 条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.  18.(12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列 a1+a2=2( a3+a4+a5=64 (Ⅰ)求{an}的通项公式; ), ++)(Ⅱ)设 bn=(an+ )2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】88:等比数列的通项公式;8E:数列的求和.菁优网版权所有 第 18 页(共 25 页) 【专题】11:计算题. 【分析】(1)由题意利用等比数列的通项公式建立首项 a1 与公比 q 的方程,然 后求解即可 (2)由 bn 的定义求出通项公式,在由通项公式,利用分组求和法即可求解 【解答】解:(1)设正等比数列{an}首项为 a1 ,公比为 q,由题意得: ∴ an=2n﹣1 ( 6 分) (2) ∴bn 的前 n 项和 Tn= (12 分) 【点评】(1)此问重基础及学生的基本运算技能(2)此处重点考查了高考常考 的数列求和方法之一的分组求和,及指数的基本运算性质  19.(12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中 点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小. 【考点】LM:异面直线及其所成的角;LQ:平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有 第 19 页(共 25 页) 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(1)欲证 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线,即证 DE 与异面直线 AB1 与 CD 垂直相交即可; (2)将 AB1 平移到 DG,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角,在三角形 B1KH 中求出此角即可. 【解答】解:(1)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1, 又 AE=3EB1,所以 FE=EB1, 又 D 为 BB1 的中点, 故 DE∥BF,DE⊥AB1. 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1, 故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (2)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又 作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1﹣AC1﹣B1 的平面角. B1H= ,C1H= ,AC1= ,HK= tan∠B1KH= ,∴二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小为 arctan .第 20 页(共 25 页) 【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象 与推理计算的能力.三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的热 点,它是处理线线垂直问题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的 主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式来处理立体几何问题,淡化 了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程 序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处.  20.(12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4, 电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 P,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电流能否 通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 .(Ⅰ)求 P; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;C8:相互独立事件和相互独立事件的概 率乘法公式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p. (Ⅱ)根据题意,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过,根据电路图,可得 B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3,由互斥事件的概率公式,代 入数据计算可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,记电流能通过 Ti 为事件 Ai,i=1、2、3、4, A 表示事件:T1,T2,T3,中至少有一个能通过电流, 易得 A1,A2,A3 相互独立,且 ,第 21 页(共 25 页) P( )=(1﹣p)3=1﹣0.999=0.001, 计算可得,p=0.9; (Ⅱ)根据题意,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过, 有 B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3, 则 P(B)=P(A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891. 【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,注意先明 确事件之间的关系,进而选择对应的公式来计算.  21.(12 分)已知函数 f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx. (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间(0, )上是减函数,求实数a 的取值范围. 【考点】3D:函数的单调性及单调区间;3E:函数单调性的性质与判断.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】(1)求单调区间,先求导,令导函数大于等于 0 即可. (2)已知 f(x)在区间(0, )上是减函数,即f′(x)≤0 在区间(0, )上 恒成立,然后用分离参数求最值即可. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=3 时,f(x)=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴解 f′(x)>0, 即:2×2﹣3x+1<0 函数 f(x)的单调递增区间是 .(Ⅱ)f′(x)=﹣2x+a﹣ , 第 22 页(共 25 页) ∵f(x)在 ∴x∈ 上为减函数, 时﹣2x+a﹣ ≤0 恒成立. 即 a≤2x+ 恒成立. 设,则 ∵x∈ 时, >4, ∴g′(x)<0, ∴g(x)在 上递减, ∴g(x)>g( )=3, ∴a≤3. 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围,此类问题 一般用导数解决,综合性较强.  22.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 相交 于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|•|BF|=17,证明:过 A、B、D 三点 的圆与 x 轴相切. 【考点】J9:直线与圆的位置关系;KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的 综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题. 【分析】(Ⅰ)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a ,b 的关系式即求得离心率. (Ⅱ)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含 a 的代数式表示,即可求得 a,则 A 点坐标可得(1,0),由于 A 在 x 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得. 第 23 页(共 25 页) 【解答】解:(Ⅰ)由题设知,l 的方程为:y=x+2,代入 C 的方程,并化简, 得(b2﹣a2)x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0, 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 由 M(1,3)为 BD 的中点知 ,,① .故,即 b2=3a2,② 故,.∴C 的离心率 (Ⅱ)由①②知,C 的方程为:3×2﹣y2=3a2,A(a,0),F(2a,0), .故不妨设 x1≤﹣a,x2≥a, ,,|BF|•|FD|=(a﹣2×1)(2×2﹣a)=﹣4x1x2+2a(x1+x2)﹣a2=5a2+4a+8. 又|BF|•|FD|=17,故 5a2+4a+8=17. 解得 a=1,或 (舍去), 故=6, 连接 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD,且 MA⊥x 轴, 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切, 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 第 24 页(共 25 页) 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问 题的能力. 第 25 页(共 25 页)

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