2022年高考数学真题（浙江自主命题）（原卷版）

2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学姓名________ 准考证号_________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，选择题部分 1 至 3 页；非选择题部分 3 至 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：如果事件 A，B 互斥，则 P(A B)  P(A)  P(B) 如果事件 A，B 相互独立，则的高柱体的体积公式 V  Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体 P(AB)  P(A) P(B) 锥体的体积公式 1V  Sh 3若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P (k)  Cnk pk (1 p)nk (k  0,1,2,,n) 球的表面积公式 nS  4 R2 台体的体积公式 1V  S  S S S h 球的体积公式 2  11 2 34V   R3 S , S 其中 2 表示台体的上、下底面积， 13h 表示台体的高其中 R 表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． A  {1,2}, B  {2,4,6} 1. 设集合，则（）A B  {1,2} {2} {2,4,6} A. B. C. D. {1,2,4,6} a,bR,a  3i  (b  i)i 2. 已知（为虚数单位），则（ i）a  1, b  3 a 1,b  3 a  1,b  3 A. B. C. D. a 1,b  3 x  2  0, z  3x  4y 2x  y  7  0, x  y  2  0, 3. 若实数 x，y 满足约束条件则的最大值是（）A 20 B. 18 C. 13 D. 6 sin x 1 4. 设，则“ ”是“ ”的（）xR cos x  0 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 ）是 cm 5. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位： cm （）22 16 38π ππA. B. C. D. 22π 3πy  2sin3x y  2sin 3x  6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点 5（）ππA. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 55ππC. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 15 15 2a  5,log 3 b a3b 7. 已知 A. 25 ，则（）4825 53B. 5 C. D. 9ABC  A B C , AC  AA BC, AC 18. 如图，已知正三棱柱 1 ，E，F 分别是棱 1 上的点．记 111AA 所成的角为，二面角与1 所成的角为，与平面 EF 的平面 ABC F  BC  A EF 角为，则（）               A. B. C. D.      a,bR x R,a | x  b |  | x  4 |  | 2x  5| 0 9. 已知，若对任意，则（）a  1,b  3 a  1,b  3 a  1,b  3 A. B. C. D. a 1,b  3 1a  1,a  a  a2 nN a10. 已知数列满足，则（）  n  n1n1 n3552722  100a100  100a100  3 3  100a100  A. B. C. D. 272 100a100  4 非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每空 3 分，共 36 分． 11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为 “三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 2  222  14c  a b S  c2a2  ，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面 2积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ___________． S  a  2,b  3,c  2 (x  2)(x 1)4  a  a x  a x2  a x3  a x4  a x5 a  12 已知多项式，则 2012345a  a  a  a  a  __________， ___________． 123452cos2  3sin  sin   10,    13. 若，则 __________， _________． sin  2x  2, x 1, 1    f x 14. 已知函数   f f x[a,b] 则________；若当时， 1  2x  1, x 1,   x1 f (x)  3 ，则的最大值是_________． b  a 15. 现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张， 记所抽取卡片上数字的最小值为，则 P(  2)  E()  __________， _________． x2 y2 b1(a  0,b  0) 的左焦点为 F，过 F 且斜率为 16. 已知双曲线 A x, y 的直线交双曲线于 a2 b2 4a B x, y x  0  x | FB | 3| FA| 点1  ，交双曲线的渐近线于点 2  且2 ．若，则双曲 121线的离心率是_________． 17. 设点 P 在单位圆的内接正八边形取值范围是_______． 2 2  82 的 A A A A A 上，则 28 的边 PA1  PA  PA 1212三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 34a  5c,cosC  18. 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知．ABC 5sin A （1）求（2）若的值；的面积．，求 b 11 ABC 19. 如图，已知和CDEF 都是直角梯形，，，，AB / /DC DC / /EF AB  5 ABCD ，，BAD  CDE  60，二面角 F  DC  B 的平面角为．设 DC  3 60 EF 1 AE, BC M，N 分别为的中点．（1）证明： FN  AD ；（2）求直线与平面 BM 所成角的正弦值． ADE aa  1 a  的前 n 项和为 nS nN 20. 已知等差数列的首项，公差．记．  d 1 n  n1S  2a a 6  0 S；n（1）若，求 423c，存在实数 n ，使 a  c ,an1  4cn ,an2 15c （2）若对于每个 d 的取值范围． n 成等比数列，求 nN nnx2 122P(0,1) Q 0, 21. 如图，已知椭圆．设 A，B 是椭圆上异于的两点，且点在 y 1 12 1PA, PB y  x  3 线段上，直线分别交直线于 C，D 两点． AB 2的（1）求点 P 到椭圆上点距离的最大值； | CD | （2）求的最小值． ef (x)   ln x(x  0) 22. 设函数．2x f (x) （1）求的单调区间； y  f (x) a,bR x , f x, x , f x, x , f x 的上不同三点（2）已知，曲线       处    112233(a, b) 的切线都经过点．证明： 1 a a  e 0  b  f (a)  1 （ⅰ）若，则；2 e 2e  a 112e  a 0  a  e, x  x  x （ⅱ）若 3 ，则．6e2 x1 x3 a6e2 12e（注：是自然对数的底数） e  2.71828