第 1 页 共 20 页 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． x1．不等式 0 的解为 ．2x 1 2．在等差数列 a中，若 a1 a2 a3 a4 30 ，则 a2 a3 ． n3．设 mR ，m2 m 2 m2 1 i是纯虚数，其中 i是虚数单位，则 m ．x 2 4．若 xy 0 ，1，则 y = ．1 1 1 1 5．已知 ABC 的内角 则角 的大小是 A、．B、C所对的边分别是 a，b，c．若 a2 ab b2 c2 0 ，C6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%．在一次考试中，男、女生平均分数 分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．5ax7．设常数 aR ．若 x2 的二项展开式中 x7 项的系数为-10，则 a ．98．方程 1 3x 的实数解为 ．3x 1 19．若 cos xcos y sin xsin y ，则 cos 2x 2y ．，底面半径为 是上地面圆心， 310．已知圆柱 的母线长为 lr，O与A、B是下底面圆心上 两个不同的点， BC 是母线，如图．若直线OA BC 所成角的大小 π1为，则 ．6r11．盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球，从中任意取出两个， 则这两个球的编号之积为偶数的概率是 示）． （结果用最简分数表 π12．设 AB 是椭圆 的长轴，点 C在上，且 CBA ．若 4AB 4 ，BC 2 ，则 的两个焦点之间的距离为 a2 ．13．设常数 a 0 ，若9x a 1对一切正实数 x成立，则 a的取值范围为 ．、x 14．已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1 第 1 页 共 20 页 第 2 页 共 20 页 a2 、a3 ；以 C为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1 、．、 3 ．若i, j,k,l 1,2,3 c2 c 且i j,k l ，则 a a c c 的最小值是 j l ik二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．函数 f x x2 1 x 1 的反函数为 f 1 x，则 f 1 2的值是（ ） （C）1 2 16．设常数 aR ，集合 A x | x 1 x a 0 （A） 3（B） 3 （D）1 2 ，B x | x a 1 ．若 A B R ， 则a的取值范围为（ ）（A） ,2 （B） ,2 （C） 2, （D） 2, 17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 x2 ny2 18．记椭圆 1围成的区域（含边界）为 n 1,2, ，当点 x, y 分别在 n 44n 1 1,2 ,上时， x y 的最大值分别是 M1, M2 ,，则 lim Mn （）n 1（A）0 （B） (C) 2(D) 22 4三．解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥O ABC 底面边长为 求该三棱锥的体积及表面积． O21，高为 ， AB20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分． C第19题图 甲厂以 x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条 3件要求1 x 10 ），每小时可获得的利润是100(5x 1 ) 元． x13x2 （1）求证：生产 a千克该产品所获得的利润为100a(5 )；x（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并 求此最大利润． 21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 第 2 页 共 20 页 第 3 页 共 20 页 已知函数 f (x) 2sin(x) ，其中常数 0 ．2（1）令 1，判断函数 F(x) f (x) f (x )的奇偶性并说明理由； 6（2）令 2 ，将函数 y f (x) 的图像向左平移 个单位，再往上平移 1个单位，得到函 数y g(x) 的图像．对任意的 a R ，求 y g(x) 在区间[a,a 10 ]上零点个数的所有可 能值． 22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小 题满分 8 分． 已知函数 f (x) 2 | x |．无穷数列{an}满足 an1 f (an ),n N * ．（1）若 a1 0 ，求 a2 （2）若 a1 0 ，且 a1 ，a3 a2 ，a4 ； ，，a3 成等比数列，求 a1 的值； （3）是否存在 a1 ，使得 a1 ，a2 ，a3 ，…， n …成等差数列？若存在，求出所有这样的 aa1 ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 9 分． x2 如图，已知双曲线 C1 ： y2 1，曲线 2C2 ：| y || x | 1 ．P是平面内一点，若存在过点 2 都有公共点，则称 2 型点”． 为“C1 （1）在正确证明 1 的左焦点是“C1 2 型点”时，要 P的直线与C1 、CPCCC使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的 方程（不要求验证）； 第 3 页 共 20 页 第 4 页 共 20 页 （2）设直线 y kx 与C2 有公共点，求证| k |1，进而证明原点不是“C1 C2 型点； 1（3）求证：圆 x2 y2 内的点都不是“C1 C2 型点”． 2第 4 页 共 20 页 第 5 页 共 20 页 2013 年上海高考数学试题（文科） 参考答案 一． 填空题 11. 0＜ X＜ 22. 15 3. -2 4. 1 2 35. 6. 78 7. -2 8. log3 4 79. – 910. 35711. 4 6 312. 113. , 514.-5 二． 选择题 题号 15 A16 B17 A18 D代号 三． 解答题 19.解：由已知条件可知，正三棱锥 O-ABC 的底面△ABC 是边长 为 2 的正三角形。 经计算得底面△ABC 的面积为 313所以该三锥的体积为 31= 33设 O’是正三角形 ABC 的中心 由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面 ABC 3延长 AO’交 BC 于 D，得 AD= 3 ,O’D= 32 3 3又因为 OO’=1，所以正三棱锥的斜高 OD= 第 5 页 共 20 页 第 6 页 共 20 页 12 3 3故侧面积为 6 =2 3 2所以该三棱锥的表面积为 3+2 3=3 3 3因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为3 3320.解： a（1）生产 a 千克该产品，所用的时间是 小时 x3ax所获得的利润为 100 5x 1 x13x2 所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a 5 x元13×2 （2）生产 900 千克该产品，获得的利润为 90000 5 ，x3x2 11≤x≤10,记ƒ（x）= 5,1 x 10 x21 1 1则ƒ（x）=3 5,当且仅当x 6时取到最大值。 =457500元。 x 6 12 61 获得最大利润 90000 12 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利 润 457500 元。 21. 解 ：（ 1 ） ƒ （ x ） =2sin x, F （ x ） = ƒ （ x ） + ƒ 22x 2sin x 2sin x 2 sinx cos x 4 444 44 F 2 2,F 0, F F , F F 所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。 （2）ƒ（x）=2sin x, 将 y= ƒ（x）的图像向左平移 个单位，再向上平移1 6个单6位后得到6y 2sin 2x 1的图像，所以个g（x) =2sin 2x 1 5 12 3 4令g(x) 0,得x k 或x k (k z) 因为 a,a 10 上零点个数为 21 第 6 页 共 20 页 第 7 页 共 20 页 当 a 不是零时，a k (k z)也都不是零点，区间 a k,a (k 1) 上恰有两个零点，故在 a,a 10 上有 20 个零点。 综上， y g(x)在 a,a 10 上零点个数的所有可能值为21或20. 22.解：（1）a2 2,a3 0,a4 2 （2）a2 2 a1 2 a1,a3 2 a2 2 2 a1 a1 2时，a3 2 (2 a1) a1,所以a12 (2 a1)2 ,得a1 1 ①当 0 ＜ ②当a1 ＞2 时， a3 2 (a1 2) 4 a1,所以a1(4 a1) (2 a1)2 ,得a 2 2(舍去）或a1 2 2 综合①②得a1 1或a1 2 2 （3）假设这样的等差数列存在，那么a2 2 a1 ,a3 2 2 a1 由2a2 a1 a3得2- a1+ 2- a1 2 a1 (*) 以下分情况讨论： ① 当a1 ＞2 时，由（*）得a1 0,与a1 ＞2 矛盾 ② 当 0＜a1 ≤2 时，有（*）得a1 =1，从而an 1(n 1,2,…) 所以 a 是一个的等差数列 n③ 当a1 ≤0 时，则公差d a2 a1 （a1+2）-a1 2 ＞0，因此存在 m≧2 使得am a1 2(m 1) ＞2.此时d am1 am 2 am am ＜0，矛盾 综合①②③可知，当且仅当 a1 1时，a1,a2 ,a3……构成等差数列 223．解：（1）C1 的左焦点为 F( 3,0) ，过 F 的直线 x 3 与 C1 交于 ( 3, ) ， 2与 C2 交于 ( 3,( 31))，故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”，且直线 可以为 x 3 （2）直线 y kx 与 C2 有交点，则 ；y kx (| k | 1) | x |1，若方程组有解，则必须| k |1 ；| y || x | 1 直线 y kx 与 C2 有交点，则 y kx x2 2y2 2 12 (1 2k2 )x2 2，若方程组有解，则必须 k2 故直线 y kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“C1-C2 型 点”。 1（3）显然过圆 x2 y2 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 2第 7 页 共 20 页 第 8 页 共 20 页 根据对称性，不妨设直线 l斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t,t 1)(t 0) ，则 l : y (t 1) k(x t) kx y (1 t kt) 0 1|1 t kt | k2 1 2直线 l与圆 x2 y2 内部有交点，故 212化简得， (1 t tk)2 (k2 1)。。。。。。。。。。。。① 2若直线l 与曲线 C1 有交点，则 y kx kt t 1 1 (k2 )x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0 x2 y2 1 221 4k2 (1 t kt)2 4(k2 )[(1 t kt)2 1] 0 (1 t kt)2 2(k2 1) 2化简得， (1 t kt)2 2(k2 1) 。。。。。② 1由①②得， 2(k2 1) (1 t tk)2 (k2 1) k2 1 21但此时，因为t 0,[1 t(1 k)]2 1, (k2 1) 1，即①式不成立； 21当k2 时，①式也不成立 21综上，直线 l若与圆 x2 y2 内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 21即圆 x2 y2 内的点都不是“C1-C2 型点” ． 2第 8 页 共 20 页 第 9 页 共 20 页 2013 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 考生注意： 1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后 的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 2.本试卷共有 23道试题，满分 150分.考试时间 120分钟. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. x1(0, ) 21.不等式 ＜0的解为 .2x 1 1【答案】 (0, ) 21【解析】 x(2x 1) 0 x (0, ) 22.在等差数列 【答案】 15 an 中，若 a1+ a2+ a3+ a4=30，则 a2+ a3= 15 . 【解析】 a1 a2 a3 a4 2(a2 a3 ) 30 a2 a3 15 3.设 m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中 i是虚数单位，则 m= .【答案】 -2 2m m 2 0 m2 m 2 (m2 1)i是纯虚数 m 2 【解析】 2m 1 0 x4.已知 12x y =0， =1，则 y= 1 .11 1 【答案】 1 x 2 xy【解析】 已知 x 2 0 x 2，又 x y 1 1 1 1 1 联立上式，解得x 2, y 1, 5.已知 ABC的内角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c.若 a2+ab+b2-c2=0，则角 C的大小是 23.23【答案】 a2 b2 – c2 1 2【解析】 a2 ab b2 – c2 0 cosC C 2ab 236.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中，男、女生平均分数分 别是 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 【答案】 78 78 .40 60 【解析】 平均成绩 75 80 78 100 100 第 9 页 共 20 页 第 10 页 共 20 页 5ax7.设常数 a∈R.若 x2 的二项展开式中 x7项的系数为-10，则 a= -2 . 【答案】 -2 aa【解析】 (x2 )5 C5r (x2 )5r ( )r 10×7 r 1,C51a 10 xx 5a 10,a 2 98.方程 1 3x 的实数解为 log3 4 .3x 1 【答案】 log3 4 【解析】 991 3x 3x 1 3x 1 3 3x 3 1 0 3x 4 x log3 4 3x 1 3x 1 1799.若 cosxcosy+sinxsiny= ，则 cos(2x-2y)= .37【答案】 【解析】 9179cos xcos y sin xsin y cos(x y) cos2(x y) 2cos2 (x y) 1 310.已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个 6l不同的点，BC是母线，如图.若直线 OA与 BC所成角的大小为 ，则 = 3.r【答案】 36rl3l【解析】 由题知，tan 3 3r11.盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的 5编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 75【答案】 7【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。 从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有C72 21个 第 10 页 共 20 页 第 11 页 共 20 页 2个数之积为奇数 2个数分别为奇数，共有C42 6个. CC42 657所以2个数之积为偶数的概率P 1 1 C72 21 412.设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA .若 AB=4，BC= 2，则 的两个 DBA4焦点之间的距离为 6.34【答案】 3【解析】 如右图所示。 6设D在AB上，且CD AB, AB 4, BC 2,CBA 45 CD 1, DB 1, AD 3 C(1,1) 1148 2a 4,把C(1，1)代入椭圆标准方程得 1,a2 b2 c2 b2 ,c2 a2 b2 334 2c 63a2 x1[ ,) 13.设常数 a＞0.若9x a 1对一切正实数 x成立，则 a的取值范围为 .51【答案】 [ ,) 5【解析】 考查均值不等式的应用。 a2 a2 x15由题知，当x 0时, f (x) 9x 2 9x 6a a 1 a x14.已知正方形 ABCD的边长为 1.记以 A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1 a2 、 、 a3 ；以 C为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1 、、c3 .若 i,j,k,l∈ 1，2，3 且 i≠ c2 j,k≠l，则 ai aj ·c c 的最小值是 -5 . kl【答案】 -5 【解析】 根据对称性， 当向量(ai a j )与(ck cl )互为相反向量，且它们的模最大时 ，(ai a j )(ck cl )最小。这时ai AC,a j AD,ck CA,cl CB, (ai a j )(ck cl ) | ai a j ) |2 5 。二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.函数 f (x) x2 1（x≥0）的反函数为 f -1(x)，则 f -1(2)的值是（ A ） （A） 3 （B）－ 3 （C）1+ （D）1－ 2 2 【答案】 A 【解析】 由反函数的定义可知，x 0,2 f (x) x2 1 x 3 选 A 第 11 页 共 20 页 第 12 页 共 20 页 x(x 1)(x a) 0 x x a 1 16.设常数 a∈R，集合 A= 围为（ B ） ，B= .若 A∪B=R，则 a的取值范 （A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） 【答案】 B （D）[2，+∞） 【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1 时，A=R，符合题意；当 a=2 时， B [1,), A (,1][),2) A B R,符合题意。 综上，选 B B [a 1,), A B R A (,a 1) 标准解法如下: 由(x 1)(x a) 0 当a 1时，x R,当a 1符合题意；当a 1时x (,1][a,)， 1 a 1解得1 a 2;当a 1时x (,a][1,) a a 1 a 1 .综上，a 2 选 B 17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 【答案】 A 【解析】 便宜没好货 便宜则不是好货 好货则不便宜 所以“好货”是“不便宜”的充分条件 选 A 当点（x,y）分别在 1 ，2 ，…上时，x+y的最大值分别是 M1,M2,…，则 lim M n =( D ) n 1（A）0 （B） （C）2 （D） 2 2 4【答案】 D x2 ny2 x2 y2 x2 y2 【解析】 椭圆方程为： 1 lim 1 n 144n 1 4444 n2xy2 1 联立 x2 (u x)2 4 2×2 2ux u2 4 0 4u2 8(u2 4) 0 44u x y u2 2(u2 4) 0 8 u2 u [2 2,2 2],所以x y的最大值为,2 2 选 D 三、解答题（本大题共有 5 下题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥 O-ABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积。 第 12 页 共 20 页 第 13 页 共 20 页 3【答案】 VOABC ;SOABC 3 3 311【解析】 三棱锥O ABC的体积VOABC SABC 1 3 333设O在面ABC中的射影为Q, BC的中点为E,则OQ 1，QE ，在RTOQE中 3342，OE2 OQ2 EQ2 12 ( )2 OE 333BC 三棱锥O ABC的表面积SOABC 3SOBC SABC 3 OE 3 3 3 23三棱锥O ABC的体积VOABC ,表面积SOABC 3 3 所以， 320.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分. 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1≤x≤10），每小时可获得的利 3润是 100 5x 1 元. x13（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a 5 元； x2 x（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此 最大利润. 【答案】 （1） 见下 （2） 当生产速度为 6 千克/小时，这时获得最大利润为 457500 元。 a【解析】 （1）证明：由题知，生产 a 千克该产品所需要的时间t 小时， xa313x2 所获得的利润 y 100(5x 1 ) 100a(5 )(元)，其中1 x 10. xxx13x2 生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a 5 元；（证毕） 所以， x（2） 由（1）知，生产 900 千克该产品即 a=900 千克时，获得的利润 13×2 11y 100900(5 ) 90000[5 (1 3 )] xxx1 1 11由二次函数的知识可知，当 =，即 x=6 时， y 90000[5 (1 3 )] x 6 66第 13 页 共 20 页 第 14 页 共 20 页 450000 7500 457500(元) 所以，当生产速度为 6 千克/小时，这时获得最大利润为 457500 元。 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f (x) 2sin(x)，其中常数ω＞0. 2（1）令ω=1，判断函数 F(x) f (x) f x 的奇偶性，并说明理由； 6（2）令ω=2，将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1 个单位，得到函数 y=g(x) 的图像.对任意 a∈R，求 y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值. 【答案】 （1） 不是奇函数，也不是偶函数。 （2） 20,21 【解析】 （1） 22 1时，f (x) 2sin x, F(x) f (x) f (x ) 2sin x 2sin(x ) 42 2sin x 2cos x 2 2sin(x ),周期T 2, y 2 2sin x是奇函数， 44图像左移 后得f (x) 2 2sin(x )，即不是奇函数，也不是偶函数。 6（2）ω=2，将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1 个单位，得到函数 y=g(x): 66f (x) 2sin 2x, g(x) f (x ) 1 2sin 2(x ) 1,最小正周期T .1令f (x) 0 sin 2(x ) 在一个周期内最多有3个零点，最少2个零点。 62所以 y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为 10个周期上，零点个数可以取 20,21个 22.(本题满分 16分)本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 5分，第 3小题 满分 8分. 已知函数 f (x) 2 x ，无穷数列 （1）若 a1=0，求 a2，a3，a4； an 满足 an+1=f(an),n∈N* （2）若 a1＞0，且 a1，a2，a3成等比数列，求 a1的值. （3）是否存在 a1，使得 a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不 存在，说明理由. 【答案】 （1） a2 2,a3 0,a4 2 （2） a1 1，或a1 2 2 （3） a1 1,且an 1 【解析】 （1） 由an1 f (an ) an1 2 | an | .a1 0 a2 2,a3 0,a4 2 2a2 2（2）a1,a2 ,a3成等比 a3 2- | a2 | a2 a1 (2- | a2 |)，且a2 2- | a1 | a1 (2- | a1 |)2 a1[2 | 2- | a1 ||] (2 – a1 )2 a1[2 | 2 – a1 |] 分情况讨论如何： 第 14 页 共 20 页 第 15 页 共 20 页 2当2 – a1 0时，(2 – a1 )2 a1[2 （2 – a1） a1 a1 1，且a1 2 22当2 – a1 0时，(2 – a1 )2 a1[2 （a1 2） a1 (4 a1 ) 2a1 8a1 4 0 a1 4a1 4 2 2 2a1 8a1 4 0 (a1 2)2 2 a1 2 2，且a1 2 综上，a1 1，或a1 2 2 （3） 假设存在公差为d的等差数列{an }满足题意，,则：n N*,an1 2 | an | an d 讨论如下: 2 d an | an |. 当an m即数列{an }为常数数列时，d 0,2 2an an 1 a1 1 当数列{an }不是常数数列时 an 0，2 d 0 d 2 an 0,所以不满足题意。 综上，存在a1 1的等差数列{an },且an 1满足题意。 23.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 6分，第 3小 题满分 9分. x2 如图，已知双曲线 C1: y2 1，曲线 C2: y x 1.P是平面内一点.若存在过点 P的 2直线与 C1、C2都有共同点，则称 P为“C1-C2型点”. （1）在正确证明 C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一 条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线 y=kx与 C2有公共点，求证 k＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”； 1（3）求证：圆 x2 y2 内的点都不是“C1-C2型点”. 2【答案】 （1） 3y x 3 0 【解析】 （1） x2 由C1方程： y2 1可知：a2 2,b2 1,c2 a2 b2 3, F ( 3,0) 显然，由双 12曲线 1 的几何图像性质可知，过 F的任意直线都与曲线C1相交.从曲线 2 图像上取点 C C 1P(0,1),则直线 PF 与两曲线C1、C2均有交点。这时直线方程为 13y (x 3) 3y x 3 0 3（2） 先证明“若直线y=kx与 2 有公共点，则 ＞1”. C k 第 15 页 共 20 页 第 16 页 共 20 页 b1双曲线C1的渐近线：y x x. a211若直线y kx与双曲线C1有交点，则k A （- ,）. 22若直线y kx与双曲线C2有交点，则k B （- ，-1）（1，） .所以直线 y=kx与 2 有公共点，则 ＞1 . （证毕） C k A B ,直线y kx与曲线C1、C2不能同时有公共交点 。所以原点不是“C1-C2型点”；（完） 1（3）设直线 设直线 假设直线 l过圆 x2 y2 内一点，则直线 l斜率不存在时与曲线 C1 无交点。 2| m | 1l方程为：y = kx + m，则： 2m2 1 k 2 k 2 1 2l与曲线 2 相交上方，则 y 1 C第 16 页 共 20 页 第 17 页 共 20 页 第 17 页 共 20 页 第 18 页 共 20 页 第 18 页 共 20 页 第 19 页 共 20 页 第 19 页 共 20 页 第 20 页 共 20 页 第 20 页 共 20 页
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