2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）下载

2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B=（　　） A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} =（3，18），则 夹角 2．（5 分）平面向量 ，已知 =（4，3）， 的余弦值等于（　　） A． B． C． D． 3．（5 分）已知复数 Z= ，则|z|=（　　） A． B． C．1 D．2 4．（5 分）曲线 y=x3﹣2x+1 在点（1，0）处的切线方程为（　　） A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 5．（5 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2）， 则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ ，﹣ ），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致 为（　　） 第 1 页（共 26 页） A． C． B． D． 7．（5 分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为（　　） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 8．（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（　　 ）A．{x|x＜﹣2 或 x＞4} B．{x|x＜0 或 x＞4} C．{x|x＜0 或 x ＞6} D．{x|x＜﹣2 或 x＞2} 第 2 页（共 26 页） 10．（5 分）若 cos α=﹣ ，α 是第三象限的角，则 sin（α+ ）=（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）已知▱ABCD 的三个顶点为 A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2） ，点（x，y）在▱ABCD 的内部，则 z=2x﹣5y 的取值范围是（　　） A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20） 12．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f（a） =f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（　　） A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）圆心在原点上与直线 x+y﹣2=0 相切的圆的方程为　 　． 14．（5 分）设函数 y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线， 且恒有 0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线 y=f（x）及直线 x=0， x=1，y=0 所围成部分的面积 S，先产生两组（每组 N 个），区间（0，1]上的 均匀随机数 x1，x2，…，xn 和 y1，y2，…，yn，由此得到 N 个点（x，y）（i﹣1 ，2…，N）．再数出其中满足 y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数 N1，那么由 随机模拟方法可得 S 的近似值为　 15．（5 分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何 体中的　（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱 　． 柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱． 16．（5 分）在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°． 若 AC= AB，则 BD=　 　． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分）设等差数列{an}满足 a3=5，a10=﹣9． （Ⅰ）求{an}的通项公式； 第 3 页（共 26 页） （Ⅱ）求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值． 18．（10 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为 H，PH 是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 AB= ，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 19．（10 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样 方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表： 性别 男女是否需要志愿者 40 30 需要 160 270 不需要 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例； （2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要 志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． 第 4 页（共 26 页） P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 附：K2= ．20．（10 分）设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB|； （Ⅱ）若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值． 21．设函数 f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2 （Ⅰ）若 a= ，求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若当 x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围． 22．（10 分）如图：已知圆上的弧 ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD． （Ⅱ）BC2=BE•CD． 第 5 页（共 26 页） 23．（10 分）已知直线 C1 （t 为参数），C2 （θ 为参数） ，（Ⅰ）当 α= 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 α 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 24．（10 分）设函数 f（x）=|2x﹣4|+1． （Ⅰ）画出函数 y=f（x）的图象： （Ⅱ）若不等式 f（x）≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 26 页） 2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B=（　　） A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得 A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ，11，12，13，14，15，16}，从而可求 【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} B={x| ≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15 ，16} 则 A∩B={0，1，2} 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解 A，B，属 于基础试题 　2．（5 分）平面向量 ，已知 =（4，3）， B． C． =（3，18），则 D． 夹角 的余弦值等于（　　） A． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【分析】先设出 的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据 第 7 页（共 26 页） 数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦 【解答】解：设 =（x，y）， ∵a=（4，3），2a+b=（3，18）， ∴∴cosθ= =，故选：C． 【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用： ①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 　3．（5 分）已知复数 Z= ，则|z|=（　　） C．1 A． B． D．2 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得 Z= ，由复数的模长公式 可得答案． 【解答】解：化简得 Z= ==•=•=•=，故|z|= = ， 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 　4．（5 分）曲线 y=x3﹣2x+1 在点（1，0）处的切线方程为（　　） 第 8 页（共 26 页） A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】1：常规题型；11：计算题． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用 导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率． 从而问题解决． 【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上 ∵y=x3﹣2x+1， y′=3×2﹣2，所以 k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为 1，所以 k=1； 所以曲线 y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为： y﹣0=1×（x﹣1），即 y=x﹣1． 故选：A． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某 点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　5．（5 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2）， 则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先求渐近线斜率，再用 c2=a2+b2 求离心率． 【解答】解：∵渐近线的方程是 y=± x， ∴2= •4， = ，a=2b， c= =a，e= = ，第 9 页（共 26 页） 即它的离心率为 ．故选：D． 【点评】本题考查双曲线的几何性质． 　6．（5 分）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ ，﹣ ），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致 为（　　） A． B． D． C． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离 来确定答案． 【解答】解：通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为 ，于是可以排除答 案 A，D， 再根据当 时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案 B， 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属 第 10 页（共 26 页） 于基础题． 　7．（5 分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为（　　） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分 别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径， 即球的半径 R 满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S 球=4πR2，即可得到 答案． 【解答】解：根据题意球的半径 R 满足 （2R）2=6a2， 所以 S 球=4πR2=6πa2． 故选：B． 【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长． 　8．（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（　　） 第 11 页（共 26 页） A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】28：操作型． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出 S= 的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出 S= 的值． ∵S= =1﹣ = 故选：D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的 题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码） 中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数 据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第 一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 　9．（5 分）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（　　 ）A．{x|x＜﹣2 或 x＞4} B．{x|x＜0 或 x＞4} C．{x|x＜0 或 x ＞6} D．{x|x＜﹣2 或 x＞2} 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4 ，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案． 【解答】解：由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），可得 f（x）=f（|x|） 第 12 页（共 26 页） =2|x|﹣4， 则 f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使 f（|x﹣2|）＞0，只需 2|x﹣2|﹣4＞0， |x﹣2|＞2 解得 x＞4，或 x＜0． 应选：B． 【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本 题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 　10．（5 分）若 cos α=﹣ ，α 是第三象限的角，则 sin（α+ ）=（　　） A． B． C． D． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据 α 的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得 sinα 的值，进 而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：∵α 是第三象限的角 ∴ sinα=﹣ =﹣ ， 所 以sin （ α+ ） =sinαcos +cosαsin =﹣ =﹣ ．故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系 的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 　11．（5 分）已知▱ABCD 的三个顶点为 A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2） ，点（x，y）在▱ABCD 的内部，则 z=2x﹣5y 的取值范围是（　　） A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20） 第 13 页（共 26 页） 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点 D 的坐标 是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由已知条件得 ⇒D（0，﹣4）， 由 z=2x﹣5y 得 y= ，平移直线当直线经过点 B（3，4）时，﹣ 最大， 即 z 取最小为﹣14；当直线经过点 D（0，﹣4）时，﹣ 最小，即 z 取最大为 20 ，又由于点（x，y）在四边形的内部，故 z∈（﹣14，20）． 如图：故选 B． 【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的 关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生 的数形结合思想．属于基本题型． 　12．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f（a） =f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（　　） A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象 的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有 第 14 页（共 26 页） 【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合． 【分析】画出函数的图象，根据 f（a）=f（b）=f（c），不妨 a＜b＜c，求出 abc 的范围即可． 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图， 不妨设 a＜b＜c，则 ab=1， 则 abc=c∈（10，12）． 故选：C． 【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的 能力． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）圆心在原点上与直线 x+y﹣2=0 相切的圆的方程为　x2+y2=2　． 【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程． 【解答】解：圆心到直线的距离：r= 故答案为：x2+y2=2 ，所求圆的方程为 x2+y2=2． 【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题． 　14．（5 分）设函数 y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线， 且恒有 0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线 y=f（x）及直线 x=0， x=1，y=0 所围成部分的面积 S，先产生两组（每组 N 个），区间（0，1]上的 第 15 页（共 26 页） 均匀随机数 x1，x2，…，xn 和 y1，y2，…，yn，由此得到 N 个点（x，y）（i﹣1， 2…，N）．再数出其中满足 y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数 N1，那么由随 机模拟方法可得 S 的近似值为　． 【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．菁优网版权所有 1【分析】由题意知本题是求∫0 f（x）dx，而它的几何意义是函数 f（x）（其中 0≤ f（x）≤1）的图象与 x 轴、直线 x=0 和直线 x=1 所围成图形的面积，积分得 到结果． 1【解答】解：∵∫0 f（x）dx 的几何意义是函数 f（x）（其中 0≤f（x）≤1） 的图象与 x 轴、直线 x=0 和直线 x=1 所围成图形的面积， 1∴根据几何概型易知∫0 f（x）dx≈ ．故答案为： ．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出 所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率 的值是通过长度、面积和体积的比值得到． 　15．（5 分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何 体中的　①②③⑤　（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥 ③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱． 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项 ．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱 放倒时也正确； ④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形； 故答案为：①②③⑤ 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题． 　16．（5 分）在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°． 若 AC= AB，则 BD=　2+ 　． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先利用余弦定理可分别表示出 AB，AC，把已知条件代入整理，根据 BC=3BD 推断出 CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得 AC2=4BD2+2﹣4BD 把 AC= AB，代入整理，最后联立方程消去 AB 求得 BD 的方程求得 BD． 【解答】用余弦定理求得 AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135° AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45° 即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又 BC=3BD 所以 CD=2BD 所以 由（2）得 AC2=4BD2+2﹣4BD（3） 因为 AC= AB 所以 由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD （4） （4）﹣2（1） BD2﹣4BD﹣1=0 求得 BD=2+ 故答案为：2+ 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的 推理能力． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第 17 页（共 26 页） 17．（10 分）设等差数列{an}满足 a3=5，a10=﹣9． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【分析】（1）设出首项和公差，根据 a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二 元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项． （2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前 n 项和，整理成关于 n 的一 元二次函数，二次项为负数求出最值． 【解答】解：（1）由 an=a1+（n﹣1）d 及 a3=5，a10=﹣9 得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5 解得 d=﹣2，a1=9， 数列{an}的通项公式为 an=11﹣2n （2）由（1）知 Sn=na1+ d=10n﹣n2． 因为 Sn=﹣（n﹣5）2+25． 所以 n=5 时，Sn 取得最大值． 【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从 小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 　18．（10 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为 H，PH 是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 AB= ，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 第 18 页（共 26 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想． 【分析】（Ⅰ）要证平面 PAC⊥平面 PBD，只需证明平面 PAC 内的直线 AC，垂 直平面 PBD 内的两条相交直线 PH，BD 即可． （Ⅱ） ，∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形 ABCD 的面积，PH 是棱锥的高 ，然后求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 【解答】解： （1）因为 PH 是四棱锥 P﹣ABCD 的高． 所以 AC⊥PH，又 AC⊥BD，PH，BD 都在平 PHD 内，且 PH∩BD=H． 所以 AC⊥平面 PBD． 故平面 PAC⊥平面 PBD（6 分） （2）因为 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB= 所以 HA=HB= ．．因为∠APB=∠ADB=60° 所以 PA=PB= ，HD=HC=1． 可得 PH= ．等腰梯形 ABCD 的面积为 S= ACxBD=2+ （9 分） 所以四棱锥的体积为 V= ×（2+ ）× =．（12 分） 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间 想象能力，计算能力，推理能力，是中档题． 　19．（10 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样 第 19 页（共 26 页） 方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表： 性别 是否需要志愿者 男女40 30 需要 160 270 不需要 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例； （2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要 志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 附：K2= ．【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率， （2）求 K2 的观测值查表，下结论； （3）由 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关， 则可按性别分层抽样． 【解答】解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此在 该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 （2）K2 的观测值 因为 9.967＞6.635，且 P（K2≥6.635）=0.01， 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． （3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的 比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再 第 20 页（共 26 页） 把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好． 【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基 础题． 　20．（10 分）设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB|； （Ⅱ）若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成 等差数列，能够求出|AB|的值． （2）L 的方程式为 y=x+c，其中 ，设 A（x1，y1），B（x1，y1），则 A， B 两点坐标满足方程组 ，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结 合题设条件和根与系数的关系能够求出 b 的大小． 【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，得 （2）L 的方程式为 y=x+c，其中 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A，B 两点坐标满足方程组 化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0． ．， 则．因为直线 AB 的斜率为 1，所以 第 21 页（共 26 页） 即则．．解得 ．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要 注意公式的灵活运用． 　21．设函数 f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2 （Ⅰ）若 a= ，求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若当 x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用． 【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间； （II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令 g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定 g（x）的 正负，即可求得 a 的取值范围． 【解答】解：（I）a= 时，f（x）=x（ex﹣1）﹣ x2， =（ ex﹣1）（x+1） 令 f′（x）＞0，可得 x＜﹣1 或 x＞0；令 f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0； ∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）； （II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）． 令 g（x）=ex﹣1﹣ax，则 g’（x）=ex﹣a． 若 a≤1，则当 x∈（0，+∞）时，g’（x）＞0，g（x）为增函数， 而 g（0）=0，从而当 x≥0 时 g（x）≥0，即 f（x）≥0． 若 a＞1，则当 x∈（0，lna）时，g’（x）＜0，g（x）为减函数， 而 g（0）=0，从而当 x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即 f（x）＜0． 第 22 页（共 26 页） 综合得 a 的取值范围为（﹣∞，1]． 另解：当 x=0 时，f（x）=0 成立； 当 x＞0，可得 ex﹣1﹣ax≥0，即有 a≤ 的最小值， 由 y=ex﹣x﹣1 的导数为 y′=ex﹣1， 当 x＞0 时，函数 y 递增；x＜0 时，函数递减， 可得函数 y 取得最小值 0，即 ex﹣x﹣1≥0， x＞0 时，可得 则 a≤1． ≥1， 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思 想，属于中档题． 　22．（10 分）如图：已知圆上的弧 ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD． （Ⅱ）BC2=BE•CD． 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（I）先根据题中条件：“ ”，得∠BCD=∠ABC．再根据 EC 是圆的 切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论． （II）欲证 BC2=BE x CD．即证 ．故只须证明△BDC～△ECB 即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为 所以∠BCD=∠ABC． ，第 23 页（共 26 页） 又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE=∠ABC 所以∠ACE=∠BCD．（5 分） （Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD， 所以△BDC～△ECB， 故．即 BC2=BE×CD．（10 分） 【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似 等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题． 　23．（10 分）已知直线 C1 （t 为参数），C2 （θ 为参数） ，（Ⅰ）当 α= 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 α 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方 程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（I）先消去参数将曲线 C1 与 C2 的参数方程化成普通方程，再联立方程 组求出交点坐标即可， （II）设 P（x，y），利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程，消去参数即得 普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当 α= 时，C1 的普通方程为 x2+y2=1． ，C2 的普通方程为 联立方程组 ，解得 C1 与 C2 的交点为（1，0） ．第 24 页（共 26 页） （Ⅱ）C1 的普通方程为 xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①． 则 OA 的方程为 xcosα+ysinα=0②， 联立①②可得 x=sin2α，y=﹣cosαsinα； A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）， 故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为： ，P 点轨迹的普通方程 故 P 点轨迹是圆心为 ．，半径为 的圆． 【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用 参数方程研究轨迹问题的能力． 　24．（10 分）设函数 f（x）=|2x﹣4|+1． （Ⅰ）画出函数 y=f（x）的图象： （Ⅱ）若不等式 f（x）≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值 不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题． 【分析】（I）先讨论 x 的范围，将函数 f（x）写成分段函数，然后根据分段函 数分段画出函数的图象即可； （II）根据函数 y=f（x）与函数 y=ax 的图象可知先寻找满足 f（x）≤ax 的零界情 况，从而求出 a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由于 f（x）= 函数 y=f（x）的图象如图所示． ，（Ⅱ）由函数 y=f（x）与函数 y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1） 第 25 页（共 26 页） 当且仅当 a＜﹣2 或 a≥ 时，函数y=f（x）与函数 y=ax 的图象有交点． 故不等式 f（x）≤ax 的解集非空时， a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[ ，+∞）． 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了 数形结合的数学思想，属于基础题． 第 26 页（共 26 页）