2014年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析下载

2014高考数学山东【理】 一、选择题 1.已知 a,b R A.5 4i ，i是虚数单位，若 a i B.5  4i 与2  bi 互为共轭复数，则 (a  bi)2  ( ) C.3  4i D.3 4i 2.设集合 A {x || x 1| 2} ，B {y | y  2x , x[0,2]}，则 A B  ( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 13.函数 f (x)  的定义域为 ( ) (log2 x)2 1 111A.(0, ) B.(2,) C.(0, ) (2,) D.(0, ][2,) 2224.用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x2  ax  b  0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程 x2  ax  b  0 没有实根 B.方程 x2  ax  b  0 至多有一个实根 C.方程 x2  ax  b  0 至多有两个实根 D.方程 x2  ax  b  0 恰好有两个实根 5.已知实数 x, y 满足 ax  ay （0  a 1），则下列关系式恒成立的是( ) 11A. B.ln(x2 1)  ln(y2 1) 6.直线 y  4x 与曲线 y  x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2B.4 2C.2 D.4 C.sin x  sin y D.x3  y3 x2 1 y2 1 7.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志 愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的分组区间为[12,13) [14,15) [15,16) [16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第 一组，第二组，……，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分 布直方图.已知第一组与第二组共有 20人，第三组中没有疗效的有 6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A.1 B.8 C.12D.18 8.已知函数 f (x) | x  2 | 1 ，[13,14) ，，，,g(x)  kx ,若 f (x)  g(x) 有两个不相等的实根,则实数 k的取值范围是( ) 第 1 页 共 14 页 11A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,) 22x  y 1 0, 9.已知 x, y 满足约束条件 当目标函数 z  ax  by(a  0,b  0) 在该约束条件下取到最小 2x  y 3  0, 值2 5时， a2  b2 的最小值为( ) A.5 B.4 C. 5D.2 x2 y2 x2 y2 10.已知 a  b ，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程为 1 ，C1 与C2 的离心率之积 a2 b2 a2 b2 3为，则C2 的渐近线方程为( ) 2A.x  2y  0 B. 2x  y  0 C.x  2y  0 D.2x  y  0 二、填空题 11.执行右面的程序框图，若输入的 x的值为 1，则输出的 n的值为 ；开  612.在 ABC 中，已知 AB AC  tan A，当 A  时， ABC 的面积为 ；输入 n  0 13.三棱锥 P  ABC 中， 的体积为 D，E分别为 PB ，PC 的中点，记三棱锥 D  ABE 否3V1x 4x30 V，P  ABC 的体积为 V2 ，则 ；1V2 是x  x 1 b14.若 (ax2  )6 的展开式中 x3 项的系数为 20 ，则 a2  b2 的最小值为 ；输出 结xn  n 1 15.已知函数 y  f (x)(x R) .对函数 y  g(x)(x I)，定义 g(x) 关于 f (x) 的“对称函数”为 y  h(x)(x I) ，y  h(x)满足：对任意 x I ，两个点 (x,h(x)) ，(x, g(x))关于点 (x, f (x))对称，若 h(x) 是g(x)  4  x2 关于 f (x)  3x  b 的“对称函数”，且 h(x)  g(x) 恒成立，则 实数 b的取值范围是 ；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16.（本小题满分 12 分）   12 已知向量 a  (m,cos2x) ，b  (sin 2x,n)，设函数 f (x)  ab ，且 y  f (x) 的图象过点 (, 3)和点 第 2 页 共 14 页 2 3(,2) .（Ⅰ）求 m,n 的值； （Ⅱ）将 y  f (x) 的图象向左平移 （0     ）个单位后得到函数 y  g(x) 的图象.若 y  g(x) 的图 象上各最高点到点 (0,3)的距离的最小值为 1，求 y  g(x) 的单调增区间. 17.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 ABCD  A B C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， DAB  60 ，AB  2CD  2 M， 是 11线段 AB 的中点. （Ⅰ）求证：C1M // A ADD ；11（Ⅱ）若CD1 垂直于平面 ABCD 且CD  3 ，求平面C1D M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 1118.（本小题满分 12 分） 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域 A, B ，乙被划分为两个不相交的区域C, D .某次测试要求队员接到落点在甲上的 上来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 C上记 3 分，在 D记 1 分，其它情况记 0 分.对落点在 A上的来球，小明回 球的 11B上落点在 C上的概率为 ，在 D上的概率为 ；对落点在 3上的概率为 ，在 2的来球，小明回球的落点在 13CD上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次， 55第 3 页 共 14 页 小明的两次回球互不影响.求： （Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望. 19.（本小题满分 12 分） 已知等差数列{an}的公差为 2，前 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； 4n n项和为 Sn ，且 S1, S2 , S4 成等比数列. （Ⅱ）令bn  (1)n1 ，求数列{bn}的前 项和Tn . nanan1 20.（本小题满分 13 分） ex 设函数 f (x)  k(  ln x) x2 2（k为常数， e  2.71828 是自然对数的底数）. x（Ⅰ）当 k  0 时，求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 f (x) 的取值范围. (0,2) 内存在两个极值点，求 k在21.（本小题满分 14 分） 已知抛物线C : y2  2px( p  0) 的焦点为 F，A为C上异于原点的任意一点，过点 A的直线 交于另 l C 一点 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线l1 //l ，且 （ⅰ）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； B，交 x轴的正半轴于点 D A ，且有| FA|| FD |.当点 的横坐标为3 时， ADF 为正三角形. C的方程； El1 和 有且只有一个公共点 ， C（ⅱ） ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 第 4 页 共 14 页 参考答案 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学参考答案 一．1、D 二．11、 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A 1614312、 13、 14、 215、 2 10,+ 三．16、解：（Ⅰ）已知 f (x)  a b  msin 2x  ncos2x ，π2π   , 3 , Q f (x) 的图像过点 ,2   12 3  πππ f ( ) msin  ncos  3 ，12 2π 664π 34π f ( ) msin  ncos  2 33123m  n  3  2 m  3 n 1 2解得 3122ππf (x)  3sin 2x  cos2x  2sin(2x ) g(x)  f (x+)=2sin(2x  2  ) （Ⅱ） ，662x  x Qd  1 x 1 x  0 解得 设g(x) 的对称轴为 ，000π  g(0)  2 ，解得 6362g(x)  2sin(2x  )  2sin(2x  )  2cos2x   2k  2x  2k,k  Z 2 k  x  k,k  Z 2 f (x) 的单调赠区间  k,k ,k  Z 17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形 ABCD是等腰梯形， AB  2CD 所以 AB//DC ,又由 因此CD//MA CD  MA 且M是 AB 中点， 且．AD 连接 1ABCD  A B C D 1 中， 在四棱柱 111第 5 页 共 14 页 CD//C DCD  C D 因为 可得 ,1111C D //MA,C D =MA 1111AMC D 所以四边形 1 为平行四边形 1C M //D A 因此 11C M  平面A ADDD A  平面A ADD 又,,111111C M //平面A ADD 1所以 11（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平 D C1M∩ 面 过向 于，连接 D N , ABCD  AB C N AB 做垂线交 AB 11由在CD  面ABCD ,可得 D N  AB ,故 D NC 为二面角C1  AB C 的平面角 1113RT△D CN 中， BC 1,NBC  60可得CN  ，1215 所以 ND  CD2  CN2  1123CN 5215 2RtVD CN 在中， cosD NC  ,11D N 515C D M ABCD 所成的角（锐角）的余弦值为 所以平面 和平面 ．11518、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件 A561516453P A    10 （Ⅱ） 的可能取值为 0,1,2,3,4,6 161312153535130 11315163516P   0  P  1  ，121112P   2  , P   3  51356515 111 30 1151P   4  , P   6  5210  的分布列为 第 6 页 共 14 页 0123461130 11615215 11 11 P30 10 91 1121E   0 1 2 3 4 6 其数学期望为   30 6515 30 10 30 19、解：（Ⅰ） d  2,S1  a1,S2  2a1  d, S4  4a1  6d S1, S2 , S4 成等比数列 S22  S1S4 解得 a1 1,an  2n 1 4n 11（Ⅱ）bn  (1)n1  (1)n1( )anan1 2n 1 2n 1 11 1 1 1 1111当n为偶数时，Tn  (1 )  (  )  (  )  ( )  ( )  ( ))33 5 5 7 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1 11 1 1 1 1111当n为奇数时，Tn  (1 )  (  )  (  )  ( 33 5 5 7 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1 12n  2 Tn 1 2n 1 2n 1 2n ,n为偶数 2n 1 2n  2 2n 1 T  n,n为奇数 ex  x2  2xex 2120、解：（Ⅰ） f ‘ x     k( ) x2 x4 xx  2 ex  kx x  0 x3 当令k  0 时， kx  0, ex  kx  0 f ‘ x  0 ，则 x  2   当当x 0,2 时， f x单调递减；   x 2, 时， f x单调递增．   （Ⅱ）令 g x  ex  kx   第 7 页 共 14 页 则当g ‘ x  ex  k   k  0 时， g ‘ x  0 恒成立，g x 在 0,2 上单调递增，不符合题意．     当令k  0 时g ‘ x  0 ，ex  k, x  ln k    g ‘ 0 1 k  0, g 0 1 0    g ‘ 2  e2  k  0, g 2  e2  2k  0     e2 k  2g ln k  elnk  k ln k  0 ln k 1 k  e e2 综上： k的取值范围为 e, ．221、解：（Ⅰ）当 A的横坐标为 3时，过 A作AG  x 轴于 G，pAF  3  2py FD  AF  3  A2QVAFD 为等边三角形 132p FG  FD  24OFGDxpFG  3  又23pp，C : y2  4x  3  ， p  2 242BA(x , y) FD  AF  x 1 （Ⅱ）（ⅰ）设 D x  2,0 kAB ，111y1 121Ql1 //lAB kl  y1 12l又 与相切，设切点 CE x , y ,E  1E112122 y1 4x  y2 x’  y，yE  ， yE   4y1 第 8 页 共 14 页 2 21  1444y12 4y12 4y1 xE  E , ,A , y y1 y1 44y1  y12 y1 y12 lAE : y y1  x  44y12 44y1 y12  4 即y  x 1 恒过点 1,0 直线 AE 过定点 1,0 ．y1 2y12 （ⅱ）lAB : y y1   x  ，4y12 2x  y   2 y1 4即y2  4x 8y2  y  y2  8  0 1y1 8y1  y2   y1 8 y2  y1  AB  1 y1 4y12 4y12 8 y1  y2  1 2y1 + y1 y12 y12 8y12 4y12 4y12  2   2 44点E到AB 的距离 d  4y12 4y12 1 1 3y12 y1 11842 2 23 16 ，当且仅当 y  2 时，“ ”成立． S  AB  d  2y1   2  2 122y1 y12 42y1 选择填空解析 第 9 页 共 14 页 2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，选择 符合题目要求的选项。 21.已知 a,b R,i 是虚数单位，若 a i 与2  bi 互为共轭复数，则（a  bi） （A）5 4i 答案：D (B) 5 4i (C) 3 4i (D) 3 4i 解析： a i 与2  bi 互为共轭复数， 22a  2,b 1 a  bi  2  i  4  4i  i2  3 4i 2.设集合 A {x x1  2}, B {y y  2x , x[0,2]}, 则A B  (A) [0,2] 答案：C 解析： (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) Q x 1  22  x 1 21 x  3 Q y  2x , x 0,2  y 1,4  A B  1,3 13.函数 f (x)  的定义域为 (log2 x)2 1 111(A)(0，) (B) (2， ) (C) (0，)  (2,) (D) (0，][2， ) 2 2 2答案：C 解析： 2log x 1 0 2log2 x 1 x  2 或log2 x  1 1或0  x  。24. 用反证法证明命题“设 a,b R, 则方程 x2  ax  b  0 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程 x2  ax  b  0 没有实根 (B)方程 x2  ax  b  0 至多有一个实根 (C)方程 x2  ax  b  0 至多有两个实根 (D)方程 x2  ax  b  0 恰好有两个实根 5.已知实数 x, y 满足 ax  ay (0  a 1) ，则下列关系式恒成立的是 第 10 页 共 14 页 11(A) (B) ln(x2 1)  ln(y2 1) (C) sin x  sin y (D) x3  y3 x2 1 y2 1 答案：D 解析： Qax  ay ,0  a 1 x  y ，排除 A,B，对于 C ，sin x 是周期函数，排除 C。 6.直线 y  4x 与曲线 y  x2 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A） 2 2（B） 4 2（C）2（D）4 答案：D 解析： Q4x  x3 ，Q4x  x3  x 4  x2  x 2  x 2  x  第一象限 02 14x  x3  2×2  x4  8 4  0 47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的 分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……， 第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗 效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 012 13 14 15 16 17 舒张压/kPa （A） 6（B） 8（C） 12（D）18 答案：C 解析：第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 20 0.4  50 第 11 页 共 14 页 500.36 18 18 6 12 8.已知函数 fx x  2 1 gx kx 若方程 fx g x有两个不相等的实根，则实数 k的取值范围 .,是11（A）（0，）（B）（ ，1）（C）（1，2）（D）（2， ） 22答案：B 1解析：画出 f x的图象最低点是 2,1   ，g x  kx 过原点和 2,1 时斜率最小为 ，斜率最大时g x     2的斜率与 f x x 1的斜率一致。   x – y -1 0, 9.已知 x,y满足的约束条件 当目标函数 z  ax  by(a  0,b  0)在该约束条件下取得最小 2x – y -3  0, 2值2 5时， a  b2 的最小值为 5 4 2 （A） （B） （C） 5（D） 答案：B x  y 1 0 解析： 求得交点为 2,1 ，则 2a  b  2 5，即圆心 0,0 到直线 2a  b  2 5 0 的距离 2x  y 3  0 2 2 5 的平方  22  4 。522222222xyxy10.已知 a  0,b  0 ,椭圆 C1的方程为 1，双曲线 C2的方程为 1 ， C1与 C2的离心率之 abab3积为 ，则 C2的渐近线方程为 2（A） x  2y  0（B） 2x  y  0 （C） x  2y  0（D） 2x  y  0 答案：A 解析： 第 12 页 共 14 页 c2 a2 b2 e 2  1a2 a2 c2 a2  b2 2e2  a2 a2 a4 b4 a4 32 e e  a4  4b4 2  14b2  a2二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。 11.执行下面的程序框图，若输入的 的值为1， x则输出的 n的值为 。答案：3 解析：根据判断条件 x2  4x  3  0 ，得1 x  3 输入 x 1 ，第一次判断后循环， x  x 1 2,n  n 11 第二次判断后循环， x  x 1 3,n  n 1 2 第三次判断后循环， x  x 1 4,n  n 1 3 第四次判断不满足条件，退出循环，输出 n  3 uuur uuur 612.在VABC 中，已知 AB AC  tan A，当 A  时，VABC 的面积为 。1答案： 6第 13 页 共 14 页 解析：由条件可知 AB AC  cbcos A  tan A ，62116当A  ，bc  , SABC  bcsin A  3213.三棱锥 P  ABC 中， D, E 分别为 PB, PC 的中点，记三棱锥 D  ABE 的体积为 V，P  ABC 的体 1V1积为 V2 ，则 。V2 14答案： h121解析：分别过 E,C 向平面做高 h ,h2 ，由 E为PC 的中点得 ，1h2 11114由D为PB 的中点得 SABD  SABP ，所以V1 :V2  SABD h  SABP h2  12334bx14.若 ax6  的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2  b2 的最小值为 。答案：2 b解析：将 (ax2  )6 展开，得到Tr1  C6r a6rbr x123r ，令12 3r  3,得r  3 .x由C63a3b3  20，得 ab 1，所以 a2  b2  2ab  2 .15.已知函数 y  f (x)(x R) ，对函数 y  g xx I ，定义 g x 关于 f x的“对称函数”为函数     y  h xx I   ，y  h x 满足：对任意 x I ，两个点 x,h x, x, g x关于点 x, f x对称，若           h x   是g x  4  x2 关于 f x 3x  b 的“对称函数”，且 h x  g x 恒成立，则实数      b的取值范 围是 。答案：b  2 10 解析：根据图像分析得，当 f (x)  3x  b b  2 10，由 h(x)  g(x) 恒成立得b  2 10 与g(x)  4  x2 在第二象限相切时， .第 14 页 共 14 页