2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)函数 A.{x|x≥0} 的定义域为(  ) B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1} 2.(5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这 一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是(  ) A. B. D. C. 3.(5 分)在△ABC 中, = , = .若点 D 满足 =2 ,则 =(  ) A. 4.(5 分)设 a∈R,且(a+i)2i 为正实数,则 a=(  ) A.2 B.1 C.0 B. C. D. D.﹣1 5.(5 分)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=(   )A.138 B.135 C.95 D.23 6.(5 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln 则 f(x)=(  ) 的图象关于直线 y=x 对称, A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2 7.(5 分)已知曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为(  ) A.2 B. C.﹣ D.﹣2 8.(5 分)为得到函数 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象(  ) 第 1 页(共 26 页) A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位 9.(5 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集为(  ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 10.(5 分)若直线 A.a2+b2≤1 =1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则(  ) B.a2+b2≥1 C. D. 11.(5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(  ) A. B. C. D. 12.(5 分)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选 种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数 为(  ) A.96 B.84 C.60 D.48  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 第 2 页(共 26 页) 13.(5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x﹣y 的最大值为   . 14.(5 分)已知抛物线 y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的 三个交点为顶点的三角形面积为   . .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C 15.(5 分)在△ABC 中,AB=BC, ,则该椭圆的离心率 e=   . 16.(5 分)等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值为 ,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值 等于   .  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acosB﹣bcosA= c. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 tan(A﹣B)的最大值. 18.(12 分)四棱锥 A﹣BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2 ,,AB=AC. (Ⅰ)证明:AD⊥CE; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°,求二面角 C﹣AD﹣E 的大小. 第 3 页(共 26 页) 19.(12 分)已知函数 f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx. (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间(0, )上是减函数,求实数a 的取值范围. 20.(12 分)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定 患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面 是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动 物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果 呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ)ξ 表示依方案乙所需化验次数,求 ξ 的期望. 第 4 页(共 26 页) 21.(12 分)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2, 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| |、| |、 ||成等差数列,且 与同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 22.(12 分)设函数 f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足 0<a1<1,an+1=f(an). (Ⅰ)证明:函数 f(x)在区间(0,1)是增函数; (Ⅱ)证明:an<an+1<1; (Ⅲ)设 b∈(a1,1),整数 .证明:ak+1>b.  第 5 页(共 26 页) 2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)函数 A.{x|x≥0} 的定义域为(  ) B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1} 【考点】33:函数的定义域及其求法.菁优网版权所有 【分析】偶次开方的被开方数一定非负.x(x﹣1)≥0,x≥0,解关于 x 的不等 式组,即为函数的定义域. 【解答】解:由 x(x﹣1)≥0,得 x≥1,或 x≤0. 又因为 x≥0,所以 x≥1,或 x=0;所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0} 故选:C. 【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现,通常注意偶次开方一 定非负,分式中分母不能为 0,对数函数的真数一定要大于 0,指数和对数的 底数大于 0 且不等于 1.另外还要注意正切函数的定义域.  2.(5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这 一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是(  ) A. B. D. C. 【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有 第 6 页(共 26 页) 【专题】16:压轴题;31:数形结合. 【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,汽 车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,我们可以根据实际分析函数值 S(路程) 与自变量 t(时间)之间变化趋势,分析四个答案即可得到结论. 【解答】解:由汽车经过启动后的加速行驶阶段, 路程随时间上升的速度越来越快, 故图象的前边部分为凹升的形状; 在汽车的匀速行驶阶段, 路程随时间上升的速度保持不变 故图象的中间部分为平升的形状; 在汽车减速行驶之后停车阶段, 路程随时间上升的速度越来越慢, 故图象的前边部分为凸升的形状; 分析四个答案中的图象, 只有 A 答案满足要求, 故选:A. 【点评】从左向右看图象,如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来 越慢;如果图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快;如果图象 是直线上升的,表明相应的量增长速度保持不变;如果图象是水平直线,表 明相应的量保持不变,即不增长也不降低;如果图象是凸起下降的,表明相 应的量降低速度越来越快;如果图象是凹陷下降的,表明相应的量降低速度 越来越慢;如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变.  3.(5 分)在△ABC 中, = , = .若点 D 满足 =2 ,则 =(  ) A. B. C. D. 【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有 【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已 知向量,走到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求.本题也可以 第 7 页(共 26 页) 根据 D 点把 BC 分成一比二的两部分入手. 【解答】解:∵由 ∴,,∴.故选:A. 【点评】用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减 运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题, 三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的  4.(5 分)设 a∈R,且(a+i)2i 为正实数,则 a=(  ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1 【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.菁优网版权所有 【分析】注意到 a+bi(a,b∈R)为正实数的充要条件是 a>0,b=0 【解答】解:(a+i)2i=(a2+2ai﹣1)i=﹣2a+(a2﹣1)i>0,a=﹣1.故选 D. 【点评】本题的计算中,要注意到相应变量的范围.  5.(5 分)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=(   )A.138 B.135 C.95 D.23 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组 求出基本量(首项及公差),进而代入前 n 项和公式,即可求解. 【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, 第 8 页(共 26 页) ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+ =95. 故选:C. 【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差 数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等 差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类 型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式.  6.(5 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln 的图象关于直线 y=x 对称, 则 f(x)=(  ) A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln 的图象关于直线 y=x 对称知这 两个函数互为反函数,故只要求出函数 y=f(x)的反函数即可,欲求原函数 的反函数,即从原函数 y=ln 中反解出 x,后再进行 x,y 互换,即得反函 数的解析式. 2【解答】解:∵ ,∴ ,∴x=(ey﹣1)=e2y﹣2,改写为:y=e2x﹣2 ∴答案为 A. 【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法.  7.(5 分)已知曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为(  ) A.2 B. C.﹣ D.﹣2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 第 9 页(共 26 页) 【专题】53:导数的综合应用. 【分析】求出函数的导数,切线的斜率,由两直线垂直的条件,即可得到 a 的值 .【解答】解:∵y= ,∴y′= =,∴曲线 y= ∵曲线 y= 在点(3,2)处的切线的斜率 k=﹣ , 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直, ∴直线 ax+y+1=0 的斜率 k′=﹣a× 故选:D. =﹣1,即 a=﹣2. 【点评】本题考查导数的几何意义的求法,考查导数的运算,解题时要认真审题 ,仔细解答,注意直线与直线垂直的性质的灵活运用.  8.(5 分)为得到函数 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象(  ) A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位 【考点】HJ:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式,再根据左加右 减的原则进行平移即可得到答案. 【解答】解:∵ ,只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象. 故选:A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题.  9.(5 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 第 10 页(共 26 页) <0 的解集为(  ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】首先利用奇函数定义与 得出 x 与 f(x)异号, 然后由奇函数定义求出 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 最后结合 f(x)的单调性解出答案. 【解答】解:由奇函数 f(x)可知 ,即 x 与 f(x)异号, 而 f(1)=0,则 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上也为增函 数, 当 0<x<1 时,f(x)<f(1)=0,得 当 x>1 时,f(x)>f(1)=0,得 <0,满足; >0,不满足,舍去; 当﹣1<x<0 时,f(x)>f(﹣1)=0,得 当 x<﹣1 时,f(x)<f(﹣1)=0,得 <0,满足; >0,不满足,舍去; 所以 x 的取值范围是﹣1<x<0 或 0<x<1. 故选:D. 【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性.  10.(5 分)若直线 A.a2+b2≤1 =1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则(  ) B.a2+b2≥1 C. D. 第 11 页(共 26 页) 【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径,可以得到结果. 【解答】解:直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得:d≤r ,∴ ,故选:D. 【点评】本题考查点到直线的距离公式,直线和圆的位置关系,是基础题.  11.(5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(  ) A. B. C. D. 【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;4R:转化法;5G:空间角. 【分析】法一:由题意可知三棱锥 A1﹣ABC 为正四面体,设棱长为 2,求出 AB1 及三棱锥的高,由线面角的定义可求出答案; 法二:先求出点 A1 到底面的距离 A1D 的长度,即知点 B1 到底面的距离 B1E 的长 度,再求出 AE 的长度,在直角三角形 AEB1 中求 AB1 与底面 ABC 所成角的正 切,再由同角三角函数的关系求出其正弦. 【解答】解:(法一)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在 底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,设为 D, 所以三棱锥 A1﹣ABC 为正四面体,设棱长为 2, 第 12 页(共 26 页) 则△AA1B1 是顶角为 120°等腰三角形, 所以 AB1=2×2×sin60°=2 ,A1D= =,所以 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 ==;(法二)由题意不妨令棱长为 2,点 B1 到底面的距离是 B1E, 如图,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,设为 D, 故 DA= ,由勾股定理得 A1D= =故 B1E= ,如图作 A1S⊥AB 于中点 S,过 B1 作 AB 的垂线段,垂足为 F, BF=1,B1F=A1S= ,AF=3, 在直角三角形 B1AF 中用勾股定理得:AB1=2 ,所以 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值 sin∠B1AE= 故选:B. =.【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义,还有点面距与线面距的 转化,考查了转化思想和空间想象能力.  12.(5 分)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选 种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数 为(  ) 第 13 页(共 26 页) A.96 B.84 C.60 D.48 【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些,只要分类清楚没有问题,分为 三类:分别种两种花、三种花、四种花,分这三类来列出结果. 2【解答】解:分三类:种两种花有 A4 种种法; 3种三种花有 2A4 种种法; 4种四种花有 A4 种种法. 234共有 A4 +2A4 +A4 =84. 故选:B. 【点评】本题也可以这样解:按 A﹣B﹣C﹣D 顺序种花,可分 A、C 同色与不同 色有 4×3×(1×3+2×2)=84.  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x﹣y 的最大值为 9 . 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;13:作图题. 【分析】首先作出可行域,再作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移与可行域有公共点, 直线 y=2x﹣z 在 y 轴上的截距最小时,z 有最大值,求出此时直线 y=2x﹣z 经 过的可行域内的点的坐标,代入 z=2x﹣y 中即可. 【解答】解:如图,作出可行域,作出直线 l0:y=2x,将 l0 平移至过点 A 处时, 函数 z=2x﹣y 有最大值 9. 第 14 页(共 26 页) 【点评】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.  14.(5 分)已知抛物线 y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的 三个交点为顶点的三角形面积为 2 . 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先根据抛物线 y=ax2﹣1 的焦点坐标为坐标原点,求得 a,得到抛物线方 程,进而可知与坐标轴的交点的坐标,进而可得答案. 【解答】解:由抛物线 y=ax2﹣1 的焦点坐标为 坐标原点得, ,则 与坐标轴的交点为(0,﹣1),(﹣2,0),(2,0) ,则以这三点围成的三角形的面积为 故答案为 2 【点评】本题主要考查抛物线的应用.考查了学生综合运用所学知识,解决实际 问题的能力.  15.(5 分)在△ABC 中,AB=BC, ,则该椭圆的离心率 e= . .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C 【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 第 15 页(共 26 页) 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】设 AB=BC=1, ,则 ,由此可 ,知,从而求出该椭圆的离心率. 【解答】解:设 AB=BC=1, ,则 .∴,答案: . 【点评】本题考查椭圆的性质及应用,解题时要注意的正确计算.  16.(5 分)等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值为 ,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值 等于 . 【考点】LM:异面直线及其所成的角;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】先找出二面角的平面角,建立边之间的等量关系,再利用向量法将所求 异面直线用基底表示,然后利用向量的所成角公式求出所成角即可. 【解答】解:设 AB=2,作 CO⊥面 ABDE, OH ⊥ AB , 则CH ⊥ AB , ∠ CHO 为 二 面 角C﹣AB﹣D 的 平 面 角 ,结合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥, 则,=故 EM,AN 所成角的余弦值 故答案为: 第 16 页(共 26 页) 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力,属于基础题.  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acosB﹣bcosA= c. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 tan(A﹣B)的最大值. 【考点】GP:两角和与差的三角函数;HP:正弦定理.菁优网版权所有 【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数, (Ⅰ)由正弦定理的边角互化,我们可将已知中 到 sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求 ,进行转化得 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,结合角 A,B,C 为△ABC 的内角,我们易得 tanA=4tanB >0,则 tan(A﹣B)可化为 ,再结合基本不等式即可得到 tan( A﹣B)的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)在△ABC 中, 由正弦定理得 ,即 sinAcosB=4cosAsinB, 则;第 17 页(共 26 页) (Ⅱ)由 得tanA=4tanB>0 当且仅当 故当 时,等号成立, 时, tan(A﹣B)的最大值为 . 【点评】在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于 边角互化,使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式.  18.(12 分)四棱锥 A﹣BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2 ,,AB=AC. (Ⅰ)证明:AD⊥CE; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°,求二面角 C﹣AD﹣E 的大小. 【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】5F:空间位置关系与距离. 【分析】(1)取 BC 中点 F,证明 CE⊥面 ADF,通过证明线面垂直来达到证明线 线垂直的目的. (2)在面 AED 内过点 E 作 AD 的垂线,垂足为 G,由(1)知,CE⊥AD,则∠CGE 即为所求二面角的平面角,△CGE 中,使用余弦定理求出此角的大小. 【解答】解:(1)取 BC 中点 F,连接 DF 交 CE 于点 O, ∵AB=AC,∴AF⊥BC. 又面 ABC⊥面 BCDE,∴AF⊥面 BCDE,∴AF⊥CE. 第 18 页(共 26 页) 再根据 ,可得∠CED=∠FDC. 又∠CDE=90°,∴∠OED+∠ODE=90°, ∴∠DOE=90°,即 CE⊥DF,∴CE⊥面 ADF,∴CE⊥AD. (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G. ∵CG⊥AD,CE⊥AD,∴AD⊥面 CEG,∴EG⊥AD, 则∠CGE 即为所求二面角的平面角. 作 CH⊥AB,H 为垂足. ∵平面 ABC⊥平面 BCDE,矩形 BCDE 中,BE⊥BC,故 BE⊥平面 ABC,CH⊂平面 ABC ,故 BE⊥CH,而 AB∩BE=B,故 CH⊥平面 ABE, ∴∠CEH=45°为 CE 与平面 ABE 所成的角. ∵CE= ,∴CH=EH= .直 角 三 角 形CBH 中 , 利 用 勾 股 定 理 求 得BH= AH=AB﹣BH=AC﹣1; ==1 , ∴ 直角三角形 ACH 中,由勾股定理求得 AC2=CH2+AH2=3+(AC﹣1)2,∴AB=AC=2. 由面 ABC⊥面 BCDE,矩形 BCDE 中 CD⊥CB,可得 CD⊥面 ABC, 故△ACD 为直角三角形,AD= ==,故 CG= ==,DG= =,,又 ,则∴,,即二面角 C﹣AD﹣E 的大小 .第 19 页(共 26 页) 【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法,以及求二面角 的大小的方法,属于中档题.  19.(12 分)已知函数 f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx. (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间(0, )上是减函数,求实数a 的取值范围. 【考点】3D:函数的单调性及单调区间;3E:函数单调性的性质与判断.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】(1)求单调区间,先求导,令导函数大于等于 0 即可. (2)已知 f(x)在区间(0, )上是减函数,即f′(x)≤0 在区间(0, )上 恒成立,然后用分离参数求最值即可. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=3 时,f(x)=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴解 f′(x)>0, 即:2×2﹣3x+1<0 函数 f(x)的单调递增区间是 .(Ⅱ)f′(x)=﹣2x+a﹣ , 第 20 页(共 26 页) ∵f(x)在 ∴x∈ 上为减函数, 时﹣2x+a﹣ ≤0 恒成立. 即 a≤2x+ 恒成立. 设,则 ∵x∈ 时, >4, ∴g′(x)<0, ∴g(x)在 上递减, ∴g(x)>g( )=3, ∴a≤3. 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围,此类问题 一般用导数解决,综合性较强.  20.(12 分)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定 患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面 是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动 物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果 呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ)ξ 表示依方案乙所需化验次数,求 ξ 的期望. 【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率;CH:离散型随机变量的期望与 方差.菁优网版权所有 【分析】(1)由题意得到这两种方案的化验次数,算出在各个次数下的概率, 写出化验次数的分布列,求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验 次数的概率. 第 21 页(共 26 页) (2)根据上一问乙的化验次数的分布列,利用期望计算公式得到结果. 【解答】解:(Ⅰ)若乙验两次时,有两种可能: ①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为: ②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有, 均可以在第二次结束) ,∴乙只用两次的概率为 .若乙验三次时,只有一种可能: 先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率 为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为: (Ⅱ)ξ 表示依方案乙所需化验次数, ∴ξ 的期望为 Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4. 【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的 特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫.同时,它在市场预测, 经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科 产生深远的影响.  21.(12 分)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2, 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| |、| |、 ||成等差数列,且 与同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 第 22 页(共 26 页) 【考点】KB:双曲线的标准方程;KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】(1)由 2 个向量同向,得到渐近线的夹角范围,求出离心率的范围, 再用勾股定理得出直角三角形的 2 个直角边的长度比,联想到渐近线的夹角, 求出渐近线的斜率,进而求出离心率. (2)利用第(1)的结论,设出双曲线的方程,将 AB 方程代入,运用根与系数 的关系及弦长公式,求出待定系数,即可求出双曲线方程. 【解答】解:(1)设双曲线方程为 ∴渐近线的倾斜角范围为(0, ), ∴渐近线斜率为: ,由 ,同向, ,∴ .∵| |、| |、| |成等差数列,∴|OB|+|OA|=2|AB|, ∴|AB|2=(|OB|﹣|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)•2|AB|, ∴,∴,可得: ,而在直角三角形 OAB 中, 注意到三角形 OAF 也为直角三角形,即 tan∠AOB= , 而由对称性可知:OA 的斜率为 k=tan ,∴∴,∴2k2+3k﹣2=0,∴ ;,∴ ,∴ .(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为 ﹣=1,∴c= b. 由于 AB 的倾斜角为 + ∠AOB,故 AB 的斜率为 tan( + ∠AOB )=﹣cot( 第 23 页(共 26 页) ∠AOB)=﹣2, ∴AB 的直线方程为 y=﹣2(x﹣ b),代入双曲线方程得:15×2﹣32 bx+84b2=0 ,∴x1+x2= ∴,x1•x2= •,4= =•,即16= ﹣112b2, ∴b2=9,所求双曲线方程为: ﹣=1. 【点评】做到边做边看,从而发现题中的巧妙,如据 ,联想到对应的是 2 渐近线的夹角的正切值,属于中档题.  22.(12 分)设函数 f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足 0<a1<1,an+1=f(an). (Ⅰ)证明:函数 f(x)在区间(0,1)是增函数; (Ⅱ)证明:an<an+1<1; (Ⅲ)设 b∈(a1,1),整数 .证明:ak+1>b. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;RG:数学归纳法.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】(1)首先求出函数的导数,然后令 f′(x)=0,解出函数的极值点,最 后根据导数判断函数在区间(0,1)上的单调性,从而 进行证明. (2)由题意数列{an}满足 0<a1<1,an+1=f(an),求出 an+1=an﹣anlnan,然后利 用归纳法进行证明; (3)由题意 f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得 ak+1=ak﹣b﹣ak,然后进行讨论求 解. 第 24 页(共 26 页) 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵f(x)=x﹣xlnx, ∴f′(x)=﹣lnx, 当 x∈(0,1)时,f′(x)=﹣lnx>0 故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明:(用数学归纳法) (i)当 n=1 时,0<a1<1,a1lna1<0, a2=f(a1)=a1﹣a1lna1>a1, ∵函数 f(x)在区间(0,1)是增函数且函数 f(x)在 x=1 处连续, ∴f(x)在区间(0,1]是增函数, a2=f(a1)=a1﹣a1lna1<1,即 a1<a2<1 成立, (ⅱ)假设当 x=k(k∈N+)时,ak<ak+1<1 成立, 即 0<a1≤ak<ak+1<1, 那么当 n=k+1 时,由 f(x)在区间(0,1]是增函数,0<a1≤ak<ak+1<1, 得 f(ak)<f(ak+1)<f(1), 而 an+1=f(an), 则 ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),ak+1<ak+2<1, 也就是说当 n=k+1 时,an<an+1<1 也成立, 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数 n,an<an+1<1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得 ak+1=ak﹣aklnak= ,1)若存在某 i≤k,满足 ai≤b,则由(Ⅱ)知:ak+1﹣b>ai﹣b≥0, 2 ) 若 对 任 意i ≤ k , 都 有ai > b , 则ak+1=ak﹣aklnak= =≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0, 即 ak+1>b 成立. 第 25 页(共 26 页) 【点评】此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数 、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用,一般出题者喜欢考查学生 的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,要出学生会用数 形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想来解 决问题. 第 26 页(共 26 页)

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