湖南省常德市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题 8个小题，每小题 3分，满分 24分） 1．（3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1） D． 2．（3分）下列各数中比 3大比 4小的无理数是（　　） A． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． + B．＝3 4．（3分）某公司全体职工的月工资如下： B． C．3.1 C．＝＝﹣2 D．＝月工资（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1（总经理）2（副总经 3410 20 22 12 6理）该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115，极差为 16800，公司的普通员工最关注的数据是（　　） A．中位数和众数 B．平均数和众数 D．平均数和极差 C．平均数和中位数 5．（3分）如图是由 4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说： “至少 15元．”乙说：“至多 12元．”丙说：“至多 10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格 x（元）所在的范围为（　　） A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14 7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为 1，△ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（　　） 1A．20 B．22 C．24 D．26 8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（　　） A．0 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 3分，满分 24分） 9．（3分）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是　． 10．（3分）不等式 3x+1＞2（x+4）的解为　． B．1 C．7 D．8 11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是 89.7，方差分别是 S 甲 2＝2.83，S 乙 2＝1.71，S 丙 2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是　　． 12．（3分）国产手机芯片麒麟 980是全球首个 7纳米制程芯片，已知 1纳米＝0.000 000 001 米，将 7纳米用科学记数法表示为　米． 13．（3分）二元一次方程组的解为　　． 14．（3分）如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点 D 在 AC 边上，将△ ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD′，且点 D′、D、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的度数是　　． 15．（3分）若 x2+x＝1，则 3×4+3×3+3x+1的值为　　． 16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P 是二次函数 y＝ x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y＝﹣1于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其中正确的是　．（填序号） 2三、（本大题 2个小题，每小题 5分，满分 10分） 17．（5分）计算：6sin45°+|2 ﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣ ）0． 18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．四、（本大题 2个小题，每小题 6分，满分 12分） 19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（ 1）． ﹣）÷（ ﹣20．（6分）如图，一次函数 y＝﹣x+3的图象与反比例函数 y＝（k≠0）在第一象限的图象交于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点 P 在 x 轴上，且△APC 的面积为 5，求点 P 的坐标．五、（本大题 2个小题，每小题 7分，满分 14分） 21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 22．（7分）如图，⊙O 与△ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB、BC 边分别交于点 D、E，DE∥ OA，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线； 3（2）若 BD＝4，EC＝6，求 AC 的长．六、（本大题 2个小题，每小题 8分，满分 16分） 23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了 2到 5种帮扶措施，现把享受了 2种、3种、4种和 5种帮扶措施的贫困户分别称为 A、B、C、D 类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户 C 类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有 13000户贫困户，请估计至少得到 4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从 D 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率． 24．（8分）图 1是一种淋浴喷头，图 2是图 1的示意图，若用支架把喷头固定在点 A 处，手柄长 AB＝25cm，AB 与墙壁 DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流 BC 与 AB 形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且使 DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ 4（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72° ≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．七、（本大题 2个小题，每小题 10分，满分 20分） 25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 A（1，4），与坐标轴交于 B、C、D 三点，且 B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M、N，且点 N 在点 M 的左侧，过 M、 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G、H 两点，当四边形 MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形 MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点 P，使△PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 26．（10分）在等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，BN⊥AC 交 AC 于点 N．（1）在图 1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图 2中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 PE∥AB 交 CM 于点 E，作 PF∥AC 交 BN 于点 F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图 3中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 PE∥AB 交 CM 的延长线于点 E，作 PF∥AC 交 NB 的延长线于点 F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE． 562019年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题 8个小题，每小题 3分，满分 24分） 1．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣ 2）．故选：B． 2．【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4 ∴选项中比 3大比 4小的无理数只有故选：A．．3．【解答】解：A、原式＝ +2，所以 A 选项错误； B、原式＝2 ，所以 B 选项错误； C、原式＝2，所以 C 选项错误； D、原式＝故选：D．＝，所以 D 选项正确． 4．【解答】解：∵数据的极差为 16800，较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A． 5．【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：．故选：C． 6．【解答】解：根据题意可得：，可得：12＜x＜15， ∴12＜x＜15 故选：B． 7．【解答】解：如图， 7根据题意得△AFH∽△ADE，）2＝（）2＝ ∴＝（设 S△AFH＝9x，则 S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7，解得 x＝1， ∴S△ADE＝16， ∴四边形 DBCE 的面积＝42﹣16＝26．故选：D． 8．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴个位数 4个数一循环， ∴（2019+1）÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20， ∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．二、填空题（本大题 8个小题，每小题 3分，满分 24分） 9．【解答】解：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．故答案为：3． 10．【解答】解：3x+1＞2（x+4）， 3x+1＞2x+8， x＞7．故答案为：x＞7． 11．【解答】解：∵S 甲 2＝2.83，S 乙 2＝1.71，S 丙 2＝3.52，而 1.71＜2.83＜3.52， ∴乙的成绩最稳定， ∴派乙去参赛更好，故答案为乙． 12．【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米． 8故答案为：7×10﹣9 13．【解答】解：．②﹣①得 x＝1 ③ 将③代入①得 y＝5 ∴故答案为： 14．【解答】解：∵将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD′， ∴∠BAC＝∠CAD’＝45°，AD＝AD’ ∴∠AD’D＝67.5°，∠D’AB＝90° ∴∠ABD＝22.5° 故答案为：22.5° 15．【解答】解：∵x2+x＝1， ∴3×4+3×3+3x+1＝3×2（x2+x）+3x+1＝3×2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；故答案为：4． 16．【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等， ①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点 P（m， m2），则 Q（m，﹣1）， ∴MP＝＝，PQ＝ +1， ∵点 P 在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝ +1， ∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ， ∴四边形 PMNQ 是广义菱形． ④正确；故答案为①④； 9三、（本大题 2个小题，每小题 5分，满分 10分） 17．【解答】解：原式＝6× ﹣2 +7﹣8+1＝ 18．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；．∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17； ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．四、（本大题 2个小题，每小题 6分，满分 12分） 19．【解答】解：（ ﹣）÷（ ﹣1）＝[ ]÷[ ]＝＝＝＝，当 x＝2时，原式＝＝． 20．【解答】解：（1）把点 A（1，a）代入 y＝﹣x+3，得 a＝2， ∴A（1，2）把 A（1，2）代入反比例函数 y＝ ∴k＝1×2＝2；，∴反比例函数的表达式为 y＝；（2）∵一次函数 y＝﹣x+3的图象与 x 轴交于点 C， ∴C（3，0），设 P（x，0）， 10 ∴PC＝|3﹣x|， ∴S△APC＝ |3﹣x|×2＝5， ∴x＝﹣2或 x＝8， ∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．五、（本大题 2个小题，每小题 7分，满分 14分） 21．【解答】解：（1）设 y 甲＝k1x，根据题意得 5k1＝100，解得 k1＝20，∴y 甲＝20x；设 y 乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得 k2＝10，∴y 乙＝10x+100；（2）①y 甲＜y 乙，即 20x＜10x+100，解得 x＜10，当入园次数小于 10次时，选择甲消费卡比较合算； ②y 甲＝y 乙，即 20x＝10x+100，解得 x＝10，当入园次数等于 10次时，选择两种消费卡费用一样； ③y 甲＞y 乙，即 20x＞10x+100，解得 x＞10，当入园次数大于 10次时，选择乙消费卡比较合算． 22．【解答】（1）证明：连接 OD、CD， ∵CE 是⊙O 的直径， ∴∠EDC＝90°， ∵DE∥OA， ∴OA⊥CD， ∴OA 垂直平分 CD， ∴OD＝OC， ∴OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC， ∵AC 是切线， ∴∠ACB＝90°，在△AOD 和△AOC 中 11 ∴△AOD≌△AOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD 是半径， ∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵BD 是⊙O 切线， ∴BD2＝BE•BC，设 BE＝x，∵BD＝4，EC＝6， ∴42＝x（x+6），解得 x＝2或 x＝﹣8（舍去）， ∴BE＝2， ∴BC＝BE+EC＝8， ∵AD、AC 是⊙O 的切线， ∴AD＝AC，设 AD＝AC＝y，在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2+BC2， ∴（4+y）2＝y2+82，解得 y＝6， ∴AC＝6，故 AC 的长为 6．六、（本大题 2个小题，每小题 8分，满分 16分） 23．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为 260÷52%＝500（户）； 12 （2）抽查 C 类贫困户为 500×24%＝120（户），补全图形如下：（3）估计至少得到 4项帮扶措施的大约有 13000×（24%+16%）＝5200（户）；（4）画树状图如下：由树状图知共有 12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有 2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为＝． 24．【解答】解：过点 B 作 BG⊥D′D 于点 G，延长 EC、GB 交于点 F， ∵AB＝25，DE＝50， ∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20， ∴BF＝50﹣15＝35， ∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°， ∴∠GBA＝53°， ∴∠CBF＝55°， ∴∠BCF＝35°， ∵tan35°＝ ∴CF≈ ，＝50， 13 ∴FE＝50+130＝180， ∴GD＝FE＝180， ∴AD＝180﹣20＝160， ∴安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 的位置．七、（本大题 2个小题，每小题 10分，满分 20分） 25．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点 B 的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）设点 M 的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点 N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则 MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形 MNHG 的周长 C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2×2+8x+2， ∵﹣2＜0，故当 x＝﹣ ＝2，C 有最大值，最大值为 10，此时 x＝2，点 N（0，3）与点 D 重合；（3）△PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的，则 S△PNC＝ ×MN×GM＝ ×2×3＝，连接 DC，在 CD 得上下方等距离处作 CD 的平行线 m、n，过点 P 作 y 轴的平行线交 CD、直线 n 于点 H、G，即 PH＝GH，过点 P 作 PK∥⊥CD 于点 K， 14 将 C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线 CD 的表达式为：y＝﹣x+3， OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3 设点 P（x，﹣x2+2x+3），则点 H（x，﹣x+3），，S△PNC ＝＝ ×PK×CD＝ ×PH×sin45°×3 ，解得：PH＝＝HG，则 PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝故点 P（，，），直线 n 的表达式为：y＝﹣x+3﹣ ＝﹣x+ …②，联立①②并解得：x＝，即点 P′、P″的坐标分别为（，）、（）或（，）；故点 P 坐标为：（，）或（，，）． 26．【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC 和△CNB 中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）； 15 （2）∵△BMC≌△CNB， ∴BM＝NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴＝，∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴＝，∴ + ＝ + ＝1， ∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC＝BN， ∵∠ANB＝90°， ∴∠MAC+∠ABN＝90°， ∵∠OMB＝90°， ∴∠MOB+∠ABN＝90°， ∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°， ∴△AMC∽△OMB， ∴＝，∴AM•MB＝OM•MC， ∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN， ∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE． 16