湖南省张家界市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 3分，满分 24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）2019的相反数是（　　） A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣ 2．（3分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于 2019年 6月 1日起，对原产于美国的 600亿美元进口商品加征关税，其中 600亿美元用科学记数法表示为（　　）美元． A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109 3．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． D． C． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 D．（a3）2＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件 B．天气预报说“明天的降水概率为 65%”，意味着明天一定下雨 C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定 D．数据 5，6，7，7，8的中位数与众数均为 7 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． C． B． D． 7．（3分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD 平分∠ABC，则点 D 到 AB 的 1距离等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45° 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019次得到正方形 OA2019 2019 2019 那么点 A2019的坐标是（　　） BC，A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分） 9．（3分）因式分解：x2y﹣y＝　　． 10．（3分）已知直线 a∥b，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置（∠BAC ＝30°），并且顶点 A，C 分别落在直线 a，b 上，若∠1＝18°，则∠2 的度数是　． 11．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班 40 名学生的捐书情况：捐书（本）人数 3545710 7710 11 该班学生平均每人捐书　　本． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在反比例函数 y＝的图象上，已知菱形的周长是 8，∠COA＝60°，则 k 的值是　　． 213．（3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864平方步，只知道它的长与宽共 60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　　步． 14．（3分）如图：正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点，连接 AE，BF 交于点 P，连接 PD，则 tan∠APD＝　．三、解答题（本大题共 9个小题，满分 58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效） 15．（5分）计算：（3.14﹣π）0+| ﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019 ．16．（5分）先化简，再求值：（﹣1）÷ ，然后从 0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 17．（5分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长． 318．（6分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵 30元，乙种树苗每棵 20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的 2倍少 40棵，购买两种树苗的总金额为 9000 元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共 10棵，总费用不超过 230元，求可能的购买方案？ 19．（6分）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…， an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示．如：数列 1，3， 5，7，…为等差数列，其中 a1＝1，a2＝3，公差为 d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列 5，10，15，…的公差 d 为　　，第 5项是　　．（2）如果一个数列 a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以 a2＝a1+d a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（　　）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？ 20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道 A 处开始，沿 A﹣B﹣C 路线对索道进行检修维护．如图：已知 AB ＝500米，BC＝800米，AB 与水平线 AA1 的夹角是 30°，BC 与水平线 BB1 的夹角是 60 °．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 CA1是多少米？（结果精确到 1米，参考数据： ≈1.732） 421．（7分）如图，AB 为⊙O 的直径，且 AB＝4 ，点 C 是上的一动点（不与A，B 重合），过点 B 作⊙O 的切线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积． 22．（8分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．（1）本次随机调查的学生人数是　（2）请你补全条形统计图；　人；（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于　　度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率． 523．（10分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）过点 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形；（3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点 P 的坐标；（4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问：AQ+QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 62019年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 3分，满分 24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B． 2．【解答】解：600亿＝6×1010．故选：A． 3．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选：C． 4．【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5；A 错误； a2+a3＝a2+a3；B 错误；（a+b）2＝a2+b2+2ab；C 错误；（a3）2＝a3×2＝a6；D 正确；故选：D． 5．【解答】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故 A 错误； B．天气预报说“明天的降水概率为 65%”，意味着明天可能下雨，故 B 错误； C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故 C 错误； D，数据 5，6，7，7，8的中位数与众数均为 7，正确．故选：D． 6．【解答】解：解不等式 2x﹣2≤0，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B． 7．【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E， ∵AC＝8，DC＝AD， ∴CD＝8×＝2， 7∵∠C＝90°，BD 平分∠ABC， ∴DE＝CD＝2，即点 D 到 AB 的距离为 2．故选：C． 8．【解答】解：∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1， ∴A（0，1）， ∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1， ∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是 8次一循环，所以 2019÷8＝252…余 3， ∴点 A2019的坐标为（，﹣）故选：A．二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分） 9．【解答】解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）． 10．【解答】解：∵a∥b， ∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，故答案为：48° 11．【解答】解：该班学生平均每人捐书＝6（本），故答案为：6． 12．【解答】解：过点 C 作 CD⊥OA，垂足为 D， ∵∠COA＝60° 8∴∠OCD＝90°﹣60°＝30° 又∵菱形 OABC 的周长是 8， ∴OC＝OA＝AB＝BC＝2，在 Rt△COD 中，OD＝OC＝1， ∴CD＝，∴C（1，），把 C（1，）代入反比例函数y＝得：k＝1× 故答案为：＝，．13．【解答】解：设长为 x 步，宽为（60﹣x）步， x（60﹣x）＝864，解得，x1＝36，x2＝24（舍去）， ∴当 x＝36时，60﹣x＝24， ∴长比宽多：36﹣24＝12（步），故答案为：12． 14．【解答】解：连接 AF， ∵E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， ∴CF＝BE，，在△ABE 和△BCF 中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， 9∴∠BPE＝∠APF＝90°， ∵∠ADF＝90°， ∴∠ADF+∠APF＝180°， ∴A、P、F、D 四点共圆， ∴∠AFD＝∠APD， ∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共 9个小题，满分 58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效） 15．【解答】解：（3.14﹣π）0+| ﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019 ＝1+ ﹣1﹣2×﹣1 ＝﹣1； 16．【解答】解：原式＝（﹣）÷ ＝• ＝，当 x＝0时，原式＝﹣1． 17．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴＝＝， ∴BF＝AD＝BC， ∴BF＝CF；（2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD， 10 ∴△FGC∽△DGA， ∴＝，即＝，解得，FG＝2． 18．【解答】解：（1）设购买甲种树苗 x 棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000， 50x＝9800， x＝196， ∴购买甲种树苗 196棵，乙种树苗 352棵；（2）设购买甲树苗 y 棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230， 10y≤30， ∴y≤3；购买方案 1：购买甲树苗 3棵，乙树苗 7棵；购买方案 2：购买甲树苗 2棵，乙树苗 8棵；购买方案 3：购买甲树苗 1棵，乙树苗 9棵；购买方案 4：购买甲树苗 0棵，乙树苗 10棵； 19．【解答】解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5； ∵a3＝15， a4＝a3+d＝15+5＝20， a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+d a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d， …… ∴an＝a1+（n﹣1）d 故答案为：n﹣1．（3）根据题意得， 11 等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019 ∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第 2019项． 20．【解答】解：如图，过点 B 作 BH⊥AA1于点 H．在 Rt△ABH 中，AB＝500，∠BAH＝30°， ∴BH＝AB＝（米）， ∴A1B1＝BH＝250（米），在 Rt△BB1C 中，BC＝800，∠CBB1＝60°， ∴，∴B1C＝＝400 ，∴检修人员上升的垂直高度 CA1＝CB1+A1B1＝400 +250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度 CA1为 943米． 21．【解答】解：（1）如图，连接 BC，OC，OE， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，在 Rt△BDC 中，∵BE＝ED， ∴DE＝EC＝BE， ∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE（SSS）， 12 ∴∠OCE＝∠OBE， ∵BD 是⊙O 的切线， ∴∠ABD＝90°， ∴∠OCE＝∠ABD＝90°， ∵OC 为半径， ∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE， ∴AD∥OE， ∴∠D＝∠OEB， ∵∠D＝30°， ∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵AB＝4 ∴OB＝2 ∴，，．∴四边形 OBEC 的面积为 2S△OBE＝2×＝12 ∴阴影部分面积为 S 四边形 OBEC﹣S 扇形 BOC＝12 ，﹣＝12 ﹣4π． 22．【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；故答案为：60；（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图 1所示：（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×＝108°，故答案为：108；（4）画树状图如图 2所示：共有 16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有 4个， ∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝． 13 23．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点 D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°， AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形 ADBM 为菱形，而∠AMB＝90°， ∴四边形 ADBM 为正方形；（3）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，设点 P（x，x2﹣4x+3），则点 H（x，﹣x+3），则 S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x）， ∵﹣＜0，故 S△PBC 有最大值，此时 x＝，故点 P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点 C 作与 y 轴夹角为 30°的直线 CH，过点 A 作 AH⊥CH，垂足为 H，则 HQ＝CQ， AQ+QC 最小值＝AQ+HQ＝AH， 14 直线 HC 所在表达式中的 k 值为，直线HC 的表达式为：y＝ x+3…① 则直线 AH 所在表达式中的 k 值为﹣，则直线 AH 的表达式为：y＝﹣x+s，将点 A 的坐标代入上式并解得：则直线 AH 的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点 H（，），而点 A（1，0），则 AH＝，即：AQ+QC 的最小值为． 15