湖南省怀化市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题 4分，共 40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（　　） A．0 2．（4分）单项式﹣5ab 的系数是（　　） A．5 B．﹣5 B．3 C． D．﹣1 D．﹣2 C．2 3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为 27600平方公里，将 27600用科学记数法表示为（　　） A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105 4．（4分）抽样调查某班 10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160， 160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（　　） A．152 5．（4分）与 30°的角互为余角的角的度数是（　　） A．30° B．60° C．70° 6．（4分）一元一次方程 x﹣2＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 B．160 C．165 D．170 D．90° D．x＝1 7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D． 8．（4分）已知∠α 为锐角，且 sinα＝，则∠α＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．（4分）一元二次方程 x2+2x+1＝0的解是（　　） 1A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1只；若每户发放母羊 5只，则多出 17只母羊，若每户发放母羊 7只，则有一户可分得母羊但不足 3只．这批种羊共（　　）只． A．55 B．72 C．83 D．89 二、填空题（每小题 4分，共 24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　　． 12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝　 13．（4分）计算：＝　　．　． ﹣14．（4分）若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为　 15．（4分）当 a＝﹣1，b＝3时，代数式 2a﹣b 的值等于　． 16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　．　．三、解答题（本大题共 7小题，共 86分） 17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣ +|﹣3| 18．（8分）解二元一次方组： 19．（10分）已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF； 2（2）求证：四边形 AECF 是矩形． 20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 B 处测得对岸 A 处一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒 1.5米的速度沿着河岸向东步行 40秒后到达 C 处，此时测得柳树位于北偏东 30°方向，试计算此段河面的宽度． 21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭 10次的成绩（单位：环数）如下：次数王方李明 178210 9398489568698799878910 10 810 10 （1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方 10次射箭得分情况环数频数频率 678910 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　李明 10次射箭得分情况环数频数频率 678910 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）分别求出两人 10次射箭得分的平均数； 3（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适． 22．（12分）如图，A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5等分点，连接 AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形 MNFGH．（1）计算∠CAD 的度数；（2）连接 AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE． 23．（14分）如图，在直角坐标系中有 Rt△AOB，O 为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到 Rt△COD，二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象刚好经过 A，B，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）过定点 Q 的直线 l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于 M，N 两点． ①若 S△PMN＝2，求 k 的值； ②证明：无论 k 为何值，△PMN 恒为直角三角形； ③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 42019年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4分，共 40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（　　） A．0 B．3 C． D．﹣1 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，故 A 错误； B、3是正实数，故 B 错误； C、是正实数，故C 错误； D、﹣1是负实数，故 D 正确；故选：D．【点评】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型． 2．（4分）单项式﹣5ab 的系数是（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2 【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案【解答】解：单项式﹣5ab 的系数是﹣5，故选：B．【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为 27600平方公里，将 27600用科学记数法表示为（　　） A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将 27600用科学记数法表示为：2.76×104．故选：C． 5【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（4分）抽样调查某班 10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160， 160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（　　） A．152 B．160 C．165 D．170 【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知 160出现的次数最多．【解答】解：数据 160出现了 4次为最多，故众数是 160，故选：B．【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小． 5．（4分）与 30°的角互为余角的角的度数是（　　） A．30° B．60° C．70° D．90° 【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．【解答】解：与 30°的角互为余角的角的度数是：60°．故选：B．【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键． 6．（4分）一元一次方程 x﹣2＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1 【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键． 7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． 6C． D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合． 8．（4分）已知∠α 为锐角，且 sinα＝，则∠α＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α 为锐角，且 sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 9．（4分）一元二次方程 x2+2x+1＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．【解答】解：∵x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0，则 x+1＝0，解得 x1＝x2＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 710．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1只；若每户发放母羊 5只，则多出 17只母羊，若每户发放母羊 7只，则有一户可分得母羊但不足 3只．这批种羊共（　　）只． A．55 B．72 C．83 D．89 【分析】设该村共有 x 户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊 7只时有一户可分得母羊但不足 3只”列出关于 x 的不等式组，解之求得整数 x 的值，再进一步计算可得．【解答】解：设该村共有 x 户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12， ∵x 为整数， ∴x＝11，则这批种羊共有 11+5×11+17＝83（只），故选：C．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．二、填空题（每小题 4分，共 24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　9a2　．【分析】根据合并同类项法则计算可得．【解答】解：原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，故答案为：9a2．【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的 8字母和字母的指数不变． 12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝　（a+b）（a﹣b）　．【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式． 13．（4分）计算： ﹣＝　1　．【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 14．（4分）若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为　36°　．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为 72°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（4分）当 a＝﹣1，b＝3时，代数式 2a﹣b 的值等于　﹣5　．【分析】把 a、b 的值代入代数式，即可求出答案即可．【解答】解：当 a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键． 16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　n﹣1　． 9【分析】由题意“分数墙”的总面积＝2× +3× +4× +…+n× ＝n﹣1．【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2× +3× +4× +…+n× ＝n﹣1，故答案为 n﹣1．【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共 7小题，共 86分） 17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣ +|﹣3| 【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝1+4× ﹣2 +3 ＝1+2 ﹣2 +3 ＝4．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质． 18．（8分）解二元一次方组：【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答】解： ①+②得：，10 2x＝8，解得：x＝4，则 4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键． 19．（10分）已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形 AECF 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠ AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由 AAS 证明△ABE≌△CDF 即可；（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形 AECF 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键． 20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 B 处测得对岸 11 A 处一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒 1.5米的速度沿着河岸向东步行 40秒后到达 C 处，此时测得柳树位于北偏东 30°方向，试计算此段河面的宽度．【分析】如图，作 AD⊥于 BC 于 D．由题意得到 BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD ＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠ BAC，得到 BC＝AC＝60米．在 Rt△ACD 中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，作 AD⊥于 BC 于 D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC＝60米．在 Rt△ACD 中，AD＝AC•sin60°＝60× 答：这条河的宽度为 30 米．＝30 （米）．【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题． 21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭 10次的成绩（单位：环数）如下：次数 12345678910 12 王方李明 7810 998896898997810 10 10 8（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方 10次射箭得分情况环数频数频率 678910 　1　　0.1　　2　　0.2　　1　　3　　3　　0.3　　0.1　　0.3　李明 10次射箭得分情况环数频数频率 678910 　0　　0　　0　　0　　6　　0.6　　3　　0.3　　1　　0.1　（2）分别求出两人 10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【分析】（1）根据各组的频数除以 10即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．【解答】解：（1）环数频数频率 6172819310 30.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明 10次射箭得分情况环数频数频率 600700869310 10.6 0.3 0.1 （2）王方的平均数＝ 8.5；（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝（3）∵S ＝ [（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣ 13 8.5）2]＝1.85； S＝ [6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；＞S ∵S ，∴应选派李明参加比赛合适．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 22．（12分）如图，A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5等分点，连接 AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形 MNFGH．（1）计算∠CAD 的度数；（2）连接 AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．【分析】（1）由题意可得∠COD＝70°，由圆周角的定理可得∠CAD＝36°；（2）由圆周角的定理可得∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，可求∠AME＝∠CAE＝72°，可得 AE＝ME；（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得，可得 ME2＝BE•NE，通过证明 BM＝NE，即可得结论．【解答】解：（1）∵A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5等分点，的度数＝＝72° ∴∴∠COD＝70° ∵∠COD＝2∠CAD ∴∠CAD＝36° （2）连接 AE 14 ∵A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5等分点， ∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36° ∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36° ∴∠AME＝72° ∴∠AME＝∠CAE ∴AE＝ME （3）连接 AB ∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB ∴△AEN∽△BEA ∴∴AE2＝BE•NE，且 AE＝ME ∴ME2＝BE•NE ∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36° ∴∠BAD＝∠BNA＝72° ∴BA＝BN，且 AE＝ME ∴BN＝ME 15 ∴BM＝NE ∴ME2＝BE•NE＝BM•BE 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN ∽△BEA 是本题的关键． 23．（14分）如图，在直角坐标系中有 Rt△AOB，O 为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到 Rt△COD，二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象刚好经过 A，B，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）过定点 Q 的直线 l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于 M，N 两点． ①若 S△PMN＝2，求 k 的值； ②证明：无论 k 为何值，△PMN 恒为直角三角形； ③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【分析】（1）求出点 A、B、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解；（2）①S△PMN ＝PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝＝＝﹣1，即可求解；③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，即可求解．【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则 OA＝3，OC＝3，即点 A、B、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 16 点 P（1，4）；（2）将二次函数与直线 l 的表达式联立并整理得： x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则 x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2， ①y＝kx﹣k+3，当 x＝1时，y＝3，即点 Q（1，3）， S△PMN＝2＝ PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝，解得：k＝±2 ；②点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点 P（1，4），则直线 PM 表达式中的 k1值为：，直线 PN 表达式中的 k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故 PM⊥PN，即：△PMN 恒为直角三角形； ③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，设点 H 坐标为（x，y），则 x＝＝1﹣ k， y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2×2+4x+1， 17 即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2×2+4x+1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键． 18