2011年北京高考文科数学试题及答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(文) 本试卷共 5 页,150 分.考试时间长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无 效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知全集 U=R,集合 P={x︱x2≤1},那么 A.(-∞, -1] C.[-1,1] i  2 B.[1, +∞) D.(-∞,-1] ∪[1,+∞) 2.复数 1 2i 4 3 4 3 D.   i 5 5 A.i B.-i C.   i 5 5 3.如果 log1 x  log1 y  0, 那么 22A.y< x<1 B.x< y<1 D.1<y<x C.1< x<y 4.若 p 是真命题,q 是假命题,则 A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.﹁p 是真命题 D.﹁q 是真命题 5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 A.32 B.16+16 C.48 22D.16+32 6.执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输入的 P 值为 A.2 C.4 B.3 D.5 7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生 第 1 页 共 9 页 x产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1 元.为使平均没见产品的生 8产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 8.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y = x 的图像上,则使得 ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个 数为 A.4 B.3 C.2 D.1 第二部分 (非选择题 共110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 149.在 ABC 中.若 b=5, B  ,sinA= ,则 a=___________________. 3y2 b2 10.已知双曲线 x2  1 y  2x .(b>0)的一条渐近线的方程为 ,则b =11 . 已 知 向 量a= ( 3, 1 ), b= ( 0 , -1 ), c= ( k , 3 ) . 若 a-2b 与 c 共 线 , 则 k=________________. 112 . 在 等 比 数 列 {an} 中 , a1= , a4=4 , 则 公 比q=______________ ; a1+a2+…+an= 2_________________. 2,x  2 13.已知函数 f (x)  值范围是_______ 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取 x3(x 1) ,x  2 14.设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(tR).记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含 边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N(0)= N(t)的所有可能取值为 三、解答题 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 6已知函数 f (x)  4cos xsin(x  ) 1 .(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期:   6 4 (Ⅱ)求 f (x) 在区间  , 上的最大值和最小值. 第 2 页 共 9 页 16.(本小题共 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以 X 表示. (1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. 1(注:方差 s2  [(x1  x)2  (x2  x)2 (xn  x)2 ], 其中 x为x1, x2 ,, xn 的平均数) n17.(本小题共 14 分) 如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩形; (Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 18.(本小题共 13 分) 已知函数 f (x)  (x  k)ex .(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f (x) 在区间[0,1]上的最小值. 第 3 页 共 9 页 19.(本小题共 14 分) x2 y2 6已知椭圆G : 1(a  b  0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2,0),斜率为 I 的直线 la2 b2 3与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 PAB 的面积. 20.(本小题共 13 分) 若数列 An : a1,a2 ,,an (n  2)满足 ak1  ak 1(k 1,2,,n 1) ,则称 An 为 E数列,记 S(An )  a1  a2  an .(Ⅰ)写出一个 E 数列 A5 满足 a1  a3  0 (Ⅱ)若 a1 12 ,n=2000,证明:E 数列 ;An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)在 a1  4的 E 数列 An 中,求使得 S A=0 成立得 n 的最小值. n  第 4 页 共 9 页 参考答案 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)B (2)A (6)C (3)D (7)B (4)D (8)A 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 5 2 (9) (10)2 312(11)1 (12)2 (14)6 2n1 (13)(0,1) 6,7,8, 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 6解:(Ⅰ)因为 f (x)  4cos xsin(x  ) 1 31 4cos x( sinx  cos x) 1 22 3sin 2x  2cos2 x 1  3sin 2x  cos2x  2sin(2x  ) 6所以 f (x) 的最小正周期为 64662 3(Ⅱ)因为  x  ,所以 2x  .626于是,当 2x  ,即x  时, f (x) 取得最大值 2; 666当2x   ,即x  时, f (x)取得最小值—1. (16)(共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 8  8  9 10 35 x  ;44方差为 135 35 35 11 16 s2  [(8  )2  (9  )2  (10  )2 ]  .4444第 5 页 共 9 页 (Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙 组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组 中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4), 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是: 41(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为 P(C)   . 16 4(17)(共 14 分) 证明:(Ⅰ)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE//PC。 又因为 DE  平面 BCP, 所以 DE//平面 BCP。 (Ⅱ)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE//PC//FG,DG//AB//EF。 所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG, 所以四边形 DEFG 为矩形。 (Ⅲ)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点 1由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 2分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN。 与(Ⅱ)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线点为 EG 的中点 Q, 1且 QM=QN= EG, 2所以 Q 为满足条件的点. (18)(共 13 分) 3解:(Ⅰ) f (x)  (x  k 1)e . 令fx 0 ,得 x  k 1 .与 f (x) 的情况如下: f (x) ( ,k  k )((k 1,) xk 1 f (x) —— 0+第 6 页 共 9 页 f (x)  ek1 ↗↗所以, f (x) 的单调递减区间是(  ,k 1);单调递增区间是 (k 1,) (Ⅱ)当 k 1  0,即 k  1时,函数 f (x) 在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f (0)  k; 0  k 1  1,即1  k  2 时, 由(Ⅰ)知 f (x)在[0,k 1]上单调递减,在 (k 1,1]上单调递增,所以 f (x) 在区间[0,1]上 的最小值为 f (k 1)  ek1 k 1  t,即k  2 时,函数 f (x) 在[0,1]上单调递减, 当;当所以 f (x) 在区间[0,1]上的最小值为 f (1)  (1 k)e. (19)(共 14 分) c6解:(Ⅰ)由已知得 c  2 2, 解得 a  2 3. .a3又b2  a2  c2  4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为  1. 12 4(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y  x  m. y  x  m 2y2 由得x  1 12 44×2  6mx  3m2 12  0. 设 A、B 的坐标分别为 (x1, y1 ),(x2 , y2 )(x1  x2 ), AB 中点为 E (x0 , y0 ) ,x1  x2 3m 则x0    ,24my0  x0  m  4第 7 页 共 9 页 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m2  4所以 PE 的斜率 k  解得 m=2。  1. 3m  3  4此时方程①为 4×2 12x  0. 解得 x1  3, x2  0. 所以 y1  1, y2  2. 所以|AB|= 3 2 .| 3  2  2 |3 2 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x  y  2  0 的距离 d  ,2219所以△PAB 的面积 S= | AB | d  . 22(20)(共 13 分) 解:(Ⅰ)0,1,0,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5. (答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,—1,—2;0,±1,0,—1, —2,0,±1,0,—1,0 都是满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 ak1  ak  1(k  1,2,,1999) .所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)×1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—at≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故an1  an  1  0(k  1,2,,1999),即An 是递增数列. 综上,结论得证. (Ⅲ)对首项为 4 的 E 数列 Ak,由于 a2  a1 1  3, a3  a2 1  2, 第 8 页 共 9 页 …… a5  a7 1  3. …… 所以 a1  a2  ak  0(k  2,3,,8) 所以对任意的首项为 4 的 E 数列 Am,若 S(Am )  0, 则必有 n  9 .又a1  4 的 E 数列 A : 4,3,2,1,0,1,2,3,4满足S(A )  0, 11所以 n 是最小值是 9. 第 9 页 共 9 页

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