2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的） A B 设集合 A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）1. {1，3，5，7} {2，3} {2，3，5} {1，2，3，5，7，8} A. B. C. D. (1 2i)(2 i) 4 5i =（ ）2. A. B. C. D. 5i -5i 2 3i 在ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则 =（ ）3. A. 4. CB B. C. D. 2CD CA CD 2CA 2CD CA CD 2CA 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看 成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过 点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°， 则晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）20° 50° 40° 90° A. C. 5. B. D. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学 生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62% C 46% B. 56% D. 42% 要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不 6. 同的安排方法共有（ A. 2 种 ）B. 3 种 C. 6 种 D. 8 种 已知函数 f (x) lg(x2 4x 5) 在[2,) (,0) ）(a,) a上单调递增，则 的取值范围是（ 7. A. 8. A. C. (2,) (5,) [5,) B. C. D. xf (x 1) 0 若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 的 x 的取值范围是（ ）R[1,1][3,) [1,0][1,) [3,1][0,1] B. [1,0][1,3] D. 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 天复工复产指数折线图， 9. 11 下列说法正确的是（ ）这这第第天复工指数和复产指数均逐日增加 A. B. 11 11 ;天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 ;天至第 天复工复产指数均超过 C. D. 10. A. B. 3911 11 80%; 天至第 天复产指数增量大于复工指数的增量 ;已知曲线C : mx2 ny2 1.（ 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 若 m=n>0，则 C 圆，其半径为 ）是nmn若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 C. y xD. 下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）11. πsin(x ） 3ππ5π sin( 2x) cos(2x ） cos( 2x) A. B. C. D. 366已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）12. 11a2 b2 2ab A. C. B. 22log2 a log2 b 2 D. a b 2 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1 的体积为 13. ____________ 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________． 斜率为 14. 3将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 15. 16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂 3BH//DG ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径 足为 C，tan∠ODC= ，5为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） csin A 3 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 17. ac 3 c 3b c形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 6A, B,C a,b,c ，且 C 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，，________? ABC sin A = 3sin B 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． {a } a a 20,a 8 ．已知公比大于 的等比数列 1满足 18. 243n{a } （1）求 的通项公式； na a a a (1)n1a a n n1 （ ）求 2.1223为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 100 19. μg/m3 ），得下表： SO PM2.5 和2 浓度（单位： SO 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过150”的概率； PM2.5 （1）估计事件“该市一天空气中 （2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表： SO 2 浓度有关？ 的（3）根据（2）中 列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 n(ad bc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 附： K2 ，的如图，四棱锥 P ABCD底面为正方形，PD 底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 ． l20. （1）证明： 平面 PDC； l（2）已知 PD AD 1，Q 为 上的点，QB= ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值． l2x2 y2 12已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，21. 1(a b 0) a2 b2 （1）求 C 的方程； （2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 已知函数 f (x) aex1 ln x ln a ．22. a e （1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围． 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的） A B 设集合 A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）1. {1，3，5，7} {2，3} {2，3，5} {1，2，3，5，7，8} A. B. C. D. 【答案】 C【解析】 【分析】 根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】因为 A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}， A B 2,3,5 所以 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单. (1 2i)(2 i) 4 5i =（ ）2. A. B. C. D. 5i -5i 2 3i 【答案】 B【解析】 【分析】 直接计算出答案即可. 【详解】 (1 2i)(2 i) 2 i 4i 2i2 5i 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 在ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则 =（ ）3. CB D. A. B. C. 2CD CA CD 2CA 2CD CA CD 2CA 【答案】 C【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 CB CA AB CA 2AD CA 2 CD CA 2CD CA 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看 4. 成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过 点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°， 则晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）A. 20° C. 50° B. 40° D. 90° 【答案】 B【解析】 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定 有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角. AA【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点处的水平面的截线，依题意可 lCD Am是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， AB 知；OA l 根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ，.. m//CD AB m AOC 40,m//CD 由于 ，所以 OAG AOC 40 由于 所以 ，OAG GAE BAE GAE 90 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为BAE 40 .BAE OAG 40 A故选：B 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于 中档题. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学 5. 生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62% C. 46% B. 56% D. 42% 【答案】 C【解析】 【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 AB，则“该中学学生喜欢足球或游 泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式 A B A B P(A B) P(A) P(B) P(A B) 【详解】记“该中学学生喜欢足球” 可得结果. 事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 为，则“该中学学生喜欢 BA足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，A B A B P(A) 0.6 P(B) 0.82 P A B 0.96 则，，，P(A B) P(A) P(B) P(A B) 所以 0.6 0.82 0.96 0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .46% 故选：C 【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不 6. 同的安排方法共有（ ）A. 2 种 B. 3 种 C. 6 种 D. 8 种 【答案】 C【解析】 【分析】 首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可. C1C2 3 【详解】第一步，将 3 名学生分成两个组，有 种分法 32A2 2 第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有 种安排方法 2所以，不同的安排方法共有 种32 6 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. (a,) 已知函数 f (x) lg(x2 4x 5) 在）a上单调递增，则 的取值范围是（ 7. (2,) [2,) (5,) [5,) D. A. B. C. 【答案】 D【解析】 【分析】 首先求出 的定义域，然后求出 f (x) lg(x2 4x 5)的单调递增区间即可. f x 2【详解】由 得x 5 或x 1 x 4x 5 0 f x ,1 (5,) 所以 的定义域为 因为 y x2 4x 5 在上单调递增 (5,) 所以 f (x) lg(x2 4x 5) 在上单调递增 (5,) 所以 a 5 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. (,0) xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ 若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 ）8. A. C. R[1,1][3,) [1,0][1,) [3,1][0,1] B. D. [1,0][1,3] 【答案】 D【解析】 【分析】 f (x) 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分 类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. f (x) (,0) f (2) 0 【详解】因为定义在 上的奇函数 R在上单调递减，且 ，f (x) (0,) f (2) 0 f (0) 0 ，所以 在上也是单调递减，且 ，x(,2) (0,2) f (x) 0 x(2,0) (2,) f (x) 0 所以当 所以由 时， ，当 时， ，xf (x 1) 0 可得： x 0 x 0 或或x 0 2 x 1 0 0 x 1 2 解得 1≤ x≤ 0 或，1 x 3 xxf (x 1) 0 [1,0][1,3] 所以满足 的的取值范围是 ，故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 天复工复产指数折线图， 9. 11 下列说法正确的是（ ）A. 这 B. 这 天复工指数和复产指数均逐日增加 11 11 ;天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 ;C. 第 天至第 天复工复产指数均超过 311 11 80%; D. 第 天至第 天复产指数增量大于复工指数的增量 9;【答案】 CD 【解析】 【分析】 注意到折线图中有递减部分，可判定 A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小，可判 定 B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 CD 正确. 【详解】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工 指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误； 由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 复产指数增量小于复工指数的增量，故 错误 天的复产指标与复工指标的差，所以这 天期间， 11 11 B;由图可知，第 天至第 3天复工复产指数均超过 ，故 正确 80% ; 11 11 C由图可知，第 天至第 9天复产指数增量大于复工指数的增量，故 正确 D;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数 增量的理解与观测，属中档题. 已知曲线C : mx2 ny2 1.（ ）10. A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 nmnC. 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 D. 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 y x【答案】 ACD 【解析】 【分析】 结合选项进行逐项分析求解， m n 0 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， m n 0 mn 0 m 0,n 0 时表示两条直线 x2 y2 1 ，【详解】对于 ，若m n 0 ，则 mx2 ny2 1可化为 A11mn11因为 m n 0 ，所以 ，mny即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 正确； CA1x2 y2 对于 ，若 B，则 mx2 ny2 1可化为 ，m n 0 nn此时曲线 表示圆心在原点，半径为 C的圆，故 不正确； Bnx2 y2 1 ，对于 ，若 C，则 mx2 ny2 1可化为 mn 0 11mn此时曲线 表示双曲线， Cmn22由可得 ，故 C 正确； xmx ny 0 y 1y2 ，则 mx2 ny2 1可化为 ，m 0,n 0 对于 ，若 Dnnx，此时曲线 表示平行于轴的两条直线，故 正确； CDy n故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算 的核心素养. 下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）11. πsin(x ） 3ππ5π sin( 2x) cos(2x ） cos( 2x) A. B. C. D. 366【答案】 BC 【解析】 【分析】 首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. T2622 2 2 ，所以不选 A, 【详解】由函数图像可知： ，则 23T2365 12 3 2 5 12 2y 1 2 2k k Z 当时， ，x 2 2k k Z 解得： ，3即函数的解析式为： 26263y sin 2x 2k sin 2x cos 2x sin 2x .365 6cos 2x cos( 2x) 而故选：BC. 【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求 待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法： 2 T(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则 令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若 对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）12. A. 112a2 b2 2ab B. D. 2log2 a log2 b 2 C. a b 2 【答案】 ABD 【解析】 【分析】 根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. a b 1 2212112【详解】对于 A， a2 b2 a2 1 a 2a2 2a 1 ， 2 a 212a b 当且仅当 时，等号成立，故 A 正确； 2ab 21 12对于 B， a b 2a 1 1，所以 ，故 B 正确； 2a b 21对于 ，，Clog2 a log2 b log2 ab log2 log2 2 41a b 当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确； 22对于 D，因为 ，a b 1 2 ab 1 a b 2 ，当且仅当 1a b 所以 时，等号成立，故 D 正确； a b 2 2故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学 运算的核心素养. 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1 的体积为 13. ____________ 1【答案】 3【解析】 【分析】 VVD AMN 计算即可. 利用 ANMD 11【详解】 因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点 1 1 13VVD AMN 112 所以 ANMD 113 2 1故答案为： 3【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________． 斜率为 14. 316 3【答案】 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到 关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为 y2 4x ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，F(1,0) 又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： y 3(x 1) 32代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，3x 10x 3 0 1x , x 3 解法一：解得 123116 3| AB | 1 k2 | x x | 1 3| 3 | 所以 123解法二： 100 36 64 0 10 3A(x , y ), B(x , y ) x x 设过，则 ,112212A, B C, D 如图所示. 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 x 1 16 3| AB || AF | | BF || AC | | BD | x 1 x 1 x1 x2 +2= 1216 3故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 15. 2【答案】 【解析】 【分析】 3n 2n 2n 1 3n 2 首先判断出数列 与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差， 利用等差数列的求和公式求得结果 .2n 1 【详解】因为数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 213n 2 数列 是以 首项，以 为公差的等差数列， 31a所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 16nn(n 1) 6 3n2 2n nan1 所以 的前 项和为 ，n22故答案为： 3n 2n .【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等 差数列求和公式，属于简单题目 .某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 16. 心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂 3BH//DG 足为 C，tan∠ODC= ，，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径 5为 1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． ________ 54 【答案】 2【解析】 【分析】 3tan ODC 利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角 AOB AB 5的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. △OAH 【详解】设 ，由题意 AM AN 7 ，，所以 NF 5 ，OB OA r EF 12 因为 AP 5,所以 ，AGP 45 因为 BH // DG ，所以 ，AHO 45 因为 AG 与圆弧 相切于 点，所以OA AG ，AB A即为等腰直角三角形； △OAH 22△OQD 在直角 中， ，，OQ 5 rDQ 7 r22OQ 353 2 5 2 2tan ODC 因为 解得 ，所以 ，21 r 25 rDQ 2；r 2 2 1S 2 22 2 4 等腰直角 的面积为 ；△OAH 1221 3 S 2 2 3 扇形 的面积 ，AOB 22415 2S S 4 所以阴影部分的面积为 .1225 24 故答案为： .【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景， 体现了五育并举的育人方针. 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） csin A 3 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 17. ac 3 c 3b c形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 6A, B,C a,b,c ，且 C 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，，________? ABC sin A = 3sin B 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长 c度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. A, B,C 的值，然后根据选择的条 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 tanA 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： ab 3 由可得： ，sin A = 3sin B a 3m,b m m 0 不妨设 ，322222 m2 c m 则： ，即 c a b 2abcosC 3m m 2 3mm 2选择条件①的解析： 2据此可得： ，m 1，此时 .c m 1 ac 3mm 3m 3 选择条件②的解析： b2 c2 a2 m2 m2 3m2 12据此可得： ，cos A 2bc 2m2 21233则： ，此时： ，则： .sin A 1 csin A m 3 c m 2 3 22选择条件③的解析： cmm1 可得 ，c b ，b与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. c 3b 6sinA 3sinB,C , B A C 解法二：∵ ,6sinA 3sin A C 3sin A ∴,312，sinA 3sin A C 3sinA· 3cosA· 22 36A B C ∴,∴ ,∴ ,∴ ,sinA 3cosA tanA 3 2若选①， 若选②， ,∵ ,∴ ,∴c=1; ac 3 a 3b 3c 3c 3 3c ,则 ,;csinA 3 3 c 2 3 2若选③,与条件 矛盾. c 3b 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． {a } a a 20,a 8 已知公比大于 的等比数列 1满足 ．18. 243n{a } （1）求 的通项公式； na a a a (1)n1a a n n1 （ ）求 2.12238522n3 5a 2n (1)n 【答案】（1） ；（2） n【解析】 【分析】 (1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； 1 n1 anan1 (2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可. 3a2 a4 a1q a1q 20 a3 a1q2 8 a【详解】(1) 设等比数列 的公比为 q(q>1)，则 ，n整理可得： 2q2 5q 2 0 ，q 1,q 2,a 2 ，1a 22n1 2n 数列的通项公式为： .nn1 n1 1 n1 anan1 1 2n 2n1 1 22n1 ，故： (2)由于： a1a2 a2a3 (1)n1anan1 23 25 27 29 (1)n1 22n1 n 322 1 2 822n3 5. (1)n 1 22 5【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数 列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 100 19. μg/m3 ），得下表： SO PM2.5 和2 浓度（单位： SO 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过150”的概率； PM2.5 （1）估计事件“该市一天空气中 （2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表： SO 2 浓度有关？ PM2.5 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 浓度与 n(ad bc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 附： K2 ，【答案】（1） 0.64 ；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】 【分析】 （1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得 2 2 列联表； 2 ，结合临界值表可得结论. （3）计算出 K SO 【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 数有32 6 188 64 天， 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过 150 的天 PM 2.5 64 SO 0.64 所以该市一天中，空气中的 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过 150 的概率为 ；PM 2.5 100 （2）由所给数据，可得 2 2 列联表为： SO2 0,150 150,475 合计 PM 2.5 0,75 64 16 80 75,115 10 74 10 26 20 合计 100 （3）根据 2 2 列联表中的数据可得 n(ad bc)2 100(6410 1610)2 3600 K2 7.4844 6.635 ，481 (a b)(c d)(a c)(b d) 80207426 SO 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 浓度与 2 浓度有关. PM 2.5 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善 2 2 列联表，考查了独立性检验，属于中档题 .如图，四棱锥 P ABCD的底面为正方形，PD 底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 ． l20. （1）证明： 平面 PDC； l（2）已知 PD AD 1，Q 为 上的点，QB= ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值． l26【答案】（1）证明见解析；（2） .3【解析】 【分析】 （1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 ，利用线面垂直的判定定理证得 平面 PDC AD//l AD ，从而得到 平面 PDC ； l Q(m,0,1) QCD （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 ，之后求得平面 QCD 所成角的正弦值. 的法向量以及向量 的坐标，求得 ，即可得到直线 与平面 cos n, PB PB PB 【详解】（1）证明： 在正方形 因为 中， ，ABCD 平面 AD//BC ，PBC BC 平面 ，AD PBC 所以 平面 ，AD// PBC PAD 又因为 所以 平面 ，平面 平面 PBC l ，AD PAD ，AD//l AD DC,l DC, 因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以 P ABCD ABCD AD PD,l PD, ，所以 且平面 ABCD PD CD PD D 因为 所以 平面 PDC ；l D xyz （2）如图建立空间直角坐标系 ，D(0,0,0),C(0,1,0), A(1,0,0), P(0,0,1), B(1,1,0) ，因为 ，则有 PD AD 1 Q(m,0,1) 设，则有 ，DC (0,1,0), DQ (m,0,1), PB (1,1,1) (m 1)2 (0 1)2 (1 0)2 2 m 1 因为 QB= ，所以有 2QCD 设平面 的法向量为 ，n (x, y, z) y 0 DC n 0 则令，即 ，x z 0 DQn 0 QCD ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则 x 1 z 1 n (1,0,1) cos n, PB n PB 1 0 1 12 02 (1)2 12 12 12 26. 32 3 n PB 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与 r uur | cos n, PB | 6平面所成角的正弦值等于 36QCD 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .PB 3【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定 和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. x2 y2 1已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，21. 1(a b 0) a2 b2 2（1）求 C 的方程； （2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. x2 y2 【答案】（1） ；（2）18. 1 16 12 【解析】 【分析】 (1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定 点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 1x 2y 4 .y 3 (x 2) 【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： ，即 2当 y=0 时，解得 ，所以 a=4， x 4 x2 y2 491 椭圆 过点 M(2，3)，可得 ，C : 1 a b 0 16 b2 a2 b2 解得 b2=12. x2 y2 所以 C 的方程： .1 16 12 x 2y m (2)设与直线 AM 平行的直线方程为： ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时△AMN 的面积取得最 大值. x2 y2 x 2y m 联立直线方程 与椭圆方程 ，1 16 12 2可得：3 m 2y 4y2 48 ，22化简可得： ，16y 12my 3m 48 0 144m2 416 3m2 48 0 2所以 ，即 m =64，解得 m=±8， x 2y 8 与 AM 距离比较远的直线方程： ，x 2y 4 直线 AM 方程为： ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 8 4 125 利用平行线之间的距离公式可得： 由两点之间距离公式可得 ，d 51 4 22.| AM | (2 4) 3 3 5 1212 5 5所以△AMN 的面积的最大值： .3 5 18 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题． 已知函数 f (x) aex1 ln x ln a ．22. a e （1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围． 2[1,) （2） 【答案】（1） e 1 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐 标，最后根据三角形面积公式得结果； f x f ’ x f ’ 1 0 （2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由 得1f x f 1 1 f ‘ x x 0 f ( )f (1) 0 ,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而 存在零点 ，使得 0min a1f (x0 ) aex 1 0 0f (x)min ，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式 x0 x 1 可以证得 f 1 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围. 0 a 1 f x1转化为elnax1 lna x 1 elnx lnx 解法二：利用指数对数的运算可将 ,g x ex x g lna x 1 g lnx g x 令 ,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一步等价转化为 h x lnx x 1 ，令 h x ,利用导数求得 max ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a lna lnx x 1 的对数不等式，解得 a 的取值范围. 【详解】（1） Q f (x) ex ln x 1 1xk f (1) e 1 . f (x) e ，，xQ f (1) e 1 ，∴切点坐标为(1,1+e), y e 1 (e 1)(x 1) 2 y e 1 x 2 ∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,(0,2),( ,0) ,切线与坐标轴交点坐标分别为 e 1 122 22| |= ∴所求三角形面积为 ;e 1 e 1 x1 （2）解法一： ,Q f (x) ae ln x ln a 1 f (x) aex1 g(x) f (x) ，且 .a 0 x1x2 g(x) aex1 ,则 0, 设f (x) (0,) (0,) 上单调递增， ∴g(x)在 a 1 上单调递增，即 在f (1) 0 f x f 1 1 f x1 ,∴ 当时， ,∴ 成立. min 11 1111 aa 1 1 当时， ，，, f ( )f (1) a(e 1)(a 1) 0 ∴ea 1 aa1f (x ) aex 1 0 0x 0 x(0, x ) f (x) 0 时x(x ,) ∴存在唯一 ，使得 ，且当 ，当 时0000×0 1aex 1 0f (x) 0 ln a x 1 ln x ，，，00×0 f (x) f (x0 ) aex 1 ln x0 lna 0因此 min 11 lna x0 1 lna 2lna 1 2 x 2lna 1 >1, 0x0 x0 f x1, f x1 ∴ ∴ 恒成立； f (1) a ln a a 1, f (1) 1, f (x) 1 ∴当时， 不是恒成立. 0 a 1 综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞). f x aex1 lnx lna elnax1 lnx lna 1 解法二： 等价于 lnx elnax1 lna x 1 lnx x e lnx ,g x ex x g lna x 1 g lnx 令 ,上述不等式等价于 ,g x 显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，lna x 1 lnx lna lnx x 1 11 x xh x lnx x 1 h x 1 令在∴ ,则 x0,1 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减， h 1 0 h x ,max a 的取值范围是[1,+∞). lna 0，即a 1，∴ 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思 想和等价转化思想，属较难试题.
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