绝密★使用完毕前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 P {x | x2 1} ，M {a}.若 P M P ,则 a 的取值范围是 （A） (,1] i 2 （B）[1,) （C）[1,1] （D） (,1][1,) （2）复数 1 2i 4 3 4 3 （A） i（B） i （C） i （D） i 5 5 5 5 （3）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是 22（A） (1, ) （B） (1, ) （C） (1,0) （D） (1, ) （4）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 开 始 （A） 3 1（B） 2i 0, s 2 s 1 s 1 s 13（C） （D） 是2i 4 i i 1 否输出 s结 束 数学（理）（北京卷） 第1 页 （共5 页） 第 1 页 共 22 页 （5）如图， AD, AE, BC 分别与圆 O切于点 D, E, F ，延长 AF 与圆O 交于另一点G 。 给出下列三个结论： E①②③AD AE AB BC CA ；COAF AG AD AE AFB ADG ；GFABD其中，正确结论的序号是 （A）① ②（B）② （D）① ③②（C）① ③③（ 6 ） 根 据 统 计 ， 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 （ 单 位 ： 分 钟 ） 为 c, x A , x A xf (x) （ A,c 为常数）。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A cA件产品用时 15 分钟， 那么 的值分别是 c和 A （A） 75,25 （B） 75,16 （C） 60,25 （D） 60,16 （7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中 最大的是 4（A） 8 34（B） 6 2 （C） 10 正（主）视图 侧（左）视图 （D）8 2 俯视图 t R ），记 N(t) 为平行四边形内 （8）设 A(0,0) ，B(4,0) ，C(t 4,4) ， D(t,4) （ 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N(t) 的值域为 （A）{9,10,11} （B）{9,10,12} （C）{9,11,12} （D）{10,11,12} 第 2 页 共 22 页 数学（理）（北京卷） 第2 页 （共5 页） 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 4（9）在 ABC 中，若b 5,B ，tan A 2 ，则sin A ；a 。（10）已知向量 a ( 3,1) ，b (0,1) ，c (k, 3)，若 a 2b 与c共线，则 k 。1（11）在等比数列{an}中，若 a1 | a1 | | a2 | | an | ，a4 4 ，则公比 q ；2。（12）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个。 （用数字作答） 2,x 2 （13）已知函数 f (x) 过关于 。x 的方程 f (x) k 有两个不同的实根，则实 x3(x 1) ,x 2 数 k 的取值范围是 （14）曲线 C是平面内与两个定点 F (1,0) 和F2 (1,0) 的距离的积等于常数 a2 (a 1) 的点 1的轨迹，给出下列三个结论： ① 曲线 ② 曲线 CC过坐标原点； 关于坐标原点对称； 1③ 若点 P在曲线 C上，则 F PF2 的面积不大于 a2 ；12其中，所有正确结论的序号是 。第 3 页 共 22 页 数学（理）（北京卷） 第3 页 （共5 页） 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 6已知函数 f (x) 4cos xsin(x ) 1 ，（I）求 f (x) 的最小正周期； （Ⅱ）求 f (x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值； 6 4 （16）（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD P是菱形， AB 2,BAD 60 （I）求证： BD 平面 PAC 。（Ⅱ）若 PA AB，求 PB 与AC 所成角的余弦值； D（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长； （17）（本小题共 13 分） ACB以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊 无法确认，在图中以 X表示。 甲组乙组9901X89110（I）如果 X 8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果 X 9 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵 的分布列和数学期望； 数Y1注：方差 s2 [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 ]，其中 x为x1, x2 ,, xn 的平均数 n第 4 页 共 22 页 数学（理）（北京卷） 第4 页 （共5 页） （18）（本小题共 13 分） x已知函数 f (x) (x k)2 ek 。（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间； 1（Ⅱ）若对于任意的 x(0,) ，都有 f (x) ，求 k 的取值范围； e（19）（本小题共 14 分） x2 已知椭圆G : y2 1，过点 (m,0) 作圆 x2 y2 1的切线 l 交椭圆G 于 A, B 两点， 4（Ⅰ）求椭圆 G 的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）将| AB | 表示为 m 的函数，并求| AB | 的最大值； （20）（本小题共 13 分） 若数列 An : a1,a2 ,,an 数列，记 S(An ) a1 a2 an （Ⅰ）写出一个满足 a1 a5 0 ，且 S(A ) 0 （n 2 ）满足 ak1 ak 1(k 1,2,,n 1) ，则称 An 为 E 。的E数列 n 是递增数列的充要条件是 an 2011 （Ⅲ）对任意给定的整数 n(n 2)，是否存在首项为 0 的 数列n ，使得 S(An ) 0 如果存在，写出一个满足条件的 数列n ；如果不存在，说明理由。 A ； 55（Ⅱ）若 a1 12,n 2000，证明 E数列 A；EA，EA（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 第 5 页 共 22 页 数学（理）（北京卷） 第5 页 （共5 页） 2011 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（5 分）（2011•北京）已知集合 P={x|x2≤1}，M={a}．若 P∪M=P，则 a 的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【考点】集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有 【专题】集合． 【分析】通过解不等式化简集合 P；利用 P∪M=P⇔M⊆P；求出 a 的范围． 【解答】解：∵P={x|x2≤1}， ∴P={x|﹣1≤x≤1} ∵P∪M=P ∴M⊆P ∴a∈P ﹣1≤a≤1 故选：C． 【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件 P∪M=P⇔M⊆P 是解题关 键． 2．（5 分）（2011•北京）复数 A．i B．﹣i C． =（ ） D． 【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】将分子、分母同乘以 1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将 i2 用﹣1 代替即可． 【解答】解： ==i 故选 A 【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的 乘法法则展开即可． 3．（5 分）（2011•北京）在极坐标系中，圆 ρ=﹣2sinθ 的圆心的极坐标系是（ ） A． B． C．（1，0） D．（1，π） 【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】直线与圆；坐标系和参数方程． 第 6 页 共 22 页 【分析】先在极坐标方程 ρ=﹣2sinθ 的两边同乘以 ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系， 即利用 ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解 即可． 【解答】解：将方程 ρ=﹣2sinθ 两边都乘以 p 得： ρ2=﹣2ρsinθ， 化成直角坐标方程为 x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）． ∴圆心的极坐标 故选 B． 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置． 4．（5 分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A．﹣3 B．﹣ C． D．2 【考点】循环结构．菁优网版权所有 【专题】算法和程序框图． 【分析】i=0，满足条件 i＜4，执行循环体，依此类推，当 i=4，s=2，此时不满足条件 i＜4， 退出循环体，从而得到所求． 【解答】解：i=0，满足条件 i＜4，执行循环体，i=1，s= 满足条件 i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣ 满足条件 i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3 满足条件 i＜4，执行循环体，i=4，s=2 不满足条件 i＜4，退出循环体，此时 s=2 故选：D 【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流 程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据 第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近 两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题． 第 7 页 共 22 页 5．（5 分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与 圆 O 交于另一点 G．给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG 其中正确结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】直线与圆． 【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，得到第一个说法是正确的，根据切 割线定理知道第二个说法是正确的，根据切割线定理知，两个三角形△ADF～△ADG，得到 第三个说法错误． 【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等， 有 CE=CF，BF=BD， ∴AD+AE=AB+BC+CA，故①正确， ∵AD=AE， AE2=AF•AG， ∴AF•AG=AD•AE，故②正确， 根据切割线定理知△ADF～△ADG 故③不正确， 综上所述①②两个说法是正确的， 故选 A． 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理，考查圆的切割线定理，考查 切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目． 6．（5 分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟 ）为 （A，C 为常数）．已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装 第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是（ ） A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 【考点】函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用． 【分析】首先，x=A 的函数值可由表达式直接得出，再根据 x=4 与 x=A 的函数值不相等， 说明求 f（4）要用 x＜A 对应的表达式，将方程组联解，可以求出 C、A 的值． 【解答】解：由题意可得：f（A）= =15， 所以 c=15 第 8 页 共 22 页 而 f（4）= =30，可得出 =4，可得 A=16 =30 故从而 c=15 =60 故答案为 D 【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在 相应区间内运用表达式加以解决． 7．（5 分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的 是（ ） A．8 B． C．10 D． 【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】立体几何． 【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状， 三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值． 【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6， ，10， 显然面积的最大值，10． 故选 C． 【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力 ，计算能力，常考题型． 8．（5 分）（2011•北京）设 A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）． 记 N（t）为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标 都是整数的点，则函数 N（t）的值域为（ ） A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12} 【考点】集合的含义．菁优网版权所有 【专题】集合． 第 9 页 共 22 页 【分析】分别由 t=0，1，2 求出 N（t），排除错误选项 A，B，D，从而得到正确选项． 【解答】解：当 t=0 时，▱ABCD 的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0 ，4）， 符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1 ），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选项 D 不正确． 当 t=1 时，▱ABCD 的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4）， 同理知 N（t）=12，故选项 A 不正确． 当 t=2 时，▱ABCD 的四个顶点是 A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4）， 同理知 N（t）=11，故选项 B 不正确． 故选 C． 【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个 难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从 图形上看，就是看直线 x=r（r 是整数）上有几个整点在四边形内． 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9．（5 分）（2011•北京）在△ABC 中．若 b=5， ． ，tanA=2，则 sinA= ；a= 2【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】解三角形． 【分析】由 tanA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的平方，然后由 A 的范 围，再利用同角三角函数的基本关系求出 sinA 的值，然后再利用正弦定理，由 sinA，sinB 及 b 的值即可求出 a 的值． 【解答】解：由 tanA=2，得到 cos2A= = ， 由 A∈（0，π），得到 sinA= =，根据正弦定理得： =，得到 a= ==2 ．故答案为： ；2 第 10 页 共 22 页 【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值，是一道 中档题． 10．（5 分）（2011•北京）已知向量 =（ ，1）， =（0，﹣1）， =（k， ）．若 与 共线，则k= 1 ． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用向量的坐标运算求出 的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列 出方程，求出 k 的值． 【解答】解： ∵∴与 共线， 解得 k=1． 故答案为 1． 【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相 等． 11．（5 分）（2011•北京）在等比数列{an}中，a1= ，a4=﹣4，则公比 q= ﹣2 ； |a1|+|a2|+…+|an|= ． 【考点】等比数列的性质；等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|an|是以 a1 为首项，|q|为公比，进而利用等 比数列的求和公式求解． 【解答】解：q= ==﹣2， |a1|+|a2|+…+|an|= =故答案为：﹣2， 【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活 运用． 12．（5 分）（2011•北京）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样 的四位数共有 14 个．（用数字作答） 【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有 第 11 页 共 22 页 【专题】算法和程序框图． 【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中 2 和 3 的个数，当数字中有 1 个 2，3 个 3 时，当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，当数字中有 3 个 2，1 个 3 时，写出每种情况的结果 数，最后相加． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 首先确定数字中 2 和 3 的个数， 1当数字中有 1 个 2，3 个 3 时，共有 C4 =4 种结果， 2当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，共有 C4 =6 种结果， 1当数字中有 3 个 2，1 个 3 时，共有有 C4 =4 种结果， 根据分类加法原理知共有 4+6+4=14 种结果， 故答案为：14 【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要 做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好 处理． 13．（5 分）（2011•北京）已知函数 若关于 x 的方程 f（x） =k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 （0，1） ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用． 【分析】要求程 f（x）=k 有两个不同的实根是数 k 的取值范围，根据方程的根与对应函数 零点的关系，我们可以转化为求函数 y=f（x）与函数 y=k 交点的个数，我们画出函数 的图象，数形结合即可求出答案． 【解答】解：函数 的图象如下图所示： 由函数图象可得当 k∈（0，1）时 方程 f（x）=k 有两个不同的实根， 故答案为：（0，1） 第 12 页 共 22 页 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零 点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键． 14．（5 分）（2011•北京）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（﹣1，0）和 F2（1，0）的距离 的积等于常数 a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点； ②曲线 C 关于坐标原点对称； ③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2 的面积不大于 a2． 其中，所有正确结论的序号是 ②③ ． 【考点】轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意曲线 C 是平面内与两个定点 F1（﹣1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常 数 a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方 程特点即可加以判断． 【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的 得： ⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=a4（1）将 原点代入验证，此方程不过原点，所以①错； 对于②，把方程中的 x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．② 正确； 对于③，由题意知点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2 的面积 = a2sin∠F1PF2，≤ a2，所以③正确． 故答案为：②③． 【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对 称性及利用解析式选择换元法求出值域． 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）（2011•北京）已知函数 （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期： ．第 13 页 共 22 页 （Ⅱ）求 f（x）在区间 上的最大值和最小值． 【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函 数的性质求得函数的最小正周期． （Ⅱ）利用 x 的范围确定 2x+ 的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最 小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵ =4cosx（ ，）﹣1 ==sin2x+2cos2x﹣1 sin2x+cos2x =2sin（2x+ ）， 所以函数的最小正周期为 π； （Ⅱ）∵﹣ ≤x≤ ∴﹣ ≤2x+ ∴当 2x+ ，，≤=，即 x= 时，f（x）取最大值 2， 当 2x+ =﹣ 时，即 x=﹣ 时，f（x）取得最小值﹣1． 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函 数解析式的化简整理． 16．（14 分）（2011•北京）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长． 第 14 页 共 22 页 【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、 距离．菁优网版权所有 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（I）由已知条件可得 ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证 （II）结合已知条件，设 AC 与 BD 的交点为 O，则 OB⊥OC，故考虑分别以 OB，OC 为 x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PB 与 AC 所成的角为 θ，则 ，代入公式 可求 （III）分别求平面 PBC 的法向量 ，平面 PDC 的法向量 由平面 PBC⊥平面 PDC 可得 从而可求 t 即 PA 【解答】解：（I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD， 又因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，PA∩AC=A 所以 BD⊥平面 PAC （II）设 AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2， 所以 BO=1，AO=OC= ，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC 为 x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O﹣xyz，则 P（0，﹣ ，2），A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0） 所以 =（1， ，﹣2）， 设 PB 与 AC 所成的角为 θ，则 cosθ=| （III）由（II）知 ，设 ，则设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） 则=0， 所以 令，平面 PBC 的法向量所以 ，第 15 页 共 22 页 同理平面 PDC 的法向量 ，因为平面 PBC⊥平面 PDC， 所以 =0，即﹣6+ =0，解得 t= ，所以 PA= ．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量 的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 17．（13 分）（2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记 录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示． （Ⅰ）如果 X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望． （注：方差 ，其中 为x1，x2， …xn 的平均数） 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与 方差．菁优网版权所有 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，把所有数据相加再除以 4 写出这组数据的平均数，再利用 所给的方差的公式，做出这组数据的方差． （Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写 出分布列，做出期望值． 【解答】解：（Ⅰ）当 X=8，乙组同学植树棵数是 8，8，9，10， 平均数是 =，方差为 +=；（Ⅱ）当 X=9 时，甲组同学的植树棵数是 9，9，11，11； 乙组同学的植树棵数是 9，8，9，10， 分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有 4×4=16 种结果， 这两名同学植树的总棵数 Y 可能是 17，18，19，20，21， 事件 Y=17，表示甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵， ∴P（Y=17）= P（Y=18）= 第 16 页 共 22 页 P（Y=19）= P（Y=20）= ， P（Y=21）= YP17 18 19 20 21 0.125 0.25 0.25 0.25 0.125 ∴随机变量的期望是 EY= =19． 【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查 等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目． 18．（13 分）（2011•北京）已知函数 （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； ．（Ⅱ）若对于任意的 x∈（0，+∞），都有 f（x）≤ ，求 k 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据 f′（x），f（x）随 x 的变化情况即可求 出函数的单调区间； （Ⅱ）根据若对于任意的 x∈（0，+∞），都有 f（x）≤ ，利用导数求函数 f（x）在区间（ 0，+∞）的最大值，即可求出 k 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ） =，令 f′（x）=0，得 x=±k 当 k＞0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下： ﹣k （﹣∞， ﹣k） （﹣k，k） kx（k，+∞） ﹣f′（x） + 000+4k2e﹣1 f（x） 递增 递减 递增 所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k） ；当 k＜0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下： ﹣k （k，﹣k） （﹣∞，k） （﹣k，+∞ xk）﹣﹣f′（x） 0+04k2e﹣1 f（x） 递减 0递增 递减 所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k） ；第 17 页 共 22 页 （Ⅱ）当 k＞0 时，有 f（k+1）= ，不合题意， 当 k＜0 时，由（I）知 f（x）在（0，+∞）上的最大值是 f（﹣k）= ∴任意的 x∈（0，+∞），f（x）≤ ，⇔f（﹣k）= ≤ ， 解得﹣ 故对于任意的 x∈（0，+∞），都有 f（x）≤ ，k 的取值范围是﹣ ，，．【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程 f’（x）=0 根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立 问题一般转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度． 19．（14 分）（2011•北京）已知椭圆 ．过点（m，0）作圆 x2+y2=1 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点． （Ⅰ）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值． 【考点】圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公 式即可求解； （II）由题意即 m 得取值范围分 m=1 时，m=﹣1 及当 m≠±1 三大类求出|AB|的长度，利用直 线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到 k 与 m 之间关系等式，利用直线与 圆相切的条件即可． 【解答】解：（I）由题意得 a=2，b=1，所以 c= ∴椭圆 G 的焦点坐标 离心率 e= ．（II）由题意知：|m|≥1， 当 m=1 时，切线 l 的方程为 x=1，点 A（1， ）点 B（1，﹣ ） 此时|AB|= ；当 m=﹣1 时，同理可得|AB|= ；当|m|＞1 时，设切线 l 的方程为：y=k（x﹣m），由 ⇒（1+4k2） x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）则 x1+x2= 第 18 页 共 22 页 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切∴圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即 所以|AB|= =1⇒m2= ，=]= ，由于当 m=±1 时，|AB|= ，当 m≠±1 时，|AB|= ，此时 m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 又|AB|= ≤2（当且仅当 m=± 时，|AB|=2）， 所以，|AB|的最大值为 2． 故|AB|的最大值为 2． 【点评】此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问 ，重点考查了利用 m 的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建 立 m 与 k 的关系等式，还考查两点间的距离公式及又 m 的范围解出|AB|的最值． 20．（13 分）（2011•北京）若数列 An=a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，… ，n﹣1），数列 An 为 E 数列，记 S（An）=a1+a2+…+an． （Ⅰ）写出一个满足 a1=as=0，且 S（As）＞0 的 E 数列 An； （Ⅱ）若 a1=12，n=2000，证明：E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）=0？如 果存在，写出一个满足条件的 E 数列 An；如果不存在，说明理由． 【考点】数列的应用．菁优网版权所有 【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（Ⅰ）根据题意，a2=±1，a4=±1，再根据|ak+1﹣ak|=1 给出 a5 的值，可以得出符合 题的 E 数列 A5； （Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是 An 公差为 1 的等差数列，再 证充分性，由绝对值的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得 ak+1﹣ak=1＞0，An 是递增数列； （Ⅲ）根据定义构造数列，再用等差数列求和公式求出 S（An），最后通过讨论得出符合条 件的 S（An）． 【解答】解：（Ⅰ）0，1，0，1，0 是一个满足条件的 E 数列 A5 （Ⅱ）必要性：因为 E 数列 An 是递增数列 所以 ak+1﹣ak=1（k=1，2，…，1999） 所以 An 是首项为 12，公差为 1 的等差数列． 所以 a2000=12+（2000﹣1）×1=2011 充分性：由于 a2000﹣a1999≤1 a1999﹣a1998≤1 第 19 页 共 22 页 …a2﹣a1≤1， 所以 a2000﹣a1≤1999，即 a2000≤a1+1999 又因为 a1=12，a2000=2011 所以 a2000=a1+1999 故 ak+1﹣ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即 An 是递增数列． 综上所述，结论成立． （Ⅲ）设 ck=ak+1﹣ak（k=1，2，…，n﹣1），则 ck=±1 因为 a2=a1+c1 a3=a1+c1+c2 …an=a1+c1+c2+…+cn﹣1 所以 S（An）=na1+（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+（n﹣3）c3+…+cn﹣1 =（n﹣1）+（n﹣2）+…+1﹣[（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣cn﹣1）] =因为 ck=±1，所以 1﹣ck 为偶数（k=1，2，…，n﹣1）） 所以（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣cn﹣1）为偶数 所以要使 S（An）=0，必须= 使为偶数 即 4 整除 n（n﹣1），亦即 n=4m 或 n=4m+1（m∈N*） 当 n=4m（m∈N*）时，E 数列 An 的项满足 a4k+1=a4k﹣1=0，a4k﹣2=﹣1，a4k=1（k=1，2，…， n﹣1）） 此时，有 a1=0 且 S（An）=0 成立 当 n=4m+1（m∈N*）时，E 数列 An 的项满足 a4k+1=a4k﹣1=0a4k﹣2=﹣1a4k=1（k=1，2，…，n﹣1 ）） a4m+1=0 时，亦有 a1=0 且 S（An）=0 成立 当 n=4m+2 或 n=4m+3（m∈N*）（m∈N*）时，n（n﹣1）不能被 4 整除，此时不存在数列 数列 An，使得 a1=0 且 S（An）=0 成立 【点评】本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，第三小问注意去绝对值 ，分类讨论思想的运用． 第 20 页 共 22 页 第 21 页 共 22 页 第 22 页 共 22 页
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