2011年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2011 年天津高考文科数学试题及答案详细解析(天津卷) 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 棱柱的体积公式V  Sh P(A  B)  P(A)  P(B) 其中 S 表示棱柱的底面面积。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 13i 1. i是虚数单位,复数 =1i B. 2  i   C. 1 2i   D. 1 2i A. 2 i     x 1, 2.设变量 x,y 满足约束条件 x  y  4  0, 则目标函数 z  3x  y 的x 3y  4  0, 最大值为 A.-4     B.0 4C.D.4 33.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x的值为-4,则输出 y的值为 A.,0.5 C.2 B.1 D.4 4.设集合A  x R | x  2  0 ,B  x R | x  0 ,C  x R | x(x  2)  0 ,则“ x A B ”是“ xC ”的 A.充分而不必要条件    C.充分必要条件         B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 5.已知 a  log2 3.6,b  log4 3.2,c  log4 3.6 则A. a  b  c     B. a  c  b C.b  a  c  D. c  a  b x2 y2 6.已知双曲线  1(a  0,b  0) 的左顶点与抛物线 y2  2px( p  0) 的焦点的距 a2 b2 离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双 曲线的焦距为( )A. 2 3 B. 2 5 C. 4 3 D. 4 5 7.已知函数 f (x)  2sin(x ), x  R ,其中  0,    ,若f (x)的最小正周期 第 – 1 -页 共 13 页 2为6 ,且当 x  时, f (x) 取得最大值,则 ()A. f (x) 在区间[2,0]上是增函数 C. f (x) 在区间[3,5 ]上是减函数 B. f (x) 在区间[3, ] 上是增函数 D. f (x) 在区间[4,6 ] 上是减函数 a,a  b  1, b,a  b  1. 8 . 对 实 数a和b , 定 义 运 算 “ ” : a  b  设 函 数 f (x)  (x2  2)  (x 1), x  R 。若函数 y  f (x)  c 的图象与 x轴恰有两个公共点, 则实数 c的取值范围是( )A. (1,1] (2,) B. (2,1] (1,2] C. (,2)  (1,2]D.[-2,-1] 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9 .已知集合 A  x R | x 1  2 ,Z 为整数集,则集合 A Z 中所有元素的和等于________ 10.一个几何体的三视图如图所示(单位: m),则该几何 体的体积为__________ m3 11.已知 a为等差数列, Sn 为其前 n项和, n N* ,  n若a3  16, S20  20, 则 S10 的值为_______ 12 . 已 知log2 a  log2 b 1, 则 3a  9b 的 最 小 值 为 __________ 13.如图已知圆中两条弦 AB 线上一点,且 DF  CF  2, AF : FB : BE  4: 2:1. CE 与圆相切,则CE 的长为__________ 14.已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC   F E AB 延长 与 ,是 CD 相交于点 若,ADC  900 AD  2, BC 1 , , P是腰 DC 上的动点,则 PA 3PB 的最小值为____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 – 2 -页 共 13 页 15.编号为 A , A2 ,, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 1运 动 AA2 AA4 AAAA813567员编号得分 运 动 15 35 21 28 25 36 18 34 AAAAAAAA910 11 12 13 14 15 16 员编号得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (Ⅰ)将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格; 区间 10,20 20,30 30,40 人数 (Ⅱ)从得分在区间 20,30 内的运动员中随机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概 率. 16. P在△ ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B  C,2b  3a. (Ⅰ)求 cos A的值; 4(Ⅱ) cos(2A )的值. M17.(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P  ABCD 中,底面 ABCD 平行四边形, ADC  450 AC 中点, PO  平面 ABCD PO  2 PD 中点. 为,AD  AC 1 , 为 OCD,,OABM为第 – 3 -页 共 13 页 (Ⅰ)证明: PB //平面 ACM (Ⅱ)证明: AD  平面 PAC ;;(Ⅲ)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 18.(本小题满分 13 分) x2 y2 设 椭 圆  1(a  b  0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为F1 , F2 。 点P(a,b) 满 足 a2 b2 | PF2 || F F2 | . 1(Ⅰ)求椭圆的离心率 ; e(Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆 (x 1)2  (y  3)2  16 5相交于 M,N 两点,且| MN | | AB | ,求椭圆的方程。 819.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)  4×3  3tx2  6tx  t 1, x R,其中t  R (Ⅰ)当t 1时,求曲线 y  f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)当t  0时,求 f (x) 的单调区间; .(Ⅲ)证明:对任意的t (0,), f (x) 在区间 (0,1) 内均存在零点. 20.(本小题满分 14 分) 已知数列{an }与{bn } 满足3  (1)n1 bn1an  bn an1  (2)n 1,bn  (Ⅰ)求 a2 ,a3 的值; ,n  N* ,且a1  2. 2(Ⅱ)设 cn  a2n1  a2n1,n  N* ,证明{cn }是等比数列; S1 S2 S2n1 S2n 1(Ⅲ)设 Sn 为{an }的前 n项和,证明   n  (n  N* ). a1 a2 a2n1 a2n 3参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 40 分。 1. 【答案】A 第 – 4 -页 共 13 页 13i (13i)(1 i) 4 2i 【解析】  2 i .1i (1i)(1 i) 22. 【答案】D 【解析】可行域如图: yx+y-4=0 43x-3y+4=0 21-4 -3 -2 -1 o1234xx=1 x  y  4  0 x 3y  4  0 x  2 y  2 联立 解得 当目标直线 z  3x  y 移至(2.2)时, z  3x  y 有最大 值 4. 3. 【答案】C 【解析】当 x  4时, x  x 3  7 ;,当当x  7 时, x  x 3  4 x  4 时, x | x  3 | 1  3 ∴y  2  2 .4. 【答案】C 【解析】∵ A  xk x 2  0 ,B  xk x 0 ,∴∴A B  x x  0 ,或 x  2 ,又∵C  xk x(x  2)  0  xk x 0 或x  2 ,A B  C ,即“ x A B ”是“ xC ”的充分必要条件. 5. 【答案】B 【解析】∵ a  log32.6  log22 1,又∵ y  log4x 为单调递增函数, ∴∴log34.2  log34.6  log44 1 b  c  a ,.第 – 5 -页 共 13 页 6. 【答案】B x2 y2 b【解析】双曲线 1的渐近线为 y  x ,由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线 a2 5ap的交点坐标为(-2,-1)得  2,即 p  4 ,2pba又∵  a  4,∴ a  2 ,将(-2,-1)代入 y  x得b 1 ,2∴c  a2  b2  4 1  5 ,即 2c  2 5 .7. 【答案】A 2 11  2【解析】∵  6 ,∴  .又∵   2k  ,k  z 且  4   ,33 2 313∴ 当k  0 时 ,   , f (x)  2sin( x  ) , 要 使f (x) 递 增 , 须 有 321325 22k  0 2k  x  2k  ,k  z ,解之得 6k   x  6k  ,k  z ,当 35252时,    x  ,∴ f (x) 在[ , ]上递增. 28. 【答案】B 222x  2, x  2  x 1  1  1 【解析】 f (x)  22x  x , x  2  x 1 2x  2,1  x  2 x 1, x  1,或x  2 则f (x) 的图象如图, 第 – 6 -页 共 13 页 y4321-4 -3 -2 -1 o1234x-1 -2 -3 ∵函数 y  f (x)  c 的图象与 x轴恰有两个公共点, ∴函数 y  f (x) 与y  c 的图象有两个交点,由图象可得 2  c 1,或1 c  2, .二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 30 分。 9.【答案】3 【解析】 A xk x1  2  x 1 x  3 .∴ A  Z  0,1,2 ,即 0  1 2  3. 10.【答案】4 【解析】 v  211112  4 11.【答案】110 .【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 差 为, 由 题 意 得 , da  a  2d  16 31,解之得a1  20,d  2 ,∴2019 S20  20a1   2  20 2109 s10 1020  12.【答案】18 (2) 110 .2【解析】∵ loga2  logb2  loga2b  1 ab  2 ,∴,2ab ∴3a  9b  3a  32b  2 3a 3b  2 3a2b  2 32  18 .第 – 7 -页 共 13 页 713. 【答案】 212【解析】设 AF  4k ,BF  2k ,BE  k ,由 DF  FC  AF  BF 得2  8k 2 ,即 k  .17∴AF  2, BF  1, BE  , AE  ,221 7 74由切割定理得CE2  BE  EA  ,2 2 7∴CE  .214.【答案】5 【解析】建立如图所示的坐标系,设 PC  h,则 A(2,0), B(1,h),设 P(0, y),(0  y  h)     则PA  (2,y), PB  (1,h  y) ,∴ PA 3PB  25 (3h  4y)2  25  5 .yCBDAox三、解答题 (15)本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公 式的等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力,满分 13 分。 (Ⅰ)解:4,6,6 (Ⅱ)(i)解:得分在区间[20,30) 内的运动员编号为 A , A4 , A , A , A , A .从中随机 3510 11 13 抽取 2 人,所有可能的抽取结果有: {A , A4},{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A4 , A }, {A4 , A } ,335310 311 313 510 {A4 , A },{A4 , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A } ,11 13 510 511 513 10 11 10 13 11 13 共 15 种。 (ii)解:“从得分在区间[20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 第 – 8 -页 共 13 页 50 ”(记为事件B)的所有可能结果有:{A4 , A },{A4 , A },{A4 , A },{A , A },{A , A },共 5 种。 510 11 510 10 11 51所以 P(B)   . 15 3(16)本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的 正弦、余弦公式等基础知识,考查基本运算能力,满分 13 分。 3(Ⅰ)解:由 B  C,2b  3a,可得c  b  a2343a2  a2  a2 b2  c2  a2 2bc 14所以 cos A   . 3332 a  a2212 2 3(Ⅱ)解:因为 cos A  , A(0, ) ,所以sin A  1 cos2 A  374 2 9cos2A  2cos2 A 1  .故sin 2A  2sin Acos A  .9444所以 cos 2A  cos2Acos sin 2Asin 7924 2 928 7 2     .2218 (17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识, 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。 (Ⅰ)证明:连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,所以 PB//MO。因为 PB  平面 ACM, MO  面 ACM,所以 PB//平面 ACM。 平(Ⅱ)证明:因为 ADC  45 ,且 AD=AC=1, 所以 DAC  90 ,即 AD  AC ,又 PO 平面 ABCD, AD  平面 ABCD, 所以 PO  AD,而AC  PO  O ,所以 AD  平面 PAC。 (Ⅲ)解:取 DO 中点 N,连接 MN,AN,因为 M 为 PD 的中点, 1所以 MN//PO,且 MN  PO  1,由PO 平面 ABCD,得 MN 平面 ABCD, 212所以 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角,在 RtDAO 中, AD  1, AO  ,第 – 9 -页 共 13 页 515所以 DO  ,从而 AN  DO  ,224MN 14 5 在RtANM中, tan MAN  ,AN 5544 5 5即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到 直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分 13 分。 (Ⅰ)解:设 F (c,0), F2 (c,0)(c  0) ,因为| PF2 || F F2 | ,112ccc  所以 (a  c)2  b2  2c ,整理得 21  0,得  1(舍)   a  aac11或 ,所以e  . a22(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a  2c,b  3c ,可得椭圆方程为3×2  4y2  12c2 ,直线 FF2 的方程为 y  3(x  c). 2223x  4y  12c , A,B 两点的坐标满足方程组 消去 y并整理,得5×2  8cx  0 。解 y  3(x  c). 8x2  c, x  0, 581得x1  0, x2  c ,得方程组的解 5y  3c, 3 3 1y2  c. 5853 3 不妨设Ac, c,B(0, 3c) ,所以52 2 83 3 16 | AB | cc  3c c. 5555于是| MN | | AB | 2c. 8|  3  3  3c | 3 | 2  c | 圆心 1, 3到直线 PF2 的距离 d  .22第 – 10 -页 共 13 页 2| MN | 3因为 d2   42 ,所以 (2  c)2  c2  16. 24×2 y2 26 整理得 7c2 12c  52  0 ,得 c   (舍),或 c  2.所以椭圆方程为  1. 716 12 (19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函 数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分 14 分。 322(Ⅰ)解:当t  1时, f (x)  4x  3x  6x, f (0)  0, f (x)  12x  6x  6 f (0)  6.所以曲线 y  f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y  6x. t2(Ⅱ)解: f (x)  12x  6tx  6t2 ,令 f (x)  0,解得 x  t或x  . 2因为t  0,以下分两种情况讨论: t(1)若t  0,则  t,当x 变化时, f (x), f (x) 的变化情况如下表: 2xt, tt, ,t 22+-+f (x) f (x) tt所以, f (x) 的单调递增区间是 , ,t, ; f (x) 的单调递减区间是 ,t 。22t(2)若t  0,则  t  ,当 x变化时, f (x), f (x) 的变化情况如下表: 2x,t ttt, , 22+-+f (x) f (x) tt所以, f (x) 的单调递增区间是 ,t , , ; f (x) 的单调递减区间是 t, .22tt(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当t  0 时, f (x) 在0, 内的单调递减,在 , 内22第 – 11 -页 共 13 页 单调递增,以下分两种情况讨论: t(1)当  1,即t  2 时, f (x) 在(0,1)内单调递减, 2f (0)  t 1  0, f (1)  6t2  4t  3  6 4  4 2  3  0. 所以对任意t [2,), f (x) 在区间(0,1)内均存在零点。 ttt2  (2)当 0  1,即0  t  2 时, f (x) 在0, 内单调递减,在 ,1 内单调递增, 22177  若t (0,1], f  t3  t 1  t3  0.   2  44f (1)  6t2  4t  3  6t  4t  3  2t  3  0. t所以 f (x)在 ,1 内存在零点。 2t77  若t (1,2), f  t3  t 1  t3 1  0.   2  44f (0)  t 1  0 t所以 f (x)在 0, 内存在零点。 2所以,对任意t (0,2), f (x)在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意t (0,), f (x) 在区间(0,1)内均存在零点。 (20)本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能 力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 3  (1)n1 2,n为奇数, (Ⅰ)解:由bn  ,n  N* ,可得b  n21,n为偶数, n又当当bn1an  bn an1  2 1 ,3n  1时,a1  2a2  1,由a1  2,可得a2  ; 2n  2时,2a2  a3  5,可得a3  8. (Ⅱ)证明:对任意 n  N* 第 – 12 -页 共 13 页 a2n1  2a2n  22n1 1 2a2n  a2n1  22n 1 ①②cn1 cn ②-①,得 a2n1  a2n1  3 22n1,即cn  3 22n1,于是 所以{cn }是等比数列。  4 (Ⅲ)证明: a1  2,由(Ⅱ)知,当 k  N*且k  2 时, a2k1  a1  (a3  a1 )  (a5  a3 )  (a7  a5 )  (a2k1  a2k3 2(1 4k1 ) ) 2  3(2  23  25  22k3 )  2  3  22k1 1 4 故对任意 k  N* ,a2k1  22k1 .1由①得 2 2k1 2a2k  22k1 1,所以a2k  22k1,k  N* 2k因此, S2k  (a1  a2 )  (a3  a4 )  (a2k1  a2k )  . 2k 1 2于是, S2k 1  S2k  a2k   22k1 .故k 1 k 22k1 k 1 22k k1kS2k1 S2k 22 1 .22k1 22k 22k 1 4k 4k (4k 1) 12a2k1 a2k  22k1 第 – 13 -页 共 13 页

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