2011年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

2011 年天津高考文科数学试题及答案详细解析（天津卷） 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V  Sh P(A  B)  P(A)  P(B) 其中 S 表示棱柱的底面面积。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 13i 1． i是虚数单位，复数 =1i B． 2  i 　　C． 1 2i 　　D． 1 2i A． 2 i 　　　 x 1, 2．设变量 x，y 满足约束条件 x  y  4  0, 则目标函数 z  3x  y 的x 3y  4  0, 最大值为 A．-4　　　　 B．0 4C．D．4 33．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x的值为-4，则输出 y的值为 A．,0．5 C．2 B．1 D．4 4．设集合A  x R | x  2  0 ,B  x R | x  0 ，C  x R | x(x  2)  0 ，则“ x A B ”是“ xC ”的 A．充分而不必要条件　　　　C．充分必要条件　　　　　　　　 B．必要而不充分条件 D．即不充分也不必要条件 5．已知 a  log2 3.6,b  log4 3.2,c  log4 3.6 则A． a  b  c 　　　 B． a  c  b C．b  a  c 　D． c  a  b x2 y2 6．已知双曲线  1(a  0,b  0) 的左顶点与抛物线 y2  2px( p  0) 的焦点的距 a2 b2 离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双 曲线的焦距为（ ）A． 2 3 B． 2 5 C． 4 3 D． 4 5 7．已知函数 f (x)  2sin(x ), x  R ，其中  0,    ,若f (x)的最小正周期 第 – 1 -页 共 13 页 2为6 ，且当 x  时， f (x) 取得最大值，则 （）A． f (x) 在区间[2,0]上是增函数 C． f (x) 在区间[3,5 ]上是减函数 B． f (x) 在区间[3, ] 上是增函数 D． f (x) 在区间[4,6 ] 上是减函数 a,a  b  1, b,a  b  1. 8 ． 对 实 数a和b ， 定 义 运 算 “ ” ： a  b  设 函 数 f (x)  (x2  2)  (x 1), x  R 。若函数 y  f (x)  c 的图象与 x轴恰有两个公共点， 则实数 c的取值范围是（ ）A． (1,1] (2,) B． (2,1] (1,2] C． (,2)  (1,2]D．[-2，-1] 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9 ．已知集合 A  x R | x 1  2 ,Z 为整数集，则集合 A Z 中所有元素的和等于________ 10．一个几何体的三视图如图所示（单位： m），则该几何 体的体积为__________ m3 11．已知 a为等差数列， Sn 为其前 n项和， n N* ，  n若a3  16, S20  20, 则 S10 的值为_______ 12 ． 已 知log2 a  log2 b 1， 则 3a  9b 的 最 小 值 为 __________ 13．如图已知圆中两条弦 AB 线上一点，且 DF  CF  2, AF : FB : BE  4: 2:1. CE 与圆相切，则CE 的长为__________ 14．已知直角梯形 ABCD 中， AD // BC   F E AB 延长 与 ，是 CD 相交于点 若,ADC  900 AD  2, BC 1 , , P是腰 DC 上的动点，则 PA 3PB 的最小值为____________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 – 2 -页 共 13 页 15．编号为 A , A2 ,, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 1运 动 AA2 AA4 AAAA813567员编号得分 运 动 15 35 21 28 25 36 18 34 AAAAAAAA910 11 12 13 14 15 16 员编号得分 17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格； 区间 10,20 20,30 30,40 人数 （Ⅱ）从得分在区间 20,30 内的运动员中随机抽取 2 人， （i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概 率． 16． P在△ ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 B  C,2b  3a. （Ⅰ）求 cos A的值； 4（Ⅱ） cos(2A )的值． M17．（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 平行四边形， ADC  450 AC 中点， PO  平面 ABCD PO  2 PD 中点． 为，AD  AC 1 ， 为 OCD，，OABM为第 – 3 -页 共 13 页 （Ⅰ）证明： PB //平面 ACM （Ⅱ）证明： AD  平面 PAC ；；（Ⅲ）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值． 18．（本小题满分 13 分） x2 y2 设 椭 圆  1(a  b  0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为F1 ， F2 。 点P(a,b) 满 足 a2 b2 | PF2 || F F2 | . 1（Ⅰ）求椭圆的离心率 ； e（Ⅱ）设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆 (x 1)2  (y  3)2  16 5相交于 M，N 两点，且| MN | | AB | ，求椭圆的方程。 819．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x)  4×3  3tx2  6tx  t 1, x R，其中t  R （Ⅰ）当t 1时，求曲线 y  f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）当t  0时，求 f (x) 的单调区间； ．（Ⅲ）证明：对任意的t (0,), f (x) 在区间 (0,1) 内均存在零点． 20．（本小题满分 14 分） 已知数列{an }与{bn } 满足3  (1)n1 bn1an  bn an1  (2)n 1,bn  （Ⅰ）求 a2 ,a3 的值； ,n  N* ,且a1  2. 2（Ⅱ）设 cn  a2n1  a2n1,n  N* ，证明{cn }是等比数列； S1 S2 S2n1 S2n 1（Ⅲ）设 Sn 为{an }的前 n项和，证明   n  (n  N* ). a1 a2 a2n1 a2n 3参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分。 1. 【答案】A 第 – 4 -页 共 13 页 13i (13i)(1 i) 4 2i 【解析】  2 i .1i (1i)(1 i) 22. 【答案】D 【解析】可行域如图： yx+y-4=0 43x-3y+4=0 21-4 -3 -2 -1 o1234xx=1 x  y  4  0 x 3y  4  0 x  2 y  2 联立 解得 当目标直线 z  3x  y 移至（2.2）时， z  3x  y 有最大 值 4. 3. 【答案】C 【解析】当 x  4时， x  x 3  7 ；，当当x  7 时， x  x 3  4 x  4 时， x | x  3 | 1  3 ∴y  2  2 .4. 【答案】C 【解析】∵ A  xk x 2  0 ，B  xk x 0 ，∴∴A B  x x  0 ，或 x  2 ，又∵C  xk x(x  2)  0  xk x 0 或x  2 ，A B  C ，即“ x A B ”是“ xC ”的充分必要条件. 5. 【答案】B 【解析】∵ a  log32.6  log22 1，又∵ y  log4x 为单调递增函数， ∴∴log34.2  log34.6  log44 1 b  c  a ，.第 – 5 -页 共 13 页 6. 【答案】B x2 y2 b【解析】双曲线 1的渐近线为 y  x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线 a2 5ap的交点坐标为（－2，－1）得  2，即 p  4 ，2pba又∵  a  4，∴ a  2 ，将（－2，－1）代入 y  x得b 1 ，2∴c  a2  b2  4 1  5 ，即 2c  2 5 .7. 【答案】A 2 11  2【解析】∵  6 ，∴  .又∵   2k  ,k  z 且  4   ，33 2 313∴ 当k  0 时 ，   , f (x)  2sin( x  ) ， 要 使f (x) 递 增 ， 须 有 321325 22k  0 2k  x  2k  ,k  z ，解之得 6k   x  6k  ,k  z ，当 35252时，    x  ，∴ f (x) 在[ , ]上递增. 28. 【答案】B 222x  2, x  2  x 1  1  1 【解析】 f (x)  22x  x , x  2  x 1 2x  2,1  x  2 x 1, x  1,或x  2 则f (x) 的图象如图， 第 – 6 -页 共 13 页 y4321-4 -3 -2 -1 o1234x-1 -2 -3 ∵函数 y  f (x)  c 的图象与 x轴恰有两个公共点， ∴函数 y  f (x) 与y  c 的图象有两个交点，由图象可得 2  c 1,或1 c  2, .二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 30 分。 9.【答案】3 【解析】 A xk x1  2  x 1 x  3 .∴ A  Z  0,1,2 ，即 0  1 2  3. 10.【答案】4 【解析】 v  211112  4 11.【答案】110 .【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 ， 公 差 为， 由 题 意 得 ， da  a  2d  16 31，解之得a1  20,d  2 ，∴2019 S20  20a1   2  20 2109 s10 1020  12.【答案】18 (2) 110 .2【解析】∵ loga2  logb2  loga2b  1 ab  2 ，∴，2ab ∴3a  9b  3a  32b  2 3a 3b  2 3a2b  2 32  18 .第 – 7 -页 共 13 页 713. 【答案】 212【解析】设 AF  4k ，BF  2k ，BE  k ，由 DF  FC  AF  BF 得2  8k 2 ，即 k  .17∴AF  2, BF  1, BE  , AE  ，221 7 74由切割定理得CE2  BE  EA  ，2 2 7∴CE  .214.【答案】5 【解析】建立如图所示的坐标系，设 PC  h，则 A(2,0), B(1,h)，设 P(0, y),(0  y  h)     则PA  (2,y), PB  (1,h  y) ，∴ PA 3PB  25 (3h  4y)2  25  5 .yCBDAox三、解答题 （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公 式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分 13 分。 （Ⅰ）解：4，6，6 （Ⅱ）（i）解：得分在区间[20,30) 内的运动员编号为 A , A4 , A , A , A , A .从中随机 3510 11 13 抽取 2 人，所有可能的抽取结果有： {A , A4},{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A4 , A }, {A4 , A } ，335310 311 313 510 {A4 , A },{A4 , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A },{A , A } ，11 13 510 511 513 10 11 10 13 11 13 共 15 种。 （ii）解：“从得分在区间[20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 第 – 8 -页 共 13 页 50 ”（记为事件B）的所有可能结果有：{A4 , A },{A4 , A },{A4 , A },{A , A },{A , A }，共 5 种。 510 11 510 10 11 51所以 P(B)   . 15 3（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的 正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。 3（Ⅰ）解：由 B  C,2b  3a,可得c  b  a2343a2  a2  a2 b2  c2  a2 2bc 14所以 cos A   . 3332 a  a2212 2 3（Ⅱ）解：因为 cos A  , A(0, ) ，所以sin A  1 cos2 A  374 2 9cos2A  2cos2 A 1  .故sin 2A  2sin Acos A  .9444所以 cos 2A  cos2Acos sin 2Asin 7924 2 928 7 2     .2218 （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识， 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。 （Ⅰ）证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB//MO。因为 PB  平面 ACM， MO  面 ACM，所以 PB//平面 ACM。 平（Ⅱ）证明：因为 ADC  45 ，且 AD=AC=1， 所以 DAC  90 ，即 AD  AC ，又 PO 平面 ABCD， AD  平面 ABCD， 所以 PO  AD,而AC  PO  O ，所以 AD  平面 PAC。 （Ⅲ）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN，因为 M 为 PD 的中点， 1所以 MN//PO，且 MN  PO  1,由PO 平面 ABCD，得 MN 平面 ABCD， 212所以 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 RtDAO 中， AD  1, AO  ，第 – 9 -页 共 13 页 515所以 DO  ，从而 AN  DO  ，224MN 14 5 在RtANM中, tan MAN  ，AN 5544 5 5即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到 直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。 （Ⅰ）解：设 F (c,0), F2 (c,0)(c  0) ，因为| PF2 || F F2 | ，112ccc  所以 (a  c)2  b2  2c ，整理得 21  0,得  1（舍）   a  aac11或 ,所以e  . a22（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a  2c,b  3c ，可得椭圆方程为3×2  4y2  12c2 ，直线 FF2 的方程为 y  3(x  c). 2223x  4y  12c , A，B 两点的坐标满足方程组 消去 y并整理，得5×2  8cx  0 。解 y  3(x  c). 8x2  c, x  0, 581得x1  0, x2  c ，得方程组的解 5y  3c, 3 3 1y2  c. 5853 3 不妨设Ac, c，B(0, 3c) ，所以52 2 83 3 16 | AB | cc  3c c. 5555于是| MN | | AB | 2c. 8|  3  3  3c | 3 | 2  c | 圆心 1, 3到直线 PF2 的距离 d  .22第 – 10 -页 共 13 页 2| MN | 3因为 d2   42 ，所以 (2  c)2  c2  16. 24×2 y2 26 整理得 7c2 12c  52  0 ，得 c   （舍），或 c  2.所以椭圆方程为  1. 716 12 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函 数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。 322（Ⅰ）解：当t  1时， f (x)  4x  3x  6x, f (0)  0, f (x)  12x  6x  6 f (0)  6.所以曲线 y  f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y  6x. t2（Ⅱ）解： f (x)  12x  6tx  6t2 ，令 f (x)  0，解得 x  t或x  . 2因为t  0，以下分两种情况讨论： t（1）若t  0,则  t,当x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表： 2xt, tt, ,t 22+-+f (x) f (x) tt所以， f (x) 的单调递增区间是 , ,t, ; f (x) 的单调递减区间是 ,t 。22t（2）若t  0,则  t  ，当 x变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表： 2x,t ttt, , 22+-+f (x) f (x) tt所以， f (x) 的单调递增区间是 ,t , , ; f (x) 的单调递减区间是 t, .22tt（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t  0 时， f (x) 在0, 内的单调递减，在 , 内22第 – 11 -页 共 13 页 单调递增，以下分两种情况讨论： t（1）当  1,即t  2 时， f (x) 在（0，1）内单调递减， 2f (0)  t 1  0, f (1)  6t2  4t  3  6 4  4 2  3  0. 所以对任意t [2,), f (x) 在区间（0，1）内均存在零点。 ttt2  （2）当 0  1,即0  t  2 时， f (x) 在0, 内单调递减，在 ,1 内单调递增， 22177  若t (0,1], f  t3  t 1  t3  0.   2  44f (1)  6t2  4t  3  6t  4t  3  2t  3  0. t所以 f (x)在 ,1 内存在零点。 2t77  若t (1,2), f  t3  t 1  t3 1  0.   2  44f (0)  t 1  0 t所以 f (x)在 0, 内存在零点。 2所以，对任意t (0,2), f (x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t (0,), f (x) 在区间（0，1）内均存在零点。 （20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能 力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 3  (1)n1 2,n为奇数, （Ⅰ）解：由bn  ,n  N* ，可得b  n21,n为偶数, n又当当bn1an  bn an1  2 1 ，3n  1时,a1  2a2  1,由a1  2,可得a2  ; 2n  2时,2a2  a3  5,可得a3  8. （Ⅱ）证明：对任意 n  N* 第 – 12 -页 共 13 页 a2n1  2a2n  22n1 1 2a2n  a2n1  22n 1 ①②cn1 cn ②-①，得 a2n1  a2n1  3 22n1,即cn  3 22n1,于是 所以{cn }是等比数列。  4 （Ⅲ）证明： a1  2，由（Ⅱ）知，当 k  N*且k  2 时， a2k1  a1  (a3  a1 )  (a5  a3 )  (a7  a5 )  (a2k1  a2k3 2(1 4k1 ) ) 2  3(2  23  25  22k3 )  2  3  22k1 1 4 故对任意 k  N* ,a2k1  22k1 .1由①得 2 2k1 2a2k  22k1 1,所以a2k  22k1,k  N* 2k因此， S2k  (a1  a2 )  (a3  a4 )  (a2k1  a2k )  . 2k 1 2于是， S2k 1  S2k  a2k   22k1 .故k 1 k 22k1 k 1 22k k1kS2k1 S2k 22 1 .22k1 22k 22k 1 4k 4k (4k 1) 12a2k1 a2k  22k1 第 – 13 -页 共 13 页