2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分) A.1+2i =(  ) B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i 2.(5 分)设集合 A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.若 A∩B={1},则 B=(  ) A.{1,﹣3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 3.(5 分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远看巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的 顶层共有灯(  ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 4.(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的 三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积 为(  ) A.90π B.63π C.42π D.36π 5.(5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最小值是(  ) 第 1 页(共 31 页) A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 6.(5 分)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有(  ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 7.(5 分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师 说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙 看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩. 根据以上信息,则(  ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8.(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=﹣1,则输出的 S=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 第 2 页(共 31 页) 9.(5 分)若双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2) 2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为(  ) A.2 B. C. D. 10.(5 分)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为(  ) A. B. C. D. 11.(5 分)若 x=﹣2 是函数 f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1 的极值点,则 f(x)的极 小值为(  ) A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1 12.(5 分)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 •( +)的最小值是(  ) A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放 回地抽取 100 次.X 表示抽到的二等品件数,则 DX= . 14.(5 分)函数 f(x)=sin2x+ cosx﹣ (x∈[0, ])的最大值是   .  . 15.(5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 =  16.(5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据 要求作答.(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2 .第 3 页(共 31 页) (1)求 cosB; (2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b. 18.(12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收 获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频 率分布直方图如图: (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关: 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精 确到 0.01). 附: P(K2≥k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 第 4 页(共 31 页) K2= .19.(12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值. 20.(12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的 垂线,垂足为 N,点 P 满足 (1)求点 P 的轨迹方程; =.(2)设点 Q 在直线 x=﹣3 上,且 •=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 第 5 页(共 31 页) 过 C 的左焦点 F. 21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且 f(x)≥0. (1)求 a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e﹣2<f(x0)<2﹣2.  (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|•|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为(2, ),点B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值 . 第 6 页(共 31 页) [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.已知 a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2.  第 7 页(共 31 页) 2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ) 参考答案与试题解析  一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5 分) A.1+2i =(  ) B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂运算性质 ,求出结果. 【解答】解: ===2﹣i, 故选:D. 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,两个 复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数.  2.(5 分)设集合 A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.若 A∩B={1},则 B=(  ) A.{1,﹣3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 【专题】34:方程思想;4O:定义法;5J:集合. 【分析】由交集的定义可得 1∈A 且 1∈B,代入二次方程,求得 m,再解二次方 程可得集合 B. 【解答】解:集合 A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}. 若 A∩B={1},则 1∈A 且 1∈B, 第 8 页(共 31 页) 可得 1﹣4+m=0,解得 m=3, 即有 B={x|x2﹣4x+3=0}={1,3}. 故选:C. 【点评】本题考查集合的运算,主要是交集的求法,同时考查二次方程的解法, 运用定义法是解题的关键,属于基础题.  3.(5 分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远看巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的 顶层共有灯(  ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 【考点】89:等比数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列. 【分析】设塔顶的 a1 盏灯,由题意{an}是公比为 2 的等比数列,利用等比数列 前 n 项和公式列出方程,能求出结果. 【解答】解:设塔顶的 a1 盏灯, 由题意{an}是公比为 2 的等比数列, ∴S7= =381, 解得 a1=3. 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的首项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意等比数列的性质的合理运用.  4.(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的 三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积 为(  ) 第 9 页(共 31 页) A.90π B.63π C.42π D.36π 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5Q:立体几何. 【分析】由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一 半,即可求出几何体的体积. 【解答】解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱 的一半, V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π, 故选:B. 【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.  5.(5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最小值是(  ) 第 10 页(共 31 页) A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;5T:不等式. 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最小 值即可. 【解答】解:x、y 满足约束条件 的可行域如图: z=2x+y 经过可行域的 A 时,目标函数取得最小值, 解得 A(﹣6,﹣3), 由则 z=2x+y 的最小值是:﹣15. 故选:A. 【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查数形结合以及计算能力.  6.(5 分)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有(  ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;49:综合法;5O:排列组合. 【分析】把工作分成 3 组,然后安排工作方式即可. 【解答】解:4 项工作分成 3 组,可得: =6, 第 11 页(共 31 页) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成, 可得:6× =36 种. 故选:D. 【点评】本题考查排列组合的实际应用,注意分组方法以及排列方法的区别, 考查计算能力.  7.(5 分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师 说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙 看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩. 根据以上信息,则(  ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有 【专题】2A:探究型;35:转化思想;48:分析法;5M:推理和证明. 【分析】根据四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,继而可以推出 正确答案 【解答】解:四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话, 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会 知道自己的成绩) →乙看到了丙的成绩,知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良,丁知自己的成绩, 给甲看乙丙成绩,甲不知道自已的成绩,说明乙丙一优一良,假定乙丙都是优, 则甲是良,假定乙丙都是良,则甲是优,那么甲就知道自已的成绩了.给乙 看丙成绩,乙没有说不知道自已的成绩,假定丙是优,则乙是良,乙就知道 自己成绩.给丁看甲成绩,因为甲不知道自己成绩,乙丙是一优一良,则甲 丁也是一优一良,丁看到甲成绩,假定甲是优,则丁是良,丁肯定知道自已 的成绩了 第 12 页(共 31 页) 故选:D. 【点评】本题考查了合情推理的问题,关键掌握四人所知只有自己看到,老师 所说及最后甲说话,属于中档题.  8.(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=﹣1,则输出的 S=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图. 【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,K 值,当 K=7 时,程序终 止即可得到结论. 【解答】解:执行程序框图,有 S=0,K=1,a=﹣1,代入循环, 第一次满足循环,S=﹣1,a=1,K=2; 第 13 页(共 31 页) 满足条件,第二次满足循环,S=1,a=﹣1,K=3; 满足条件,第三次满足循环,S=﹣2,a=1,K=4; 满足条件,第四次满足循环,S=2,a=﹣1,K=5; 满足条件,第五次满足循环,S=﹣3,a=1,K=6; 满足条件,第六次满足循环,S=3,a=﹣1,K=7; K≤6 不成立,退出循环输出 S 的值为 3. 故选:B. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查,比较基础.  9.(5 分)若双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2) 2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为(  ) A.2 B. C. D. 【考点】KC:双曲线的性质;KJ:圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性 质与方程. 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离,列出关系式,然后求解双曲 线的离心率即可. 【解答】解:双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0 ,圆(x﹣2)2+y2=4 的圆心(2,0),半径为:2, 双曲线 C: ﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4 所截得 的弦长为 2, 第 14 页(共 31 页) 可得圆心到直线的距离为: =,解得: ,可得 e2=4,即 e=2. 故选:A. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,圆的方程的应用,考查计算能力.  10.(5 分)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为(  ) A. B. C. D. 【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;4O:定义法;5G:空间角. 【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB,BB1 和 B1C1 的中点,得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角;根据中位线定理,结合余弦定理求出 AC、MQ ,MP 和∠MNP 的余弦值即可. 【解法二】通过补形的办法,把原来的直三棱柱变成直四棱柱,解法更简洁. 【解答】解:【解法一】如图所示,设 M、N、P 分别为 AB,BB1 和 B1C1 的中点 ,则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 (因异面直线所成角为(0, ]), 可知 MN= AB1= NP= BC1= ,;作 BC 中点 Q,则△PQM 为直角三角形; ∵PQ=1,MQ= AC, △ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC 第 15 页(共 31 页) =4+1﹣2×2×1×(﹣ ) =7, ∴AC= ,∴MQ= ;在△MQP 中,MP= =;在△PMN 中,由余弦定理得 cos∠MNP= ==﹣ ;又异面直线所成角的范围是(0, ], ∴AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 .【解法二】如图所示, 补成四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D 即可; BC1= ,BD= =,C1D= ,∴+BD2= ,∴∠DBC1=90°, ∴cos∠BC1D= =.故选:C. 第 16 页(共 31 页) 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题,也考查了空间 中的平行关系应用问题,是中档题.  11.(5 分)若 x=﹣2 是函数 f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1 的极值点,则 f(x)的极 小值为(  ) A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1 【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用. 【分析】求出函数的导数,利用极值点,求出 a,然后判断函数的单调性,求解 函数的极小值即可. 【解答】解:函数 f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1 可得 f′(x)=(2x+a)ex﹣1+(x2+ax﹣1)ex﹣1 ,,x=﹣2 是函数 f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1 的极值点, 可得:f′(﹣2)=(﹣4+a)e﹣3+(4﹣2a﹣1)e﹣3=0,即﹣4+a+(3﹣2a)=0. 解得 a=﹣1. 可得 f′(x)=(2x﹣1)ex﹣1+(x2﹣x﹣1)ex﹣1 ,=(x2+x﹣2)ex﹣1,函数的极值点为:x=﹣2,x=1, 当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)>0 函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函 第 17 页(共 31 页) 数, x=1 时,函数取得极小值:f(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1. 故选:A. 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值的求法, 考查计算能力.  12.(5 分)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 •( +)的最小值是(  ) A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;4R:转化法;5A:平面向量及应用. 【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的 公式进行计算即可. 【解答】解:建立如图所示的坐标系,以 BC 中点为坐标原点, 则 A(0, ),B(﹣1,0),C(1,0), 设 P(x,y),则 =(﹣x, ﹣y), =(﹣1﹣x,﹣y), =(1﹣x,﹣y ), 则•( +)=2×2﹣2 y+2y2=2[x2+(y﹣ )2﹣ ] ∴当 x=0,y= 时,取得最小值 2×(﹣ )=﹣ , 故选:B. 第 18 页(共 31 页) 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据条件建立坐标系,利用坐 标法是解决本题的关键.  二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(5 分)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放 回地抽取 100 次.X 表示抽到的二等品件数,则 DX= 1.96 . 【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;5I:概率与统计. 【分析】判断概率满足的类型,然后求解方差即可. 【解答】解:由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型, 其中,p=0.02,n=100, 则 DX=npq=np(1﹣p)=100×0.02×0.98=1.96. 故答案为:1.96. 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法,判断概率类型满足二 项分布是解题的关键.  14.(5 分)函数 f(x)=sin2x+ cosx﹣ (x∈[0, ])的最大值是 1 . 【考点】HW:三角函数的最值.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;33:函数思想;4J:换元法;51:函数的性质及应用;57 :三角函数的图像与性质. 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出. 【解答】解:f(x)=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ , 令 cosx=t 且 t∈[0,1], 则 y=﹣t2+ t+ =﹣(t﹣ )2+1, 当 t= 时,f(t)max=1, 即 f(x)的最大值为 1, 第 19 页(共 31 页) 故答案为:1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质,属于基础题  15.(5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 =   . 【考点】85:等差数列的前 n 项和;8E:数列的求和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列. 【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和,然后化简所求的表达式,求 解即可. 【解答】解:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10, 可得 a2=2,数列的首项为 1,公差为 1, Sn= ,=,则=2[1﹣ ++…+ ]=2(1﹣ )= .故答案为: .【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力.  16.(5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|= 6 . 【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出抛物线的焦点坐标,推出 M 坐标,然后求解即可. 【解答】解:抛物线 C:y2=8x 的焦点 F(2,0),M 是 C 上一点,FM 的延长线 交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点, 可知 M 的横坐标为:1,则 M 的纵坐标为: ,|FN|=2|FM|=2 =6. 第 20 页(共 31 页) 故答案为:6. 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.  三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据 要求作答.(一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2 .(1)求 cosB; (2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b. 【考点】GS:二倍角的三角函数;HP:正弦定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;58:解三角形. 【分析】(1)利用三角形的内角和定理可知 A+C=π﹣B,再利用诱导公式化简 sin (A+C),利用降幂公式化简 8sin2 ,结合 sin2B+cos2B=1,求出 cosB, (2)由(1)可知 sinB= ,利用勾面积公式求出 ac,再利用余弦定理即可求 出 b. 【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2 ,∴sinB=4(1﹣cosB), ∵sin2B+cos2B=1, ∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1, ∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0, ∴16(cosB﹣1)2+(cosB﹣1)(cosB+1)=0, ∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0, ∴cosB= ;第 21 页(共 31 页) (2)由(1)可知 sinB= ∵S△ABC= ac•sinB=2, ,∴ac= ,∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4, ∴b=2. 【点评】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的面积公式,二倍角公式和 同角的三角函数的关系,属于中档题  18.(12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收 获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频 率分布直方图如图: (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关: 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精 确到 0.01). 第 22 页(共 31 页) 附: P(K2≥k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 K2= .【考点】B8:频率分布直方图;BE:用样本的数字特征估计总体的数字特征;BL :独立性检验.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;44:数形结合法;5I:概率与统计. 【分析】(1)由题意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得发生的 频率,即可求得其概率; (2)完成 2×2 列联表:求得观测值,与参考值比较,即可求得有 99%的把握 认为箱产量与养殖方法有关: (3)根据频率分布直方图即可求得其中位数. 【解答】解:(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”,C 表示事件“新 养殖法的箱产量不低于 50kg”, 由 P(A)=P(BC)=P(B)P(C), 则旧养殖法的箱产量低于 50kg:(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故 P(B)的估计值 0.62, 新养殖法的箱产量不低于 50kg:(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66, 故 P(C)的估计值为, 则事件 A 的概率估计值为 P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092; ∴A 发生的概率为 0.4092; (2)2×2 列联表: 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 总计 100 100 200 62 34 96 38 66 旧养殖法 新养殖法 总计 104 则 K2= ≈15.705, 第 23 页(共 31 页) 由 15.705>6.635, ∴有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50kg 的直方图的面 积: (0.004+0.020+0.044)×5=0.34, 箱产量低于 55kg 的直方图面积为: (0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法产量的中位数的估计值为:50+ ≈52.35(kg), 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35(kg). 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查独立性检验,考查计算能力, 属于中档题.  19.(12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值. 【考点】LS:直线与平面平行;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距 离;5G:空间角. 【分析】(1)取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,通过证明 CE∥BF,利用直线与平 面平行的判定定理证明即可. 第 24 页(共 31 页) (2)利用已知条件转化求解 M 到底面的距离,作出二面角的平面角,然后求解 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值即可. 【解答】(1)证明:取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,因为 E 是 PD 的中点, 所以 EF AD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥ AD, ∴BCEF 是平行四边形,可得 CE∥BF,BF⊂平面 PAB,CE⊄平面 PAB, ∴直线 CE∥平面 PAB; (2)解:四棱锥 P﹣ABCD 中, 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD, ∠BAD=∠ABC=90°,E 是 PD 的中点. 取 AD 的中点 O,M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上,设 AD=2,则 AB=BC=1, OP= ,∴∠PCO=60°,直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°, 可得:BN=MN,CN= MN,BC=1, 可得:1+ BN2=BN2,BN= ,MN= ,作 NQ⊥AB 于 Q,连接 MQ,AB⊥MN, 所以∠MQN 就是二面角 M﹣AB﹣D 的平面角,MQ= =,二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值为: =.第 25 页(共 31 页) 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,二面角的平面角的求法, 考查空间想象能力以及计算能力.  20.(12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的 垂线,垂足为 N,点 P 满足 (1)求点 P 的轨迹方程; =.(2)设点 Q 在直线 x=﹣3 上,且 过 C 的左焦点 F. •=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 【考点】J3:轨迹方程;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有 【专题】34:方程思想;48:分析法;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆. 【分析】(1)设 M(x0,y0),由题意可得 N(x0,0),设 P(x,y),运用 向量的坐标运算,结合 M 满足椭圆方程,化简整理可得 P 的轨迹方程; (2)设 Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),运用向量的数 量积的坐标表示,可得 m,即有 Q 的坐标,求得椭圆的左焦点坐标,求得 OQ ,PF 的斜率,由两直线垂直的条件:向量数量积为 0,即可得证. 【解答】解:(1)设 M(x0,y0),由题意可得 N(x0,0), 设 P(x,y),由点 P 满足 =.可得(x﹣x0,y)= (0,y0), 可得 x﹣x0=0,y= y0, 即有 x0=x,y0= ,第 26 页(共 31 页) 代入椭圆方程 +y2=1,可得 +=1, 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2; (2)证明:设 Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π), •=1,可得( cosα, sinα)•(﹣3﹣ cosα,m﹣ sinα)=1, 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1, 当 α=0 时,上式不成立,则 0<α<2π, 解得 m= ,即有 Q(﹣3, ), 椭圆 +y2=1 的左焦点 F(﹣1,0), =(﹣1﹣ cosα,﹣ sinα)•(﹣3, 由•)=3+3 cosα﹣3(1+ cosα)=0. 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 另解:设 Q(﹣3,t),P(m,n),由 •=1, 可得(m,n)•(﹣3﹣m,t﹣n)=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1, 又 P 在圆 x2+y2=2 上,可得 m2+n2=2, 即有 nt=3+3m, 又椭圆的左焦点 F(﹣1,0), •=(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0, 则⊥,可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用坐标转移法和向量的加减运算, 考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式,以及向量的数量积的坐标表示 和两直线垂直的条件:向量数量积为 0,考查化简整理的运算能力,属于中 第 27 页(共 31 页) 档题.  21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且 f(x)≥0. (1)求 a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e﹣2<f(x0)<2﹣2. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用. 【分析】(1)通过分析可知 f(x)≥0 等价于 h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,进而利 用 h′(x)=a﹣ 可得 h(x)min=h( ),从而可得结论; (2)通过(1)可知 f(x)=x2﹣x﹣xlnx,记 t(x)=f′(x)=2x﹣2﹣lnx,解不 等式可知 t(x)min=t( )=ln2﹣1<0,从而可知 f′(x)=0 存在两根 x0,x2, 利用 f(x)必存在唯一极大值点 x0 及 x0< 可知f(x0)< ,另一方面可知 f(x0)>f( )= .【解答】(1)解:因为 f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0), 则 f(x)≥0 等价于 h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知 h′(x)=a﹣ . 则当 a≤0 时 h′(x)<0,即 y=h(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以当 x0>1 时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故 a>0. 因为当 0<x< 时h′(x)<0、当 x> 时h′(x)>0, 所以 h(x)min=h( ), 又因为 h(1)=a﹣a﹣ln1=0, 所以 =1,解得 a=1; 另解:因为 f(1)=0,所以 f(x)≥0 等价于 f(x)在 x>0 时的最小值为 f(1) ,所以等价于 f(x)在 x=1 处是极小值, 第 28 页(共 31 页) 所以解得 a=1; (2)证明:由(1)可知 f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx, 令 f′(x)=0,可得 2x﹣2﹣lnx=0,记 t(x)=2x﹣2﹣lnx,则 t′(x)=2﹣ , 令 t′(x)=0,解得:x= , 所以 t(x)在区间(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, 所以 t(x)min=t( )=ln2﹣1<0,从而 t(x)=0 有解,即 f′(x)=0 存在两根 x0 ,x2, 且不妨设 f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为 正, 所以 f(x)必存在唯一极大值点 x0,且 2×0﹣2﹣lnx0=0, 所以 f(x0)= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2×0﹣2 =x0﹣ ,由 x0< 可知f(x0)<(x0﹣ 由 f′( )<0 可知 x0< < , )max=﹣ + = ; 所以 f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0, )上单调递减, 所以 f(x0)>f( )= ;综上所述,f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e﹣2<f(x0)<2﹣2. 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,考查运算求解能力,考查转化思 想,注意解题方法的积累,属于难题.  (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|•|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; 第 29 页(共 31 页) (2)设点 A 的极坐标为(2, ),点B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值 .【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 【专题】38:对应思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程. 【分析】(1)设 P(x,y),利用相似得出 M 点坐标,根据|OM|•|OP|=16 列 方程化简即可; (2)求出曲线 C2 的圆心和半径,得出 B 到 OA 的最大距离,即可得出最大面积 .【解答】解:(1)曲线 C1 的直角坐标方程为:x=4, 设 P(x,y),M(4,y0),则 ,∴y0= ,∵|OM||OP|=16, ∴=16, 即(x2+y2)(1+ )=16, ∴x4+2x2y2+y4=16×2,即(x2+y2)2=16×2, 两边开方得:x2+y2=4x, 整理得:(x﹣2)2+y2=4(x≠0), ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程:(x﹣2)2+y2=4(x≠0). (2)点 A 的直角坐标为 A(1, ),显然点A 在曲线 C2 上,|OA|=2, ∴曲线 C2 的圆心(2,0)到弦 OA 的距离 d= ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|•(2+ )=2+ =,.【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,轨迹方程的求解,直 线与圆的位置关系,属于中档题.  [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.已知 a>0,b>0,a3+b3=2.证明: 第 30 页(共 31 页) (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 【考点】R6:不等式的证明.菁优网版权所有 【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5T:不等式. 【分析】(1)由柯西不等式即可证明, (2)由 a3+b3=2 转化为 =ab,再由均值不等式可得: =ab≤ ()2,即可得到 (a+b)3≤2,问题得以证明. 【解答】证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥( 2=(a3+b3)2≥4, +)当且仅当 =,即 a=b=1 时取等号, (2)∵a3+b3=2, ∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2, ∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2, ∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2, ∴=ab, 由均值不等式可得: ∴(a+b)3﹣2≤ =ab≤( )2, ,∴ (a+b)3≤2, ∴a+b≤2,当且仅当 a=b=1 时等号成立. 【点评】本题考查了不等式的证明,掌握柯西不等式和均值不等式是关键,属 于中档题 第 31 页(共 31 页)

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