2005年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 8 页 绝密★启用前 2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（ 412  48 ）1.函数 f x log x 1 的反函数 f 1 x  ________________  4    2.方程 4x  2x  2  0 的解是___________________   3.直角坐标平面 xOy 中，若定点 A 1,2 与动点 P x, y 满足OPOA  4 ，则点 P 的轨迹方 程是______________ 4.在 x  a 10 的展开式中， x7 的系数是 15，则实数 a ______________ 5.若双曲线的渐近线方程为 y  3x ，它的一个焦点是 10,0 ，则双曲线的方程是____ x 1 2cos y  2sin 6.将参数方程 7.计算： lim （ 为参数）化为普通方程，所得方程是______ 3n1  2n ______________ n 3n  2n1 8.某班有 50 名学生，其 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程从班级中任选两名学生， 他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示） 9.在 ABC 中，若 A 120 ，AB  5 ，BC  7 ，则 ABC 的面积 S=_________ 10.函数 f x sin x  2 sin x x 0,2 的图像与直线 y  k 又且仅有两个不同的交点，   则k的取值范围是____________ 211.有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三 a角形的三边长分别为 3a 、4a 、5a a  0 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可 2a2a3a 3a 4a 5a 4a 能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则 a的取值范围是_______ 5a 12.用 n 个不同的实数 a1,a2 ,,an 可得到 n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的数阵对第 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 i行ai1,ai2 ,,ain ，n记b  a  2a 3a  1 na i 1,2,3,,n! 例如：用 1，2，3   ii1 i2 i3 in 第 1 页 共 8 页 第 2 页 共 8 页 可 得 数 阵 如 下 ， 由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是12 ， 所 以 ， b  b2  b6  12  212 312  24 那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中， 1b  b2  b ___________________ 1120 二、选择题（ 44 16 ）113.若函数 f x ，则该函数在 , 上是   2x 1 (A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值 514.已知集合 M  x x1  2, x R ，P  x 1, xZ ，则 M  P 等于 x 1 (A) x 0  x  3, xZ (B) x 0  x  3, xZ (C) x 1 x  0, xZ (D) x 1 x  0, xZ 15.过抛物线 y2  4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 (A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 lg x 1 ,x 1 16. 设 定 义 域 为 为R 的 函 数f x ， 则 关 于 x的 方 程   0, x 1 f 2 x  bf x c  0有 7 个不同的实数解得充要条件是     c  0 c  0 (A)b  0 (C)b  0 且且(B)b  0 (D)b  0 且且c  0 c  0 三、解答题 17. 已 知 直 四 棱 柱ABCD  A B C1D1 中 ，AA  2 ， 底 面 111D1 C1 ABCD 是 直 角 梯 形 ，A  90 AD  2 （结果用反三角函数表示） ，AB //CD ，AB  4 ，A1 ，DC 1，求异面直线 BC1 与 DC 所成的角的大小 B1 CDAB55i 2  i 18.证明：在复数范围内，方程 z 2  1i z 1 i z （i 为虚数单位）无解 第 2 页 共 8 页 第 3 页 共 8 页 x2 y2 19.点 A、B 分别是椭圆 1长轴的左、右焦点，点 F 是椭圆的右焦点点 P 在椭圆上， 36 20 且位于 x 轴上方， PA  PF （1）求 P 点的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 y3P21oxAMBF-1 -2 -3 20.假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房预计在今后的 若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%，另外，每年新建住房中，中低价 房的面积均比上一年增加 50 万平方米那么，到那一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？ 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分， 第 3 小题满分 6 分 对定义域是 Df .Dg 的函数 y  f (x) .y  g(x) ，f (x)g(x), 当x  Df 且x  Dg f (x), 当x  Df 且x  Dg g(x), 当x  Df 且x  Dg 规定：函数 h(x)  1（1）若函数 f (x)  ，g(x)  x2 ，写出函数 h(x) 的解析式； x 1 （2）求问题（1）中函数 h(x) 的值域； （3）若 g(x)  f (x ) ，其中 是常数，且  0, ，请设计一个定义域为 R 的 函数 y  f (x)，及一个 的值，使得 h(x)  cos4x ，并予以证明 第 3 页 共 8 页 第 4 页 共 8 页 22.在直角坐标平面中，已知点 P 1,2 1  ，P 2,22 ，P 3,23 ，, P n,2n ，其中 n 是 2  3  n  正整数对平面上任一点 n 为 n1 关于点 n 的对称点 （1）求向量 A A2 的坐标； A0 ，记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点， A2 为 A1 关于点 P2 的对称点， , AAP 0（2）当点 A0 在曲线 C 上移动时，点 A2 的轨迹是函数 y  f x的图像，其中 f x是以 3     位周期的周期函数，且当 x 0,3 时， f x lg x 求以曲线 C 为图像的函数在 1,4 上的   解析式；  （3）对任意偶数 n，用 n 表示向量 A An 的坐标 0第 4 页 共 8 页 第 5 页 共 8 页 2005 年高考理科数学 上海卷 试题及答案 参考答案 12y2 1. 4x 1 2. x=0 3. x+2y－4=0 4. － 5. x2   1 9315 3 6. (x 1)2  y2  4 7. 3 8. 9. 10. 1 k  3 7415 11. 0  a  3解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就 是将上下底面对接，其全面积为 2a2a3a 3a 4a 5a 4a 5a 14S三棱柱表面＝2 3a4a  (3a  4a  5a) 12a2  2a②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为3a,4a,5a 所在的侧面重合，其上 1下底面积之和都是22 3a4a  24a2 ，但侧面积分别为： 22222(4a  5a) 36,2(3a  5a) 32,2(3a  4a) 28 ，aa显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： a12S四棱柱表面＝22 3a4a  2(3a  4a) 24a2  28 2a由题意，得　 　　　　　　 24a2  28 12a2  48 15 解得　　　 0  a  312.－1080 13. A 14. B 15. B 16.C 17.[解]由题意 AB∥CD,∴∠C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成 D1 C1 A1 B1 的角.连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得 AC= 5 . 又在 Rt△ACC1中,可得 AC1=3. CD在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H, HBA得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB= 13 .第 5 页 共 8 页 第 6 页 共 8 页 又在 Rt△CBC1中,可得 BC1= 17 ,3 17 3 17 在△ABC1中,cos∠C1BA= ,∴∠C1BA=arccos 17 17 3 17 异面直线 BC1与 DC 所成角的大小为 arccos 17 zC1 D1 另解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1所在 直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系. B1 A1 A则 C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴ BC1 =(－2,－3,2), CDyBCD =(0,－1,0),设 BC1 BC1 CD 与CD 所成的角为 θ, x3 17 17 3 17 17 则 cosθ= =,θ= arccos .BC1  CD 3 17 17 异面直线 BC1与 DC 所成角的大小为 arccos 18. [解] 原方程化简为 z 2  (z  z)i  1 i 设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1－i, ,13∴x2+y2=1且 2x=－1,解得 x=－ 且y=± ,2213∴原方程的解是 z=－ ± 2i. 219. [解]（1）由已知可得点 A(－6,0),F(0,4) 设点 P(x,y),则 AP ={x+6,y},FP ={x－4,y}, 2y2 x1 由已知可得　　　 36 20 (x  6)(x  4)  y  0 23则 2×2+9x－18=0,解得 x= 或 x=－6. 235 3 2由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 2.第 6 页 共 8 页 第 7 页 共 8 页 35 3 2∴点 P 的坐标是( , 2)(2) 直线 AP 的方程是 x－ 3 y+6=0. m  6 设点 M(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是 .2m  6 于是 =m  6 ,又－6≤m≤6,解得 m=2. 2椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 549d2=(x－2)2+y2=x－4×2+4+20－ x2= (x－ )2+15, 9929由于－6≤m≤6, ∴当x= 时,d 取得最小值 15 220. [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50, n(n 1) 则 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 2令 25n2+225n≥4750,即 n2+9n-190≥0,而 n是正整数, ∴n≥10. ∴到 2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. ∴到 2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. x2 x(,1)  (1,) 21. [解] (1)h(x)  x 1 1x 1 x2 1(2) 当 x≠1 时, h(x)= =x－1+ +2, x 1 x 1 若 x>1时, 则 h(x)≥4,其中等号当 x=2时成立 若 x<1时, 则 h(x)≤ 0,其中等号当 x=0时成立 ∴函数 h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞) 4(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则 g(x)=f(x+α)= sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x－sin2x, 44于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x－sin2x)=cos4x. 2另解令 f(x)=1+ 2sin2x, α= , 第 7 页 共 8 页 第 8 页 共 8 页 g(x)=f(x+α)= 1+ 2sin2(x+π)=1－ 2sin2x, 于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ 2sin2x)( 1－ 2 sin2x)=cos4x. 22. [解](1)设点 A0(x,y), A0为 P1关于点的对称点 A0的坐标为(2－x,4－y), A1为 P2关于点的对称点 A2的坐标为(2+x,4+y), ∴A0 A2 ={2,4}. (2) ∵ A0 A2 ={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线 C 向右平移 2个单位,再向上平移 4个单位得到. 因此, 曲线 C 是函数 y=g(x)的图象,其中 g(x)是以 3为周期的周期函数,且当 x∈(－ 2,1]时,g(x)=lg(x+2)－4.于是,当 x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4. 另解设点 A0(x,y), A2(x2,y2),于是 x2－x=2,y2－y=4, 若 3< x2≤6,则 0< x2－3≤3,于是 f(x2)=f(x2－3)=lg(x2－3). 当 1< x≤4 时, 则 3< x2≤6,y+4=lg(x－1). ∴当 x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4. (3)A0 An =A0 A2  A2 A4  An2 An ,由于 A2k2 A2k  2P2k1P ,得 2k A0 An =2(P P P P P P )1234n1 n n2(2n 1) 4(2n 1) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n－1})=2{ , }={n, }233第 8 页 共 8 页