2010年江苏高考数学试题及答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题)、解答题(第 15 题——第 20 题)。本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 锥体的体积公式: V 锥体 13=Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是高。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲_____. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位),则 z 的模为______▲_____. 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率 分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_▲ ___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 5 、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x a=_______▲_________ R) 是偶函数,则实数 x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 1上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到 412 1双曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______ 8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, a1=16,则 a1+a3+a5=____▲_____ 9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2  y2  4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ 210、定义在区间 0, 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 211、已知函数 ,则满足不等式 f (1 x2 )  f (2x)的 x 的范围是__▲___。 x 1, x  0 f (x)  1, x  0 x2 yx3 y4 12、设实数 x,y 满足 3≤ xy2 ≤8,4≤ ≤9,则 的最大值是 ▲。bab13 、在锐角三角形 ABC ,A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,  6cosC ,则 atanC tanC =____▲_____。 tan A tan B 14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2(梯形的周长) S  ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; 2(2)设实数 t 满足( AB  tOC )·OC =0,求 t 的值。 16、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCDP,D=DC=BC=1A,B=2A,B ∥DC,∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 17、(本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ,∠ADE= 。(1)该小组已经测得一组 、的值,tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, 最大? 与  -18、(本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆  1的左、右顶点为 A、B,右焦点为 95F。设过点 T(t,m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) 、N(x2 , y2 ),其中 m>0, y1  0, y2  0 。(1)设动点 P 满足 PF 2  PB2  4 ,求点 P 的轨迹; 1(2)设 x1  2, x2  ,求点 T 的坐标; 33(3)设t  9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)。 19、(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 的等差数列。 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 2a2  a1  a3 ,数列 Sn 是公差为 d(1)求数列 (2)设 an 的通项公式(用 n,d 表示); c为实数,对满足 m  n  3k且m  n 的任意正整数 m,n,k ,不等式 Sm  Sn  cSk 9都成立。求证: c的最大值为 。220、(本小题满分 16 分) f (x) 是定义在区间 (1,) 上的函数,其导函数为 f ‘(x) 。如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0,使得 f ‘(x)  h(x)(x2  ax 1) ,则称 函数 f (x) 具有性质 P(a) 设。b  2 x 1 (1)设函数 f (x)  ln x  (x 1) ,其中b 为实数。 (i)求证:函数 f (x) 具有性质 P(b) ; (ii)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) 。给定 x1, x2 (1,), x1  x2 , 为实数,   mx1  (1 m)x2   (1 m)x1  mx2 ,且  1,   1 若| g()  g()|<| g(x1 )  g(x2 ) |,求 设m,,m的取值范围。 数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。 若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4A. 选修 4-1:几何证明选讲 D(本小题满分 10 分) CBAAB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切 线交 AB 延长线于点 C ,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 OB.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= k 0 0 1 1 0 ,N= ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△ 0 1 A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 C.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a3  b3  ab(a2  b2 ) 。[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、(本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等 品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二 等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 523、(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 6一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3 B,a+2=3, a=1. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位),则 z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. 3612[解析]考查古典概型知识。 p  4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率 分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_▲ ___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数,则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 双曲线右焦点的距离是___▲_______ 1上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到 412 MF d4[解析]考查双曲线的定义。 ,d为点 M 到右准线 x 1的距离, d=2,MF=4。  e  2 277、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______ [解析]考查流程图理解。1 2  22  24  31 33, 输出 S 1 2  22  25  63 。8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, a1=16,则 a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ak 2在点(ak,ak2)处的切线方程为: y  ak  2ak (x  ak ), 当y  0时,解得 x  ,2ak 所以 ak1 ,a1  a3  a5 16  4 1 21 。29、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2  y2  4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2, | c | 圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 1 , c 的取值范围是(-13,13)。 13 210、定义在区间 0, 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 223且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为 3211、已知函数 ,则满足不等式 f (1 x2 )  f (2x)的 x 的范围是__▲___。 x 1, x  0 f (x)  1, x  0 21 x  2x [解析] 考查分段函数的单调性。  x(1, 21) 1 x2  0 x2 yx3 y4 12、设实数 x,y 满足 3≤ xy2 ≤8,4≤ ≤9,则 的最大值是 ▲。[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。 x2 y1 11 [ , ] xy2 8 3 x3 y4 x2 1xy2 x3 y4 ()2 [16,81] ,, ( )2  [2,27] ,的最大值是 27。 y8baab13 、在锐角三角形 ABC ,A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,  6cosC ,则 tanC tanC =____▲_____。 tan A tan B [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 13C1 cosC 1 cosC 12C2当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cosC  ,tan2 ,tan ,2221tanC tanC tan A  tan B   2 ,二= 4。 Ctan A tan B tan 2bab(方法) 6cosC  6abcosC  a2  b2 ,aa2 b2 c2 2ab 3c2 6ab  a2 b2,a2 b2  2tanC tanC sinC cos Bsin A sin Bcos A sinC sin(A B) 1sin2 C tan A tan B cosC sin Asin B cosC sin Asin B cosC sin Asin B 1c2 c2 (a2  b2 ) c2 由正弦定理,得:上式=  4 1 3c2 16cosC ab 6214、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2(梯形的周长) S  ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积 [解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 (3 x)2 4(3 x)2 1 x2 设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: S  (0  x 1) 1233(x 1) (1 x) 2(方法一)利用导数求函数最小值。 4 (3 x)2 4 (2x  6)(1 x2 )  (3 x)2 (2x) S(x)  ,S (x)  1 x2 (1 x2 )2 334 (2x  6)(1 x2 )  (3 x)2 (2x) 4 2(3x 1)(x 3) (1 x2 )2 (1 x2 )2 33913S (x)  0,0  x 1, x  ,11当x(0, ]时, S (x)  0, 递减;当 x[ ,1)时, S (x)  0, 递增; 33132 3 3故当 x  时,S 的最小值是 。3(方法二)利用函数的方法求最小值。 11 1 3 x  t,t (2,3), ( , ),则: S  3 2 4t2 41令t2  6t 8 8t2 6t33 1 t1 3 132 3 3故当  , x  时,S 的最小值是 。t83二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (3)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (4)设实数 t 满足( AB  tOC )·OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。   (1)(方法一)由题设知 AB  (3,5), AC  (1,1) ,则    AB  AC  (2,6), AB  AC  (4,4).    所以| AB  AC | 2 10,|AB  AC | 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2、AD= 2 10 ;   (2)由题设知:OC =(-2,-1), AB tOC  (3 2t,5 t) 。10 由( AB  tOC )·OC =0,得: (3 2t,5 t)(2,1)  0 ,11 从而5t  11, 所以 。t   5  | OC |2     或者: AB·OC  tOC2 ,AB  (3,5), ABOC 11 5 t    16、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD ⊥平面 ABCD ,PD=DC=BC=1 ,AB=2 , AB ∥DC ,∠BCD=900。 (3)求证:PC⊥BC; (4)求点 A 到平面 PBC 的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC 由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD DC=D,PD、DC 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC 平面 PCD,故 PC⊥BC。 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。 (2)(方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相 等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 2易知 DF= ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ABC 的面积 SABC 1 。113由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积V  SABC  PD  。3因为 PD⊥平面 ABCD,DC 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC  PD2  DC2  2 。11 2由 PC⊥BC,BC=1,得 PBC 的面积 SPBC 。2131由VAPBC VPABC ,SPBC h V  ,得 h  2 ,3故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 17、(本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ,∠ADE= 。(3)该小组已经测得一组 、的值,tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 H 的值; (4)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 与  -HHH( 1 ) tan   AD  , 同 理 :AB  ,AD tan  tan hBD  。tan  HHhh tan tan   tan 1.24 1.20 41.24 AD—AB=DB,故得 ,解得: H  124 。tan tan tan 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 HHhH  h d(2)由题设知 d  AB ,得 tan  , tan   ,dAD DB HdH  h dtan  tan  1 tan tan  hd htan(  )  d2  H(H  h) H H h H(H  h) 1 d  dddH(H  h) d   2 H(H  h) ,(当且仅当 d  H(H h)  125121 55 5时,取等号) d故当 d  55 5时, tan(  ) 最大。 22因为 0      ,则 0      ,所以当 d  55 5时, -最大。 12 故所求的 d 是55 5m。 18、(本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆  1的左、右顶点为 A、B,右焦点为 95F。设过点 T(t,m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) 、 N(x2 , y2 ),其中 m>0, y1  0, y2  0 。(1)设动点 P 满足 PF 2  PB2  4 ,求点 P 的轨迹; 1(2)设 x1  2, x2  ,求点 T 的坐标; 3(3)设t  9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关)。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。 9由PF 2  PB2  4 ,得 (x  2)2  y2 [(x 3)2  y2 ]  4, 化简得 x  。29故所求点 P 的轨迹为直线 x  。21513(2)将 x1  2, x2  分别代入椭圆方程,以及 y1  0, y2  0得:M(2, )、N( ,3320 9)y  0 x  3 1直线 MTA 方程为: ,即 y  x 1 ,52  3 3 0 3y  0 20 x 3 552直线 NTB 方程为: ,即 y  x  。16 0 3 93x  7 联立方程组,解得: ,10 y  310 3所以点 T 的坐标为 (7, )。13 (3)点 T 的坐标为 (9,m) y  0 x  3 m  0 9 3 m直线 MTA 方程为: 直线 NTB 方程为: x2 y2 ,即 y  (x  3) ,。12 y  0 x 3 m,即 y  (x 3) m  0 93 6分别与椭圆  1联立方程组,同时考虑到 x1  3, x2  3 ,953(80  m2 ) 40m 3(m2  20) 20  m2 20m 20  m2 解得: M ( ,)、N( , )。80  m2 80  m2 20m 3(m2  20) 20  m2 y  x  20  m2 (方法一)当 x1  x2 时,直线 MN 方程为: 3(80  m2 ) 3(m2  20) 40m 20m 80  m2 20  m2 80  m2 20  m2 令y  0,解得: x 1。此时必过点 D(1,0); 当x1  x2 时,直线 MN 方程为: x 1,与 x 轴交点为 D(1,0)。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0)。 240 3m2 3m2  60 (方法二)若 x1  x2 ,则由 及m  0,得 m  2 10 ,80  m2 20  m2 此时直线 MN 的方程为 x 1,过点 D(1,0)。 40m 80  m2 10m 若x1  x2 ,则 m  2 10,直线 MD 的斜率 kMD ,240 3m2 40  m2 1 80  m2 20m 20  m2 10m 直线 ND 的斜率 kND ,得 kMD  kND ,所以直线 MN 过 D 点。 3m2  60 20  m2 40  m2 1 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0)。 19、(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 的等差数列。 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 2a2  a1  a3 ,数列 Sn 是公差为 d(1)求数列 an 的通项公式(用 n,d 表示); 14 (2)设 c为实数,对满足 m  n  3k且m  n 的任意正整数 m,n,k ,不等式 Sm  Sn  cSk 9都成立。求证: c的最大值为 。2[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d  0 ,Sn  S1  (n 1)d  a1  (n 1)d 3[( a1  d)2  a1]2  ( a1  2d)2 , 化简,得: a1  2 a1 d  d2  0, a1  d,a1  d2 Sn  d  (n 1)d  nd, Sn  n2d2 n  2 时, an  Sn  Sn1  n2d2  (n 1)2 d2  (2n 1)d2 ,适合 n 1情形。 2a2  a1  a3  3a2  S3  3(S2  S1)  S3 ,,当故所求 an  (2n 1)d2 (2)(方法一) m2  n2 Sm  Sn  cSk  m2d2  n2d2  ck2d2  m2  n2  ck2 ,c  恒成立。 k2 m2  n2 9又m  n  3k且m  n ,2(m2  n2 )  (m  n)2  9k2  ,k2 299故c  ,即 c的最大值为 。22(方法二)由 a1  d 及Sn  a1  (n 1)d ,得 d  0 m  n ,有 ,Sn  n2d2 。于是,对满足题设的 m,n,k ,(m  n)2 99Sm  Sn  (m2  n2 )d2  d2  d2k2  Sk 。2229所以 c的最大值 cmax 。2933另一方面,任取实数 a  。设 k为偶数,令 m  k 1,n  k 1,则 m,n,k 符合条件, 222331且Sm  Sn  (m2  n2 )d2  d2[( k 1)2  ( k 1)2 ]  d2 (9k2  4) 。22221于是,只要9k2  4  2ak2 ,即当 k  时, Sm  Sn  d2 2ak2  aSk 。22a 9 15 992所以满足条件的 c  ,从而 cmax 。29因此 c的最大值为 。220、(本小题满分 16 分) f (x) 是定义在区间 (1,) 上的函数,其导函数为 f ‘(x) 。如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0,使得 f ‘(x)  h(x)(x2  ax 1) ,则称 函数 f (x) 具有性质 P(a) 设。b  2 x 1 (1)设函数 f (x)  ln x  (x 1) ,其中b 为实数。 (i)求证:函数 f (x) 具有性质 P(b) ; (ii)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) 。给定 x1, x2 (1,), x1  x2 , 为实数,   mx1  (1 m)x2   (1 m)x1  mx2 ,且  1,   1 若| g()  g()|<| g(x1 )  g(x2 ) |,求 设m,,m的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结 合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 1b  2 1(1)(i) f ‘(x) (x2  bx 1) x(x 1)2 x(x 1)2 1∵x 1时, h(x)   0 恒成立, x(x 1)2 ∴函数 f (x) 具有性质 P(b) ;bb2 (ii)(方法一)设(x)  x2  bx 1 (x  )2 1 ,(x) 与 f ‘(x) 的符号相同。 24b2 当当当1 0,2  b  2 时,(x)  0 ,f ‘(x)  0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增; 4b  2时,对于 x 1,有 f ‘(x)  0 ,所以此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增; bb  2 时,(x) 图像开口向上,对称轴 x  1,而(0) 1 ,2对于 x 1,总有(x)  0 ,f ‘(x)  0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增; 16 (方法二)当b  2时,对于 x 1 ,(x)  x2  bx 1 x2  2x 1 (x 1)2  0 所以 f ‘(x)  0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增; b当b  2 时 , (x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴x  1, 方 程 (x)  0的 两 根 为 : 2b  b2  4 b  b2  4 b  b2  4 b  b2  4 2,,而 1, (0,1) b  b2  4 2222b  b2  4 b  b2  4 当x(1, )时,(x)  0 ,f ‘(x)  0 ,故此时 f (x) 在区间 (1, )22b  b2  4 上递减;同理得: f (x) 在区间 [,) 上递增。 2综上所述,当b  2时, f (x) 在区间 (1,) 上递增; b  b2  4 b  b2  4 当b  2 时, f (x) 在上递减; f (x) )在上递增。 [,) (1, 22(2)(方法一)由题意,得: g ‘(x)  h(x)(x2  2x 1)  h(x)(x 1)2 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0, 又所以对任意的 x (1,)都有 g (x)  0 ,g(x) 在(1,)上递增。 又当    x1  x2 ,    (2m 1)(x1  x2 ) 。1m  ,m 1时,   ,且  x  (m1)x (1m)x2,  x2  (1m)x (m1)x2 ,111217 综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1)。 (方法二)由题设知, g(x) 的导函数 g ‘(x)  h(x)(x2  2x 1) ,其中函数 h(x)  0对于任 意的 x (1,)都成立。所以,当 x 1时, g ‘(x)  h(x)(x 1)2  0,从而 g(x) 在区间 (1,) 上单调递增。 ①当 m(0,1) 时,有  mx1  (1 m)x2  mx1  (1 m)x1  x1   mx1  (1 m)x2  mx2  (1 m)x2  x2 ,得 (x1, x2 ) ,同理可得  (x1, x2 ) ,所以 g(x) 的单调性知 g() g() (g(x1), g(x2 )) ,由、,从而有| g()  g()|<| g(x1 )  g(x2 ) |,符合题设。 ②当 m  0时,  mx1  (1 m)x2  mx2  (1 m)x2  x2 ,  (1 m)x1  mx2  (1 m)x1  mx1  x1 , 于 是 由  1,  1 及 g(x) 的 单 调 性 知 g()  g(x1)  g(x2 )  g(),所以| g()  g()|≥| g(x1 )  g(x2 ) |,与题设不符。 ③当 m 1时,同理可得  x1,   x2 ,进而得| g()  g()|≥| g(x1 )  g(x2 ) |,与题设 不符。 因此综合①、②、③得所求的 m的取值范围是(0,1)。 数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。 若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 D. 选修 4-1:几何证明选讲 D(本小题满分 10 分) CBAAB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切 线交 AB 延长线于点 C ,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证 能力。 O18 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。 E.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= k 0 0 1 1 0 ,N= ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△ 0 1 A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分 10 分。 k 0 0 1 0 k   解:由题设得 MN    0 1 1 0 1 0   0 k 0 2 2 00k  由,可知 A1(0,0)、B1(0,-2)、C1( k ,-2)。   1 0 0 010 2 2   计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是| k |,则由题设知:| k | 21 2 所以 k 的值为 2 或-2。 。F. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 19 在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: 2  2cos ,圆ρ=2cosθ的普通方程为: x2  y2  2x,(x 1)2  y2 1 ,直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为:3x  4y  a  0 | 31 40  a | ,又圆与直线相切,所以 1, 解得: a  2 ,或 a  8 。32  42 G. 选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a3  b3  ab(a2  b2 ) 。[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a3  b3  ab(a2  b2 )  a2 a( a  b)  b2 b( b  a)  ( a  b)[( a)5  ( b)5 ]  ( a  b)2[( a)4  ( a)3 ( b)  ( a)2 ( b)2  ( a)( b)3  ( b)4 ] 因为实数 a、b≥0,( a  b)2 0,[( a)4 ( a)3( b)( a)2( b)2 ( a)( b)3 ( b)4]0 所以上式≥0。即有 a3  b3  ab(a2  b2 ) 。(方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得 a3  b3  ab(a2  b2 )  a2 a( a  b)  b2 b( b  a)  ( a  b)[( a)5  ( b)5 ] 当当a  b 时, a  b ,从而 ( a)5  ( b)5 ,得 ( a  b)[( a)5  ( b)5 ]  0 a  b 时, a  b ,从而 ( a)5  ( b)5 ,得 ( a  b)[( a)5  ( b)5 ]  0 ;;所以 a3  b3  ab(a2  b2 ) 。[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20 23、(本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等 品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二 等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 (3)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (4)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:(1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, 由此得 X 的分布列为: P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。 XP10 52-3 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n件,则二等品有 4  n件。 14 由题设知 4n  (4  n) 10 ,解得 n  ,5又n N ,得 n  3,或 n  4 。所求概率为 P  C43 0.83 0.2  0.84  0.8192 答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 24、(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (2)求证 cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一)(1)证明:设三边长分别为 a,b,c b2  c2  a2 ,cos A  ,∵ a,b,c 是有理数, 2bc b2  c2  a2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, b2  c2  a2 ∴必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc (2)①当 n 1时,显然 cosA 是有理数; 当n  2 时,∵ cos2A  2cos2 A 1,因为 cosA 是有理数, ∴cos2A 也是有理数; 21 ②假设当 n  k(k  2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k 1)A 均是有理数。 当n  k 1时, cos(k 1)A  coskAcos A  sin kAsin A , 1cos(k 1)A  coskAcos A  [cos(kA  A)  cos(kA  A)] ,,211cos(k 1)A  coskAcos A  cos(k 1)A  cos(k 1)A 22解得: cos(k 1)A  2coskAcos A  cos(k 1)A ∵cosA, coskA ,cos(k 1)A 均是有理数,∴ 2coskAcos A  cos(k 1)A 是有理数, ∴cos(k 1)A 是有理数。 即当 n  k 1时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 AB2  AC2  BC2 cos A  是有理数。 2AB  AC (2)用数学归纳法证明 cosnA 和sin Asin nA都是有理数。 ①当 n 1时,由(1)知 cos A是有理数,从而有sin Asin A 1 cos2 A也是有理数。 ②假设当 n  k(k 1) 时, coskA n  k 1时,由 cos(k 1)A  cos AcoskA  sin Asin kA sin Asin(k 1)Asin A(sin AcoskAcos AsinkA) (sin Asin A)coskA(sin AsinkA)cos A 和sin Asin kA都是有理数。 当,,及①和归纳假设,知 cos(k 1)A 即当 n  k 1时,结论成立。 和sin Asin(k 1)A 都是有理数。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 22

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