2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)下载

2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)下载

  • 最近更新2022年10月14日



2011 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设集合 U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩ N)=(  ) A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 2.(5 分)函数 y= (x≥0)的反函数为(  ) A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) C.y=4×2(x∈R) D.y=4×2(x≥0) 3.(5 分)设向量 、 满足| |=| |=1, • =﹣ ,| +2 |=(  ) A.. B. C.、 D.. 4.(5 分)若变量 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x+3y 的最小值为(  ) A.17 B.14 C.5 D.3 5.(5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是(  ) A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 6.(5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24, 则 k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 7.(5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于(  ) A. B.3 C.6 D.9 8.(5 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l, D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=(  ) A.2 B. C. D.1 9.(5 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课 程甲的不同选法共有(  ) A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 第 1 页(共 22 页) 10.(5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x), 则=(  ) A.﹣ B.﹣ C. D. 11.(5 分)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的 距离|C1C2|=(  ) A.4 B. C.8 D. 12.(5 分)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为(   )A.7π B.9π C.11π D.13π  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)(1﹣x)10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为:   . 14.(5 分)已知 a∈(π, 15.(5 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 . 16.(5 分)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|=  ),tanα=2,则 cosα=   . 的左、右焦点,点 A∈C,  .  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. 第 2 页(共 22 页) 18.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB, (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A=75°,b=2,求 a,c. 19.(12 分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 20.(12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三 角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小. 第 3 页(共 22 页) 21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3﹣6a)x+12a﹣4(a∈R) (Ⅰ)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (Ⅱ)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. 22.(12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C: 在 y 轴正半轴上的焦 点,过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 .(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.  第 4 页(共 22 页) 2011 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版) 参考答案与试题解析  一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)设集合 U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩ N)=(  ) A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先根据交集的定义求出 M∩N,再依据补集的定义求出∁U(M∩N). 【解答】解:∵M={1,2,3},N={2,3,4},∴M∩N={2,3},则∁U(M∩N) ={1,4}, 故选:D. 【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义,以及求两个集合的交集、补集 的方法.  2.(5 分)函数 y= (x≥0)的反函数为(  ) A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) C.y=4×2(x∈R) D.y=4×2(x≥0) 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式,再把 x 和 y 交换位置,注明 反函数的定义域(即原函数的值域). 【解答】解:∵y= ∴x= ,y≥0, (x≥0), 第 5 页(共 22 页) 故反函数为 y= (x≥0). 故选:B. 【点评】本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的 定义域是原函数的值域.  3.(5 分)设向量 、 满足| |=| |=1, • =﹣ ,| +2 |=(  ) A.. B. C.、 D.. 【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由| +2 |= =,代入已知可求 【解答】解:∵| |=| |=1, • =﹣ , | +2 |= ==故选:B. 【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用,属于基础试题  4.(5 分)若变量 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x+3y 的最小值为(  ) C.5 D.3 A.17 B.14 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】31:数形结合. 【分析】我们先画出满足约束条件 的平面区域,然后求出平面区域内 各个顶点的坐标,再将各个顶点的坐标代入目标函数,比较后即可得到目标 函数的最值. 第 6 页(共 22 页) 【解答】解:约束条件 的平面区域如图所示: 由图可知,当 x=1,y=1 时,目标函数 z=2x+3y 有最小值为 5 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是线性规划,其中画出满足约束条件的平面区域是解 答本题的关键.  5.(5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是(  ) A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有 【专题】5L:简易逻辑. 【分析】利用不等式的性质得到 a>b+1⇒a>b;反之,通过举反例判断出 a>b 推不出 a>b+1;利用条件的定义判断出选项. 【解答】解:a>b+1⇒a>b; 反之,例如 a=2,b=1 满足 a>b,但 a=b+1 即 a>b 推不出 a>b+1, 故 a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要的条件. 故选:A. 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 . 第 7 页(共 22 页) 6.(5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24, 则 k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 【考点】85:等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2,Sk,将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求解. 【解答】解:根据题意: Sk+2=(k+2)2,Sk=k2 ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为: (k+2)2﹣k2=24 ∴k=5 故选:D. 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用,同时还考查了方程思 想,属中档题.  7.(5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于(  ) A. B.3 C.6 D.9 【考点】HK:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有 【专题】56:三角函数的求值. 【分析】函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数 平移整数个周期,容易得到结果. 【解答】解:f(x)的周期 T= ,函数图象平移 个单位长度后,所得的图 第 8 页(共 22 页) 象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以 ,k∈Z.令 k=1, 可得 ω=6. 故选:C. 【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理 解,考查技术能力,常考题型.  8.(5 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l, D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=(  ) A.2 B. C. D.1 【考点】MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】根据线面垂直的判定与性质,可得 AC⊥CB,△ACB 为直角三角形,利 用勾股定理可得 BC 的值;进而在 Rt△BCD 中,由勾股定理可得 CD 的值,即 可得答案. 【解答】解:根据题意,直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,可得 AC⊥面 β, 则 AC⊥CB,△ACB 为 Rt△,且 AB=2,AC=1, 由勾股定理可得,BC= ;在 Rt△BCD 中,BC= ,BD=1, 由勾股定理可得,CD= 故选:C. ;【点评】本题考查两点间距离的计算,计算时,一般要把空间图形转化为平面图 第 9 页(共 22 页) 形,进而构造直角三角形,在直角三角形中,利用勾股定理计算求解.  9.(5 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课 程甲的不同选法共有(  ) A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 【考点】D3:计数原理的应用.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 2【分析】本题是一个分步计数问题,恰有 2 人选修课程甲,共有 C4 种结果,余 下的两个人各有两种选法,共有 2×2 种结果,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 2∵恰有 2 人选修课程甲,共有 C4 =6 种结果, ∴余下的两个人各有两种选法,共有 2×2=4 种结果, 根据分步计数原理知共有 6×4=24 种结果 故选:B. 【点评】本题考查分步计数问题,解题时注意本题需要分步来解,观察做完这件 事一共有几步,每一步包括几种方法,这样看清楚把结果数相乘得到结果.  10.(5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 =(  ) B.﹣ A.﹣ C. D. 【考点】3I:奇函数、偶函数;3Q:函数的周期性.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ),代入已知条件进行运算. 【解答】解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,第 10 页(共 22 页) ∴=f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ , 故选:A. 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.  11.(5 分)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的 距离|C1C2|=(  ) A.4 B. C.8 D. 【考点】J1:圆的标准方程.菁优网版权所有 【专题】5B:直线与圆. 【分析】圆在第一象限内,设圆心的坐标为(a,a),(b,b),利用条件可得 a 和 b 分别为 x2﹣10x+17=0 的两个实数根,再利用韦达定理求得两圆心的距 离|C1C2|= •的值. 【解答】解:∵两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故圆在第 一象限内, 设两个圆的圆心的坐标分别为(a,a),(b,b),由于两圆都过点(4,1), 则有 =|a|,| =|b|, 故 a 和 b 分别为(x﹣4)2+(x﹣1)2=x2 的两个实数根, 即 a 和 b 分别为 x2﹣10x+17=0 的两个实数根,∴a+b=10,ab=17, ∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=32,∴两圆心的距离|C1C2|= 故选:C. •=8, 【点评】本题考查直线和圆相切的性质,两点间的距离公式、韦达定理的应用, 属于基础题.  12.(5 分)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为(   )第 11 页(共 22 页) A.7π B.9π C.11π D.13π 【考点】MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】先求出圆 M 的半径,然后根据勾股定理求出求出 OM 的长,找出二面 角的平面角,从而求出 ON 的长,最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径, 从而求出面积. 【解答】解:∵圆 M 的面积为 4π ∴圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM= ∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N ∴∠OMN=30°,在直角三角形 OMN 中,ON= ∴圆 N 的半径为 则圆的面积为 13π 故选:D. 【点评】本题主要考查了二面角的平面角,以及解三角形知识,同时考查空间想 象能力,分析问题解决问题的能力,属于基础题.  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)(1﹣x)10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: 0 . 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数分别取 1; 9 求出展开式的 x 的系数与 x9 的系数;求出两个系数的差. r【解答】解:展开式的通项为 Tr+1=(﹣1)rC10 xr 第 12 页(共 22 页) 所以展开式的 x 的系数﹣10 x9 的系数﹣10 x 的系数与 x9 的系数之差为(﹣10)﹣(﹣10)=0 故答案为:0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.  14.(5 分)已知 a∈(π, ),tanα=2,则 cosα= ﹣  . 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先利用 α 的范围确定 cosα 的范围,进而利用同脚三角函数的基本关系, 求得 cosα 的值. 【解答】解:∵a∈(π, ∴cosα<0 ), ∴cosα=﹣ =﹣ 故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用.解题的关键是利用那个 角的范围确定三角函数符号.  15.(5 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 . 【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题;31:数形结合;35:转化思想. 【分析】根据题意知 AD∥BC,∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角,解三角 形即可求得结果. 第 13 页(共 22 页) 【解答】解:连接 DE,设 AD=2 易知 AD∥BC, ∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角, 在△RtADE 中,由于 DE= ,AD=2,可得 AE=3 ∴cos∠DAE= =, 故答案为: . 【点评】此题是个基础题.考查异面直线所成角问题,求解方法一般是平移法, 转化为平面角问题来解决,体现了数形结合和转化的思想.  16.(5 分)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的左、右焦点,点 A∈C, 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|= 6 . 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 【专题】16:压轴题. 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值;利用内角平分线定理得到两条 焦半径的关系,再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系,联立求 出焦半径. 【解答】解: 不妨设 A 在双曲线的右支上 ∵AM 为∠F1AF2 的平分线 ∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6 第 14 页(共 22 页) 解得|AF2|=6 故答案为 6 【点评】本题考查内角平分线定理;考查双曲线的定义:解有关焦半径问题常用 双曲线的定义.  三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. 【考点】88:等比数列的通项公式;89:等比数列的前 n 项和.菁优网版权所有 【专题】54:等差数列与等比数列. 【分析】设出等比数列的公比为 q,然后根据等比数列的通项公式化简已知得两 等式,得到关于首项与公比的二元一次方程组,求出方程组的解即可得到首 项和公比的值,根据首项和公比写出相应的通项公式及前 n 项和的公式即可. 【解答】解:设{an}的公比为 q,由题意得: ,解得: 或,当 a1=3,q=2 时:an=3×2n﹣1,Sn=3×(2n﹣1); 当 a1=2,q=3 时:an=2×3n﹣1,Sn=3n﹣1. 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求 值,是一道基础题.  18.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB, (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A=75°,b=2,求 a,c. 第 15 页(共 22 页) 【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系,代入余 弦定理中求得 cosB 的值,进而求得 B. (Ⅱ)利用两角和公式先求得 sinA 的值,进而利用正弦定理分别求得 a 和 c. 【解答】解:(Ⅰ)由正弦定理得 a2+c2﹣ ac=b2, 由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2accosB, 故 cosB= ,B=45° (Ⅱ)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= 故 a=b× ==1+ ∴c=b× =2× =【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运 用.  19.(12 分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;CN:二项分布与 n 次独立重复试验的 模型.菁优网版权所有 【专题】5I:概率与统计. 【分析】(I)设该车主购买乙种保险的概率为 P,由相互独立事件概率公式可得 P(1﹣0.5)=0.3,解可得 p,先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率, 由对立事件的概率性质计算可得答案. (II)该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买,是一个 n 次独 第 16 页(共 22 页) 立重复试验恰好发生 k 次的概率,根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、 乙两种保险都不购买的概率,代入公式得到结果. 【解答】解:(I)设该车主购买乙种保险的概率为 p, 根据题意可得 p×(1﹣0.5)=0.3,解可得 p=0.6, 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1﹣0.5)(1﹣0.6)=0.2, 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 1﹣0.2=0.8 (II)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2,则该地的 3 位车主中恰有 11 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 P=C3 ×0.2×0.82=0.384. 【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式,考查 n 次独立重复试验恰好发 生 k 次的概率,考查对立事件的概率公式,是一个综合题目.  20.(12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三 角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD⊥平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小. 【考点】LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;14:证明题. 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理,即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交 的直线 SA,SB;在证明 SD 与 SA,SB 的过程中运用勾股定理即可 ( Ⅱ ) 求AB 与 平 面SBC 所 成 的 角 的 大 小 即 利 用 平 面SBC 的 法 向 量 ,当 为锐角时,所求的角即为它的 余角;当 为钝角时,所求的角为 第 17 页(共 22 页) 【解答】(Ⅰ)证明:在直角梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1 ∴AD= =∵侧面 SAB 为等边三角形,AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD2=SA2+SD2 ∴SD⊥SA 同理:SD⊥SB ∵SA∩SB=S,SA,SB⊂面 SAB ∴SD⊥平面 SAB (Ⅱ)建立如图所示的空间坐标系 则 A(2,﹣1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), 作出 S 在底面上的投影 M,则由四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形知,M 点一定在 x 轴上,又 AB=BC=2,CD=SD=1.可解得 MD= ,从而解得 SM= ,故可得 S( ,0, )则设平面 SBC 的一个法向量为 则,即取 x=0,y= ,z=1 即平面 SBC 的一个法向量为 =(0, ,1) 又=(0,2,0) 第 18 页(共 22 页) cos< ,>= ==∴< ,>=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角以及空间向量 的基本知识,属于中档题.  21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3﹣6a)x+12a﹣4(a∈R) (Ⅰ)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (Ⅱ)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. 【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方 程.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;16:压轴题. 【分析】(Ⅰ)求出函数 f(x)在 x=0 处的导数和 f(0)的值,结合直线方程的 点斜式方程,可求切线方程; (Ⅱ)f(x)在 x=x0 处取得最小值必是函数的极小值,可以先通过讨论导数的零 点存在性,得出函数有极小值的 a 的大致取值范围,然后通过极小值对应的 x0 ∈(1,3),解关于 a 的不等式,从而得出取值范围 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=3×2+6ax+3﹣6a 由 f(0)=12a﹣4,f′(0)=3﹣6a, 可得曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=(3﹣6a)x+12a﹣4, 第 19 页(共 22 页) 当 x=2 时,y=2(3﹣6a)+12a﹣4=2,可得点(2,2)在切线上 ∴曲线 y=f(x)在 x=0 的切线过点(2,2) (Ⅱ)由 f′(x)=0 得 x2+2ax+1﹣2a=0…(1) 方程(1)的根的判别式 ①当 时,函数 f(x)没有极小值 ②当 或时, 由 f′(x)=0 得 故 x0=x2,由题设可知 (i)当 (ii)当 化为 a+1< 解得 时,不等式 时,不等式 <a+3, 没有实数解; 综合①②,得 a 的取值范围是 【点评】将字母 a 看成常数,讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点,是解决本 题的难点,本题中处理关于 a 的无理不等式,计算也比较繁,因此本题对能 力的要求比较高.  22.(12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C: 在 y 轴正半轴上的焦 点,过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 .(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 第 20 页(共 22 页) 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;16:压轴题;35:转化思想. 【分析】(1)要证明点 P 在 C 上,即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 ,根据已知中过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 ,我们求出点 P 的坐标,代入验证即可. (2)若 A、P、B、Q 四点在同一圆上,则我们可以先求出任意三点确定的圆的 方程,然后将第四点坐标代入验证即可. 【解答】证明:(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2) 椭圆 C: ①,则直线 AB 的方程为:y=﹣ x+1 ② 联立方程可得 4×2﹣2 x﹣1=0, 则 x1+x2= ,x1×x2=﹣ 则 y1+y2=﹣ (x1+x2)+2=1 设 P(p1,p2), 则有: =(x1,y1), =(x2,y2), =(p1,p2); ∴+=(x1+x2,y1+y2)=( ,1); =(p1,p2)=﹣( +)=(﹣ ,﹣1) ∴p 的坐标为(﹣ ,﹣1)代入①方程成立,所以点 P 在 C 上. (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 第 21 页(共 22 页) 设线段 AB 的中点坐标为( ,),即( ,), 则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为:y﹣ = (x﹣ ),即 y= x+ ;③ ∵P 关于点 O 的对称点为 Q,故 0(0.0)为线段 PQ 的中点, 则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为:y=﹣ x④; ③④联立方程组,解之得:x=﹣ ,y= ③④的交点就是圆心 O1(﹣ , ), r2=|O1P|2=(﹣ ﹣(﹣ ))2+(﹣1﹣ )2= 故过 P Q 两点圆的方程为:(x+ )2+(y﹣ )2= …⑤, 把 y=﹣ x+1 …②代入⑤, 有 x1+x2= ,y1+y2=1 ∴A,B 也是在圆⑤上的. ∴A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,向量在几何中的应用,其 中判断点与曲线关系时,所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键. 第 22 页(共 22 页)

分享到 :
相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注