2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）下载

2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（　　） A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 2．（5 分）函数 y= （x≥0）的反函数为（　　） A．y= （x∈R） B．y= （x≥0） C．y=4×2（x∈R） D．y=4×2（x≥0） 3．（5 分）设向量 、 满足| |=| |=1， • =﹣ ，| +2 |=（　　） A．. B． C．、 D．. 4．（5 分）若变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最小值为（　　） A．17 B．14 C．5 D．3 5．（5 分）下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 6．（5 分）设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2﹣Sk=24， 则 k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（5 分）设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单 位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 8．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l， D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 CD=（　　） A．2 B． C． D．1 9．（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课 程甲的不同选法共有（　　） A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 第 1 页（共 22 页） 10．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x）， 则=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 11．（5 分）设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的 距离|C1C2|=（　　） A．4 B． C．8 D． 12．（5 分）已知平面 α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为（　　 ）A．7π B．9π C．11π D．13π 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（1﹣x）10 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为：　 　． 14．（5 分）已知 a∈（π， 15．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为　． 16．（5 分）已知 F1、F2 分别为双曲线 C： 点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|=　 ），tanα=2，则 cosα=　 　． 的左、右焦点，点 A∈C， 　． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求 an 和 Sn． 第 2 页（共 22 页） 18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB， （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 A=75°，b=2，求 a，c． 19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （Ⅱ）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 20．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三 角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB； （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小． 第 3 页（共 22 页） 21．（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R） （Ⅰ）证明：曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若 f（x）在 x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3），求 a 的取值范围． 22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 在 y 轴正半轴上的焦 点，过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ．（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 　第 4 页（共 22 页） 2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（　　） A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据交集的定义求出 M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）． 【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N） ={1，4}， 故选：D． 【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集 的方法． 　2．（5 分）函数 y= （x≥0）的反函数为（　　） A．y= （x∈R） B．y= （x≥0） C．y=4×2（x∈R） D．y=4×2（x≥0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明 反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：∵y= ∴x= ，y≥0， （x≥0）， 第 5 页（共 22 页） 故反函数为 y= （x≥0）． 故选：B． 【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的 定义域是原函数的值域． 　3．（5 分）设向量 、 满足| |=| |=1， • =﹣ ，| +2 |=（　　） A．. B． C．、 D．. 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由| +2 |= =，代入已知可求 【解答】解：∵| |=| |=1， • =﹣ ， | +2 |= ==故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题 　4．（5 分）若变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最小值为（　　） C．5 D．3 A．17 B．14 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】我们先画出满足约束条件 的平面区域，然后求出平面区域内 各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标 函数的最值． 第 6 页（共 22 页） 【解答】解：约束条件 的平面区域如图所示： 由图可知，当 x=1，y=1 时，目标函数 z=2x+3y 有最小值为 5 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解 答本题的关键． 　5．（5 分）下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】利用不等式的性质得到 a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出 a＞b 推不出 a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 【解答】解：a＞b+1⇒a＞b； 反之，例如 a=2，b=1 满足 a＞b，但 a=b+1 即 a＞b 推不出 a＞b+1， 故 a＞b+1 是 a＞b 成立的充分而不必要的条件． 故选：A． 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 ．　第 7 页（共 22 页） 6．（5 分）设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2﹣Sk=24， 则 k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2，Sk，将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求解． 【解答】解：根据题意： Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为： （k+2）2﹣k2=24 ∴k=5 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思 想，属中档题． 　7．（5 分）设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单 位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 【考点】HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数 平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：f（x）的周期 T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图 第 8 页（共 22 页） 象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以 ，k∈Z．令 k=1， 可得 ω=6． 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理 解，考查技术能力，常考题型． 　8．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l， D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 CD=（　　） A．2 B． C． D．1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得 AC⊥CB，△ACB 为直角三角形，利 用勾股定理可得 BC 的值；进而在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 CD 的值，即 可得答案． 【解答】解：根据题意，直二面角 α﹣l﹣β，点 A∈α，AC⊥l，可得 AC⊥面 β， 则 AC⊥CB，△ACB 为 Rt△，且 AB=2，AC=1， 由勾股定理可得，BC= ；在 Rt△BCD 中，BC= ，BD=1， 由勾股定理可得，CD= 故选：C． ；【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图 第 9 页（共 22 页） 形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解． 　9．（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课 程甲的不同选法共有（　　） A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 2【分析】本题是一个分步计数问题，恰有 2 人选修课程甲，共有 C4 种结果，余 下的两个人各有两种选法，共有 2×2 种结果，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 2∵恰有 2 人选修课程甲，共有 C4 =6 种结果， ∴余下的两个人各有两种选法，共有 2×2=4 种结果， 根据分步计数原理知共有 6×4=24 种结果 故选：B． 【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件 事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果． 　10．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x） ，则 =（　　） B．﹣ A．﹣ C． D． 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（ ），代入已知条件进行运算． 【解答】解：∵f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x） ，第 10 页（共 22 页） ∴=f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣2× （1﹣ ）=﹣ ， 故选：A． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值． 　11．（5 分）设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的 距离|C1C2|=（　　） A．4 B． C．8 D． 【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得 a 和 b 分别为 x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距 离|C1C2|= •的值． 【解答】解：∵两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第 一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1）， 则有 =|a|，| =|b|， 故 a 和 b 分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2 的两个实数根， 即 a 和 b 分别为 x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17， ∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|= 故选：C． •=8， 【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用， 属于基础题． 　12．（5 分）已知平面 α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为（　　 ）第 11 页（共 22 页） A．7π B．9π C．11π D．13π 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先求出圆 M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM 的长，找出二面 角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径， 从而求出面积． 【解答】解：∵圆 M 的面积为 4π ∴圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM= ∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N ∴∠OMN=30°，在直角三角形 OMN 中，ON= ∴圆 N 的半径为 则圆的面积为 13π 故选：D． 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想 象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（1﹣x）10 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为：　0　． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数分别取 1； 9 求出展开式的 x 的系数与 x9 的系数；求出两个系数的差． r【解答】解：展开式的通项为 Tr+1=（﹣1）rC10 xr 第 12 页（共 22 页） 所以展开式的 x 的系数﹣10 x9 的系数﹣10 x 的系数与 x9 的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0 故答案为：0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 　14．（5 分）已知 a∈（π， ），tanα=2，则 cosα=　﹣ 　． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先利用 α 的范围确定 cosα 的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系， 求得 cosα 的值． 【解答】解：∵a∈（π， ∴cosα＜0 ）， ∴cosα=﹣ =﹣ 故答案为：﹣ 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个 角的范围确定三角函数符号． 　15．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为　． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想． 【分析】根据题意知 AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角，解三角 形即可求得结果． 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：连接 DE，设 AD=2 易知 AD∥BC， ∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角， 在△RtADE 中，由于 DE= ，AD=2，可得 AE=3 ∴cos∠DAE= =， 故答案为： ． 【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法， 转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想． 　16．（5 分）已知 F1、F2 分别为双曲线 C： 的左、右焦点，点 A∈C， 点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|=　6　． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条 焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求 出焦半径． 【解答】解： 不妨设 A 在双曲线的右支上 ∵AM 为∠F1AF2 的平分线 ∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6 第 14 页（共 22 页） 解得|AF2|=6 故答案为 6 【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用 双曲线的定义． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求 an 和 Sn． 【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】设出等比数列的公比为 q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两 等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首 项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前 n 项和的公式即可． 【解答】解：设{an}的公比为 q，由题意得： ，解得： 或，当 a1=3，q=2 时：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）； 当 a1=2，q=3 时：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求 值，是一道基础题． 　18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB， （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 A=75°，b=2，求 a，c． 第 15 页（共 22 页） 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余 弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B． （Ⅱ）利用两角和公式先求得 sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得 a 和 c． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得 a2+c2﹣ ac=b2， 由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2accosB， 故 cosB= ，B=45° （Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°= 故 a=b× ==1+ ∴c=b× =2× =【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运 用． 　19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （Ⅱ）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与 n 次独立重复试验的 模型．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为 P，由相互独立事件概率公式可得 P（1﹣0.5）=0.3，解可得 p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率， 由对立事件的概率性质计算可得答案． （II）该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个 n 次独 第 16 页（共 22 页） 立重复试验恰好发生 k 次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、 乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果． 【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为 p， 根据题意可得 p×（1﹣0.5）=0.3，解可得 p=0.6， 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2， 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 1﹣0.2=0.8 （II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2，则该地的 3 位车主中恰有 11 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 P=C3 ×0.2×0.82=0.384． 【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查 n 次独立重复试验恰好发 生 k 次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目． 　20．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三 角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB； （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小． 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交 的直线 SA，SB；在证明 SD 与 SA，SB 的过程中运用勾股定理即可 （ Ⅱ ） 求AB 与 平 面SBC 所 成 的 角 的 大 小 即 利 用 平 面SBC 的 法 向 量 ，当 为锐角时，所求的角即为它的 余角；当 为钝角时，所求的角为 第 17 页（共 22 页） 【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形 ABCD 中， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD= =∵侧面 SAB 为等边三角形，AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD2=SA2+SD2 ∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB ∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面 SAB ∴SD⊥平面 SAB （Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系 则 A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0）， 作出 S 在底面上的投影 M，则由四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形知，M 点一定在 x 轴上，又 AB=BC=2，CD=SD=1．可解得 MD= ，从而解得 SM= ，故可得 S（ ，0， ）则设平面 SBC 的一个法向量为 则，即取 x=0，y= ，z=1 即平面 SBC 的一个法向量为 =（0， ，1） 又=（0，2，0） 第 18 页（共 22 页） cos＜ ，＞= ==∴＜ ，＞=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量 的基本知识，属于中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R） （Ⅰ）证明：曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若 f（x）在 x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3），求 a 的取值范围． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）求出函数 f（x）在 x=0 处的导数和 f（0）的值，结合直线方程的 点斜式方程，可求切线方程； （Ⅱ）f（x）在 x=x0 处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零 点存在性，得出函数有极小值的 a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的 x0 ∈（1，3），解关于 a 的不等式，从而得出取值范围 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3×2+6ax+3﹣6a 由 f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a， 可得曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线方程为 y=（3﹣6a）x+12a﹣4， 第 19 页（共 22 页） 当 x=2 时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上 ∴曲线 y=f（x）在 x=0 的切线过点（2，2） （Ⅱ）由 f′（x）=0 得 x2+2ax+1﹣2a=0…（1） 方程（1）的根的判别式 ①当 时，函数 f（x）没有极小值 ②当 或时， 由 f′（x）=0 得 故 x0=x2，由题设可知 （i）当 （ii）当 化为 a+1＜ 解得 时，不等式 时，不等式 ＜a+3， 没有实数解； 综合①②，得 a 的取值范围是 【点评】将字母 a 看成常数，讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点，是解决本 题的难点，本题中处理关于 a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能 力的要求比较高． 　22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 在 y 轴正半轴上的焦 点，过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ．（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 第 20 页（共 22 页） 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想． 【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 ，根据已知中过 F 且斜率为﹣ 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 ，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可． （2）若 A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的 方程，然后将第四点坐标代入验证即可． 【解答】证明：（Ⅰ）设 A（x1，y1），B（x2，y2） 椭圆 C： ①，则直线 AB 的方程为：y=﹣ x+1 ② 联立方程可得 4×2﹣2 x﹣1=0， 则 x1+x2= ，x1×x2=﹣ 则 y1+y2=﹣ （x1+x2）+2=1 设 P（p1，p2）， 则有： =（x1，y1）， =（x2，y2）， =（p1，p2）； ∴+=（x1+x2，y1+y2）=（ ，1）； =（p1，p2）=﹣（ +）=（﹣ ，﹣1） ∴p 的坐标为（﹣ ，﹣1）代入①方程成立，所以点 P 在 C 上． （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 第 21 页（共 22 页） 设线段 AB 的中点坐标为（ ，），即（ ，）， 则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y﹣ = （x﹣ ），即 y= x+ ；③ ∵P 关于点 O 的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点， 则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y=﹣ x④； ③④联立方程组，解之得：x=﹣ ，y= ③④的交点就是圆心 O1（﹣ ， ）， r2=|O1P|2=（﹣ ﹣（﹣ ））2+（﹣1﹣ ）2= 故过 P Q 两点圆的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= …⑤， 把 y=﹣ x+1 …②代入⑤， 有 x1+x2= ，y1+y2=1 ∴A，B 也是在圆⑤上的． ∴A、P、B、Q 四点在同一圆上． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其 中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键． 第 22 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