2010年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 14 页 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律 不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分。 2  x 1.不等式  0的解集是 。x  4 2.若复数 z 1 2i （i为虚数单位），则 z  z  z  。解析：考查复数基本运算 z  z  z  (1 2i)(1 2i) 1 2i  6  2i 3. 动点 P到点 F(2,0)的距离与它到直线 x  2  0的距离相等，则 P的轨迹方程为 。3366cos sin sin 4.行列式 的值是 。cos 5. 圆C : x2  y2  2x  4y  4  0 的圆心到直线 l:3x  4y  4  0 的距离 d  。6. 随机变量  的概率分布率由下图给出： 则随机变量  的均值是 第 1 页 共 14 页 第 2 页 共 14 页 7.2010年上海世博会园区每天 9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中， S 表示上海世 博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前 1个小时内入园人数，则空白 的执行框内应填入 。8.对任意不等于 1的正数 a，函数 f(x)=loga (x  3) 的反函数的图像都经过点 P，则点 P的坐 标是 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取 1张，事件 A为“抽得红桃 K”，事件 B为“抽 得为黑桃”，则概率 P（A B）= （结果用最简分数表示） 1232343 n  2 n 1 n145 n 1  n110．在 n行 n列矩阵 中， n2      n12 n 3 n  2 n 1 记位于第 i行第 j列的数为 aij (i, j 1,2,n) 。当 n  9 时， a11  a22  a33  a99  。11. 将直线 l2 : nx  y  n  0 、l3 : x  ny  n  0 （n N* ，n  2 ）。x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为 Sn ，则 lim Sn  n 12．如图所示，在边长为 4的正方形纸片 ABCD中，AC与 BD相交于 O,剪去AOB ,将剩余部 分沿 OC、OD折叠，使 OA、OB重合，则以 A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 第 2 页 共 14 页 第 3 页 共 14 页 2 413。 如 图 所 示 ， 直 线x=2 与 双 曲 线 :  y2 1的 渐 近 线 交 于E1 ,E2 两 点 ， 记        1OE1  e ,OE2  e2 ，任取双曲线  上的点 P，若OP  ae ,be2 (a、b R)，则 a、b满足的 1一个等式是 14.以集合 U= a，b，c，d 的子集中选出 2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b都要选出； （2）对选出的任意两个子集 A和 B，必有 A  B或B  A ，那么共有 种不同的选法。 二．选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。 15．“x  2k  k Z ”是“ tan x 1”成立的 [答]（ ）4（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. x=1+2t y=2-t 16.直线 l的参数方程是 (t  R) ，则 l的方向向量是 d可以是 【答】（） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 1117.若 x0 是方程 ( )x  x3 的解，则 x0 属于区间 【答】（ ） 221 2 111(A)( ,1) 3(B)( , )(C)( , ) 2(D)(0, ) 32 3 31 11 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ,,，则此人能 【答】 13 11 5 （ ） （A）不能作出这样的三角形 （C）作出一个直角三角形 （B）作出一个锐角三角形 （D）作出一个钝角三角形 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12分） 已知 0  x  ，化简： 2第 3 页 共 14 页 第 4 页 共 14 页 x4lg(cos xtan x 1 2sin2 )  lg[ 2cos(x  )] lg(1 sin 2x) .220. (本题满分 13分)本题共有 2个小题，第一个小题满分 5分，第 2个小题满分 8分。 已知数列 的前项和为 anSn ，且 Sn  n 5an 85 ，n N*   n（1）证明： a 1 是等比数列； n（2）求数列 S的通项公式，并求出 n为何值时， Sn 取得最小值，并说明理由。   n5（2） Sn =n  75( )n1 90 n=15取得最小值 621、（本大题满分 13分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝， 骨架把圆柱底面 8等份，再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. r(1)当圆柱底面半径 取何值时，取得最大值？并求出该 S最大值（结果精确到 0.01平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当 灯笼的底面半径为 0.3米时，求图中两根直线 A B3 与 A B5 所在 13异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 第 4 页 共 14 页 第 5 页 共 14 页 22.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 5分，第 3小 题满分 10分。 若实数 （1）若 x2 1比 1远离 0，求 （2）对任意两个不相等的正数 x、y、m满足 x  m ＞ y  m ，则称 x比y远离 m.x的取值范围； a、b，证明： a3  b3 kπ π 比a2b  ab2 远离 2ab ab ；（3）已知函数 f (x) 的定义域 D=｛x|x≠ + ，k∈Z，x∈R ｝.任取 x D ，f (x) 等于 24sin x 和cos x 中远离 0的那个值.写出函数 f (x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要 求证明）. 23（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 6分，第 3小题 满分 9分. x2 y2 已知椭圆 的方程为 1(a  b  0) ，点 P的坐标为（-a，b）. a2 b2 1（1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足 PM =(PA +PB) ,求点 M的坐标； 2第 5 页 共 14 页 第 6 页 共 14 页 （ 2 ） 设 直 线 l1 : y  k1x  p 交 椭 圆 D E 于 、 两点 ， 交 直 线 l2 : y  k2 x 于 点. 若 Cb2 a2 k1 k2   ，证明： E为CD 的中点； （3）对于椭圆 上存在不同的两个 交点 2 满足 PP +PP2 = PQ ,写出求作点 P 、 P2 的步骤，并求出使 P 、 P2 存在的θ的取 1 1 上的点 Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆 P、P11值范围. 第 6 页 共 14 页 第 7 页 共 14 页 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分。 2  x 1.不等式  0的解集是 （-4,2） 2  x 。x  4 解析：考查分式不等式的解法  0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2 x  4 2.若复数 z 1 2i 解析：考查复数基本运算 z  z  z  (1 2i)(1 2i) 1 2i  6  2i 到 点F(2,0)的 距 离 与 它 到 直 线x  2  0的 距 离 相 等 ， 则P 的 轨 迹 方 程 为 （i为虚数单位），则 z  z  z  6-2i 。3. 动 点 Py2  8x 。解析：考查抛物线定义及标准方程 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为 y28x 定义知 P3366cos sin sin 4.行列式 的值是 0。cos 3366cos sin ππππ2解析：考查行列式运算法则 =cos cos  sin sin cos  0 3636sin cos 5. 圆C : x2  y2  2x  4y  4  0 的圆心到直线 l:3x  4y  4  0 的距离 d  3。解析：考查点到直线距离公式 31 4 2  4 圆心（1,2）到直线3x  4y  4  0 距离为  3 56. 随机变量  的概率分布率由下图给出： 第 7 页 共 14 页 第 8 页 共 14 页 则随机变量 的均值是 8.2 =7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 解析：考查期望定义式 E 7.2010年上海世博会园区每天 9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中， S 表示上海世 博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白 a的执行框内应填入 S S+a 。8.对任意不等于 1的正数 a，函数 f(x)=loga (x  3) 的反函数的图像都经过点 P，则点 P的坐 标是 （0，-2） 解析：f(x)=loga (x  3) 的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取 1张，事件 A为“抽得红桃 K”，事件 B为“抽 7得为黑桃”，则概率 P（A B）== （结果用最简分数表示） 26 113 7解析：考查互斥事件概率公式 P（A B）= 52 52 26 123234345 n  2 n 1 n1 n 1  n110．在 n行 n列矩阵 中， n2      n12 n 3 n  2 n 1 记位于第 i行第 j列的数为 aij (i, j 1,2,n) 。当 n  9 时， a11  a22  a33  a99  45 。第 8 页 共 14 页 第 9 页 共 14 页 解析： a11  a22  a33  a99  1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线 l2 : nx  y  n  0 、l3 : x  ny  n  0 （n N* ，n  2 ）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为 Sn ，则 lim Sn  1。n nn解析：B (,)所以 BO⊥AC， n 1 n 1 1nn1Sn = 2  2  所以 lim Sn  n 22n 1 n 1 12．如图所示，在边长为 4的正方形纸片 ABCD中，AC与 BD相交于 O,剪去AOB ,将剩余部 8 2 分沿 OC、OD折叠，使 OA、OB重合，则以 A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 3解析：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 2的正三棱锥， 2 6 31 1 32 68 2 高为 所以该四面体的体积为  16 3 2 2332 413。 如 图 所 示 ， 直 线x=2 与 双 曲 线 :  y2 1的 渐 近 线 交 于E1 ,E2 两 点 ， 记        1OE1  e ,OE2  e2 ，任取双曲线 上的点 P，若OP  ae ,be2 (a、b R)，则 a、b满足的 1一个等式是 4ab=1 解析： E1 (2,1), E2 (2,1)   OP  ae1  be2 =(2a  2b,a  b) ，点 P 在双曲线上 (2a  2b)2  (a  b)2  1，化简得 4ab1 414.以集合 U= a，b，c，d 的子集中选出 2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b都要选出； （2）对选出的任意两个子集 A和 B，必有 A  B或B  A ，那么共有 36 种不同的选法。 解析：列举法 共有36 种 二．选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。 415．“x  2k  k Z ”是“ tan x 1”成立的 [答]（ A ） 第 9 页 共 14 页 第 10 页 共 14 页 （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 44解析： tan(2k  )  tan  1，所以充分； 5 4但反之不成立，如 tan  1，所以不必要 x=1+2t y=2-t 16.直线 l的参数方程是 (t  R) ，则 l的方向向量是 d可以是 【答】（C） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 1解析：直线 l 的一般方程是 x  2y  5  0 ，k  ，所以 C 正确 21117.若 x0 是方程 ( )x  x3 的解，则 x0 属于区间 【答】（C） 221 2 111(A)( ,1) 3(B)( , )(C)( , ) (D)(0, ) 32 3 321131133211111 1         解析：结合图形 ,  ，∴ x0 属于区间( , )       2  322  3 2     1 11 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ,,，则此人能 【答】 13 11 5 （D） （A）不能作出这样的三角形 （C）作出一个直角三角形 （B）作出一个锐角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为 a,b,c，利用面积相等可知 111a  b  c,a : b : c  13:11: 5 13 11 552 112 132 2511 由余弦定理得 cos A   0 ，所以角 A为钝角 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12分） 已知 0  x  ，化简： 2x4lg(cos xtan x 1 2sin2 )  lg[ 2cos(x  )] lg(1 sin 2x) .2=0 20. (本题满分 13分)本题共有 2个小题，第一个小题满分 5分，第 2个小题满分 8分。 第 10 页 共 14 页 第 11 页 共 14 页 已知数列 a的前 n项和为 Sn ，且 Sn  n 5an 85 ，n N*   n（1）证明： a 1 是等比数列； n（2）求数列 S的通项公式，并求出 n为何值时， Sn 取得最小值，并说明理由。   n5（2） Sn =n  75( )n1 90 n=15取得最小值 65解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以 an 1 (an1 1) ，6又 a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列； n1 n1 55    (2) 由(1)知： an 1 15 ，得 an 115 ，从而     6  6  n1 5  Sn  75  n  90 (nN*)；   6  n1 5252  解不等式 Sn<Sn1，得 ，n  log5 114.9 ，当 n≥15 时，数列{Sn}单调递增；   6  25 6同理可得，当 n≤15 时，数列{Sn}单调递减；故当 n15 时，Sn 取得最小值． 21、（本大题满分 13分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝， 骨架把圆柱底面 8等份，再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. r(1)当圆柱底面半径 取何值时，取得最大值？并求出该 S最大值（结果精确到 0.01平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当 灯笼的底面半径为 0.3米时，求图中两根直线 A B3 与 A B5 所在 13异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0<r<0.6)， S3(r0.4)20.48， 所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；  (2) 当 r0.3 时 ， l0.6 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 可 得A B3  (0.3,0.3,0.6) ，1 A B5  (0.3,0.3,0.6) ，3第 11 页 共 14 页 第 12 页 共 14 页     A B3  A B5 2313  设向量 A B3 与 A B5 的夹角为，则 cos  ，13| A B3 || A B5 | 1323所以 A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小为 arccos ．22.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 5分，第 3小 题满分 10分。 若实数 （1）若 x2 1比 1远离 0，求 （2）对任意两个不相等的正数 x、y、m满足 x  m ＞ y  m ，则称 x比y远离 m.x的取值范围； a、b，证明： a3  b3 kπ π 比a2b  ab2 远离 2ab ab ；（3）已知函数 f (x) 的定义域 D=｛x|x≠ + ，k∈Z，x∈R ｝.任取 x D ，f (x) 等于 24sin x 和cos x 中远离 0的那个值.写出函数 f (x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要 求证明）. 解析：(1) x(, 2)  ( 2. ) ；(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 a3  b3  2ab ab 因为| a3  b3  2ab ab|  | a2b  ab2  2ab ab| (a  b)(a  b)2  0 所以| a3  b3  2ab ab|| a2b  ab2  2ab ab| ，即 a3b3 比 a2bab2 远离 2ab ab a2b  ab2  2ab ab ， ， ，；43 4sin x , x(k  ,k  )(3) f (x)  ，4cos x , x(k  ,k  )42性质：1f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T  ，k k k k 43函数 f(x)在区间 (,]单调递增，在区间 [,)单调递减，kZ， 2422224函数 f(x)的值域为 (,1] ．223（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 6分，第 3小题 满分 9分. x2 y2 已知椭圆 的方程为 1(a  b  0) ，点 P的坐标为（-a，b）. a2 b2 1（1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足 PM =(PA +PB) ,求点 M的坐标； 2第 12 页 共 14 页 第 13 页 共 14 页 （ 2 ） 设 直 线 l1 : y  k1x  p 交 椭 圆 D E 于 、 两点 ， 交 直 线 l2 : y  k2 x 于 点. 若 Cb2 a2 k1 k2   ，证明： E为CD 的中点； （3）对于椭圆 上存在不同的两个 交点 2 满足 PP +PP2 = PQ ,写出求作点 P 、 P2 的步骤，并求出使 P 、 P2 存在的θ的取 1 1 上的点 Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆 P、P11值范围. ab解析：(1) M ( , ) ；22y  k x  p 1y2 (2) 由方程组 ，消 y 得方程 (a2k12  b2 )x2  2a2k1 px  a2 (p2  b2 )  0 ，2x1 a2 b2 因为直线l1 : y  k1x  p 交椭圆 所以>0，即 a2k12  b2  p2  0 D于 、 两点， C，设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， a2k1 p x1  x2 x0    2a2k12  b2 则，b2 p a2k12  b2 y0  k1x0  p  y  k x  p 1由方程组 ，消 y 得方程(k2k1)xp， y  k2 x a2k1 p px     x0 a2k12  b2 b2 a2k1 k2  k1 又因为 k2   ，所以 ，b2 p y  k2 x   y0 a2k12  b2 故 E 为 CD 的中点； a(1 cos) b(1 sin) (3) 求作点 P1、P2 的步骤：1求出 PQ 的中点 E( b(1 sin) ,)，222求出直线 OE 的斜率 k2   ，a(1 cos) b2 b(1 cos)    3由 PP  PP  PQ 知 E 为 CD 的中点，根据(2)可得 CD 的斜率 k1   ，12a2k2 a(1 sin) b(1 sin) b(1 cos) a(1 cos) 4从而得直线 CD 的方程： y  (x  ) ， 2a(1 sin) 2第 13 页 共 14 页 第 14 页 共 14 页 5将直线 CD 与椭圆 Γ 的方程联立，方程组的解即为点 P1、P2 的坐标． 欲使 P1、P2 存在，必须点 E 在椭圆内， (1 cos)2 (1 sin)2 1242所以 1，化简得sin  cos  ，sin(  )  ，44  4443 42又 0< <，即 ，所以   arcsin ，4442故 的取值范围是 (0,  arcsin ) ． 44第 14 页 共 14 页