2021年全国高考甲卷数学（理）试题（原卷版）下载

绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上 无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．  1 M  x 0  x  4 ,N  x  x  5 M  N   1 1. 设集合 ，则 （）31 x 0  x  x x  4 A. C. B. 33x 4  x  5 x 0  x  5 D. 的2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入 调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% 的B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元 农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 2z  3. 已知 ，则 （）(1 i) z  3 2i 323331 i 1 i  i  i AB. C. D. 2224. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录 L  5 lgV 视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足 ．已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（10 ）10 1.259 A. 1.5 5. 已知 ）B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 F , F F PF 60, PF  3 PF ，则 C 的离心率为（ 2 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 11212713 A. B. C. D. 713 226. 在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得多 AEFG 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. aSq  0 S  n7. 等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 n ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）nA. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量 法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同    A , B ,C   ，ACB  45 AB C 60 一水平面上的投影 满足 ．由 C 点测得 B 点的仰角为15 ，BB    A B C   AA  CC 与CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 ，则 A，C 两点到水平面 的高度差 约45 为（ ）（ ）3 1.732 A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 2cos 2  sin   0, ,tan2  tan  9. 若 ，则 （）15 15 5515 3A. B. C. D. D. 5310. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ ）13252345A. B. C. AC  BC, AC  BC  1 11. 已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 O  ABC 的体积为（ ）2323A. B. C. D. 12 12 442f x f x 2 x 1,2 f x1 12. 设函数  的定义域为 R， 为奇函数， ）为偶函数，当 时， f (x)  ax  b 9  f 0  f 3  6 ．若     f，则 （  2  94375D. A. B. C. 224二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 2x 1 x  2 1,3 处的切线方程为__________． y  13. 曲线 在点 ．若 k  ，则 ________． a  3,1 ,b  1,0 ,c  a  kb 14. 已知向量 a  c 2xy2 F , F 15. 已知 2 为椭圆 C： 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 1 116 4PQ  F F2 PFQF 2 的面积为________． 1，则四边形 1f x 2cos(x ) 16. 已知函数   的部分图像如图所示，则满足条件 7  4  f (x)  f  f (x)  f  0 的最小正整数 x 为________．  43 三、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别 用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 150 二级品 50 合计 200 200 400 甲机床 乙机床 合计 120 80 270 130 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? n(ad bc)2 附： K2  (ab)(cd)(ac)(bd) P K2  k 0.050 0.0100.001 3.841 6.635 10.828 kaSa18. 已知数列 的各项均为正数，记 n 为 的前 n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另 nn外一个成立． aSn a  3a ①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． n21ABC  A B C AA B B CC 的和119. 已知直三棱柱 1 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 中AB  BC  2 AC 111 1 A B BF  A B 点，D 为棱 1 上的点． 111（1）证明： ；BF  DE B D BB C C （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? DFE 111OP  OQ 20. 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O．焦点在 x 轴上，直线 l： M 2,0 交 C 于 P，Q 两点，且 ．已知 x 1 M 点，且 与 l 相切． M （1）求 C， 的方程； A , A , A A A A A A A M M （2）设 3 是 C 上的三个点，直线 ，3 均与 相切．判断直线 3 与 的位置关系， 121212并说明理由． xa 21. 已知 且a  0 a 1 ，函数 ．f (x)  (x  0) ax f x （1）当 时，求  的单调区间； a  2 y  f x  与直线 y 1 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围． （2）若曲线 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） xOy 22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ．  2 2cos （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；   ，写出 Р 的轨迹 1 的参数方 1,0 C的（2）设点 A 直角坐标为 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 AP  2 AM C程，并判断 C 与 1 是否有公共点． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） f (x)  x  2 , g(x)  2x  3  2x 1 23. 已知函数 ．y  f x   y  g x （1）画出 和 的图像； f x a  g x （2）若  ，求 a 的取值范围．