福建省2019年中考数学真题试题（含解析）下载

2019年福建省中考数学试卷 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1．（4分）计算 22+（﹣1）0的结果是（　　） A．5 2．（4分）北京故宫的占地面积约为 720000m2，将 720000用科学记数法表示为（　　） A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106 B．4 C．3 D．2 3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形 4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（　　） A． C． B． D． 5．（4分）已知正多边形的一个外角为 36°，则该正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近 5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折 线统计图，则下列判断错误的是（　　） A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 1D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 C．a6÷a3＝a2 8．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多， 问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的 字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有 34685个字，设 他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（　　） A．x+2x+4x＝34685 C．x+2x+2x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 D．x+ x+ x＝34685 9．（4分）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点 C 在⊙O 上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（　　） A．55° B．70° C．110° D．125° 10．（4分）若二次函数 y＝|a|x2+bx+c 的图象经过 A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则 y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 二、填空题（每小题 4分，共 24分） 11．（4分）因式分解：x2﹣9＝　 　． 12．（4分）如图，数轴上 A、B 两点所表示的数分别是﹣4和 2，点 C 是线段 AB 的中点，则 点 C 所表示的数是　． 13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎， 随机调查了该校 100名学生，其中 60名同学喜欢甲图案，若该校共有 2000人，根据所 学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　人． 14．（4分）在平面直角坐标系 xOy 中，▱OABC 的三个顶点 O（0，0）、A（3，0）、B（4，2）， 2则其第四个顶点是　 　． 15．（4分）如图，边长为 2的正方形 ABCD 中心与半径为 2的⊙O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是　．（结果保留π） 16．（4分）如图，菱形 ABCD 顶点 A 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，函数 y＝ （k＞3，x ＞0）的图象关于直线 AC 对称，且经过点 B、D 两点，若 AB＝2，∠BAD＝30°，则 k ＝　． 三、解答题（共 86分） 17．（8分）解方程组 ．18．（8分）如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DF＝BE．求证：AF＝ CE． 19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣ 20．（8分）已知△ABC 和点 A’，如图． ），其中 x＝ +1． （1）以点 A’为一个顶点作△A’B’C’，使△A’B’C’∽△ABC，且△A’B’C’的面积等于△ABC 面积的 4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设 D、E、F 分别是△ABC 三边 AB、BC、AC 的中点，D’、E’、F’分别是你所作的△A’B’C’ 三边 A’B’、B’C’、C’A’的中点，求证：△DEF∽△D’E’F’． 321．（8分）在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的 角度 α 得到△DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E． （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求∠ADE 的大小； （2）若 α＝60°时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水 处理量为 m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模 的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废 水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本 30元，并且每处理一吨 废水还需其他费用 8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付 12元．根据记录，5 月 21日，该厂产生工业废水 35吨，共花费废水处理费 370元． （1）求该车间的日废水处理量 m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处 理的平均费用不超过 10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外 购买若干次维修服务，每次维修服务费为 2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数 未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费 500元； 如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费 5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买 1台该种机器，为决策在购买机器时应同 时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内的维修 次数，整理得下表； 维修次数 8910 11 12 频率（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这 100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概 4率； （2）试以这 100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买 1台该机器的同时应一 次性额外购 10次还是 11次维修服务？ 24．（12分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为 E，点 F 在 BD 的延长 线上，且 DF＝DC，连接 AF、CF． （1）求证：∠BAC＝2∠CAD； （2）若 AF＝10，BC＝4 ，求 tan∠BAD 的值． 25．（14分）已知抛物 y＝ax2+bx+c（b＜0）与 x 轴只有一个公共点． （1）若抛物线与 x 轴的公共点坐标为（2，0），求 a、c 满足的关系式； （2）设 A 为抛物线上的一定点，直线 l：y＝kx+1﹣k 与抛物线交于点 B、C，直线 BD 垂 直于直线 y＝﹣1，垂足为点 D．当 k＝0时，直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ ABC 为等腰直角三角形． ①求点 A 的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数 k，都有 A、D、C 三点共线． 52019年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1．【解答】解：原式＝4+1＝5 故选：A． 2．【解答】解：将 720000用科学记数法表示为 7.2×105． 故选：B． 3．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 4．【解答】解：几何体的主视图为： 故选：C． 5．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形． 故选：B． 6．【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确 D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故 D 错误． 故选：D． 7．【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意； B、原式＝8a3，不符合题意； C、原式＝a3，不符合题意； D、原式＝0，符合题意， 故选：D． 8．【解答】解：设他第一天读 x 个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685， 6故选：A． 9．【解答】解：连接 OA，OB， ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°． 故选：B． 10．【解答】解：∵经过 A（m，n）、C（3﹣m，n）， ∴二次函数的对称轴 x＝ ，∵B（0，y1）、D（ ，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离 B 最远，D 最近， ∵|a|＞0， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 二、填空题（每小题 4分，共 24分） 11．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 12．【解答】解：∵数轴上 A，B 两点所表示的数分别是﹣4和 2， ∴线段 AB 的中点所表示的数＝ （﹣4+2）＝﹣1． 即点 C 所表示的数是﹣1． 故答案为：﹣1 13．【解答】解：由题意得：2000× 故答案为：1200． ＝1200人， 14．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0）， ∴OA＝3， 7∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA＝3， ∵B（4，2）， ∴点 C 的坐标为（4﹣3，2）， 即 C（1，2）； 故答案为：（1，2）． 15．【解答】解：延长 DC，CB 交⊙O 于 M，N， 则图中阴影部分的面积＝ ×（S 圆 O﹣S 正方形 ABCD）＝ ×（4π﹣4）＝π﹣1， 故答案为：π﹣1． 16．【解答】解：连接 OC，AC 过 A 作 AE⊥x 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 DG ⊥x 轴于点 G， ∵函数 y＝ （k＞3，x＞0）的图象关于直线 AC 对称， ∴O、A、C 三点在同直线上，且∠COE＝45°， ∴OE＝AE， 不妨设 OE＝AE＝a，则 A（a，a）， ∵点 A 在在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴a2＝3， ∴a＝ ∴AE＝OE＝ ∵∠BAD＝30°， ，，8∴∠OAF＝∠CAD＝ ∠BAD＝15°， ∵∠OAE＝∠AOE＝45°， ∴∠EAF＝30°， ∴AF＝ ，EF＝AEtan30°＝1， ∵AB＝AD＝2，AE∥DG， ∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2 ∴OG＝OE+EG＝ +1， ∴D（ +1，2 ）， ，故答案为：6+2 ．三、解答题（共 86分） 17．【解答】解： ，①+②得：3x＝9，即 x＝3， 把 x＝3代入①得：y＝﹣2， 则方程组的解为 ．18．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， 在△ADF 和△BCE 中， ，∴△ADF≌△BCE（SAS）， ∴AF＝CE． 19．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷ ＝（x﹣1）• ＝，当 x＝ +1， 原式＝ ＝1+ ．20．【解答】解：（1）作线段 A’C’＝2AC、A’B’＝2AB、B’C’＝2BC，得△A’B’C’即可所求． 9证明：∵A’C’＝2AC、A’B’＝2AB、B’C’＝2BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴（2）证明： ∵D、E、F 分别是△ABC 三边 AB、BC、AC 的中点， ∴DE＝ ∴△DEF∽△ABC 同理：△D’E’F’∽△A’B’C’， ，，，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′， ∴△DEF∽△D’E’F’． 21．【解答】（1）解：如图 1，∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 α 得到△DEC，点 E 恰好在 AC 上， ∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝ （180°﹣30°）＝75°， ∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°； （2）证明：如图 2， ∵点 F 是边 AC 中点， 10 ∴BF＝ AC， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC， ∴BF＝AB， ∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB， ∴DE＝BF，△ACD 和△BCE 为等边三角形， ∴BE＝CB， ∵点 F 为△ACD 的边 AC 的中点， ∴DF⊥AC， 易证得△CFD≌△ABC， ∴DF＝BC， ∴DF＝BE， 而 BF＝DE， ∴四边形 BEDF 是平行四边形． 22．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350， ∴m＜35． 依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370， 解得：m＝20． 答：该车间的日废水处理量为 20吨． （2）设一天产生工业废水 x 吨， 当 0＜x≤20时，8x+30≤10x， 解得：15≤x≤20； 当 x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x， 解得：20＜x≤25． 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为 15≤x≤20． 23．【解答】解：（1）“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概率＝ ＝0.6． （2）购买 10次时， 11 某台机器使用期内维修次数 该台机器维修费用 8910 11 12 24000 24500 25000 30000 35000 此时这 100台机器维修费用的平均数 y1＝ （24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300 购买 11次时， 某台机器使用期内维修次数 该台机器维修费用 8910 11 12 26000 26500 27000 27500 32500 此时这 100台机器维修费用的平均数 y2＝ （26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500， ∵27300＜27500， 所以，选择购买 10次维修服务． 24．【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴＝，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝ （180°﹣∠BAC）＝90°﹣ ∠BAC， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠BAC＝2∠CAD； （2）解：∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝2∠DFC， ∴∠BFC＝ ∠BDC＝ ∠BAC＝∠FBC， ∴CB＝CF， 又 BD⊥AC， ∴AC 是线段 BF 的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10． 又 BC＝4 ，设 AE＝x，CE＝10﹣x， 12 由 AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得 100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2， 解得 x＝6， ∴AE＝6，BE＝8，CE＝4， ∴DE＝ ＝＝3， ∴BD＝BE+DE＝3+8＝11， 作 DH⊥AB，垂足为 H， ∵AB•DH＝ BD•AE， ∴DH＝ ∴BH＝ ＝＝，＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣ ∴tan∠BAD＝ ＝ ， ＝＝．25．【解答】解：（1）抛物线与 x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ ax2﹣4ax+4a， 则 c＝4a； （2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1）， 且当 k＝0时，直线 l 变为 y＝1平行 x 轴，与轴的交点为（0，1）， 又△ABC 为等腰直角三角形， ∴点 A 为抛物线的顶点； ①c＝1，顶点 A（1，0）， 抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1， ②，13 x2﹣（2+k）x+k＝0， x＝ （2+k± ）， xD＝xB＝ （2+k﹣ ），yD＝﹣1； 则 D ，yC＝ （2+k2+k ，C，A（1，0）， ∴直线 AD 表达式中的 k 值为：kAD＝ ＝，直线 AC 表达式中的 k 值为：kAC＝ ∴kAD＝kAC，点 A、C、D 三点共线． ，14