2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案下载

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 ·如果事件 AA、、BB互斥，那么 P(A B)  P(A)  P(B) 相互独立，那么 P(AB)  P(A)P(B) ．．·圆柱的体积公式V  Sh ，其中 S表示圆柱的底面面积， h表示圆柱的高． 表示棱锥的高． 1·棱锥的体积公式V  Sh ，其中 S表示棱锥的底面面积， h 3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A {1,1,2,3,5}, B {2,3,4},C {xR |1 x  3}，则 (AC)  B  A． 2  B． 2,3 C． 1,2,3 D． 1,2,3,4 x  y  2  0, x  y  2  0, x  1, 2．设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z  4x  y 的最大值为 y  1, A．2 3．设 xR ，则“ x2 5x  0 ”是“| x 1|1”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 B．3 C．5 D．6 第 1 页 共 23 页 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 的值为 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 SA．5 B．8 C．24 D．29 x2 y2 5．已知抛物线 y2  4x 的焦点为 F，准线为 l，若 l与双曲线 1 (a  0,b  0) 的两条渐近线分 a2 b2 别交于点 A和点 B，且| AB | 4 | OF | （O为原点），则双曲线的离心率为 A． 2B． 3C． c  0.50.2 ，则 a,b,c 的大小关系为 B． a  b  c C．b  c  a D． c  a  b 2D． 5 6．已知 a  log5 2 A． a  c  b ，b  log0.5 0.2 ，7．已知函数 f (x)  Asin(x )(A  0,  0,| | ) 是奇函数，将 y  f x的图象上所有点的横坐标   伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x ．若 g x 的最小正周期为 2π，且     4  3 8  g 2 ，则 f  A． 2 B．  2 C． 2D． 2 2x  2ax  2a, x 1, 8．已知 aR ，设函数 f (x)  若关于 x的不等式 f (x)  0 在 R 上恒成立，则 a 的 x  aln x, x 1. 第 2 页 共 23 页 取值范围为 A． 0,1 B． 0,2 C． 0,e D． 1,e 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 5i 1 i 9． i是虚数单位，则 的值为_____________． 8 18×3 10． 2x  的展开式中的常数项为_____________． 11．已知四棱锥的底面是边长为 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 x  2  2cos, y 1 2sin 12．设 aR ，直线 ax  y  2  0和圆 13．设 x  0, y  0, x  2y  5，则 （ 为参数）相切，则a 的值为_____________． (x 1)(2y 1) 的最小值为_____________． xy 14．在四边形 ABCD 中， AD∥BC, AB  2 3,AD  5, A  30 ，点 E 在线段CB 的延长线上，   且AE  BE ，则 BD AE  _____________． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知b  c  2a ，3csin B  4asinC ．第 3 页 共 23 页 （Ⅰ）求 cos B 的值； 6（Ⅱ）求sin 2B  的值． 16．（本小题满分 13 分） 2设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不 3影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 ；X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 （Ⅱ）设 M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校 的天数恰好多 2”，求事件 17．（本小题满分 13 分） M 发生的概率． 如图， AE  平面 ABCD ，CF ∥ AE, AD∥BC ，AD  AB, AB  AD 1, AE  BC  2 ．（Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； 1（Ⅲ）若二面角 E  BD  F 的余弦值为 ，求线段CF 的长． 318．（本小题满分 13 分） x2 y2 5设椭圆 1(a  b  0) 的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 ．a2 b2 5（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 半轴上．若| ON || OF | PM 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负 （O为原点），且OP  MN ，求直线 PB 的斜率． 第 4 页 共 23 页 19．（本小题满分 14 分） 是等差数列， 设ab是等比数列．已知 a1  4,b  6，b2  2a2  2,b3  2a3  4 ．    nn1（Ⅰ）求 a和 b 的通项公式；    n n kk1 1, 2 n  2 , （Ⅱ）设数列 c满足 c 1,c  其中 k N* ．  n1nbk ,n  2k , （i）求数列 a2n c 1 的通项公式； 2n 2n （ii）求 a c nN* ．iii1 20．（本小题满分 14 分） 设函数 f (x)  ex cos x, g(x) 为f x的导函数．   （Ⅰ）求 f x的单调区间；     4 2 2（Ⅱ）当 x ,时，证明 f (x)  g(x)  x  0 ；42（ Ⅲ ） 设 xn 为 函 数 u(x)  f (x) 1在 区 间2n ,2n  内 的 零 点 ， 其 中nN ， 证 明 2e2n 2n  xn  ．sin x0  cos x0 第 5 页 共 23 页 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】D 【解析】 【分析】 (AC)  B 先求 ，再求 。A B AC {1,2} 【详解】因为 ，(AC)  B {1,2,3,4} 所以 .故选 D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即 借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2.设 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 yy  4x  z 目标函数的几何意义是直线 在轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值。 Ax  y  2  0, x  1 A(1,1) 由，得 ，第 6 页 共 23 页 z 4(1) 1 5 所以 。max 故选 C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 3. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 2【详解】 ，即 0  x  5 ，x 5x  0 x 1 1 x 1 1 等价于0  x  2，故 0  x  5 推不出 ；x 1 1 由能推出 0  x  5 。2| x 1|1 故“ ”是“ ”的必要不充分条件。 x 5x  0 故选 B。 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断； (2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个 方法特别适合以否定形式给出的问题． 第 7 页 共 23 页 4. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 1S 1,i  2  S  8,i  4 【详解】详解： j 1, S 1 22  5,i  3 ，8结束循环，故输出 。 故选 B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执 行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③ 要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 5. 【答案】D 【解析】 【分析】 AB  4 OF a,b,c 用只需把 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 by  x 【详解】 l的方程为 x  1，双曲线的渐近线方程为 ，abbA(1, ),B(1, ) 故得 所以 ，aa2b 2b AB   4 ，，b  2a ，aaca2  b2 a所以 。e   5 a故选 D。 2×2 y2 cb  【点睛】双曲线 的离心率 。1(a0,b0) e  1   a2 b2 aa  第 8 页 共 23 页 6【答案】A 【解析】 【分析】 10, ,1 利用利用 【详解】 等中间值区分各个数值的大小。 21a  log 2 log 5 ，552b  log 0.2 log 0.25 2 ，0.5 0.5 120 ，故 ，0.51  0.50.2  0.5  c 1 a  c  b 所以 。故选 A。 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。 17. 【答案】A 【解析】 【分析】 A,, 只需根据函数性质逐步得出 值即可。 f (x) f (0)  Asin  0 【详解】 为奇函数，可知 ，     0 由可得 ；1g(x)  Asin x 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 2，2g(x) 由的最小正周期为 2 可得  2 ，4g( ) 2 由，可得 ，A  2 3 83 4f (x)  2sin 2x f ( ) 2sin  2 所以 ，。故选 C。 【点睛】在 x  0处有定义的奇函数必有 f (0)  0 。第 9 页 共 23 页 8. 【答案】C 【解析】 【分析】 2(,1] (1,) a  0 先判断 时， 在上恒成立；若 x  aln x  0 在上恒成立，转化为 x  2ax  2a  0 x(1,) a  在上恒成立。 ln x f (0)  0 a  0 ，【详解】首先 ，即 当0  a 1时， f (x)  x2  2ax  2a  (x  a)2  2a  a2  2a  a2  a(2  a)  0 ，f (1) 1 0 当a 1时， ，2(,1] a  0 故当 时， 在上恒成立； x  2ax  2a  0 x(1,) (1,) a  若x  aln x  0 在上恒成立，即 在上恒成立， ln x ln x 1 xg ‘(x)  g(x)  令，则 ，(ln x)2 ln x x  e g(x) (1,) 在易知 为函数 唯一的极小值点、也是最小值点， g(x)  g(e)  e a  e 故，所以 。max a[0,e] 综上可知， 的取值范围是 故选 C。 。a  f (x) a  f (x) ,x D a  f (x) ；【点睛】 在上恒成立，等价于 在上恒成立，等价于 DDmin a  f (x)max , x D 。第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共 6小题. 5i i9. 是虚数单位，则 的值为________. 1 i 第 10 页 共 23 页 【答案】 13 【解析】 【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 5i (5i)(1i)  2 3i  13 【详解】解法一： 。1 i (1 i)(1i) 5i 1 i 5i 1 i 26  13 解法二： 。2【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R)的形 式，再根据题意求解． 8 18×3 10. 是展开式中的常数项为________. 2x  【答案】 28 【解析】 【分析】 r根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。 18×3 Tr1  C8r (2x)8r ( )r  (1)r 284r C8r x84r 【详解】 ，由8 4r  0 ，得 ，r = 2 (1)2 C2  28 故所求的常数项为 .8【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。 11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 52棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______. π【答案】 4【解析】 【分析】 第 11 页 共 23 页 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】四棱锥的高为 ，51  2 12的故圆柱 高为，圆柱的底面半径为 ，1214  故其体积为 。  1   2  【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 x  2  2cos, y 1 2sin ax  y  2  0 a（ 为参数）相切，则 的值为____. 12.设 ，直线 和圆 a R 3【答案】 4【解析】 【分析】 a根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。 (2,1) 【详解】圆心坐标为 ，圆的半径为 ， 22a 1  2 所以 即，a2 1 22，4a  4a 1 4a  4 3a  解得 。4【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出 判断。 (x 1)(2y 1) x  0, y  0, x  2y  5 13.设 ，则 的最小值为______. xy 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 2xy  6 把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。 第 12 页 共 23 页 2 2xy6 (x 1)(2y 1) 2xy  x  2y 1 2xy  6  4 3 【详解】 ，xy xy xy xy xy  3 x  3, y 1 等号当且仅当 ，即 时成立。 故所求的最小值为 。4 3 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。 14.在四边形 中， ，点 在线段 EABCD CB 的延长线上，且 AD∥BC, AB  2 3,AD  5, A  30   ，则 _________. AE  BE BD AE  【答案】 1 【解析】 【分析】 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】解法一：如图，过点 B作的平行线交 于，AE AD F因为 因为 ，故四边形 为菱形。 AE  BE AEBF   2BAD  30 AF  AD ，，所以 ，即 .AF  2 AB  2 3 5      2AE  FB  AB  AF  AB  AD 因为 所以 ，5      2 2 27273.BDAE  (AD  AB)(AB  AD)  ABAD  AB  AD  2 35 12 10  1 555525 3 5 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ，。B(2 3,0) D( , ) 22BAD  30 因为 ∥BC ，，所以 CBE  30 ，AD 第 13 页 共 23 页 BAE  30 ，因为 ，所以 AE  BE 33所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，BE y  (x  2 3) 3333直线 的斜率为 ，其方程为 。AE y   x333y  (x  2 3), 3y  1 由得，，x  3 3y   x3所以 所以 E( 3,1) 。  3 5 。BDAE  ( ,)( 3,1)  1 2 2 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为 方便。 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A, B,C a,b,c .已知 的所对 边分别为 15.在 中，内角 ，b  c  2a 3csin B  4asinC .VABC （Ⅰ）求 cos B 的值； 6sin 2B  （Ⅱ）求 的值. 163 5 7 cos B   【答案】（Ⅰ） 【解析】 （Ⅱ）sin 2B    416 第 14 页 共 23 页 【分析】 a,b,c (Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 cos B 的值 sin 2B,cos2B (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 a  2的值. bc【详解】（Ⅰ）解：在VABC 中，由正弦定理 ，得bsinC  csin B ，又由3csin B  4asinC sin B sinC 42b  a c  a ，，得3bsinC  4asinC ，即3b  4a .又因为b  c  2a ，得到 .由余弦定理可得 33416 a2  a2  a2 a2  c2 b2 1499cos B    .222a a 315 415 2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，从而 ，sin B  1 cos B  sin 2B  2sin Bcos B   87cos2B  cos2 B sin2 B   ，故 866615 37 1 3 5 7 sin 2B   sin 2Bcos  cos2Bsin      828 2 16 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 216.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响 3，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； XX（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30之前到校的天 M数恰好多 2”，求事件 发生的概率. M20 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 243 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望 公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 第 15 页 共 23 页 23【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30之前到校的概率均为 ，k3k 2321   P X k  Ck k  0,1,2,3 .X ~ B 3, 故，从面 3   33   所以，随机变量 的分布列为： X0123X148P27 927 2E(X )  3 2 随机变量 的数学期望 X.323Y ~ B 3, (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中 7:30之前到校的天数为 ，则 Y.M {X  3,Y 1}{X  2,Y  0} 且.X  3,Y 1 X  2,Y  0 由题意知事件 与互斥， X  3 Y 1 X  2 Y  0 且事件 与，事件 与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： P(M )  P X 3,Y 1  X  2,Y  0    P X 3,Y 1  P X 2,Y  0  P(X  3)P(Y 1)  P(X  2)P(Y  0) 2 420 81   .27 9 9 27243 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等 基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. CF ∥ AE, AD∥BC AD  AB, AB  AD 1, AE  BC  2 ，17.如图， 平面 ，.ABCD AE  第 16 页 共 23 页 （Ⅰ）求证： 平面 ；BF∥ ADE BDE （Ⅱ）求直线CE 与平面 所成角的正弦值； 1CF 的长. （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 3E  BD  F 487【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ） 9【解析】 【分析】 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 (Ⅰ)利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方程，解方程可 得 CF 的长度.    【详解】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 坐标系(如图)， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角 AB, AD, AE A 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C 1,2,0 ,D 0,1,0 ,E 0,0,2 .可得 第 17 页 共 23 页 CF  h h 0 F 1,2,h .设，则  AB  1,0,0 (Ⅰ)依题意， 是平面 ADE 的法向量，    BF  0,2,h 又，可得 ，BF  AB  0 又因为直线 BF  平面 ，所以 平面 .ADE BF∥ ADE    (Ⅱ)依题意， ，BD  (1,1,0), BE  (1,0,2), CE  (1,2,2) n  x, y, z 设则为平面 BDE 的法向量，  x  y  0 n  BD  0  ，即 ，x  2z  0 n  BE  0 n  2,2,1 不妨令 z=1，可得 ，    CE n 4  cosCE,n    因此有 .9| CE || n | 4所以，直线CE 与平面 所成角的正弦值为 . BDE 9  x  y  0 2y  hz  0 m BD  0  m  x, y, z (Ⅲ)设 为平面 BDF 的法向量，则 ，即 .m BF  0  2m  1,1, 不妨令 y=1，可得 .h2  4  mn   cos m,n  187h h  由题意，有 ，解得 .34m  n 3 2 h2 经检验，符合题意｡ 8的长为 . 7CF 所以，线段 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立 体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. x2 y2 518.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 B.1(a  b  0) Fa2 b2 5第 18 页 共 23 页 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 y轴的负半轴 xP为直线 与轴的交点，点 N在MPB | ON || OF | 上.若 （O为原点），且OP  MN ，求直线 的斜率. PB 2 30 52 30 5【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 或.【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意得到关于 a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点 P 的值，从而可得 OP 的斜率，然后利用斜率公式可得 MN 的斜率表达 式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. c2b  4,  a5222 ，可得 ，b=2， c【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意， ，又 a  b  c a  5 5c=1. 所以，椭圆方程为. P x , y x 0 ,M x ,0 k k 0 的(Ⅱ)由题意，设 P  .设直线 斜率为 ，PB PPMy  kx  2 2y2 B 0, 2 y  kx  2 又，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，PB x1 5420k 4  5k2 4  5k2 x2  20kx  0 x   整理得 ，可得 ，P810k2 4  5k2 y  kx  2 代入 得，yP  yP 4 5k2 进而直线OP 的斜率 y  kx  2 ，xP 10k 2.ky  0 x   在中，令 ，得 Mk.2N 0,1 ，所以直线 MN 的斜率为 由题意得 4 5k2 10k k   1 由OP  MN ，得 ，2第 19 页 共 23 页 24 52 30 5k2  化简得 ，从而 .k   2 30 2 30 所以，直线 的斜率为 或.PB 55【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. aba  4,b  6，b  2a  2,b  2a  4 19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 .nn112233ab（Ⅰ）求  和 的通项公式； nnkk1 1, 2 n  2 , *cc 1,c  （Ⅱ）设数列 满足 其中 .k N n1nbk ,n  2k , a2n c 1 2n （i）求数列 的通项公式； 2n （ii）求 a c nN* .iii1 bn  32n a  3n 1 a2n c 1  94n 1 2n 【 答 案 】 （ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ） （ i ） （ ii ） n2n a c nN*  2722n1  52n1  n 12 nN* iii1 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； a2n c 1 2n (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进 2n 行等价变形，结合等比数列前 n 项和公式可得 a ci 的值. ii1 qab【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 . nn6q  2 4 d  2  6  2d d  3 依题意得 ，解得 ，6q2  2 4 2d  4 12  4d q  2 b  62n1  32n a  4  (n 1)3  3n 1 故，.nn第 20 页 共 23 页 b  32n aa  3n 1 b所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .nnnna2n c 1  a b1  32n 1 32n 1  94n 1 (Ⅱ)(i) . 2n 2n nac 1 a2n c 1  94n 1 所以，数列 的通项公式为 .2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n (ii) a c a  a c1 a  ac 1 i  2i 2i    iiiiii1 i1 i1 i1 2n 2n 1 n3 n94i 1  2 4  2i1 4 1 4n  n  322n1  52n1  9 1 4  2722n1  52n1  n 12 n N* .【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想 和数列求和的基本方法以及运算求解能力. xf x  的导函数. 20.设函数 为f (x)  e cosx, g(x) f x （Ⅰ）求  的单调区间；   4 2 2x ,f (x)  g(x)  x … 0 （Ⅱ）当 时，证明 ；42x（Ⅲ）设 n 为函数 u(x)  f (x) 1 2m  ,2m  在区间 内的零点，其中 nN ，证明 2e2n 2n  xn  .sin x0  cos x0 3 442k  ,2k  (k Z), f (x) 【 答 案 】 （ Ⅰ ） 单 调 递 增 区 间 为 的 单 调 递 减 区 间 为 45 42k  ,2k  (k Z) .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 分析】 【第 21 页 共 23 页 f x (Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数  的单调区间； 2h x  f x g x (Ⅱ)构造函数      x h x ，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数  的最小值即可 证得题中的结论； y  x  2n (Ⅲ)令 ，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结 nn果. f ‘ x  ex cos x sin x 【详解】(Ⅰ)由已知，有   .45 4x 2k  ,2k  k Z f ‘ x  0 时，有sin x  cos x ，得   f x 当当，则  单调递减; 3 44x 2k  ,2k  k Z f ‘ x  0 时，有sin x  cos x ，得   f x ，则  单调递增. 3 44f x 2k  ,2k  k Z 所以，  的单调递增区间为 ，45 f x 2k  ,2k  k Z  的单调递减区间为 .42h x  f x g x  x g x  ex cos x sin x (Ⅱ)记       .依题意及(Ⅰ)有：   ，  4 2 从而 g ‘(x)  2ex sin x.当 时，   ，故 x ,g ‘ x  0 22h'(x)  f ‘(x)  g ‘(x)  x  g(x)(1)  g (x)  x  0 .  4 2 2  2      h x ,h(x)… h  f  0 因此，  在区间 上单调递减，进而 .      4 2 2x ,f (x)  g(x)  x … 0 所以，当 时， .exn cos x 1 u x f x 1 0 (Ⅲ)依题意， n  n  ，即 .n  4 2 y  x  2n y  ,记，则 .nnn第 22 页 共 23 页 yn f y e cosy  ex 2n cos x  2n  e2n n N n且由n  .nnf y e2n„ 1 f y n  y … y .n 0 0  及(Ⅰ)得   4 2   4 2 x ,g ‘ x  0 时，   g x ，所以   ,由(Ⅱ)知，当 在上为减函数， 4    g y„ g y g n  0   0 因此 .  2f y  g y  y … 0 又由(Ⅱ)知 n  n  ，故： n  f y n  n  2e2n e2n g y e2n e2n  yn„    „.ey sin y  cos y sin x0  cos x0 0g y g y n  e2n 0  0  02n  xn  所以 .2sin x0  cos x0 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想 和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力. 第 23 页 共 23 页