四川省乐山市 2021 年中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分． 1. A. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作 ，支出 5 元记作（ ）． D. 2 5 B. C. 3 5 元 元元7 元 B【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案． 5 【详解】根据题意得：支出 5 元记作 故选：B． 元【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解． 2. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、 亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）． 类型 健康亚健康 不健康 数据（人） 32 71745A. 32 B. 7 C. D. 10 D【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案． 32 40 4【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 故选：D． 5【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解． mn3. 某种商品 千克的售价为元，那么这种商品 8 千克的售价为（ ）nm8n 8m A. （元） B. （元） C. （元） D. （元） mn8m 8n A【答案】 【解析】 【分析】先求出 1 千克售价，再计算 8 千克售价即可； mn【详解】∵ 千克的售价为 元， n∴1 千克商品售价为 ，m8n ∴8 千克商品的售价为 故答案选 A． （元）； m【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键． l如图，已知直线 、 lll l ，则 的度数为（ 4. 、3 两两相交，且 ．若 ） 50 1213A. B. 130 C. 140 D. 120 150 C【答案】 【解析】 【分析】由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得 ，再根据三角形外角的性质即 1 50 140 可求得 【详解】 l l ．∵，31∴∠2=90°； ∵，1 50 1 2 50 90 140 ∴．故选 C． 【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决 问题的关键． l : y 2x 4 5. 如图，已知直线 与坐标轴分别交于 A、B两点，那么过原点 且将AOB 的面积平分的 O1l直线 2 的解析式为（ ）13y x y 2x y xy xA. B. C. D. 22D【答案】 【解析】 的【分析】根据已知解析式求出点 A、B 坐标，根据过原点 且将AOB 的面积平分列式计算即可； O【详解】如图所示， y 0 当时， ，2x 4 0 解得： ，x 2 A 2,0 ，∴y 4 当时， ，x 0 B 0,4 ∴，∵C 在直线 AB 上， C m,2m 4 设，1S OB xC ∴，△OBC 21S△OCA OA yC ，2l∵且将 的面积平分， AOB 2S S△OCA ∴∴∴，△OBC OB x OA y ，CC4m 2 2m 4 ，解得 m 1 C 1,2 ，，∴y kx l设直线 2 的解析式为 ，则，k 2 y 2x ∴；故答案选 D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 6. 如图是由 4 个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 后，其主视图是（ ）90 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转 看到的图形一样，由此即可解答． 后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面 90 【详解】把该几何体它在水平面内顺时针旋转 后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图 90 形一样， ∵该几何体的从右面看到的图形为 ，∴该几何体它在水平面内顺时针旋转 后，旋转后几何体的主视图为 ．90 故选 C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转 体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键． 后，旋转后几何 90 7. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板， 119 “”“”如图 所示．世纪传到国外，被称为 唐图 （意为 来自中国的拼图 ），图是由边长为 的正方形分割 24“”“制作的七巧板拼摆成的 叶问蹬 图．则图中抬起的 腿 （即阴影部分）的面积为（ ） ”7252A. 3 B. C. 2 D. A【答案】 【解析】 45【分析】根据由边长为 的正方形分割制作的七巧板，可得共 种图形，然后根据阴影部分的构成图形， 计算阴影部分面积即可． 4【详解】解：如下图所示，由边长为 的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形： ①腰长是 的等腰直角三角形， 2 2 ②腰长是 的等腰直角三角形， 2③④腰长是 的等腰直角三角形， 22边长是 的正方形， 和，顶角分别是 和 的平行四边形， ⑤边长分别是 245 135 22“”根据图 可知，图中抬起的腿 （即阴影部分）是由一个腰长是 的等腰直角三角形，和一个边长分别是 2，顶角分别是 和 的平行四边形组成， 2和45 135 2如下图示， 根据平行四边形的性质可知，顶角分别是 和 的平行四边形的高是 ，且 ，DB 45 135 DB 2 12∴ 2 2 1 一个腰长是 的等腰直角三角形的面积是： ，2顶角分别是 和 的平行四边形的面积是： ，45 135 2 2 2 ∴阴影部分的面积为：1 2 3 ，A故选： ． 【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键． 8. 如图，已知点 PF是菱形 ．若 的对角线 ，延长线上一点，过点 P分别作 、延长线的垂线，垂 ABCD AC DC AD 足分别为点 、，则 的值为（ ）ABC 120 EAB 2 PE PF 35A. B. C. D. 2322B【答案】 【解析】 1【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出 AC= ，则 AP= +PC，PE= AP= 2 3 2 3 2121+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到 PF= PC ，最后算出结果． 32【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形且∠ABC=120°，AB=2， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD， ∴∠CAE=30︒， ∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2， 22∴AC= ∴AP= ，2 2-1 =23 +PC， 2 3 在直角△AEP 中， ∵∠PAE=30°，AP= +PC， 2 3 11∴PE= AP= +PC， 322在直角△PFC 中， ∵∠PCF=30°， 1∴PF= PC， 2121∴=+PC- PC= ，PE PF 332故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边的一半，关键会在直角三角形中应用 30°． 29. P 如图，已知 ，，，与、均相切，点 P是线段 与抛物线 OA 6 OB 8 BC 2 OB AC y ax AB a的交点，则 的值为（ ）9211 2A. 4 B. C. D. 5 D【答案】 【解析】 y x 6 P 【分析】在 Rt△AOB 中，由勾股定理求得 ；再求得直线 AC 的解析式为 ；设 SAOP SAPB SBOP 求得 m=1，即可得点 的半 BC 10 S径为 m，可得 P（m，-m+6）；连接 PB、PO、PC，根据 AOB P 的坐标为（1，5）；再由抛物线 2 过点 P，由此即可求得 ．y ax a 5 【详解】在 Rt△AOB 中， ，OA 6 OB 8 ，2222∴∵；BC OA OB 6 8 10 ，OB 8 BC 2 ，∴OC=6， ∴C（0，6）； ∵，OA 6 ∴A（6，0）； 设直线 AC 的解析式为 y kx b ，6k b 0 b 6 ∴，k 1 b 6 解得 ，y x 6 ∴直线 AC 的解析式为 ；P P 设∵的半径为 m， 与相切， OB ∴点 P 的横坐标为 m， ∵点 P 在直线直线 AC 上， ∴P（m，-m+6）； 连接 PB、PO、PA， P ∵与、均相切， OB AB ∴△OBP 边 OB 上的高为 m，△AOB 边 AB 上的高为 m， ∵P（m，-m+6）； ∴△AOP 边 OA 上的高为-m+6， S SAOP SAPB SBOP ∵∴，AOB 1211168 6 m 6 10m 8m ，222解得 m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线 2 过点 P， y ax ∴．a 5 故选 D． P 【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出 的半径是解决问题 的关键． 3l如图，直线 与反比例函数 10. y (x 0) 的图象相交于 A、 B两点，线段 的中点为点 ，过点 CCAB 1xxll轴的垂线，垂足为点 ．直线过原点 和点 ．若直线2 上存在点 P(m,n) 作，满足 OCD2m n ，则 的值为（ ）APB ADB 32A. B. 3 或 C. 或3 5 3 5 D. 3 3 5 A【答案】 【解析】 y x m n A 1,3 B 3,1 l，直线 ： 2【分析】根据题意，得 ，；根据一次函数性质，得 ；根据勾股定理， 2C 2,2 得；连接 ，PB ，，根据等腰三角形三线合一性质，得 ，；OC AB PA FB PC 2 m 2 l根据勾股定理逆定理，得 ；结合圆的性质，得点 A、B、D、P 共圆，直线 2 和 AB 交于点 F， ABD 90 2点 F 为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得 ；分 PC PF FC 或PC PF FC FC 2两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 3333AC,3 B 3, A 1,3 B 3,1 ，【详解】根据题意，得 ，，即 l∵直线 过原点和点 O2y x ：l∴直线 2P(m,n) m n l在直线 2 上 ∵∴∴2PC 2 m 2 连接 PB ， ， PA FB ∴，线段 的中点为点 CPA PB C 2,2 AB ∴，OC AB x作 轴的垂线，垂足为点 D过点 CD 2,0 ∴∴22222，，AD 2 1 0 3 10 AB 13 31 2 2BD 3 2 1 2 222∴∴AD AB BD ABD 90 lA、B、D、P 共圆，直线 2 和 AB 交于点 F，点 F 为圆心 ∴点 BD AD 2∴cosADB 10 1FB FA AD ∵∴∵，AC BC 21BFC AFB 21APB AFB ，且 APB ADB 2∴APB ADB BFC FC FC 2cosAPB cosBFC ∴∴FB 10 210 2FC 2∴或PC PF FC PC PF FC 当PC PF FC 时， 和APB ADB 位于直线 两侧，即 APB ADB 180 AB ∴∴PC PF FC 不符合题意 10 22，且 m 2 PC PF FC 22∴∴，PC 2 m 2 2 2 m 10 222 2 m 235∴∴m 22m n 2m 3 5 故选：A． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识； 解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求 解． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． 011. 计算： __________． (2021 ) 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案． 0【详解】解： ．(2021 ) 1 故答案为：1． 【点睛】本题考查零指数幂，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 212. 因式分解： ________． 4a 9 (2a 3)(2a 3) 【答案】 【解析】 【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解． 【详解】解： 4a2 9 (2a)2 32 (2a 3)(2a 3) ＝．(2a 3)(2a 3) 故答案为： ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可 以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13. 如图是根据甲、乙两人 5 次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？________ （填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可． x【详解】解： 甲 =（7+6+9+6+7）÷5=7（环）， x乙 =（5+9+6+7+8）÷5=7（环）， s2 甲 =[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2， s2 乙 =[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2， ∵1.2＜2， ∴甲的成绩较为稳定， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数 据的稳定性是解答的关键． 30° 14. 如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点 处测得石碑顶 CA点的仰角为 ，她朝石 的长 ________米．（结果保 碑前行 5 米到达点 处，又测得石顶 A点的仰角为 ，那么石碑的高度 60 DAB 留根号） 5 3 2【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用 AB=sin60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60° ∴∠CAD=30° ∴△ADC 是等腰三角形， ∴DA=DC 又 DC=5 米 故 AD=5 米 在 Rt△ADB 中，∠ADB=60° 35 3 2∴AB=sin60°×AD= 米5 25 3 故答案为： 2【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 15. 在中， ．有一个锐角为 ，．若点 P在直线 AB上（不与点 、 重 RtABC C 90 60 AB 4 AB 合），且 ，则 的长为________． PCB 30 CP 【答案】 【解析】 或或 2 32 3 【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可． 详解】解：情形 1： A 60，则 【，B 30 ，∵∴∴，，PCB 30 ACP 60 是等边三角形， △ACP 1CP AC AB 2 ∴；2情形 2： ，则 A 30 ，，，B 60 BC 2 AC 2 3 ∵∴，PCB 30 CP AB ，11AC BC ABCP ∴，解得 ；CP 3 22情形 3： ，则 A 30 ，，，B 60 BC 2 AC 2 3 ∵∴，PCB 30 ；CP AC 2 3 故答案为： 或或 2． 32 3 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． A(4,3) y 2 C(0,n) ，的16. 如图，已知点 ，点 B为直线 上一动点，点 ，2 n 3 AC BC 于点 ，Cx与n连接 ．若直线 正半轴所夹的锐角为 ，那么当sin 的值最大时， 的值为________． AB AB 12【答案】 【解析】 【分析】设直线 y＝﹣2 与 y 轴交于 G，过 A 作 AH⊥直线 y＝﹣2 于 H，AF⊥y 轴于 F，根据平行线的性质 5GB n 2 得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到sin ，根据相似三角形的性质得到比例式 ，BA 3 n 41414125 2 于是得到 GB （n+2）（3﹣n） （n ），根据二次函数的性质即可得到结论． 216 【详解】解：如图，设直线 y＝﹣2 与 y 轴交于 G，过 A 作 AH⊥直线 y＝﹣2 于 H，AF⊥y 轴于 F， ∵BH∥x 轴， ∴∠ABH＝α， 522在 Rt△ABH 中， ,sin ，AB AH BH BA 55即sin =AH 2 BH 2 BA ∵sinα 随 BA 的减小而增大， ∴当 BA 最小时 sinα 有最大值；即 BH 最小时，sinα 有最大值，即 BG 最大时，sinα 有最大值， ∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°， ∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°， ∴∠GBC＝∠ACF， ∴△ACF∽△CBG， BG CG ∴∵即，CF AF A(4,3) C(0,n) ，BG n 2 ，3 n 414141225 16 2 ∴BG （n+2）（3﹣n） （n ），∵2 n 3 25 16 1时，BG 最大值 ∴当 n 212故答案为： ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得 △ACF∽△CBG 是解题的关键． 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分． x 3 2x 1 x17. 当取何正整数时，代数式 与的值的差大于 1 23【答案】1，2，3，4 【解析】 xx【分析】根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到 的取值范围；结合 为正整数，通过计算即可得 到答案． x +3 2x – 1 ->1 ，【详解】根据题意得： 23解得： x 5 xx∵∴为正整数， 为 1，2，3，4 时，代数式 x 3 2x 1 与的值的差大于 1． 23【点睛】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解． 18. 如图，已知 AB DC ，，与相交于点 ，求证：OBC OCB ．AC ODB A D 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，通过证明 即可得到答案． ，得 ，结合等腰三角形的性质， OB OC △ABO≌△DCO A D AOB DOC AB DC 【详解】∵ ，∴∴∴（AAS）， △ABO≌△DCO ，OB OC OBC OCB ．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的 性质，从而完成求解． AB2x 6 19. 已知 AB，求 、 的值． x 1 2 x (x 1)(x 2) 【答案】 【解析】 AB的值为 4， 的值为-2 【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案． ABA(x 2) B(x 1) 【详解】 ∴，x 1 2 x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) A(x 2) B(x 1) 2x 6 (x 1)(x 2) ，(x 1)(x 2) A(x 2) B(x 1) 2x 6 ∴即，(A B)x (2A B) 2x 6 ．A B 2 ∴，2A B 6 A 4 解得： B 2 ∴A的值为 4， B的值为 ．2 【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加 减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 四、本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分． 2x已知关于 的一元二次方程 20. ．x x m 0 m（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）二次函数 y x2 x m 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解． 2x x m 0 1x 1 x 2 ，m 【答案】（1） ；（2） 124【解析】 【分析】（1）根据△＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解 m 的取值范围即可； （2）根据二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是当 y=0 时对应一元二次函数的解，故将 x=1 代入方程中 求出 m 值，再代入一元二次方程中解方程即可求解． 【详解】解：（1）由题知 ， 1 4m 0 1m ∴．42（2）由图知 的一个根为 1， x x m 0 2∴，∴ ，m 2 1 1 m 0 2即一元二次方程为 ，x x 2 0 x 1 x 2 ，解得 ，122x 1 x 2 ，∴一元二次方程 的解为 ．x x m 0 12的【点睛】本题考查一元二次方程根 判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会 解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 21. 某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况， 并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图． （1）求这组数据的平均数和众数； （2）经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都到出零花钱的 20%，其余学生不参加捐款．请你估计 周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4 人中随机指定两 人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率． 2【答案】（1）平均数为 20.5；众数为 20；（2）3150 元；（3） 3【解析】 【分析】（1）根据众数和平均数的定义求解； （2）由图可知零花钱多于 15 元的学生有 12 人，可算出 12 人的零花钱平均数再计算这 12人的捐款额，即 可计算 1000人的捐款额； AABB、 2 ，列表后利用概率公式 （3）设捐款最多的两名学生分别为 、2 ，另一个学校的两名学生分别为 11求解可得． 51103 15 4 20 6 25 303 40 20.5 【详解】解：（1）平均数： ，20 众数：根据图可知有 6人零花钱是 20，故众数为 20 故答案为：20.5；20 （2）由图可知零花钱多于 15 元的学生有 12 人，则这 12 人的零花钱平均数为： 20 6 25 303 40 2 105 12 4105 412 20 20% 1000 3150 ∴周五这一天该校收到捐款数约为： （元）． AABB、 ， 2（3）设捐款最多的两名学生分别为 、2 ，另一个学校的两名学生分别为 11列表如下： AA2 B1 B2 1AA A2 A B A B2 11111A2 A2 A A2B A2B2 11B1 B2 B A A2B B1B2 111B2 A B2 A2 B2B 11∵由表可知，均等机会共 12 种，两人来自不同学校的结果有 8 种， 823P ∴这两人来自不同学校的概率 12 【点睛】本题考查的是条形统计图读懂统计图，平均数和众数的定义，用样本估计总体，同时考查了概率 公式，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． ky如图，直线 分别交轴， 轴于 xQ两点．若 22. y (k 0) lA、B两点，交反比例函数 的图象于 P、x，且AOB 的面积为 4 AB 2BP （1）求 的值； k△POQ 的面积． （2）当点 P的横坐标为 时，求 1 【答案】（1）-6；（2）8 【解析】 x【分析】（1）过 P作垂直于 轴，垂足为，证明 ABO∽APE ．根据相似三角形的性质可得 PE ESABO SAPE 49S 9 S 3 ．再由反比例函数比例系数 k 的几何意义即可 PEO ，，由此可得 ，AO 2OE APE 求得 k 值． （2）先求得 B(0,4) P(1,6) y 2x 4 ，，再利用待定系数法求得直线 PB 的解析式为 ．与反比例函数的 S SPOB SQOB 即可求解． Q(3,2) 解析式联立方程组，解方程组求得 ．再根据 POQ x垂直于 轴，垂足为 【详解】（1）过 P作，PE E∴∴PE//BO ，ABO∽APE ．S， 4 ∵∴，AB 2BP △AOB 2SABO SAPE 249 ，，AO 2OE 9 3SS 3 PED ∴∴，．APE 1| k | 6 | k | 3 ，，即 ．k 6 P(1,6) ．26 y （2）由（1）知 ，∴ xB(0,4) ．S 2 | BO | 4 ∵AB 2PB ，∴ ，∴ ，PBO y kx b 设直线 PB 的解析式为 ，6 k b b 4 B(0,4) y kx b ，得 P(1,6) 将点 解得 、．代入 ．k 2 b 4 y 2x 4 ∴直线 PB 的解析式为 ．6 xy x 3 x 1 ，联立方程组 ，解得 ，12y 2x 4 Q(3,2) ∴．11 4 4 8 ．S SPOB SQOB | OB | x x ∴P POQ Q22【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数 k 的几何意义是解决问题 的关键． 五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分． 23. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴 y趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 随时间 （分钟） x变化的函数图象如图所示，当 函数的一部分． 和0 x 10 10 x 20 时，图象是线段；当 时，图象是反比例 20 x 45 （1）求点 A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合 题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将 x=45 代入，即可得出 A 对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于 36 得出 52900 32 5x 20 36(0 x 10) 36(20 x 45) x 25 ，得出自变量的取值范围 ，即可得出结论 xkxky (x 0) (20,45) 在y 【详解】解：（1）令反比例函数为 ，由图可知点 的图象上， x∴，k 20 45 900 900 y ∴．将 x=45 代入 x将 x=45 代入得： 对应的指标值为 （2）设直线 900 45 20 点A．y kx b y kx b 中， A(0,20) B(10,45) 、的解析式为 ，将 代入 AB b 20 b 20 得，解得 ．510k b 45 k 25y x 20 ∴直线 的解析式为 ．AB 25x 20 36(0 x 10) 232 545 36(10 x 20) x 25 由题得 ，解得 ．900 36(20 x 45) x32 93 25 17 ∵，55∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问 题是中考的常考题型。 24. 如图，已知点 是以 C为直径的圆上一点， 是延长线上一点，过点 作D的垂线交 的AC DAB AB BD 延长线于点 ，连结 E，且CD ED ．CD O （1）求证： 是的切线； CD tanDCE 2 O （2）若 ，，求 的半径． BD 1 3【答案】（1）见解析；（2） 2【解析】 【分析】（1）连接 、BC ，根据已知条件证明 E OAC 90 ，ECD OCA 90 即可得解； OC 2（2）由（1）可得△DCB∽△DAC ，得到 ，令 AO r ，根据正切的定义列式求解即可； DC DA DB 【详解】解：（1）证明：连结 BC 、 ． OC ∵∴∵∴∴∴∴OC OA ，，DC DE E DCE ，．OCA OAC ，ED AD ADE 90 E OAC 90 DCB BCO 90 ，，ECD OCA 90 ，，O DC CO ，即 CD 是的切线． （2）由（1）知， DCB CAO ，又 CDB ADC ，∴△DCB∽△DAC ，DC DB 2∴，即 ．DC DA DB DA DC 2令即∵AO r ，∴ ．DC (2r 1) 1 ，即 ．DC 2r 1 tanDCE 2 DE 2r 1 AD DE tanE 2 ，即 ，2r 1 2r 1 2 ∴，3212r r 解得 或（舍）， 3O ∴的半径为 ．2【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键． 六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分． 25. 在等腰ABC 中， AB AC ，点 是BC 边上一点（不与点 B、C重合），连结 ．DAD （1）如图 1，若 ，点 关于直线 D的对称点为点 ，结 E，AE DE ，则 ．________； C 60° AB BDE （2）若 ，将线段 绕点 A顺时针旋转 得到线段 ，连结 BE AE C 60° 60 AD ①在图 2 中补全图形； ②探究 与BE 的数量关系，并证明； CD AB AD k （3）如图 3，若 ，且 ，试探究 BE 、、之间满足的数量关系，并证 ADE C AC BD BC DE 明． AC k(BD BE) 【答案】（1）30°；（2）①见解析；② ；见解析；（3） ，见解析 CD BE 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出△ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC 是等边三角形，再证明△AEB≌△ADC ，即可得出 CD BE AC BC （3）先证明 ，再证明 ，得出 ，从而证明 BAC EAD △ACB∽△ADE AD DE AC k(BD BE) △AEB≌△ADC ，得出 BD BE BC ，从而证明 【详解】解：（1）∵ ，AB AC C 60° ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点 关于直线 D的对称点为点 AB E∴AB⊥DE， 30° 30° ∴BDE 故答案为： ；（2）①补全图如图 2 所示； ②与CD BE 的数量关系为： ；CD BE BAC 60 证明：∵ ，．AB AC ∴为正三角形， ABC 又∵ 绕点 A顺时针旋转 ，60 AD ∴，，EAD 60 AD AE ∵∴∴∴，，BAD DAC 60 BAD BAE 60 BAE DAC △AEB≌△ADC ，，．CD BE （3）连接 ．AE AB AD AC AD k ∵∴，，∴ ．AB AC BC DE BC DE AC BC ．AD DE 又∵ ，ADE C ∴∴∴，△ACB∽△ADE ．∵ ，∴ AB AC ，BAC EAD AE AD BAD DAC BAD BAE ，∴∴∵∴，DAC BAE △AEB≌△ADC ，．CD BE BD DC BC ，BD BE BC ．AC k 又∵ ，BC AC k(BD BE) ∴．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进 行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 3212已知二次函数 y ax2 bx c的图象开口向上，且经过点 ，．A 0, B 2, 26. a（1）求 的值（用含 的代数式表示）； b（2）若二次函数 y ax2 bx c 在ya时， 的最大值为1，求 的值； 1 x 3 2 （3）将线段 向右平移 2 个单位得到线段 A B．若线段 A B与抛物线 仅有一 y ax bx c 4a 1 AB a个交点，求 的取值范围． 51434b 2a 1(a 0) a 【答案】（1） ；（2） ；（3） 6【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点 A、B 的坐标代入即可 y范围内， 的最大值只可能在 （2）根据抛物线图像分析得在 或x 3处取得，进行分类讨论 1 x 3 x 1 y y y y y y ①若 2 时，②若 2 ，③ 2 ，计算即可 111 （3）先利用待定系数法写出直线 AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段 A B与抛物线 172ax2 (2a 1)x 4a x 2仅有一个交点，即方程 在的范围内 y ax bx c 4a 1 2 x 4 2x 4 对应的函数值大于或等于即可． 仅有一个根，只需当 对应的函数值小于或等于 0，且 x 2 321【详解】（1）∵抛物线 y ax2 bx c过点 ，，A 0, B 2, 232c ∴，124a 2b c 3124a 2b ∴，．2b 2a 1(a 0) ∴32y ax2 (2a 1)x （2）由（1）可得 ，y的在当范围内， 最大值只可能在 或x 3处取得． 1 x 3 x 1 123y a y 3a 时， ，当 x 3时， ．x 1 1221321y y a 3a a ①若 2 时，即 时，得 ，12235a 1 a ∴，得 ．621321y y y y 0 1 a 3a a ②若 2 ，即 时，得 ，此时 ，，舍去． 112212132y y 0 a 时，得 a 3a ③2 ，即 12211a 1 a ，∴，舍去． 225a∴综上知， 的值为 ．6y mx n （3）设直线 的解析式为 ，AB 3212A 0, B 2, ∵直线 过点 ，，AB 32n m 1 ∴∴，∴ ，12m n 23y x ．2 向右平移 2 个单位得到线段 A B， 将线段 AB 37 A B y (x 2) y x ∴的解析式满足 ，即 ．222又∵抛物线的解析式为 ，y ax bx c 4a 1 1y ax2 (2a 1)x 4a ∴．22 又∵线段 A B与抛物线 在范围内仅有一个交点， y ax bx c 4a 1 2 x 4 172ax2 (2a 1)x 4a x 即方程 在的范围内仅有一个根， 2 x 4 22整理得 在的范围内仅有一个根， 2 x 4 ax 2ax 4a 3 0 2x的范围内与 轴仅有一个交点． 即抛物线 在y ax 2ax 4a 3 2 x 4 x 4 对应的函数值大于或等于即可． 只需当 对应的函数值小于或等于 0，且 x 2 3a a 即当时， 4a 4a 4a 3 0，得 ，x 2 x 4 a41时，16a 8a 4a 3 0，得 ，41434 a 综上 的取值范围为 ．【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与 x 轴的交点与方程的根的 情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
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