2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）下载

2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 2．（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（　　 ）A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种 3．（5 分）下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（　　）， p1：|z|=2， p2：z2=2i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为﹣1． A．p2，p3 4．（5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则 a1+a10=（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线 x= 6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a1，a2，… ，an，输出 A，B，则（　　） 第 1 页（共 32 页） A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数 C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的 第 2 页（共 32 页） 准线交于点 A 和点 B，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 9．（5 分）已知 ω＞0，函数 f（x）=sin（ωx+ ）在区间[ ，π]上单调递减， 则实数 ω 的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，2] 10．（5 分）已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为（　　） A． C． B． D． 11．（5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，△ABC 是边长 为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）设点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小 值为（　　） A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 　二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）已知向量 夹角为45°，且 ，则 =　 　． 14．（5 分）设 x，y 满足约束条件： ；则 z=x﹣2y 的取值范围为　 　第 3 页（共 32 页） ．15．（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工 作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单 位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立， 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为　 　． n16．（5 分）数列{an}满足 an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为　 　． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ．（12 分）已知 a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， acosC+ asinC﹣b﹣c=0 （1）求 A； （2）若 a=2，△ABC 的面积为 ；求b，c． 第 4 页（共 32 页） 18．（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以 每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求 量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． （i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分 布列、数学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝 ？请说明理由． 19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中 点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小． 第 5 页（共 32 页） 20．（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A∈C，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个 公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值． 21．（12 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2； （1）求 f（x）的解析式及单调区间； （2）若 ，求（a+1）b 的最大值． 　四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分，作答时请写清题号． 22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的 第 6 页（共 32 页） 外接圆于 F，G 两点，若 CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 23．选修 4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）．（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 24．已知函数 f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 　第 7 页（共 32 页） 2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【考点】12：元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x，y 进行赋值得出 B 中所有元素， 即可得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项 【解答】解：由题意，x=5 时，y=1，2，3，4， x=4 时，y=1，2，3， x=3 时，y=1，2， x=2 时，y=1 综上知，B 中的元素个数为 10 个 故选：D． 【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数． 　2．（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（　　 ）A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 第 8 页（共 32 页） 【专题】11：计算题． 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分 步计数原理，将各步结果相乘即可得结果 【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2 种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有 =6 种选法； 第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 故不同的安排方案共有 2×6×1=12 种 故选：A． 【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意 ，恰当分步是解决本题的关键，属基础题 　3．（5 分）下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（　　）， p1：|z|=2， p2：z2=2i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为﹣1． A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由 z= ==﹣1﹣i，知 ，，p3： z 的共轭复数为﹣1+i，p4：z 的虚部为﹣1，由此能求出结果． 【解答】解：∵z= ==﹣1﹣i， ∴，，p3：z 的共轭复数为﹣1+i， 第 9 页（共 32 页） p4：z 的虚部为﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 　4．（5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（　　） A． B． C． D． +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线 x= 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P 为 直线 x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 【解答】解：∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形， ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点 ∴∴故选：C． 第 10 页（共 32 页） 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于 基础题． 　5．（5 分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则 a1+a10=（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由 a4+a7=2，及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4，a7，进而可求公比 q，代入等比 数列的通项可求 a1，a10，即可 【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4，a7=﹣2 或 a4=﹣2，a7=4 当 a4=4，a7=﹣2 时， ∴a1=﹣8，a10=1， ∴a1+a10=﹣7 ，当 a4=﹣2，a7=4 时，q3=﹣2，则 a10=﹣8，a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得，a1+a10=﹣7 故选：D． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的 能力． 　6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a1，a2，… ，an，输出 A，B，则（　　） 第 11 页（共 32 页） A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数 C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是求出 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，…，an 中最大的数，B 为 a1，a2，…，an 中最小的数 故选：C． 第 12 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分 析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题． 　7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即 可． 【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3； 底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形， 此几何体的体积为 V= 故选：B． ×6×3×3=9． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算 能力． 　8．（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的 准线交于点 A 和点 B，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 第 13 页（共 32 页） 【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设等轴双曲线 C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x 的准线 l：x=﹣4，由 C 与 抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点， ，能求出 C 的实轴长． 【解答】解：设等轴双曲线 C：x2﹣y2=a2（a＞0）， y2=16x 的准线 l：x=﹣4， ∵C 与抛物线 y2=16x 的准线 l：x=﹣4 交于 A，B 两点， ∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ）， 将 A 点坐标代入双曲线方程得 =4， ∴a=2，2a=4． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖 掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 　9．（5 分）已知 ω＞0，函数 f（x）=sin（ωx+ ）在区间[ ，π]上单调递减， 则实数 ω 的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，2] 【考点】HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】法一：通过特殊值 ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项， 得到结果． 法二：可以通过角的范围，直接推导 ω 的范围即可． 【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D） 合题意 排除（B）（C） 法二：，第 14 页（共 32 页） 得： ．故选：A． 【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能 力． 　10．（5 分）已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为（　　） A． C． B． D． 【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】考虑函数 f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除 A，C，由 f（x） 的定义域能排除 D，这一性质可利用导数加以证明 【解答】解：设 则 g′（x）= ∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 ∴g（x）＜g（0）=0 ∴f（x）= ＜0 得：x＞0 或﹣1＜x＜0 均有 f（x）＜0 排除 A，C， 第 15 页（共 32 页） 又 f（x）= 故选：B． 中， ，能排除 D． 【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性 质的应用，排除法解图象选择题，属基础题 　11．（5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，△ABC 是边长 为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 OO1，进而求出底面 ABC 上的高 SD，即可计算出三棱锥的体积． 【解答】解：根据题意作出图形： 设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC， 延长 CO1 交球于点 D，则 SD⊥平面 ABC． ∵CO1= ∴OO1= =，=，∴高 SD=2OO1= ，∵△ABC 是边长为 1 的正三角形， ∴S△ABC =，∴V 三棱锥 S﹣ABC ==．故选：C． 第 16 页（共 32 页） 【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离． 　12．（5 分）设点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小 值为（　　） A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由于函数 与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，要 上的点 到直线y=x 的距离 求|PQ|的最小值，只要求出函数 为的最小值， ，利用导数可求函数 g（x）的单调性，进而可求 g（x）的最小 设 g（x）= 值，即可求． 【解答】解：∵函数 与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称， 函数 上的点 （x＞0），则 ≥0 可得 x≥ln2， 到直线 y=x 的距离为 ，设 g（x）= 由，第 17 页（共 32 页） 由＜0 可得 0＜x＜ln2， ∴函数 g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增， ∴当 x=ln2 时，函数 g（x）min=1﹣ln2， ，由图象关于 y=x 对称得：|PQ|最小值为 故选：B． ．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思 想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构 造很好 　二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）已知向量 夹角为 45°，且 ，则 =　3 　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹 角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【 分 析 】 由 已 知 可 得 ， |2 |= =， 代 入 可求 ===【解答】解：∵ ∴，=1 =∴|2 |= ===解得 故答案为：3 【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |= 第 18 页（共 32 页） 是求解向量的模常用的方法 　14．（5 分）设 x，y 满足约束条件： ；则 z=x﹣2y 的取值范围为　　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 z=x﹣2y 可得，y= ，则﹣ 表示直线 x﹣2y﹣z=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形 可求 z 的最大与最小值，从而可求 z 的范围 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由 z=x﹣2y 可得，y= 距越大，z 越小 ，则﹣ 表示直线 x﹣2y﹣z=0 在 y 轴上的截距，截 结合函数的图形可知，当直线 x﹣2y﹣z=0 平移到 B 时，截距最大，z 最小；当直 线 x﹣2y﹣z=0 平移到 A 时，截距最小，z 最大 由可得 B（1，2），由 可得 A（3，0） ∴Zmax=3，Zmin=﹣3 则 z=x﹣2y∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3] 第 19 页（共 32 页） 【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键 是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想， 分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 　15．（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工 作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单 位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立， 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为　． 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的 概率为 ，而所求事件“该部件的使用寿命超过 1000 小时”当且仅当“超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时，元件 3 正常” 同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可 【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N（1000，502） 第 20 页（共 32 页） 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 设 A={超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常}，B={超过 1000 小时 时，元件 3 正常} C={该部件的使用寿命超过 1000 小时} 则 P（A）= ，P（B）= P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= × = 故答案为 【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立 事件的概率运算等基础知识，属基础题 　n16．（5 分）数列{an}满足 an+1+（﹣1） an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为　1830　 ．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11 ，…a50﹣a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2， a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前 60 项和 【解答】解：∵an+1+（﹣1）n an=2n﹣1， 故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97 ．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2 ，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列． 第 21 页（共 32 页） {an}的前 60 项和为 15×2+（15×8+ ）=1830 【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前 n 项和，属 中档题． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ．（12 分）已知 a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， acosC+ asinC﹣b﹣c=0 （1）求 A； （2）若 a=2，△ABC 的面积为 ；求b，c． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到 sin（A﹣30°）= ．即 可求出 A 的值； （2）若 a=2，由△ABC 的面积为 ，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得 b+c=4 ．②，结合①②求得 b 和 c 的值． 【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+ asinC﹣b﹣c=0， 即 sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC ∴sinAcosC+ sinAsinC=sin（A+C）+sinC， 即sinA﹣cosA=1 ∴sin（A﹣30°）= ． ∴A﹣30°=30° ∴A=60°； （2）若 a=2，△ABC 的面积= ，∴bc=4．① 再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA 第 22 页（共 32 页） =（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4， ∴b+c=4．② 结合①②求得 b=c=2． 【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用 ，是中档题． 　18．（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以 每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求 量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． （i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分 布列、数学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝 ？请说明理由． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（1）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建 立分段函数； （2）（i）X 可取 60，70，80，计算相应的概率，即可得到 X 的分布列，数学期 望及方差； （ii）求出进 17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可 得到结论． 【解答】解：（1）当 n≥16 时，y=16×（10﹣5）=80； 第 23 页（共 32 页） 当 n≤15 时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得： （2）（i）X 可取 60，70，80，当日需求量 n=14 时，X=60，n=15 时，X=70，其 他情况 X=80， P（X=60）= ==0.1，P（X=70）= 0.2，P（X=80 ）=1﹣0.1﹣0.2=0.7， X 的分布列为 XP60 70 80 0.1 0.2 0.7 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76 DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44 （ii）购进 17 枝时，当天的利润的期望为 y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2× 5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4 ∵76.4＞76，∴应购进 17 枝 【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考 查学生利用数学知识解决实际问题的能力． 　19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中 点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小． 第 24 页（共 32 页） 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法． 菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（1）证明 DC1⊥BC，只需证明 DC1⊥面 BCD，即证明 DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明 BC⊥面 ACC1A1，可得 BC⊥AC 取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OH⊥BD 于 点 H，连接 C1O，C1H，可得点 H 与点 D 重合且∠C1DO 是二面角 A1﹣BD﹣C1 的平面角，由此可求二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小． 【解答】（1）证明：在 Rt△DAC 中，AD=AC，∴∠ADC=45° 同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90° ∴DC1⊥DC，DC1⊥BD ∵DC∩BD=D ∴DC1⊥面 BCD ∵BC⊂面 BCD ∴DC1⊥BC （2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面 ACC1A1， ∵AC⊂面 ACC1A1，∴BC⊥AC 取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OH⊥BD 于点 H，连接 C1O，OH ∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1， ∵面 A1B1C1⊥面 A1BD，面 A1B1C1∩面 A1BD=A1B1， 第 25 页（共 32 页） ∴C1O⊥面 A1BD 而 BD⊂面 A1BD ∴BD⊥C1O， ∵OH⊥BD，C1O∩OH=O， ∴BD⊥面 C1OH∴C1H⊥BD，∴点 H 与点 D 重合且∠C1DO 是二面角 A1﹣BD﹣C1 的平面角 设 AC=a，则 ∴sin∠C1DO= ∴∠C1DO=30° ，，即二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小为 30° 【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定， 正确作出面面角，属于中档题． 　20．（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A∈C，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个 公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值． 【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 第 26 页（共 32 页） 【分析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的 距 离 ， 由 △ ABD 的 面 积S =△ ABD ， 知 =，由此能求出圆 F 的方程． （2）由对称性设 ，则 点 A，B 关于点 F 对称得： ，得： ，由此能求出坐标 原点到 m，n 距离的比值． 【解答】解：（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离 ∵△ABD 的面积 S△ABD ，=，∴=，解得 p=2，所以 F 坐标为（0，1）， ∴圆 F 的方程为 x2+（y﹣1）2=8． （2）由题设 ，则 ，∵A，B，F 三点在同一直线 m 上， 又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称． 由点 A，B 关于点 F 对称得： 得：，直线，切点 直线 坐标原点到 m，n 距离的比值为 ．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简 单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理 第 27 页（共 32 页） 地进行等价转化． 　21．（12 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2； （1）求 f（x）的解析式及单调区间； （2）若 ，求（a+1）b 的最大值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想． 【分析】（1）对函数 f（x）求导，再令自变量为 1，求出 f′（1）得到函数的解 析式及导数，再由导数求函数的单调区间； （2）由题意 ，借助导数求出新函数的 最小值，令其大于 0 即可得到参数 a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值 【解答】解：（1）f（x）=f’（1）ex﹣1﹣f（0）x+ ⇒f’（x）=f’（1）ex﹣1﹣f（ 0）+x 令 x=1 得：f（0）=1 ∴f（x）=f’（1）ex﹣1﹣x+ 令 x=0，得 f（0）=f’（1）e﹣1=1 解得 f’（1）=e 故函数的解析式为 f（x）=ex﹣x+ 令 g（x）=f’（x）=ex﹣1+x ∴g’（x）=ex+1＞0，由此知 y=g（x）在 x∈R 上单调递增 当 x＞0 时，f’（x）＞f’（0）=0；当 x＜0 时，有 f’（x）＜f’（0）=0 得： 函数 f（x）=ex﹣x+ 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞， 0） （2）f（x）≥ ﹣（a+1）x﹣b≥0 得 h′（x）=ex﹣（a+1） ①当 a+1≤0 时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在 x∈R 上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣ 第 28 页（共 32 页） ∞与 h（x）≥0 矛盾 ②当 a+1＞0 时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h’（x）＜0⇔x＜ln（a+1） 得：当 x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1 ）﹣（a+1）ln（a+1）≥b ∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0） 令 F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则 F’（x）=x（1﹣2lnx） ∴F’（x）＞0⇔0＜x＜ 当 x= 时，F（x）max =即当 a= 时，（a+1）b 的最大值为 【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题 的关键是第一题中要赋值求出 f′（1），易因为没有将 f′（1）看作常数而出错 ，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考 查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易 马虎出错． 　四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分，作答时请写清题号． 22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F，G 两点，若 CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 第 29 页（共 32 页） 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（1）根据 D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DE∥BC，证明 四边形 ADCF 是平行四边形，即可得到结论； （2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD． 【解答】证明：（1）∵D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点 ∴DF∥BC，AD=DB ∵AB∥CF，∴四边形 BDFC 是平行四边形 ∴CF∥BD，CF=BD ∴CF∥AD，CF=AD ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∴AF=CD ∵，∴BC=AF，∴CD=BC． （2）由（1）知 ，所以 ．所以∠BGD=∠DBC． 因为 GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC． 所以△BCD～△GBD． 【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似， 属于基础题． 　23．选修 4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶 第 30 页（共 32 页） 点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）．（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL： 椭圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）确定点 A，B，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标 ；（ 2 ） 利 用 参 数 方 程 设 出P 的 坐 标 ， 借 助 于 三 角 函 数 ， 即 可 求 得 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 点A ， B ， C ， D 的 极 坐 标 为 点 A，B，C，D 的直角坐标为 （2）设 P（x0，y0），则 为参数） t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4×2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0，1] ∴t∈[32，52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中 档题． 　24．已知函数 f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 第 31 页（共 32 页） 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式． 【分析】①不等式等价于 ，或 ，或 ，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求． ②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=﹣3 时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即 ，可得 x≤1； ，可得 x∈∅； ，可得 x≥4． 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}． （2）原命题即 f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1 ，2]上恒成立， 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x≤2 时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为[﹣3，0]． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价 的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 第 32 页（共 32 页）