2014年江苏高考数学试题及答案下载

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  • 最近更新2022年10月14日



2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 一、填空题:本大题共 14小题,每小题 5分,共计 70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. 已知集合 A={ 2,1,3,4 }, B {1,2,3},则 A  B  ▲ . 开始 n  0 2. 已知复数 z  (5  2i)2 (i 为虚数单位),则 z的实部为 ▲ . n  n 1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n的值是 ▲ . N2n  20 Y4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 输出 n ▲.结束 5. 已知函数 y  cos x 与 y  sin(2x  ) (0≤   ),zxxk 它们的图象有一个横坐标为 (第 3 题) 3的交点,则 的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲株树木的底部周长小于 100cm. 频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 130 120 底部周长/cm 80 100 110 90 (第 6 题) 7. 在各项均为正数的等比数列{an } 中, a2 1, a8  a6  2a4 ,则 a6 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 ,S2 ,体积分别为V1 ,V2 ,若它们的侧面积相等, S1 S2 V1 V2 94且,则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x  2y  3  0 被圆 (x  2)2  (y 1)2  4 截得的弦长为 ▲.10. 已知函数 f (x)  x2  mx 1, 若对于任意 x[m, m 1] ,都有 f (x)  0成立,则实数 值范围是 m的取 ▲.b11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y  ax2  (a,b 为常数) zxxk 过点 P(2,5) ,且该曲 x线在点 P 处的切线与直线 7x  2y  3  0 平行,则 a  b 的值是 ▲.12. 如 图 , 在 平 行 四 边 形ABCD 中 , 已 知AB  8 ,PDCAD  5 , , CP  3PD AP  BP  2,则 AB  AD 的值 是▲.AB(第 12 题) 13. 已 知f (x) 是 定 义 在R 上 且 周 期 为3 的 函 数 , 当 1x[0,3) 时, f (x) | x2  2x  |.若函数 y  f (x)  a 在区间 [3,4]上有 10 个零点(互不 2相同),则实数 a的取值范围是 ▲ . 14. 若△ ABC 的内角满足sin A  2 sin B  2sin C ,则 cosC 的最小值是 ▲.二、解答题:本大题共 6小题,共计 90分.请在答题卡指定区域内作答,学科网解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 25已知 ( , ) ,sin  .5(1)求sin(  ) 的值; 45 6(2)求 cos(  2) 的值. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P  ABC 中, PA  AC PA  6, BC  8, DF  5. D,E ,F 分 zxxk 别为棱 PC, AC, AB 的中点. 已知 ,求证: (1)直线 PA// 平面 DEF ;(2)平面 BDE  平面 ABC .PDEACFB(第16题) 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1, F2 分别是椭圆 x2 y3 a2 b2 1(a  b  0) 的左、右焦点, 顶点 B的坐标为 (0,b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C .4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ),且 BF2  2 ,求椭圆的方程; 3 3 y(2)若 F1C  AB, 求椭圆离心率 e 的值. BCOxF1 F2 A(第 17 题) 18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划 要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正 4北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan BCO  .3(1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 北BA60 m MOC170 m 东(第 18 题) 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)  ex  ex ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f (x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 (3)已知正数 的大小,并证明你的结论. x的不等式 mf (x) ≤ex  m 1 在(0,) 上恒成立,学科网求实数 m的取值范围; ae1 a满足:存在 x0 [1,) ,使得 f (x0 )  a(x03  3×0 ) 成立.试比较 ea1 与20.(本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 Sn  am ,则称{an } 是“H 数列”. (1)若数列{an } 的前 n 项和 Sn  2n (2)设{an } 是等差数列,其首项 a1 1,公差 d  0 .若{an } 是“H 数列”,求 (3)证明:对任意的等差数列{an } ,总存在两个“H 数列”{bn } {cn } ,使得 an  bn  cn nN )成立. nn m 项和为 Sn .若对任意正整数 ,学科网总存在正整数,使得 (nN ),证明: {an } 是“H 数列”; d的值; 和(三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括 21、22、23、24 四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修 4-1:几 何证明选讲】 21.(10 分)(2014•江苏)如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点,证明:∠OCB=∠D.  【选修 4-2:矩阵与变换】 22.(10 分)(2014•江苏)已知矩阵 A= ,B= ,向量 =,x,y 为 实数,若 A =B ,求 x+y 的值.  【选修 4-3:极坐标及参数方程】 23.(2014•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. (t 为  【选修 4-4:不等式选讲】 24.(2014•江苏)已知 x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.  (二)必做题(本部分包括 25、26 两题,每题 10 分,共计 20 分) 25.(10 分)(2014•江苏)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这 些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随 机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X).  26.(10 分)(2014•江苏)已知函数 f0(x)= (x>0),设 fn(x)为 fn﹣1(x)的 导数,n∈N*. (1)求 2f1( )+ f2( )的值; (2)证明:对任意 n∈N*,等式|nfn﹣1 ()+ fn( )|= 都成立. 2014 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析  一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.(5 分)(2014•江苏)已知集合 A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则 A∩B= {﹣1 ,3} . 考点:交集及其运算.菁优网版权所有 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算即可得到结论. 解:∵A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3}, 解答: ∴A∩B={﹣1,3}, 故答案为:{﹣1,3} 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.  2.(5 分)(2014•江苏)已知复数 z=(5+2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为 21 . 考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的有关概念,即可得到结论. 解:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i, 解答: 故 z 的实部为 21, 故答案为:21 点评:本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础.  3.(5 分)(2014•江苏)如图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 5 . 考点:程序框图.菁优网版权所有 专题:算法和程序框图. n分析: 算法的功能是求满足 2 >20 的最小的正整数 n 的值,代入正整数 n 验证可得答案. n解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求满足 2 >20 的最小的正整数 n 的值, ∵24=16<20,25=32>20, ∴输出 n=5. 故答案为:5. 点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键.  4.(5 分)(2014•江苏)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数,则所取 2 个数 的乘积为 6 的概率是 . 考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 专题:概率与统计. 分析:首先列举并求出“从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数”的基本事件的个数 再从中找到满足“所取 2 个数的乘积为 6”的事件的个数,利用概率公式计算即可. 解答:解:从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数的所有基本事件有(1,2),(1 ,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)共 6 个, 所取 2 个数的乘积为 6 的基本事件有(1,6),(2,3)共 2 个, 故所求概率 P= .故答案为: . 点评:本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件.  5.(5 分)(2014•江苏)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一 个横坐标为 的交点,则φ 的值是 . 考点:三角方程;函数的零点.菁优网版权所有 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 由于函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为 的交点,可得 = .根据 φ 的范围和正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为 的交点, ∴= . ∵0≤φ<π,∴ ,∴+φ= 解得 φ= 故答案为: ,..点评:本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题.  6.(5 分)(2014•江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的 底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的 60 株树木中,有 24 株树木的底部周长小于 100cm. 考点:频率分布直方图.菁优网版权所有 专题:概率与统计. 分析:根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于 100cm 的频率,再根据 频数=样本容量×频率求出底部周长小于 100cm 的频数. 解答:解:由频率分布直方图知:底部周长小于 100cm 的频率为(0.015+0.025)×10=0.4, ∴底部周长小于 100cm 的频数为 60×0.4=24(株). 故答案为:24. 点评:本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高× 组距= . 7.(5 分)(2014•江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的 值是 4 . 考点:等比数列的通项公式.菁优网版权所有 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q>0,a1>0. ∵a8=a6+2a4, ∴,化为 q4﹣q2﹣2=0,解得 q2=2. ∴a6= =1×22=4. =故答案为:4. 点评:本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.  8.(5 分)(2014•江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2, 若它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是  . 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有 专题:立体几何. 分析:设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比. 解答:解:设两个圆柱的底面半径分别为 R,r;高分别为 H,h; ∵= , ∴∴,它们的侧面积相等, ,∴=== . 故答案为: . 点评:本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目.  29.(5 分)(2014•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y﹣3=0 被圆(x﹣2)+(y+1 )2=4 截得的弦长为   . 考点:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 专题:直线与圆. 求出已知圆的圆心为 C(2,﹣1),半径 r=2.利用点到直线的距离公式,算出点 C 分析: 到直线直线 l 的距离 d,由垂径定理加以计算,可得直线 x+2y﹣3=0 被圆截得的弦长. 解:圆(x﹣2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C(2,﹣1),半径 r=2, 解答: ∵点 C 到直线直线 x+2y﹣3=0 的距离 d= =,∴根据垂径定理,得直线 x+2y﹣3=0 被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 2 =2 =故答案为: .点评:本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、 圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.  10.(5 分)(2014•江苏)已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f( x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是 (﹣ ,0) . 考点:二次函数的性质.菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用. 分析: 由条件利用二次函数的性质可得 ,由此 求得 m 的范围. 解:∵二次函数 f(x)=x2+mx﹣1 的图象开口向上, 解答: 对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,∴ ,即,解得﹣ <m<0, 故答案为:(﹣ ,0). 点评:本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.  11.(5 分)(2014•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过 点 P(2,﹣5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 ﹣3 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 专题:导数的概念及应用. 分析: 由曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,﹣5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,可得 y|x=2=﹣5,且 y′|x=2 =,解方程可得答案. 解答: 解:∵直线 7x+2y+3=0 的斜率 k= ,曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,﹣5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行, ∴y′=2ax﹣ ,∴,解得: ,故 a+b=﹣3, 故答案为:﹣3 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到 y|x=2=﹣5 点评: ,且 y′|x=2 =,是解答的关键.  12.(5 分)(2014•江苏)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, =3 =2,则 的值是 22 . ,••考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:平面向量及应用. 分析: 由=3 ,可得 =+,=﹣,进而由 AB=8,AD=5, =3 ,•=2,构造方程,进而可得答案. 解答: 解:∵ =3 ,,∴=+=﹣,又∵AB=8,AD=5, =( ∴•+)•( ﹣)=| |2﹣ •﹣||2=25﹣ •﹣12=2, 故•=22, 故答案为:22. 点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得 到=+,=﹣,是解答的关键.  13.(5 分)(2014•江苏)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时, f(x)=|x2﹣2x+ |,若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实 数 a 的取值范围是 (0, ) . 考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用. 分析:在同一坐标系中画出函数的图象与直线 y=a 的图象,利用数形结合判断 a 的范围即可 .解答: 解:f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同),在同一坐标系中画 出函数 f(x)与 y=a 的图象如图:由图象可知 故答案为:(0, ). .点评:本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用.  14.(5 分)(2014•江苏)若△ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是   . 考点:余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析:根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论. 解答: 解:由正弦定理得 a+ b=2c,得 c= (a+ b), 由余弦定理得 cosC= ===≥=,当且仅当 故时,取等号, ≤cosC<1,故 cosC 的最小值是 .故答案为: .点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,利用基本不等式是解决本题的关键.  二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.(14 分)(2014•江苏)已知 α∈( ,π),sinα= (1)求 sin( +α)的值; .(2)求 cos( ﹣2α)的值. 考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.菁优网版权所有 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin( +α)的值; (2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( ﹣2α)的值. 解答: 解:α∈( ,π),sinα= .∴cosα=﹣ =(1)sin( +α)=sin cosα+cos sinα= =﹣ ;∴sin( +α)的值为:﹣ .(2)∵α∈( ,π),sinα= .∴cos2α=1﹣2sin2α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ ∴cos( ﹣2α)=cos cos2α+sin sin2α= =﹣ .cos( ﹣2α)的值为:﹣ .点评:本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.  16.(14 分)(2014•江苏)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析:(1)由 D、E 为 PC、AC 的中点,得出 DE∥PA,从而得出 PA∥平面 DEF; (2)要证平面 BDE⊥平面 ABC,只需证 DE⊥平面 ABC,即证 DE⊥EF,且 DE⊥AC 即可. 解答:证明:(1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA⊄平面 DEF,DE⊂平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF; (2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3; 又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4; ∴DE2+EF2=DF2, ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE⊂平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 点评:本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间 的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目.  17.(14 分)(2014•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆 +=1 (a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过 点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为( , ),且BF2= ,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.菁优网版权所有 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出 a,b 的值. (2)求出 C 的坐标,利用 F1C⊥AB 建立斜率之间的关系,解方程即可求出 e 的值. 解答: 解:(1)∵C 的坐标为( , ), ∴∵,即 ,,∴a2=( )2=2,即 b2=1, 则椭圆的方程为 +y2=1. (2)设 F1(﹣c,0),F2(c,0), ∵B(0,b), ∴直线 BF2:y=﹣ x+b,代入椭圆方程 +=1(a>b>0)得( )x2﹣ =0, 解得 x=0,或 x= ,∵A( ∴C( ,),且 A,C 关于 x 轴对称, ,﹣ ), 则=﹣ =,∵F1C⊥AB, ∴×( )=﹣1, 由 b2=a2﹣c2 得 ,即 e= .点评:本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜 率之间的关系,运算量较大.  18.(16 分)(2014•江苏)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一 个圆形保护区,规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),tan∠BCO= .(1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 考点:圆的切线方程;直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 专题:直线与圆. 分析:(1)在四边形 AOCB 中,过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F,设出 AF,然 后通过解直角三角形列式求解 BE,进一步得到 CE,然后由勾股定理得答案; (2)设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P,设 OM=xm,把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示,再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式 求得 x 的范围,得到 x 取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大. 解答:解:(1)如图, 过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F, ∵∠ABC=90°,∠BEC=90°, ∴∠ABF=∠BCE, ∴.设 AF=4x(m),则 BF=3x(m). ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°, ∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m), ∴BE=(3x+60)m. ∵,∴CE= (m). (m). ∴∴,解得:x=20. ∴BE=120m,CE=90m, 则 BC=150m; (2)如图, 设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P, ∵∠POM=∠PQC=90°, ∴∠PMO=∠BCO. 设 OM=xm,则 OP= m,PM= m. ∴PC= m,PQ= m. 设⊙M 半径为 R, ∴R=MQ= m= m. ∵A、O 到⊙M 上任一点距离不少于 80m, 则 R﹣AM≥80,R﹣OM≥80, ∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80. 解得:10≤x≤35. ∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值. ∴OM=10m 时,保护区面积最大. 点评:本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解,是 中档题.  19.(16 分)(2014•江苏)已知函数 f(x)=ex+e﹣x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e﹣x+m﹣1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围 ;3(3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(﹣x0 +3×0)成立,试比较 ea﹣1 与 ae﹣1 的大小,并证明你的结论. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有 专题:导数的综合应用. 分析:(1)根据函数奇偶性的定义即可证明 f(x)是 R 上的偶函数; (2)利用参数分离法,将不等式 mf(x)≤e﹣x+m﹣1 在(0,+∞)上恒成立,进行 转化求最值问题即可求实数 m 的取值范围; (3)构 u 造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即 可得到结论. 解答: 解:(1)∵f(x)=ex+e﹣x ,∴f(﹣x)=e﹣x+ex=f(x),即函数:f(x)是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e﹣x+m﹣1 在(0,+∞)上恒成立, 即 m(ex+e﹣x﹣1)≤e﹣x﹣1, ∵x>0, ∴ex+e﹣x﹣1>0, 即 m≤ 在(0,+∞)上恒成立, 设 t=ex,(t>1),则 m≤ 在(1,+∞)上恒成立, =﹣ ∵=﹣ ,当且仅当 t=2 时等号成立, ∴m .(3)令 g(x)=ex+e﹣x﹣a(﹣x3+3x), 则 g′(x)=ex﹣e﹣x+3a(x2﹣1), 当 x>1,g′(x)>0,即函数 g(x)在[1,+∞)上单调递增, 故此时 g(x)的最小值 g(1)=e+ ﹣2a, 3由于存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(﹣x0 +3×0)成立, 故 e+ ﹣2a<0, 即 a> (e+ ), 令 h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1, 则 h′(x)=1﹣ 由 h′(x)=1﹣ ,=0,解得 x=e﹣1, 当 0<x<e﹣1 时,h′(x)<0,此时函数单调递减, 当 x>e﹣1 时,h′(x)>0,此时函数单调递增, ∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为 h(e﹣1), 注意到 h(1)=h(e)=0, ∴当 x∈(1,e﹣1)⊆(0,e﹣1)时,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0, 当 x∈(e﹣1,e)⊆(e﹣1,+∞)时,h(x)<h(e)=0, ∴h(x)<0,对任意的 x∈(1,e)成立. ①a∈( (e+ ),e)⊆(1,e)时,h(a)<0,即 a﹣1<(e﹣1)lna,从而 ea﹣1 <ae﹣1 ,②当 a=e 时,ae﹣1=ea﹣1 ,③当 a∈(e,+∞)⊆(e﹣1,+∞)时,当 a>e﹣1 时,h(a)>h(e)=0,即 a﹣1> (e﹣1)lna,从而 ea﹣1>ae﹣1 .点评:本题主要考查函数奇偶性的判定,函数单调性和最值的应用,利用导数是解决本题的 关键,综合性较强,运算量较大.  20.(16 分)(2014•江苏)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正 整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N* )成立. 考点:数列的应用;等差数列的性质.菁优网版权所有 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”即可得到 an,再利用“H”数列 的意义即可得出. (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn,对∀n∈N*,∃m∈N*使 Sn=am,取 n=2 和 根据 d<0 即可得出; (3)设{an}的公差为 d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,cn=(n﹣1)( a1+d),可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公 式、“H”的意义即可得出. 解答: 解:(1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1 ,当 n=1 时,a1=S1=2. 当 n=1 时,S1=a1. 当 n≥2 时,Sn=an+1 .∴数列{an}是“H”数列. (2)Sn= =,对∀n∈N*,∃m∈N*使 Sn=am,即 ,取 n=2 时,得 1+d=(m﹣1)d,解得 ,∵d<0,∴m<2, 又 m∈N*,∴m=1,∴d=﹣1. (3)设{an}的公差为 d,令 bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1, 对∀n∈N*,bn+1﹣bn=﹣a1, cn=(n﹣1)(a1+d), 对∀n∈N*,cn+1﹣cn=a1+d, 则 bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列. 数列{bn}的前 n 项和 Tn= ,令 Tn=(2﹣m)a1,则 .当 n=1 时,m=1;当 n=2 时,m=1. 当 n≥3 时,由于 n 与 n﹣3 的奇偶性不同,即 n(n﹣3)为非负偶数,m∈N*. 因此对∀n∈N*,都可找到 m∈N*,使 Tn=bm 成立,即{bn}为 H 数列. 数列{cn}的前 n 项和 Rn= ,令 cm=(m﹣1)(a1+d)=Rn,则 m= .∵对∀n∈N*,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N*. 因此对∀n∈N*,都可找到 m∈N*,使 Rn=cm 成立,即{cn}为 H 数列. 因此命题得证. 点评: 本题考查了利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”求 an、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理 能力和计算能力、构造法,属于难题.  三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括 21、22、23、24 四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修 4-1:几 何证明选讲】 21.(10 分)(2014•江苏)如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点,证明:∠OCB=∠D. 考点:弦切角.菁优网版权所有 专题:直线与圆. 分析:利用 OC=OB,可得∠OCB=∠B,利用同弧所对的圆周角相等,即可得出结论. 解答:证明:∵OC=OB, ∴∠OCB=∠B, ∵∠B=∠D, ∴∠OCB=∠D. 点评:本题考查同弧所对的圆周角相等,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.  【选修 4-2:矩阵与变换】 22.(10 分)(2014•江苏)已知矩阵 A= ,B= ,向量 =,x,y 为 实数,若 A =B ,求 x+y 的值. 考点:矩阵与向量乘法的意义.菁优网版权所有 专题:矩阵和变换. 分析: 利用矩阵的乘法,结合 A =B ,可得方程组,即可求 x,y 的值,从而求得 x+y 的值. 解答: 解:∵矩阵 A= ,B= ,向量 =,A =B ,∴,∴x=﹣ ,y=4, ∴x+y= 点评:本题考查矩阵的乘法,考查学生的计算能力,属于基础题.  【选修 4-3:极坐标及参数方程】 23.(2014•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为 参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 考点:直线的参数方程.菁优网版权所有 专题:计算题;坐标系和参数方程. 2分析: 直线 l 的参数方程化为普通方程,与抛物线 y =4x 联立,求出 A,B 的坐标,即可求 线段 AB 的长. 解答: 解:直线 l 的参数方程为 ,化为普通方程为 x+y=3, 与抛物线 y2=4x 联立,可得 x2﹣10x+9=0, ∴交点 A(1,2),B(9,﹣6), ∴|AB|= =8 .点评:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力, 属于基础题.  【选修 4-4:不等式选讲】 24.(2014•江苏)已知 x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 考点:不等式的证明.菁优网版权所有 专题:证明题;不等式的解法及应用. 分析: 由均值不等式可得 1+x+y2≥3 ,1+x2+y≥ ,两式相乘可得结论. 解答: 证明:由均值不等式可得 1+x+y2≥3 ,1+x2+y≥ 分别当且仅当 x=y2=1,x2=y=1 时等号成立, ∴两式相乘可得(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 点评:本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键.  (二)必做题(本部分包括 25、26 两题,每题 10 分,共计 20 分) 25.(10 分)(2014•江苏)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这 些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随 机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 专题:概率与统计. 分析:(1)先求出取 2 个球的所有可能,再求出颜色相同的所有可能,最后利用概率公式 计算即可; (2)先判断 X 的所有可能值,在分别求出所有可能值的概率,列出分布列,根据数 学期望公式计算即可. 解答: 解(1)一次取 2 个球共有 =36 种可能,2 个球颜色相同共有 =10 种可 能情况 ∴取出的 2 个球颜色相同的概率 P= .(2)X 的所有可能值为 4,3,2,则 P(X=4)= ,P(X=3)= 于是 P(X=2)=1﹣P(X=3)﹣P(X=4)= ,X 的概率分布列为 X 23 4 P故 X 数学期望 E(X)= .点评:本题考查了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学期望,知识点比较多,属基础 题.  26.(10 分)(2014•江苏)已知函数 f0(x)= (x>0),设 fn(x)为 fn﹣1(x)的 导数,n∈N*. (1)求 2f1( )+ f2( )的值; (2)证明:对任意 n∈N*,等式|nfn﹣1 ()+ fn( )|= 都成立. 考点:三角函数中的恒等变换应用;导数的运算.菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:xf0( x)=sinx,然后两边求导后根据条件两边再求导得:2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,把 x= 代入式子求值; (2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx 和 2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,利用相同的 方法再对所得的式子两边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进 行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立,主要利用假设的条件、诱导公式 、求导公式以及题意进行证明,最后再把 x= 代入所给的式子求解验证. 解答: 解:(1)∵f0(x)= ,∴xf0(x)=sinx, 则两边求导,[xf0(x)]′=(sinx)′, ∵fn(x)为 fn﹣1(x)的导数,n∈N*, ∴f0(x)+xf1(x)=cosx, 两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx, 将 x= 代入上式得,2f1( )+ f2( )=﹣1, (2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+ ), 恒成立两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx=sin(x+π), 再对上式两边同时求导得,3f2(x)+xf3(x)=﹣cosx=sin(x+ ), 同理可得,两边再同时求导得,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π), 猜想得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+ )对任意 n∈N*恒成立, 下面用数学归纳法进行证明等式成立: ①当 n=1 时, 成立,则上式成立; ②假设 n=k(k>1 且 k∈N*)时等式成立,即 ,∵[kfk﹣1(x)+xfk(x)]′=kfk﹣1′(x)+fk(x)+xfk′(x) =(k+1)fk(x)+xfk+1(x) 又===,∴那么 n=k+1(k>1 且 k∈N*)时.等式 也成立, )对任意 n∈N*恒成立, 由①②得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+ 令 x= 代入上式得,nfn﹣1 )+ fn( )=sin( 所以,对任意 n∈N*,等式|nfn﹣1 (+)=±cos =± ,()+ fn( )|= 都成立. 点评:本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证 明命题、转化思想等,本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题 ,难度很大,考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力 .

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