贵州省遵义市2021年中考数学真题试卷（解析版）下载

贵州省遵义市 2021 年中考数学真题试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分． 1. 在下列四个实数中，最小的实数是（　　） A. B.0 C. 3.14 D. 2021  2 【答案】A 【解析】 【分析】正数大于负数，负数小于零． 【详解】 <0<3.14<2021  2 故选：A 【点睛】此题考查的是实数的大小的比较，掌握正数大于负数，负数小于零是解题的关键． 2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项 选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意； A是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A不符合题意； BB不符合题意； CC选项 是轴对称图形，也是中心对称图形，故 符合题意； DD故选： D【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 3. 如图，已知直线 a//b，c 为截线，若∠1＝60°，则∠2 的度数是（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可求解∠3=∠1=60°，利用对顶角的性质可求解． 【详解】解：如图： ∵直线 a∥b，∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠2=∠3， ∴∠2=60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求解∠3 的度数是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（　　） A. a3•a＝a3 B. （a2）3＝a5 C. 4a•（﹣3ab）＝﹣12a2b 【答案】C D. （﹣3a2）3＝﹣9a6 【解析】 A, B, C, 由单项式乘以单项式判断 由积的乘方 【分析】由同底数幂的乘法运算判断 由幂的乘方运算判断 D, 运算判断 从而可得答案. 【详解】解： a3 a  a4 , A故 选项不符合题意； 3a2  a6 , B故 选项不符合题意； 4a 3ab  12a2b, 故选项符合题意； C33a2  27a6 , 故选项不符合题意； DC. 故选： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，单项式乘以单项式，掌握以上知识是 解题的关键. 5. 小明用 30 元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是 2 元和 5 元，他买了 2 支铅笔后，最多 还能买几支签字笔？设小明还能买 x 支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　） A. 5×2+2x≥30 【答案】D B. 5×2+2x≤30 C. 2×2+2x≥30 D. 2×2+5x≤30 【解析】 【分析】设小明还能买 x 支签字笔，则小明购物的总数为 22+5x 元，再列不等式即可. 【详解】解：设小明还能买 x 支签字笔， 22  5x  30, 则： 故选： D. 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解 题的关键. k的（k≠0） 图象如图所示，则一次函数y＝kx+2 的图象经过（　　） 6. 已知反比例函数 y xA. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 【答案】C B. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【解析】 0, 再确定一次函数 y＝kx+2 的图象经过的象限即可得到答案. 【分析】由反比例函数的图象的分别确定 ＜kk【详解】解： 反比例函数y （k≠0）的图象分布在二，四象限， x0, ＜k 一次函数 y＝kx+2 的图象经过一，二，四象限， C. 故选： k,b 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，掌握一次函数与反比例函数的图象与 的关系是解题的关键. 7. 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是（　　） A. OB＝OD 【答案】A 【解析】 B. AB＝BC C. AC⊥BD D. ∠ABD＝∠CBD 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可． 【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A 正确，符合题意； 平行四边形邻边不一定相等，B 错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定互相垂直，C 错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定平分内角，D 错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的 关键． 8. 数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如 a+bi（a，b 为实数）的数叫 做复数，用 z＝a+bi 表示，任何一个复数 z＝a+bi 在平面直角坐标系中都可以用有序数对 Z（a，b）表示， 如：z＝1+2i 表示为 Z（1，2），则 z＝2﹣i 可表示为（　　） A. Z（2，0） 【答案】B 【解析】 B. Z（2，﹣1） C. Z（2，1） D. （﹣1，2） 【分析】根据题中的新定义解答即可． 【详解】解：由题意，得 z＝2−i 可表示为 Z（2，−1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9. 在解一元二次方程 x2+px+q＝0 时，小红看错了常数项 q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次 项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（　　） A. x2+2x﹣3＝0 B. x2+2x﹣20＝0 C. x2﹣2x﹣20＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为：  即： x2  2x 3  0, x  3 x 1  0, 小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4， x 5 x  4  0, 所以此时方程为：  即： x2  x  20  0, 从而正确的方程是： x2  2x  20  0, 故选： B. 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的 方法是解题的关键. 10. 如图，将矩形纸片 ABCD 的两个直角进行折叠，使 CB，AD 恰好落在对角线 AC 上，B′，D′分别是 B，D 的对应点，折痕分别为 CF，AE．若 AB＝4，BC＝3，则线段  的长是（　　） B D 5232A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 AB ,CD ，从而可得答案. AC, 【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解 【详解】解： 矩形纸片ABCD，  AD  BC  3, AB  DC  4,B  D  90,  AC  32  42  5, CB F  B  90,CB  CB  3, 由折叠可得：  AB  AC CB  2, CD  2, 同理：   B D AC  AB CD  5 2  2 1, 故选： D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键. 11. 如图，点 C 是以点 O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，连接 AC，BC，OC．若 AC＝4，BC＝3，则 sin∠BOC 的值是（　　） 24 25 16 25 9A. 1 B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点 C 作 CH⊥AB 于 H．利用勾股定理求出 AB，再利用面积法求出 CH，可得结论． 【详解】解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于 H． ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝3， 2222∴AB＝ ，AC  BC  4  3  5 51∴OC＝ AB＝ ，2211S∵＝•AB•CH＝ •AC•BC， ABC 2234 12 ∴CH＝ ，＝5512 24 25 CH OC 55∴sin∠BOC＝ ，2故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出 CH 的长，属于中 考常考题型． 12. 如图，AB 是⊙O 的弦，等边三角形 OCD 的边 CD 与⊙O 相切于点 P，连接 OA，OB，OP，AD．若 CD//AB, ∠COD+∠AOB＝180°， AB＝6，则 AD 的长是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 613 13 2【答案】C 【解析】 E, G, O, E, P 先证明 三点共线，再求解 O 【分析】如图，过 作OE  AB 于过作DG  AB 于的ODPD  2, DG, AG, 从而利用勾股定理可 半径 ，证明四边形 PEGD 是矩形，再求解 OA  OB  OP  2 3 得答案. E, G, 于【详解】解：如图，过 作OE  AB 于过作DG  AB ODO 是的切线， CD OP  CD,  AB//CD,OE  AB, O, E, P 三点共线， △COD 为等边三角形， COD  ODC  60,CO  DO, COD  AOB 180,OA  OB, AB  6, AOB 120,OAB  OBA  30, AE  BE  3, AOE  BOE  60, AE OE   3,OA  2OE  2 3 OP, tan 60 PE  OP  OE  3  2 3 3 3, ODC  60, OP PD   2, tan 60 OP  CD, PE  AB, DG  AB, 四边形 PEGD 是矩形， DG  PE  3 3,EG  PD  2,  AG  AE  EG  5, 2 AD  52  3 3 2 13. C. 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，切线的性 质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识是解题的关键. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 2021 年 5 月 15 日，中国火星探测器“天问一号“在火星表面成功着陆，着陆点距离地球约为 320000000 千米，将数 320000000 用科学记数法表示为 ___． 8【答案】 3.210 . 【解析】 nnn取决于原数小数点 ，其中1 a ＜10， 【分析】科学记数法的形式是： 为整数．所以 ，a  3.2 a  10 nn的移动位数与移动方向， 是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动， 为负整数．本题 n小数点往左移动到 的后面，所以 3n  8. 8【详解】解：320000000  3.210 . 8故答案为： 3.210 . 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 a,n 好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． x  2y  2 14. 已知 x，y 满足的方程组是 ，则 x+y 的值为 ___． 2x  3y  7 【答案】5． 【解析】 【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．  x  2y  2① 【详解】解： 2x  3y  7② 用②﹣①得：x+y＝5， 故答案为：5． 的【点睛】本题考查二元一次方程组 解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的 特点，灵活计算是解题的关键． 15. 小明用一块含有 60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若 小明的眼睛与地面之间的垂直高度 AB 为 1.62m，小明与树之间的水平距离 BC 为 4m，则这棵树的高度约为 ___m．（结果精确到 0.1m，参考数据： 1.73） 3  【答案】8.5 【解析】 【分析】先根据题意得出 AD 的长，在 Rt△AED 中利用锐角三角函数的定义求出 CD 的长，由 CE＝CD+DE 即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∵BC＝4m，AB＝1.62m， ∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m， Rt△AED 中， 在∵∠DAE＝60°，AD＝4m， ∴DE＝AD•tan60°＝4× ＝4 （m）， 33∴CE＝ED+DC＝4 +1.62≈8.5（m） 3答：这棵树的高度约为 8.5m． 故答案为：8.5． 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 16. 抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___ （填写序号）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； 32③若该抛物线 y＝ax +bx+c 与直线 y＝﹣3 有交点，则 a 的取值范围是 a ；4④对于 a 的每一个确定值，如果一元二次方程 ax2+bx+c﹣t＝0（t 为常数，t≤0）的根为整数，则 t 的值只有 3 个． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个 问题. 【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得： c  0 c  0 ，解得： ，16a  4b  c  0 b  4a ∴抛物线解析式为 y  ax2  4ax ．①②∴，则 4a  b  0 ，故①正确，符合题意； b  4a 5a  3b  2c  5a  3  ( 4a)  7a ，又 a＞0， ，故②错误，不符合题意； 7a  0 ③若该抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣3 有交点，则有 ，即一元二次方程 23  ax  4ax 2有实数根， ax  4ax  3  0 2则，  16a  4a  3  a(16a  12)  0 ∵a＞0， 34a  ∴，解得： ，故③正确，符合题意； 16a  12  0 ④如图， ∵一元二次方程 ax2+bx+c﹣t＝0（t 为常数，t≤0）的根为整数， ，即抛物线 y  ax2  4ax 与直线 2y  t （t 为常数，t≤0）的交 一元二次方程可化为 ax  4ax  t  0 点横坐标为整数，如图，则横坐标可为 0，1，2，3，4，有 3 个 t 满足．故④正确，满足题意． 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数 形结合思想解题是关键. 三、解答题（本题共 8 小题，共 86 分） 17. （1）计算（﹣1）2+| 2| 2sin45°；  8  2  x 1 2① （2）解不等式组： ．2x  3＜13② 【答案】（1）3；（2）3≤x＜5 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、去绝对值符号、化简二次根式、代入三角函数值，再进一步计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 确定不等式组的解集． 2【详解】解：（1）原式= 1+2  2  2 2 2 2=3+ 2 2 ；=3 （2）解不等式①，得：x≥3， 解不等式②，得：x＜5， 则不等式组的解集为 3≤x＜5． 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大 取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． x2  4 x2  4x 418. 先化简 （），再求值，其中 x 2．  2  x2  2x xx 2【答案】 ．2【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把 x 的值代入计算即可． (x  2)(x  2) (x  2)2 【详解】解：原式＝ x(x  2) xx  2 xx＝＝(x  2)2 1，x  2 112当 x＝ ﹣2 时，原式＝ =．222  2  2 x  2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 《国家学生体质健康标准》规定：九年级学生 50m 测试成绩分为优秀、良好、及格，不及格四个等级， 某中学为了了解九年级学生的体质健康状况，对九年级学生进行 50m 测试，并随机抽取 50 名男生的成绩进 行分析，将成绩分等级制作成不完整的统计表和条形统计图，根据图表信息，解答下列问题： 等级 优秀 良好 及格 不及格 合计 人数 4a28 b50 （1）统计表中 a 的值是　； （2）将条形统计图补充完整； （3）将等级为优秀、良好、及格定为达标，求这 50 名男生的达标率； （4）全校九年共有 350 名男生，估计不及格的男生大约有多少人？ 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）76%；（4）84 人 【解析】 【分析】1）根据条形统计图即可得到答案． （2）求出 b 的值，即可将条形统计图补充完整； （3）用等级为优秀、良好、及格的人数和除以 50 即可求解； （4）总数乘以不及格的男生所占比例，即得所求． 【详解】解：（1）根据条形统计图可得 a=6． 故答案为：6； （2）b=50-4-6-28=12， 将条形统计图补充完整如图： 4  6  28 100%  76% （3） ，50 答：这 50 名男生的达标率为 76%； 12 50 （4）350× =84（人）， 答：估计不及格的男生大约有 84 人． 【点睛】本题考查了频率分布表，用样本估计总体，条形统计图，读图时要全面细致，要充分运用数形结 合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 20. 现有 A，B 两个不透明的袋子，A 袋的 4 个小球分别标有数字 1，2，3，4；B 袋的 3 个小球分别标有数 字 1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．） （1）从 A，B 两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是　； （2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从 A 袋中随机摸出一个小球，乙从 B 袋中随机摸出一个小球，若 甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、 乙两人是否公平． 1【答案】（1） ；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析 4【解析】 【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率 公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】解：（1）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有 3 个， 314∴两个小球上数字相同的概率是 ＝，12 1故答案为： ；4（2）这个规则对甲、乙两人是公平的． 画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有 6 种，两人摸到小球的数字之 和为偶数的也有 6 种， 1∴P 甲获胜＝P 乙获胜 ＝，2∴此游戏对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概 率相等就公平，否则就不公平． 21. 在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下： ①画线段 AB； ②分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长的一半为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN 交 AB 于点 O； ③在直线 MN 上取一点 C（不与点 O 重合），连接 AC、BC； ④过点 A 作平行于 BC 的直线 AD，交直线 MN 于点 D，连接 BD． （1）根据以上作法，证明四边形 ADBC 是菱形； （2）该同学在图形上继续探究，他以点 O 为圆心作四边形 ADBC 的内切圆，构成如图所示的阴影部分， 若 AB＝2 ，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积． 332 3  【答案】（1）见解析；（2） 4【解析】 的【分析】（1）根据作法可得 AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分 四边形ADBC 是菱形即 可证明结论； （2）结合（1）四边形 ADBC 是菱形，根据 AB=2 ，∠BAD=30°，先求出圆 O 的半径，进而可以求图中 3阴影部分的面积． 【详解】解：（1）证明：根据作法可知：直线 MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB， ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠BCO， 在△ADO 和△BCO 中， ADO＝BCO AOD＝BOC OA＝OB ，∴△ADO≌△BCO（AAS）， ∴OD=OC， ∵OA=OB，MN⊥AB， ∴四边形 ADBC 是菱形； （2）∵四边形 ADBC 是菱形， 11OA  AB  2 3 3 ∴，22∵∠BAD=30°， 设圆 O 切 AD 于点 H，连接 OH， 则 OH⊥AD， 13∴，OH  OA  223OH 2    ∴S 圆 O =，4Rt△AOD 中，∠DOA=30°，OA= 在，33∴，OD  OA tan30  3 1 3∴CD=2OD=2， 121 ABCD  2 32  2 3, ∴S 菱形 ADBC =，232 3  ∴图中阴影部分的面积=S 菱形 ADBC-S 圆 O =．4【点睛】本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定与性质，三角形内切圆与内心，切线的性质，圆的面积计 算，解决本题的关键是证明四边形 ADBC 是菱形． 22. 为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为 8 元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）（8≤x≤40）满 足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求 y 与 x 的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 3x  216(8  x  32) 120(32＜x  40) y  【答案】（1） ；（2）最大利润为 3840 元 【解析】 【分析】（1）分为 8≤x≤32 和 32＜x≤40 求解析式； （2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润． 【详解】解：（1）当 8≤x≤32 时，设 y＝kx＋b（k≠0）， 22k  b 150 32k  b 120 则，k  3 解得： ，b  216 ∴当 8≤x≤32 时，y＝−3x＋216， 当 32＜x≤40 时，y＝120， 3x  216(8  x  32) 120(32＜x  40) y  ∴；（2）设利润为 W，则： 当 8≤x≤32 时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072， ∵开口向下，对称轴为直线 x＝40， ∴当 8≤x≤32 时，W 随 x 的增大而增大， ∴x＝32 时，W 最大＝2880， 当 32＜x≤40 时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960， ∵W 随 x 的增大而增大， ∴x＝40 时，W 最大＝3840， ∵3840＞2880， ∴最大利润为 3840 元． 【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次 函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量 x 的取值范围和函数的增减性，先确定函数的 增减性，才能求得利润的最大值． 523. 如图，抛物线 y＝a（x﹣2）2+3（a 为常数且 a≠0）与 y 轴交于点 A（0， ）． 3（1）求该抛物线的解析式； 222（2）若直线 y＝kx （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为 x1，x2，当 x1 +x2 ＝10 时，求 k 3的值； 4m （3）当﹣4＜x≤m 时，y 有最大值 ，求 m 的值． 3182y  x  2  3 k  【答案】（1） 【解析】 ；（2） ；（3） m  5. 335A 0, 【分析】（1）把 代入抛物线的解析式，解方程求解即可； 3122y, x  2  3  kx  , （2）联立两个函数的解析式，消去 得： 再利用根与系数的关系与 332×2  x2  x  x  2x1x2 10, 可得关于 的方程，解方程可得答案； k2  121mm  2, 8, m  8, （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案. ＜＜结合函数图象，利用 2532A 0, 【详解】解：（1）把 代入 中， y  a x 2  3 54a  3  , 31a  , 312y  x  2  3. 抛物线的解析式为： 3（2）联立一次函数与抛物线的解析式得： 23y  kx  12y  x  2  3 3122 x  2  3  kx  , 33×2  4 3k x3  0, 整理得： x1  x2  4 3k, x1x2  3,  x2  x2  x  x 2  2x1x2 10, 2  1212 4 3k 2  2 3 10, 4 3k 16, 即8k  0,k  , 解得： 123经检验： 不合题意，舍去， k  0 8k  . 312y  x  2  3 （3） 抛物线为： ，3x  2, 2,3 , 抛物线的对称轴为： 顶点坐标为： 4m x  m, 4m 当时，此时 y 有最大值 ，m  2 312 m  2  3  ,33m2  5, 解得： m  5, 经检验： 不合题意，舍去， m  5 m  5, x  8, 直线 关于直线 对称的直线为 x  4 x  2 4m x  m, m如图，当 ＜＜ 时，此时 8y 有最大值 ，23同理可得： m  5, 4m m  当时，此时 ，y 有最大值 ，8x  8 4m 312 8 2  3  ,3327 4m   解得： 综上： ，不合题意，舍去， m  5. x【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与 轴的交点坐标，一元二次方程根 与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 24. 点 A 是半径为 2 的⊙O 上一动点，点 B 是⊙O 外一定点，OB＝6．连接 OA，AB． 3（1）【阅读感知】如图①，当△ABC 是等边三角形时，连接 OC，求 OC 的最大值；将下列解答过程补充完 整． 解：将线段 OB 绕点 B 顺时针旋转 60°到 O′B，连接 OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA 和△O′BC 中， OB  O’B OBA  O’BC AB  CB ∴　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C 中，OC＜OO′+O′C 当 O，O′，C 三点共线，且点 C 在 OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即 OC≤OO′+O′C ∴当 O，O′，C 三点共线，且点 C 在 OO′的延长线上时，OC 取最大值，最大值是　． （2）【类比探究】如图②，当四边形 ABCD 是正方形时，连接 OC，求 OC 的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC 是以 AB 为腰，顶角为 120°的等腰三角形时，连接 OC，求 OC 的最 小值，并直接写出此时△ABC 的周长． 0或 ，△ABC 的 4 3 【答案】（1） ，；（2） ；（3）OC 的最小值为 △OBA≌△OBC 6  2 3 6 2 2 3 周长为 6  4 3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质， ，从而求得 OC 的最大值； OA  O C （2）将线段 OB 绕点 B 顺时针旋转 90°到 O′B，连接 OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证 ，从而求得 OC 的最小值； △OBA≌△OBC （3）分别以 为顶角进行讨论，按照上述方法求证 ，从而求得 OC 的最小值，过点 BA、B △OBA≌△OBC 作于点 ，根据勾股定理求得BC 长度，从而求得△ABC 的周长． FBF⊥OO 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： △OBA≌△OBC ∴O C  OA  2 3 ∴O C  OO  O C  6+2 3 （2）将线段 OB 绕点 B 顺时针旋转 90°到 O′B，连接 OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6， 为等腰直角三角形 △BO O ∴OO  6 2 又∵四边形 为正方形 ABCD AB  BC,ABC  90 ∴∴CBO  ABO 在△OBA 和△O′BC 中， OB  O’B OBA  O’BC AB  CB ∴∴（SAS） △OBA≌△OBC OA＝OC  2 3 在△OO′C 中， OC  OOOC 当 O，O′，C 三点共线，且点 C 在线段 OO′上时， OC  OOOC 即OC  OOOC  6 2 2 3 （3）以 过点 B为顶点，构建等腰三角形ABC ，将线段 OB 绕点 B 顺时针旋转 120°到 O′B，连接 OO′，CO′， B作BF⊥OO 于点 ，如下图： F由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6， 为等腰三角形 △BO O 在∴中， ，，∴ O B  OB  6 OBO＝120 BOF  30 △OBO ，BF  3 O F  OF  3 3 ∴OO  6 3 由（2）可得 △OBA≌△OBC ∴OA＝OC  2 3 在△OO′C 中， OC  OOOC 当 O，O′，C 三点共线，且点 C 在线段 OO′上时， OC  OOOC 即OC  OOOC  4 3 又∵ ，在线段 上OO FO F  3 3 ∴FC  O F O C  3 22∴∴BC  AB  BF  FC  2 3 AC  2ABcos30=6 ABC 的周长为 6  4 3 以A为顶点，构建等腰三角形ABC ，将线段 OA 绕点 A 顺时针旋转 120°到 O′A，连接 OO′，CO′，如下 图：  为等腰三角形 由旋转的性质得： ，，OAO 120 OA  O A  2 3 OAO ∴OO  2OAcos30  6 由（2）可得 △ACO ≌△ABO ∴CO  OB  6 在中， OC  OO O C △OO C ∴当点 在线段 C上时， 最小 OC OO OC  0 ∴点 与点 重合， OCABC 的周长为 6  4 3 【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解 题的关键．