北京市2021年中考数学试题（解析版）

2021 年北京市中考数学试卷一､选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A. B. C. D. 三棱柱长方体圆柱圆锥 B【答案】【解析】【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选 B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键． 2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．年，中央财政累计投入“全 2014  2018 面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（）0.16921012 1.6921012 1.6921011 16.921010 A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】根据科学记数法可直接进行求解． 11 【详解】解：由题意得：将 169200000000 用科学记数法表示应为故选 C．；1.69210 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 如图，点在直线 O上，OC  OD ．若，则 BOD 的大小为（ AOC 120 ）AB 30° A. B. 40 C. 50 D. 60 A【答案】【解析】【分析】由题意易得，COB  60 COD  90 ，进而问题可求解．【详解】解：∵点在直线 O上，OC  OD ，AB ∴∵∴∴，AOC  COB 180 COD  90 ，，AOC 120 ，COB  60 BOD  90 COB  30 ；故选 A．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 4. 下列多边形中，内角和最大的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为 180°； B、是一个四边形，其内角和为 360°； C、是一个五边形，其内角和为 540°； D、是一个六边形，其内角和为 720°； ∴内角和最大的是六边形；故选 D．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． a,b 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）a  b A. B. C. a  b  0 D. a  2 b  a  0 B【答案】【解析】 3  a  2,0  b 1 【分析】由数轴及题意可得，依此可排除选项． 3  a  2,0  b 1 【详解】解：由数轴及题意可得：，a  b,a  b  0,b  a  0 ∴，∴只有 B 选项正确，故选 B．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键． 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（）14132312A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．【详解】解：由题意得： 2412P  ∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是故选 C．；【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．已知 432 1849,442 1936,452  2025,462  2116 ．若为整数且，则 nn的值为 7. n  2021  n 1 （）A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 B【答案】【解析】【分析】由题意可直接进行求解．【详解】解：∵ 432 1849,442 1936,452  2025,462  2116 ，22∴，44  2021 45 ∴∴，44  2021  45 n  44 ；故选 B．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． ym xm 10m 8. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为 x与满足的函数关系分别是（ Sm2 y．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则 y与xxx, S S）A. 一次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 A【答案】【解析】【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得： 2 x  y 10 y  x  5, 0 x  5 ，整理得： ，S  xy  x x  5  x2  5x, 0 x  5 ，∴y 与 x 成一次函数的关系，S 与 x 成二次函数的关系；故选 A．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．二､填空题（共 16 分，每题 2 分） x在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 9. 若x  7 【答案】【解析】 x  7 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：，x  7  0 解得：；x  7 故答案为．x  7 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．分解因式：5×2 5y2  ______________． 10. 5 x  y x y 【答案】【解析】  【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 5×2 5y2  5 x2  y2  5 x  y x y 【详解】解：  ；5 x  y x y   故答案为 ．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 2111. 方程的解为______________． x  3 x【答案】 x  3 【解析】【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 21【详解】解： x  3 x，2x  x  3 ∴x  3 ，的经检验： x  3是原方程解．故答案为：x=3．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． km的xOy A 1,2 B 1,m 12. y  (k  0) 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点 和点 ，则 x值为______________．【答案】 2 【解析】【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题． k  2 kA 1,2 y  k  0 【详解】解：把点 代入反比例函数得：，k  2 x∴1m  2 ，解得：，m  2 故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． PA, PB A, B 是切点．若 13. O 如图，是的切线，，则 ______________． P  50 AOB  【答案】130° 【解析】【分析】由题意易得 PAO  PBO  90，然后根据四边形内角和可求解． PA, PB O 【详解】解：∵ 是的切线， ∴PAO  PBO  90 ，∴由四边形内角和可得：AOB  P  180 ，∵∴，P  50 ；AOB 130 故答案为 130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． E, F ．只需添加一个条件即可证明四边形 BC, AD 14. 如图，在矩形中，点分别在上， ABCD AF  EC AECF 是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．【答案】【解析】（答案不唯一） AF  AE 【分析】由题意易得四边形 AECF 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形， ABCD ∴∵，AD//BC ，AF  EC ∴四边形 AECF 是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或 AE=CE 或 CE=CF 或 AF=CF，理由：一组邻边相等 AF  AE 的平行四边形是菱形；故答案为（答案不唯一）． AF  AE 【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键． 15. 有甲､乙两组数据，如表所示：甲11 12 13 14 15 乙12 12 13 14 14 2甲22，则 ______________ 2 （填“＞”，“＜”或“＝”）． s s 甲乙s , s 甲､乙两组数据的方差分别为乙【答案】＞【解析】【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得： 1112 1314 15 12 12 1314 14 x甲  13 x  ，13 ，乙5522222  1113  12 13  1313  14 13  1513 2∴，s甲  2 522222  12 13  12 13  1313  14 13  14 13 42，s乙 55452  ∴∴，22s s乙；甲故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键． a生产线共加工吨原材料，加工时间为 A, B 16. 某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内， A4a 1 2b  3 小时；在一天内， B生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将 5 吨生产线生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配 bA, B 原材料分配到的吨数与分配到了 5 吨原材料后，又给两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 ABm生产线分配了吨原材料，给 n生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在 ABm一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________． n12①. ②. 【答案】【解析】 2∶3 【分析】设分配到 A生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得 4x 1 2 5 x  3 ，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为 4 2 m 1 2 3 n  3 ，进而求解即可得出答案．的A生产线吨数为x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：【详解】解：设分配到 4x 1 2 5 x  3 ，解得：，x  2 ∴分配到 B 生产线的吨数为 5-2=3（吨）， ∴分配到生产线的吨数与分配到 AB生产线的吨数的比为 2∶3； 2  m 3 n ∴第二天开工时，给 ∵加工时间相同， A生产线分配了 吨原材料，给 B生产线分配了 吨原材料， 4 2 m 1 2 3 n  3 ∴，1m  n 解得：，2m1∴；2n122 :3 故答案为，．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．三､解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21－22 题，每题 6 分，第 23 题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27－28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程． 17. 2sin 60 12  5  (  2)0 计算：．【答案】【解析】 3 3 4 【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解． 3【详解】解：原式= ．2  2 3 51 3 3 4 2【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键． 4x 5  x 1 18. 解不等式组： 3x  4  x  2 2  x  4 【答案】【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解． 4x 5  x 1① 【详解】解： 3x  4  x②  2 由①可得： x  2 由②可得：，，x  4 2  x  4 ∴原不等式组的解集为．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 22219. 已知，求代数式 a b  b 2a  b 的值． a  2b 1 0 【答案】1 【解析】【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可． 2【详解】解： a b  b 2a  b 222==a  2ab  b  2ab  b 22，a  2b 22∵∴，a  2b 1 0 22，a  2b 1 代入原式得：原式= ． 1【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键． 20. 《淮南子天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点･A处立一根杆， B, A 在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 BC, B 两点间的距离为 10 步，处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B处的杆的影子的方向取一点，使 C在点处立一根杆．取的中点，那么直线 CA 表示的方向为东西方向． CDDB A, B,C （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点（保留作图痕迹）； D（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直 DB 线表示的方向为南北方向，完成如下证明． CA 证明：在ABC 中， ______________，是CA 的中点， DBA  CA  DB （______________）（填推理的依据）． ∵直线 ∴直线表示的方向为东西方向，表示的方向为南北方向． DB CA 【答案】（1）图见详解；（2） BC ，等腰三角形的三线合一【解析】【分析】（1）分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与 AC 的交点即为所求点 D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在ABC 中， BA  BC ，是CA 的中点， DCA  DB （等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）． ∵直线 ∴直线表示的方向为东西方向，表示的方向为南北方向； DB CA 故答案为 BC ，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键． 22x已知关于的一元二次方程 21. ．x  4mx  3m  0 （1）求证：该方程总有两个实数根； m（2）若 m  0，且该方程的两个实数根的差为 2，求的值．【答案】（1）见详解；（2） m  1 【解析】【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； 22xx , x 2 ，然后根据一元二次方程根与系数的（2）设关于的一元二次方程的两实数根为 x  4mx  3m  0 12x  x  4m, x  x  3m2 关系可得，进而可得 x  x  4，最后利用完全平方公式代入求解即可． 2  12121【详解】（1）证明：由题意得： a 1,b  4m,c  3m2 ，2222∴∵∴，  b  4ac 16m  413m  4m 2，m  0 2，  4m  0 ∴该方程总有两个实数根； 22xx , x 2 ，则有：（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为 x  4mx  3m  0 1×1  x2  4m, x1  x2  3m2 ，x  x  2 ∵∴，122222，x  x  x  x  4x1x2 16m 12m  4 2  2  11解得： m  1 ，∵∴m  0 ，．m  1 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． AE//DC, EF  AB 22. 如图，在四边形中， ACB  CAD  90，点在BC 上，，垂足为 ABCD E．F（1）求证：四边形是平行四边形； AECD 4BAC, BE  5,cos B  （2）若平分，求和BF AD 的长． AE 5【答案】（1）见详解；（2），AD  3 BF  4 【解析】【分析】（1）由题意易得 AD∥CE，然后问题可求证； 4BE  5,cos B  （2）由（1）及题意易得 EF=CE=AD，然后由可进行求解问题． 5【详解】（1）证明：∵ ACB  CAD  90 ∴AD∥CE，，∵AE//DC ，∴四边形是平行四边形； AECD （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，，AECD ∴∵∴，，CE  AD BAC 平分，ACB  90 EF  AB AE ，EF  CE ∴EF=CE=AD， 4BE  5,cos B  ∵，54BF  BE cos B  5 4 ∴，522∴∴，EF  BE  BF  3 AD  EF  3 ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键． 1xOy y  kx  b(k  0) 23. y  x的图象向下平移 1 个单位在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数 2长度得到．（1）求这个一次函数的解析式； x时，对于的每一个值，函数 y  kx  b m的值，直接写出 y  mx(m  0) （2）当的值大于一次函数 x  2 的取值范围．【答案】（1）【解析】 112y  x 1  m 1 ；（2） 2【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； y  kx  b y  mx m 0 （2）由题意可先假设函数 与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得： 2 m  1，然后结合函数图象可进行求解． 1y  kx  b k 0 的y  x的图象向下平移 1 个单位长度得到可【详解】解：（1）由一次函数 图象由函数 21y  x 1 得：一次函数的解析式为；2y  kx  b y  mx m 0 （2）由题意可先假设函数 与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得： 2 12m  2 1 ，解得： m  1 ，2函数图象如图所示： x时，对于的每一个值，函数 y  kx  b 的值时，根据一次函 y  mx m 0 ∴当 的值大于一次函数 x  2 11y  mx m 0 m  m  数的 k 表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数 与一次函数 22y  kx  b 的交点在第一象限，此时就不符合题意， 1 m 1 综上所述：．2【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 24. AD  BC O O 如图，是ABC 的外接圆，是的直径，于点．AD E（1）求证： BAD  CAD （2）连接并延长，交；O O 于点，交 F于点 G，连接GC ．若的半径为 5，，求GC OE  3 BO AC OF 和的长． 25 OF  【答案】（1）见详解；（2），GC  6 11 【解析】   【分析】（1）由题意易得 BDCD，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点 E 为 BC 的中点，则有 AOF∽CGF ，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 1OE  CG,OE//CG ，进而可得 2O AD  BC ，【详解】（1）证明：∵ 是的直径， AD   ∴ BDCD， ∴BAD  CAD ；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点 E 为 BC 的中点， ∵点 O 是 BG 的中点， 1OE  CG,OE//CG ∴∴，2AOF∽CGF ，OA OF ∴，CG GF ∵∴∵∴，OE  3 CG  6 O ，的半径为 5， OA  OG  5 ，56OF ∴∴，GF 525 11 OF  OG  ．11 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 为了解甲乙两座城市的邮政企业4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家､邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理描述和分析．下面给出了､部分信息． a．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组： 6  x  8,8  x 10,10  x 12,12  x 14,14  x 16 ）：．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在10  x  12 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5， b11.6，11.8 c．甲乙两座城市邮政企业4 月份收入的数据的平均数中位数如下：､､平均数中位数 m甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： m（1）写出表中的值； p（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 1 ．在乙城市抽 pp , p 2 的大小，并说明 1取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 2 ．比较理由；（3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果）． p  p 【答案】（1） m 10.1；（2） 2 ，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万 1元．【解析】【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第 13 个数据，然后问题可求解；（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．【详解】解：（1）由题意可得 m 为甲城市的中位数，由于总共有 25 家邮政企业，所以第 13 家邮政企业的收入作为该数据的中位数， 6  x  8 ∵有 3 家，8  x  10有 7 家，10  x  12 有 8 家， ∴中位数落在10  x  12 上， m 10.1 ∴；pp为12 个；乙城市中位数高于平均数，则 2 至少（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 1 最大为 13 个， p  p ∴；12（3）由题意得： 20011 2200 （百万元）；答：乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万元．【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键． xOy 1,m 3, n y  ax2  bx a 0 26. 在平面直角坐标系中，点 和点 在抛物线 上． m  3,n 15 （1）若，求该抛物线的对称轴； 1, y , 2,y , 4,y 1   y , y , y 3 的大小，并说明理由．（2）已知点 2  3 在该抛物线上．若，比较 mn  0 12y  y  y 【答案】（1）；（2） 3 ，理由见解析 x  1 21【解析】 1,3 3,15 【分析】（1）由题意易得点 和点 ，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； m  0,n  0 m  0,n  0 （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． m  3,n 15 1,3 3,15 y  ax2  bx a 0 【详解】解：（1）当时，则有点 和点 ，代入二次函数 得： a  b  3 a 1 b  2 ，解得：，，9a  3b 15 ∴抛物线解析式为 y  x2  2x bx    1 ∴抛物线的对称轴为；2a y  ax2  bx a 0 0,0 ，则由（2）由题意得：抛物线 m  0,n  0 始终过定点 可得： mn  0 y  ax2  bx a 0 0,0 可得此时的抛物线开口向下，即 ①当 a  0 ②当时，由抛物线 始终过定点 ，与矛盾； a  0 m  0,n  0 时， y  ax2  bx a 0 0,0 ，∵抛物线 始终过定点 123 x  ∴此时抛物线的对称轴的范围为，21, y , 2,y , 4,y ∵点 1   2  3 在该抛物线上， 325 1 3 5 72 x  1  ,  2  x  ,  4  x  ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，开口向上，，2 2 2 2 ∵a  0 ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， y  y  y ∴．213【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． AB  AC,BAC  , M 27. 如图，在ABC 中，为BC 的中点，点在MC A上，以点为中心，将线 D顺时针旋转得到线段 BE, DE ．段，连接 AE AD BE, BM , MD 之间的数量关系，并证明； CAD （1）比较（2）过点与的大小；用等式表示线段 BAE 作的垂线，交于点，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明． NMAB DE 【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解． BAE  CAD DN  EN BM  BE  MD 【解析】【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，BAC  EAD   △ABE≌△ACD AE  AD 进而问题可求解；（2）过点 E 作 EH⊥AB，垂足为点 Q，交 AB 于点 H，由（1）可得 ABE  ACD ，，易证 BE  CD BH  BE  CD ，进而可得，然后可得DMN∽DHE ，最后根据相似三角形的性质可求 HM  DM 证．【详解】（1）证明：∵ ，BAC  EAD   ∴∴BAE  BAD  BAD  CAD   ，，BAE  CAD 由旋转的性质可得，AE  AD ∵∴∴，AB  AC ABE≌ACD SAS ，，BE  CD ∵点 M 为 BC 的中点， ∴∵∴BM  CM ，CM  MD  CD  MD  BE ，；BM  BE  MD （2）证明：，理由如下： DN  EN 过点 E 作 EH⊥AB，垂足为点 Q，交 AB 于点 H，如图所示： EQB  HQB  90 ∴，由（1）可得，△ABE≌△ACD ∴∵∴ABE  ACD ，，BE  CD ，AB  AC ABC  C  ABE ，，BQ  BQ ∵∴，BQE≌BQH ASA ∴∵∴∵∴∴BH  BE  CD ，，MB  MC ，HM  DM MN  AB ，，MN//EH DMN∽DHE ，DM DN 1∴∴，DH DE 2．DN  EN 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键． xOy 28. O 在平面直角坐标系中，的半径为 1，对于点 A和线段 BC ，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 O B,C B,C 的对应点），则称线段 BC O A旋转可以得到的弦 BC （分别是是A的以点为中心的 “关联线段”． A, B ,C , B ,C , B ,C B C , B C , B C O （1）如图，点的横纵坐标都是整数．在线段､3 中，的以点 A11223311223为中心的“关联线段”是______________； A 0,t t  0 O （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 ，其中．若 BC 是A的以点为中心的“关联 t线段”，求的值； AB 1, AC  2 O OA 的最小值（3）在ABC 中，．若 BC 是的以点 A为中心的“关联线段”，直接写出和最大值，以及相应的 BC 长． B C OA 1 OA  2 【答案】（ 1 ）；（ 2 ）；（ 3 ）当时，此时；当时，此时 t  3 BC  3 22min max 6．BC  2【解析】 AB , AC , AB , AC , AB , AC O 【分析】（1）以点 A 为圆心，分别以 3 为半径画圆，进而观察是否与有11223交点即可；   O （2）由旋转的性质可得的性质可进行求解； O 是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形 △AB C B C   B ,C O （3）由 BC 是的以点 A为中心的“关联线段”，则可知都在上，且 AB  AB 1, AC  AC  2 ，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得： B C B C , B C O 通过观察图象可得：线段旋转得到； 2 能绕点 A 旋转 90°得到的“关联线段”， 3 都不能绕点 A 进行 2113B C 故答案为；22O   △AB C （2）由题意可得：当 BC 是的以点 A为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为 1，当点 A 在 y 轴的正半轴上时，如图所示：   B C y 设∴ 与 y 轴的交点为 D，连接，易得轴， B C OB 1B D  DC  ，233222 2 ∴，，OD  OB  B D AD  AB  B D 22∴∴，OA  3 ；t  3 当点 A 在 y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，OA  3 ∴；是t   3   B ,C O O （3）由 BC 的以点 A为中心的“关联线段”，则可知都在上，且 AB  AB 1, AC  AC  2 ，则有当以 为圆心，1 为半径作圆，然后以点 A 为圆心，2 为半径作圆， B即可得到点 A 的运动轨迹，如图所示： O O 由运动轨迹可得当点 A 也在上时为最小，最小值为 1，此时 AC 为的直径，   ∴∴，，AB C 90   AC B 30 ∴；  BC  B C AC cos30 3 A, B ,O 由以上情况可知当点三点共线时，OA 的值为最大，最大值为 2，如图所示：   OC , B C C P  OA于点 P，连接，过点 C作OC 1, AC  OA  2 ∴设，，则有，OP  x AP  2  x 222  2  x 1 x2 222 2 ∴由勾股定理可得： 2 ，即，C P AC  AP  OC OP 1x  解得： ∴，415 4，C P  3B P  OB OP  ∴在，4622RtB PC中，，  B C B P C P 26∴；BC  26OA 1 OA  2 综上所述：当时，此时；当时，此时．BC  3 BC  min max 2【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．