湖北省咸宁市 2020 年中考数学试题 一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计 算结果为负数的是（ ）(3) (2) D. 3 (2) 3 (2) 3(2) C. A. B. C【答案】 【解析】 【分析】 各式计算得到结果，即可作出判断． 3 (2) 【详解】解：A、 =1，故选项不符合； 3 (2) 3(2) B、 C、 D、 =5，故选项不符合； =-6，故选项符合； 3(3) (2) =，故选项不符合； 2故选 C. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2. 中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片 化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计 2020 年中国在线教育用户规模将达到 305000000 人．将 305000000 用科学记数法表示为（ ）0.3051011 305108 3.05108 3.05106 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数 的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【详解】解：305000000 用科学记数法表示为 3.05×108， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 下列计算正确的是（ ）2A. B. C. D. 3a2 6a4 aa2 a3 a6 a2 a3 3a a 2 B【答案】 【解析】 【分析】 利用合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可. 【详解】解：A、 ，故选项不符合； 3a a 2a 2B、 C、 D、 3 ，故选项符合； aa a 4 ，故选项不符合； ，故选项不符合； 62a a a 23a2 9a4 故选 B. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是关 键. 4. 如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视 图． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选 A. 【点睛】本题考查了三视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5. 如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）A. 乙的最好成绩比甲高 B. 乙的成绩的平均数比甲小 D. 乙的成绩比甲稳定 C. 乙的成绩的中位数比甲小 D【答案】 【解析】 【分析】 根据折线统计图得出甲乙成绩的各项数据，从而判断各选项. 【详解】解：由图可知： 甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9， 乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8， A、甲的最好成绩为 10 环，乙的最好成绩为 9 环，故选项错误； B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）÷5=8， 乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）÷5=8， 一样大，故选项错误； C、甲的成绩的中位数为 8，乙的成绩的中位数为 8，一样大，故选项错误； 122222 6 8 7 8 88 9 8 10 8 D、甲的成绩的方差为 =2， 5122222 88 9 8 88 7 8 88 乙的成绩的方差为 =0.4， 50.4＜2，所以乙的成绩比甲稳定，故选项正确； 故选 D. 【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差，关键是根据甲乙的成绩计算出各项数据. 6. 如图，在 O 中，OA 2 ，C 45，则图中阴影部分的面积为（ ）22 2 2 A. B. C. D. 2 2D【答案】 【解析】 【分析】 根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用 S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB 算出结果. 【详解】解：∵∠C=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， 90 22 1∴S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB == 2 ， 22 360 2故选 D. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°. xOy 7. 在平面直角坐标系 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的 是（ ）2y x2 2x y x y x 2 y A. B. C. D. xB【答案】 【解析】 【分析】 根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点，再各函数中令 y=x，对应方程无解即不存在“好点”. 【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线 y=x 上的点，令各函数中 y=x， A、x=-x，解得：x=0，即“好点” 为（0，0），故选项不符合； B、 C、 ，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合； x x 2 2的是原方程 解，即“好点”为（ x ，解得： ，经检验 ，）和（- 2，22x 2 x 2 x-），故选项不符合； 22D、 ，解得：x=0 或 3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； x x 2x 故选 B. 【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解 题的关键是理解“好点”的定义. 8. 如图，在矩形 中， ，，E 是 BC 的中点，将 沿直线 翻折，点 B 落 AE ABCD AB 2 △ABE BC 2 5 在点 F 处，连结 ，则 cosECF 的值为（ ）CF 2A. 10 52 5 B. C. D. 5334C【答案】 【解析】 【分析】 根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点 E 是 BC 中点可得 EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出 ∠ECF=∠AEB，求出 即可得到结果. cosAEB 【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF， ∵点 E 是 BC 中点， ，BC 2 5 ∴BE=CE=EF= ，5222 5 3 ∴∠EFC=∠ECF，AE= ，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF， ∴∠ECF=∠AEB， BE AE 5∴cosECF ==，cosAEB 3故选 C. 【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到 ∠ECF=∠AEB. 二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．请把答案填在答题卷相应题号 的横线上） 9. 点 A 在数轴上的位置如图所示，则点 A 表示的数的相反数是________． 【答案】-3 【解析】 【分析】 点 A 在数轴上表示的数是 3，根据相反数的含义和求法，判断出点 A 表示的数的相反数是多少即可． 【详解】解：∵点 A 在数轴上表示的数是 3， ∴点 A 表示的数的相反数是-3． 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握． 210. 因式分解： __________． mx 2mx m 【答案】m（x-1）2 【解析】 【分析】 先提取公因式 m，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 2【详解】 mx 2mx m m x2 2x 1 2 m x1 2故答案为： m x1 ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键． a//b 11. 如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴ ．【答案】∠1=∠4（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据平行线的判定添加条件即可. 【详解】解：如图， 若∠1=∠4，则 a∥b， 故答案为：∠1=∠4（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答. 若关于 x 的一元二次方程 (x 2)2 n 有实数根，则 n 的取值范围是__________． 12. 【答案】n≥0 【解析】 【分析】 根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 (x 2)2 n 有实数根， 而(x 2)2 0 ，∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 13. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小 红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是________． 1【答案】 6【解析】 【分析】 先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求 解． 【详解】解：画树状图如下： 可知：共有 6 种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有 1 种， 16∴小聪和小慧被同时选中的概率是 ，1故答案为： .6【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所 占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率． 14. 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60°方向上，一艘轮船从北小岛 A 出发，由西向东航行 24nmile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到 达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离是________n mile ．（结果保留一位小数， ）3 1.73 【答案】20.8 【解析】 【分析】 证明△ABP 是等腰三角形，过 P 作 PD⊥AB，从而求得 PD 的长即可． 【详解】解：过 P 作 PD⊥AB 于 D， ∵AB=24， ∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°， ∴∠BPD=30°， ∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB， ∴AB=BP=24， 3在直角△PBD 中，PD=BP•sin∠PBD=24× 故答案为：20.8. =≈20.8. 12 3 2【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关 键． 21 334 7311 ，18 ，…，若 a，b，c 表示这列数中的连 315. 按一定规律排列的一列数：3， ，，，，，3333续三个数，猜想 a，b，c 满足的关系式是__________． 【答案】bc=a 【解析】 【分析】 根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到 a，b，c 之间满足的关系式． ，18 ，…， 21 334 7311 【详解】解：∵一列数：3， ，，，，，33333可发现：第 n 个数等于前面两个数的商， ∵a，b，c 表示这列数中的连续三个数， ∴bc=a， 故答案为：bc=a． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出 a，b，c 之间的关系式． 16. 如图，四边形 是边长为 2 的正方形，点 E 是边 BC 上一动点（不与点 B，C 重合）， ABCD AEF 90 ，且 交正方形外角的平分线 于点 F，交 于点 G，连接 CD ，有下列结论： AF CF EF ①；ABE∽ECG ②③④；AE EF ；DAF CFE △CEF 的面积的最大值为 1． 其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD 可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在 BA 上截取 BM=BE，证明 △AME≌△ECF ， 可 判 断 ②； 可 得 △AEF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 证 明 ∠BAE+∠DAF=45° ， 结 合 ∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③；设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据 △AME≌△ECF，求出△AME 面积的最大值即可判断④. 【详解】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CEG， ∴△ABE∽△ECG，故①正确； 在 BA 上截取 BM=BE， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=90°，BA=BC， ∴△BEM 为等腰直角三角形， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵BA-BM=BC-BE， ∴AM=CE， ∵CF 为正方形外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°=∠AME， ∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF，故②正确； ∴△AEF 为等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠EFA=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， 而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF， ∴，故③正确； DAF CFE 设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x， 1212x2 x ，S△AME =•x•（2-x）= 1当 x=1 时，S△AME 有最大值 而△AME≌△ECF， ，2∴S△AME=S△CEF ，1∴S△CEF 有最大值 ，所以④错误； 2综上：正确结论的序号是：①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方 形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 2 分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 017. （1）计算： ；|1 2 | 2sin45 (2020) (x 1) 3, 2x 9 3. （2）解不等式组： 【答案】（1）0；（2）-3＜x＜-2 【解析】 【分析】 （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）分别解得两个不等式的解集，再合并即可. 2【详解】解：（1）原式= 2 1 2 1 2=0； (x 1) 3① （2） ，2x 9 3② 解不等式①得：x＜-2， 解不等式②得：x＞-3， ∴不等式组的解集为：-3＜x＜-2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算与解不等式组，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法 则. 18. 如图，在ABCD 中，以点 B 为圆心， 长为半径画弧，交 BC 于点 E，在 上截取 ，连 BA AD AF BE 接．EF （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）请用无刻度的直尺在ABCD 内找一点 P，使 作法） （标出点 P 的位置，保留作图痕迹，不写 APB 90 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 为平行四边形，得出 AF∥BE，由作图过程可知 AF=BE，结合 AB=BE 即可证明； （2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接 AE 和 BF，交点即为点 P. 【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AF∥BE， ∵AF=BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∵AB=BE， ∴平行四边形 ABEF 为菱形； （2）如图，点 P 即为所作图形， ∵四边形 ABEF 为菱形，则 BF⊥AE， ∴∠APB=90°. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图. my kx b A(6,1) B(a,3) ，19. 如图，已知一次函数 y 与反比例函数 的图象在第一、三象限分别交于 12x两点，连接 ，OA OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）AOB 的面积为______； y y （3）直接写出 2 时 x 的取值范围． 116y x 2 y ，【答案】（1） ；（2）8；（3）-2＜x＜0 或 x＞6. 12×2【解析】 【分析】 B(a,3) （1）把 A 代入反比例函数，根据待定系数法即可求得 m，得到反比例函数的解析式，然后将 代入， 求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与 x 轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的 x 取值范围． mA(6,1) y 【详解】解：（1）把 m=6， 代入反比例函数 得： 2x6y ∴反比例函数的解析式为 ，2xmxB(a,3) y ∵点在反比例函数 图像上， 2∴-3a=6，解得 a=-2， ∴B（-2，-3）， ∵一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A 和 B， 121 6k b k ∴，解得： ，；3 2k b b 2 1y x 2 ∴一次函数的解析式为 121A(6,1) B(2,3) ，y x 2 （2）∵ ，一次函数的解析式为 ，12令 y=0，解得：x=4，即一次函数图像与 x 轴交点为（4，0）， 14 1 3 8 ∴S△AOB =，2故答案为：8； （3）由图象可知： y1 y 2 时，即一次函数图像在反比例函数图像上方， x 的取值范围是：-2＜x＜0 或 x＞6. 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反 比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活 运用． 20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情 况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位： 利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表． ），然后 min 在线阅读时间频数分布表 组别 A在线阅读时间 t 10„ t 30 30„ t 50 50„ t 70 70„ t 90 90„ t 110 （人数） 4B8CaD16 2E根据以上图表，解答下列问题： a m _____； （1）这次被调查的同学共有______人， ______， （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 ?50 min 【答案】（1）50，20，8；（2）115.2°；（3）722 【解析】 【分析】 （1）根据 B 组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据 C 组所占百分比求出 a 值，最后根据 A 组人数求出所占百分比； （2）求出 D 组所占百分比，再乘以 360°即可； （3）用样本中在线阅读时间不少于 的总人数除以 50，再乘以全校总人数即可. 50 min 【详解】解：（1）∵B 组的人数为 8 人，所占百分比为 16%， ∴被调查的同学共有 8÷16%=50 人， a=50×40%=20 人，4÷50×100%=8%， ∴m=8， 故答案为：50，20，8； （2）（1-40%-16%-8%-4%）×360°=115.2°， 则扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为：115.2°； 20 16 2 （3）950× =722 人， 50 ∴全校有 722 学生平均每天的在线阅读时间不少于 .50 min 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答． 中， ，点 O 在 上，以 为半径的半圆 O 交 于点 D，交 AC 于21. 如图，在 Rt△ABC AC OA AB C 90 点 E，过点 D 作半圆 O 的切线 ，交 BC 于点 F． DF （1）求证： ；BF DF （2）若 ，，，求半圆 O 的半径长． AC 4 BC 3 CF 1 13 【答案】（1）见解析；（2） 8【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可； （2）过 F 作 FG⊥BD 于 G，先利用三角函数求出 BG=DG，再过点 O 作 OH⊥AD 于 H，在△AOH 中，求 出 AO 即可. 【详解】解：（1）连接 OD， ∵DF 和半圆相切， ∴OD⊥DF， ∴∠BDF+∠ADO=90°， ∵∠ADO=∠OAD， ∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°， ∴∠OAD+∠B=90°， ∴∠BDF=∠B， ∴BF=DF； （2）过 F 作 FG⊥BD 于 G，则 GF 垂直平分 BD， ∵，CF 1 ∴BF=DF=2， ∵，AC 4 BC 3 ，∠C=90°， 22∴AB= ，3 4 5 BC BG 35∴cos∠B= =，AB BF BG 36∴，解得：BG= =DG， 52513 5∴AD=AB-BD= ，过点 O 作 OH⊥AD 于 H， 13 10 1∴AH=DH= AD= ，2AC AH 45∵cos∠BAC= ，AB AO 13 ∴AO= ，813 即半圆 O 的半径长为 .8【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形， 解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22. 5 月 18 日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在 民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有 100 只，每盒水银体温计有 10 支，每盒 口罩价格比每盒水银体温计价格多 150 元．用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计所得盒数相 同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩 m 盒 （m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 m 的代数式表示． （3）在民联药店累计购医用品超过 1800 元后，超出 1800 元的部分可享受 8 折优惠．该校按（2）中的配 套方案购买，共支付 w 元，求 w 关于 m 的函数关系式．若该校九年级有 900 名学生，需要购买口罩和水银 体温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 【 答 案 】（ 1 ） 每 盒 口 罩 和 每 盒 水 银 体 温 计 的 价 格 各 是200 元 ， 50 元 ；（ 2 ） ；（ 3 ） 5m w 450m m 4 ，需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. w 360m 360 m 4 【解析】 【分析】 （1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，根据用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计的盒数相 同列出方程，求解即可； （2）先用 m 表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数； （3）分当 m≤4 时，当 m＞4 时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有 900 名学生求出口罩的盒 数 m，从而得到体温计的盒数以及总费用. 【详解】解：（1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，则每盒口罩的价格是 x+150 元， 1200 300 根据题意可得： ，x 150 x解得：x=50， 经检验：x=50 是原方程的解， 50+150=200 元， ∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元，50 元； （2）∵购买口罩 m 盒， ∴共有口罩 100m 个， ∵给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计， 100m ∴需要发放 支水银体温计， 2100m 10 5m ∴需要购买 盒水银体温计； 2（3）由题意可得： 令 200m+5m×50=1800， 解得：m=4， 若未超过 1800 元，即当 m≤4 时， 则 w=200m+5m×50=450m， 若超过 1800 元，即当 m＞4 时， w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360， w 450m m 4 ∴w 关于 m 的函数关系式为 ，w 360m 360 m 4 100m 若该校九年级有 900 名学生，即 解得：m=18， =900， 2则=6840， w 360m 360 答：需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数 与体温计盒数的配套关系. 23. 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： C 的度数之和为______； （1）若四边形 证明： 是对余四边形，则 与ABCD A A, B,C O O （2）如图 1， 是的直径，点 在上， ，CN 相交于点 D． MN AM 求证：四边形 是对余四边形； ABCD 探究： （3）如图 2，在对余四边形 中， ， ，探究线段 ，和之间有怎 ABCD AB BC CD AD BD ABC 60 样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 22【答案】（1）90°或 270°；（2）见解析；（3） 2 ，理由见解析 CD AD BD 【解析】 【分析】 （1）分当∠A 和∠C 互余时，当∠B 和∠D 互余时，两种情况求解； （2）连接 BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可； （3）作△ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，先证明 GF 22是圆 O 的直径，得到 2 ，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可 GE EF GF BC BD CD 22222222 k 得，，从而得出 AB CF AD GC AC EF AC GE GC GF CF 2 ，根据△ABC 为等边三角形可得 AB=AC=BC，从而得到 AB2CD2 AD2BC2 AC2BD CD2 AD2 BD2 .【详解】解：（1）∵四边形 当∠A 和∠C 互余时， 是对余四边形， ABCD ∠A+∠C=90°， 当∠B 与∠D 互余时， ∠B+∠D=90°， 则∠A+∠C=360°-90°=270°， 故答案为：90°或 270°； （2）如图，连接 BO， 可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A， 而∠BON+∠BOM=180°， ∴2∠C+2∠A=180°， ∴∠C+∠A=90°， ∴四边形 是对余四边形； ABCD （3）∵四边形 ABCD 为对于四边形，∠ABC=60°， ∴∠ADC=30°， 如图，作△ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF， 则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°， ∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°， ∴GF 是圆 O 的直径， ∵AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形， ∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF， AB AC BC 2222∴△ABC∽△FEC，得： ，则 ，AB CF AC EF EF FC EC AC AD CD 2222同理，△ACD∽△GCE，得： ，则 ，AC GE AD GC GC GE CE BC BD CD k △BCD∽△GCF，得： ，GC GF CF 22222222可得： ，AB CF AD GC AC EF AC GE 222而∴，GE EF GF 222222，AB CF AD GC AC GF 2 CD2 k2 BC2 k2 BD2 k2 ∴∴，AB AD2 AC2 222222，AB CD AD BC AC BD ∵AB=BC=AC， 222∴.CD AD BD 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和 性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证. 124. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y x 2 25 3 2y x2 bx c C,过点 B 且与直线相交于另一点 ．2 4 3（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上的一动点，当 PAO BAO 时，求点 P 的坐标； 52N(n,0) 0 n M (0,m) 是 y 轴正半轴上的一动点，且满足 （3）点 在 x 轴的正半轴上，点 ．MNC 90 ①求 m 与 n 之间的函数关系式； ②当 m 在什么范围时，符合条件的 N 点的个数有 2 个？ 5 3 ,27124m n2 3 3 10 y x2 x 2 n；②0 【答案】（1） ；（2） 或（3， ）或（-2，-3）；（3）① 2 4 3625 ＜m＜ 12 【解析】 【分析】 （1）利用一次函数求出 A 和 B 的坐标，结合点 C 坐标，求出二次函数表达式； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，当点 P 在 x 轴下方时，AP 与 y 轴交于点 Q，求出 AQ 表达 式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点 P； MO NO （3）①过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，证明△MNO∽△NCD，可得 ，整理可得结果； ND CD ②作以 MC 为直径的圆 E，根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置，即可得到 m 的取值范围. 1【详解】解：（1）∵直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， y x 2 2令 x=0，则 y=2，令 y=0，则 x=4， ∴A（4，0），B（0，2）， 5 3 2y x2 bx c C,∵抛物线 经过 B（0，2）， ，2 4 32 c 76c 2 b ∴，解得： ，；3 42 25 5 b c 34227y x2 x 2 ∴抛物线的表达式为： 36（2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，满足 PAO BAO ，5 3 ,CP∵∴，，2 4 5 3 ,2 4 当点 P 在 x 轴下方时，如图，AP 与 y 轴交于点 Q， ∵PAO BAO ，∴B，Q 关于 x 轴对称， ∴Q（0，-2），又 A（4，0）， 设直线 AQ 的表达式为 y=px+q，代入， 122 q p ，解得： ，0 4p q q 2 1y x 2 ∴直线 AQ 的表达式为： ，联立得： 21y x 2 2，解得：x=3 或-2， 272y x x 2 361∴点 P 的坐标为（3， ）或（-2，-3）， 25 3 ,12综上，当 PAO BAO 时，点 P 的坐标为： 或（3， ）或（-2，-3）； 2 4 （3）①如图，∠MNC=90°，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D， ∴∠MNO+∠CND=90°， ∵∠OMN+∠MNO=90°， ∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°， ∴△MNO∽△NCD， mn34MO NO 52∴，即 ， n ND CD 410 m n2 n整理得： ；33②如图，∵∠MNC=90°， 以 MC 为直径画圆 E， 52N(n,0) 0 n ∵，∴点 N 在线段 OD 上（不含 O 和 D），即圆 E 与线段 OD 有两个交点（不含 O 和 D）， ∵点 M 在 y 轴正半轴， 当圆 E 与线段 OD 相切时， 11有 NE= MC，即 NE2= MC2， 245 3 ,，C∵M（0，m）， 2 4 543 m ∴E（ ，）， 8222 214534 3 m m ∴=， 2 8225 12 解得：m= ，当点 M 与点 O 重合时，如图， 此时圆 E 与线段 OD（不含 O 和 D）有一个交点， 25 12 ∴当 0＜m＜ 时，圆 E 与线段 OD 有两个交点， 25 故 m 的取值范围是：0＜m＜ .12 【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次 函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题. 本试卷的题干 0635
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