精品解析：河南省2020年中考数学试题（解析版）

2020 年河南省普通高中招生考试试卷数学考生须知： 1．本试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效． 4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题(每小题 3 分，共30 分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 2 A. 的相反数是（） 112B. C. D. 2 22D【答案】【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2 的相反数是-2，故选 D． 2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（） A. B. D. C. D【答案】【解析】【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意； C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意； D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键． 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（） A. 中央电视台《开学第–课》的收视率 B. 某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C. 即将发射的气象卫星的零部件质量 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 C【答案】【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．【详解】A、中央电视台《开学第–课》的收视率适合采用抽样调查方式，故不符合题意； B、某城市居民 6 月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式，故不符合题意； C、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式，故符合题意； D、某品牌新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． l / /l ,l / /l 4. 如图， 4 ，若 1 70，则 2 的度数为（） 123110 A. 100 C. 120 【答案】【解析】【分析】 B. D. 130 B利用平行线的性质即可求解． l / /l 【详解】如图，∵ ，43∴∠1+∠3=180º， ∵∠1=70º， ∴∴∠3=180º-70º=110º， l //l ∵，21∴∠2=∠3=110º，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 10 10 10 B, KB, MB,GB 5. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视 1GB  2 MB,1MB  2 KB,1KB  2 B 1GB,1GB 频文件的大小约为等于( ) 830 B 81010 B 21030 B 230 B A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解． 10 10 10 10 10 10 30 2 B 【详解】依题意得 =1GB  2 MB  2 2 KB  2 2 2 B 故选 A．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 6A 1, y , B 2, y ,C 3, y 1  1  y , y , y 3 的大小关系为（） 1 2 6. 若点 y   3 在反比例函数的图像上，则 xy1  y2  y3 y2  y3  y1 y1  y3  y2 y3  y2  y1 A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】 6A 1, y , B 2, y ,C 3, y y , y , y 3 的值，从而可以 1 2 y   根据点比较出 1  1  3 在反比例函数的图象上，可以求得 xy , y , y 3 的大小关系． 126A 1, y , B 2, y ,C 3, y y   【详解】解：∵点 1  1  3 在反比例函数的图象上， x666y   6 y   3 y   2 ∴∵∴，，，1231 23，3＜ 2＜6 y  y  y ，213故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 227. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为 1☆x  0 : 4☆2  42  42 1 7 m☆n  mn  mn 1 （） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 A【答案】【解析】【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：1☆x  x2  x 1 0, a 1,b  1,c  1, 2  b2  4ac  1  41 1  5 ＞0, 原方程有两个不相等的实数根，故选 A. 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017 年至 2019 年我国快递业务收入由5000 亿 x亿元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) 元增加到 7500 5000 1 2x  7500 A. B. C. 50002 1 x  7500 25000 1 x  7500 2D. 5000  5000 1 x  5000 1 x  7500 D【答案】【解析】【分析】 x设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． x【详解】设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为，∵2017 年至 2019 年我国快递业务收入由500亿元增加到亿元 7500 2∴可列方程： 5000  5000 1 x  5000 1 x  7500 ， 故选 D．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． xACB  90 A, B 2,6 7,0 和．将正方形 9. 如图，在中，．边 BC x沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（）在轴上，顶点的坐标分别为 ABC OCDE DEAB 3211 4,2 2,2 ,2 4,2 A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】 先画出落在 E上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得 O B AB 答案． C 2,0 , 【详解】解：由题意知： 四边形COED 为正方形， CO  CD  OE, DCO  90, D 2,2 ,E 0,2 , 如图，当落在 E上时， AB  A 2,6 ,B 7,0 ,  AC  6, BC  9, AC EO tan ABC  ,由BC OB 62O B   ,9O B  3, OO  7 3  4,OC  2, D 2,2 . 故选 B. 【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． A,C 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两 ABC AC AB  BC  3 ,BAC  30 DA, DC, 的面积为（）弧交于点，连接 D则四边形 ABCD A. B. C. 6D. 96 3 3 3 D【答案】【解析】【分析】连接 BD 交 AC 于 O，由已知得△ACD 为等边三角形且 BD 是 AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得 AC、BO、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解．【详解】连接 BD 交 AC 于 O，由作图过程知，AD=AC=CD， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DAC=60º， ∵AB=BC,AD=CD， ∴BD 垂直平分 AC 即：BD⊥AC，AO=OC，在 Rt△AOB 中， AB  3,BAC  30 3∴BO=AB·sin30º= ，23AO=AB·cos30º= ，AC=2AO=3， 2在 Rt△AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60º， 3 3 ∴DO=AD·sin60º= ，212313 3 2S SABC  SADC =∴，3  3  3 3 四边形ABCD 22故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（每题 3 分，共 15 分） 11. 12请写出一个大于且小于的无理数：．【答案】（答案不唯一）． 2【解析】【分析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【详解】大于 1 且小于 2 的无理数可以是等， 2, 3,  2 故答案为：（答案不唯一）． 2考点：1.开放型；2.估算无理数的大小． x  a x  b xa,b 12. 已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 __________．【答案】x＞a．【解析】【分析】先根据数轴确定 a，b 的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．【详解】∵由数轴可知，a＞b， x  a x  b x∴关于的不等式组的解集为 x＞a，故答案为：x＞a．【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键． 13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________． 1【答案】 4【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，两次颜色相同的有 4 种情况， 414∴两个数字都是正数的概率是 ,16 1故答案为：．4【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． E, F AB, BC EC, FD, G, H 的中点，连接点分 14. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边 ABCD 2 2 EC, FD 别是的中点，连接，则的长度为__________． GH GH 【答案】1 【解析】【分析】 GQ  DC ，过 G 作 GQ 相交于 I，分别求出 HI 和 GI 的长，过 E 作，过 G 作，过 H 作，与EP  DC HR  BC HR 利用勾股定理即可求解． GQ  DC GQ 与【详解】过 E 作相交于 I，如图，，过 H 作，垂足分别为 P，R，R， EP  DC HR  BC HR ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴，AB  AD  DC  BC  2 2 ，A  ADC  90 ∴四边形 AEPD 是矩形， ∴，EP  AD  2 2 ∵点 E，F 分别是 AB，BC 边的中点， 11PC  DC  2 FC  BC  2 ，∴22GQ  DC ，，EP  DC GQ/ / EP ∵点 G 是 EC 的中点， GQ 是的中位线， EPC 1GQ  EP  2 ，2同理可求：，HR  2 由作图可知四边形 HIQP 是矩形， 111又 HP= FC，HI= HR= PC， 222而 FC=PC， ∴，HI  HP ∴四边形 HIQP 是正方形， 2∴∴，IQ  HP  222GI  GQ  IQ  2   HI 22是等腰直角三角形， HIG GH  2HI 1 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． BOC  60,OD 15. 如图，在扇形 BOC 中，平分 BOC 交狐 BC 于点．点为半径上一动点若 OB DE，则阴影部分周长的最小值为__________． OB  2 32 2 . 【答案】【解析】【分析】 OAB, 如图，先作扇形答案．关于对称的扇形连接交于，再分别求解的长即可得到 OCB OB OB AD EAD,CD C ＝【详解】解： CE  DE  CD, 阴影 C阴影最短，则最短， CE  DE OAB, 如图，作扇形关于对称的扇形连接交于，OCB OB OB AD ECE  AE, 则CE  DE  AE  DE  AD, 此时点满足 E最短， CE  DE COB  AOB  60,OD 平分 CB, DOB  30,DOA  90, OB  OA  OD  2,  AD  22  22  2 2, 30 2 180 3而  的长为： ,CD 3C2 2 . 阴影最短为 32 2 . 故答案为：【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题(本大题共 8 个小题，满分 75 分) 1a1 16. 先化简，再求值：，其中 a  5 1 a 1 a2 1 【答案】 a 1 ，5【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 值代入计算即可． a(a 1)(a 1) 【详解】原式= =a 1 ，a 1 a当时，原式= ．a  5 1 5 11 5 的【点睛】本题考查是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式． 17. 为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐 500g 10g ，与之相差大于试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下： g)[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取袋，测得实际质量(单位： 20 如下： 501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 甲： 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 乙： 502 503 501 490 501 502 512 499 499 501 x g [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量  的频数分布表． [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题： a  1 表格中的 b  2 综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．【答案】（1） a  501 【解析】，．（2）选择乙分装机，理由见解析； b=15% 【分析】（1）把乙的数据从小到大进行排序，选出 10、11 两项，求出他们的平均数即为乙组数据的中位数；由题可得合格产品的范围是果；，根据这个范围，选出不合格的产品，除以样本总量就可得到结 490  x  510 （2）根据方差的意义判断即可；【详解】（1）把乙组数据从下到大排序为： =487 490 491 493 498 499 499 499 499 501 501 501 502 502 502 503 505 505 506 512 ，可得中位数 501+501 2=501 ；根据已知条件可得出产品合格的范围是，甲生产的产品有 3 袋不合格，故不合格率为 490  x  510 3 100%=15% ．20 故a  501 ，．b=15% S2 =42. 01＞S2 =31. 81 （2）选择乙分装机；根据方差的意义可知：方差越小，数据越稳定，由于，所以甲乙乙分装机．【点睛】本题主要考查了根据图标数据进行中位数的求解，准确理解表中各项数据是解题的关键．的18. 位于河南省登封市境内元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点 16m NMP MAMP 22 处，测得点的仰角为 A．测角仪的高度为，45 1.6m 1(结果精确到．参考数据：  求观星台最高点距离地面的高度 0.1m A)； sin22  0.37,cos22  0. 93 , tan22  0.40, 21.41 2  “景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值【解析】【分析】（1）过点 A 作 AE⊥MN 交 MN 的延长线于点 E，交 BC 的延长线于点 D，根据条件证出四边形 BMNC 为矩形、四边形 CNED 为矩形、三角形 ACD 与三角形 ABD 均为直角三角形，设 AD 的长为 xm，则 CD=AD=xm， BD=BC+CD=（16+x）m，在 Rt△ABD 中，解直角三角形求得 AD 的长度，再加上 DE 的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点 A 作 AE⊥MN 交 MN 的延长线于点 E，交 BC 的延长线于点 D，设 AD 的长为 xm， ∵AE⊥ME，BC∥MN， ∴AD⊥BD，∠ADC=90°， ∵∠ACD=45°， ∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形 BMNC 为矩形， ∵AE⊥ME， ∴四边形 CNED 为矩形， ∴DE=CN=BM= ，1.6m AD xtan∠ ABD=  0.40 在 Rt△ABD 中，，BD 16  x 解得：，x 10.7 即 AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m． A（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠； xyy  k x  b 设某学生暑期健身 (次)，按照方案一所需费用为 1 ，(元)，且；按照方案二所需费用为 11yy  k x. 2 (元) ，且其函数图象如图所示． 221  k和1求的值，并说明它们的实际意义； b2k 求打折前的每次健身费用和 2 的值； 3 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8次，应选择哪种方案所需费用更少 ?说明理由．【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15 表示的是每次健身费用按六折优惠是 15 元，b=30 表示购买一张学生暑期专享卡的费用是 30 元；（2）打折前的每次健身费用为 25 元，k2=20；（3）方案一所需费用更少，理由见解析．【解析】【分析】 k（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意 b1义说明即可； k的（2）设打折前每次健身费用为a 元，根据（1）中算出的 1 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健 k身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到 2 的值；（3）写出两个函数关系式，分别代入 x=8 计算，并比较大小即可求解． y  k x  b 【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得： 1130  b ，，180 10k1  b b  30 k1 15 解得：即 k1=15，b=30， k1=15 表示的是每次健身费用按六折优惠是 15 元，b=30 表示购买一张学生暑期专享卡的费用是 30 元；（2）设打折前的每次健身费用为 a 元，由题意得：0.6a=15，解得：a=25，即打折前的每次健身费用为 25 元， k2 表示每次健身按八折优惠的费用，故 k2=25×0.8=20； y 15x  30 y  20x ，（3）由（1）（2）得：，12当小华健身次即x=8 时， 8y 158 30 150 y  208 160 ，，12∵150<160， ∴方案一所需费用更少，答：方案一所需费用更少．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 20. 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具——–三分角器．图 1 是它的示意图，其中与半圆的直径BC 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与OAC AB AB DB B, DB 重直点足够长． F使用方法如图 2 所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点 EMEN MEN DB EB, EO 落在边上，半圆与另一边 O恰好相切，切点为，则 F就把三等分了． EN MEN EM A为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． A, B,O,C EB  AC, 已知：如图 2，点在同一直线上， B垂足为点，求证： AB  OB  OC, 【答案】在上，过点，为半圆的切线，切点为；EB，EO 为∠MEN EN O FEBD ME A的三等分线．证明见解析．【解析】【分析】如图，连接 OF．则∠OFE=90°，只要证明EAB≌EOB ，OBE≌OFE ，即可解决问题； A, B,O,C EB  AC, 【详解】已知：如图 2，点在同一直线上，垂足为点 B，在上，过点，EBD ME AAB  OB  OC, 为半圆的切线，切点为 O．EN F求证： EB，EO 为∠MEN 的三等分线．．证明：如图，连接 OF．则∠OFE=90°， ∵EB⊥AC，EB 与半圆相切于点 B， ∴∠ABE=∠OBE=90°， ∵BA=BO．EB=EB， EAB≌EOB ∴∠AEB=∠BEO， ∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE ， 90 ∴OBE≌OFE ，∴∠OEB=∠OEF， ∴∠AEB=∠BEO=∠OEF， ∴EB，EO 为∠MEN 的三等分线． AB  OB  OC, 故答案为：在上，过点，为半圆的切线，切点为 O．EN EBD ME AFEB，EO 为∠MEN 的三等分线．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2y轴正半轴，轴正半轴分别交于点 xA, B OA  OB, 21. 如图，抛物线与，且 G点为抛物 yx 2xc 线的顶点． 1G 的坐标；  求抛物线的解析式及点 2  M , N 为抛物线上两点点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长 N35MyM , N Q)的一个动点，求点的纵坐标Q 的取值范围． Q度，点为抛物线上点 M , N 之间(含点 2y，G（1,4）；（2）﹣21≤ Q ≤4. 【答案】（1） y  x  2x  3 【解析】【分析】 OA  OB, （1）根据用 c 表示出点 A 的坐标，把 A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于 c 的一元二次方程，解出 c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点 G 的坐标．（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点 M,N 到对称轴的距离，判断出 M,N 的横坐标，进一步 y得出 M,N 的纵坐标，求出 M,N 点的坐标后可确定 Q 的取值范围． 2y轴正半轴分别交于点 B，【详解】解：（1）∵抛物线 ∴B 点坐标为（c，0），与yx 2xc 2∵抛物线经过点 A， yx 2xc ∴﹣c2+2c+c=0，解得 c1=0（舍去），c2=3， 2∴抛物线的解析式为 y  x  2x  3 2∵=﹣（x－1）2+4， y  x  2x  3 ∴抛物线顶点 G 坐标为（1,4）． 2（2）抛物线的对称轴为直线 x=1， y  x  2x  3 ∵点 M,N 到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4，点 N 的横坐标为﹣4 或 6，点 M 的纵坐标为﹣5，点 N 的纵坐标为﹣21，又∵点 M 在点 N 的左侧， ∴当 M 坐标为（﹣2，﹣5）时，点 N 的坐标为（6，﹣21）， y则﹣21≤ Q ≤4 当当 M 坐标为（4，﹣5）时，点 N 的坐标为（6，﹣21）， y则﹣21≤ Q ≤﹣5， yy∴Q 的取值范围为﹣21≤ Q ≤4．【点睛】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算． 22. 小亮在学习中遇到这样一个问题： BC  8cm, 如图，点是弧BC 上一动点，线段点是线段 BC 的中点，过点作，交的CCF / /BD DDA A延长线于点．当 F为等腰三角形时，求线段的长度． DCF BD 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： 1BD,CD, FD 的长度，得到下表的几组对  根据点在弧 BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 D应值．操作中发现： a①”当点为弧BC 的中点时， BD  5.0cm “．则上中的值是 D②”线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由； x, CD CF x的长度都是的函数，分别记为CD 和 FD ，并在平面直角 2yy 将线段的长度作为自变量和BD xOy FD yy坐标系中画出了函数 FD 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 CD 的图象； 3 继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 DCF 为等腰三角形时，线段 BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或 5.0cm 或 6.3cm；【解析】【分析】（1）①点为弧BC 的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到 CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可 D得到 CF=BD；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象； y（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图 DCF CF 象相交时的交点横坐标即为 BD 的近似值．【详解】解：（1）①点为弧BC 的中点时，由圆的性质可得： DAB  AC BAD  CAD AD  AD ，∴△ABD≌△ACD， ∴CD=BD=5.0， ∴a  5.0 ；②∵ ，CF / /BD ∴BDA  CFA ，BDA  CFA BAD  CAF AD  AF ∵，∴△ACF≌△ABD， ∴CF=BD， ∴线段的长度无需测量即可得到； CF y（2）函数 CD 的图象如图所示：（3）由（1）知CF  BD=x ，y画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， DCF CF yy，BD 为 CF 与 CD 函数图象的交点横坐标，即 BD=5.0cm； ①②③CF  CD yyyCF  DF ，BD 为 CF 与函数图象的交点横坐标，即 BD=6.3cm；函数图象的交点横坐标，即 BD=3.5cm； DF DF y，BD 为 CD 与 CD  DF 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为 3.5cm 或 5.0cm 或 6.3cm． BD DCF 【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键． ，记旋转角为．连接 23. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 AAB ，过点作垂直于 ABCD DDE AB BB DB ,CE ，直线，垂足为点，连接 EBB BB 11，当时，的形状为，连接，可求出的值为； 如图   60 DEB BD CE 2  当且0    360   90 时， 1① 中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； BE B , E,C, D ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． B’E 2【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3 或 1． 2【解析】【分析】  是等边三角形，得 AB B  60，计算出  ，根据 ，（1）根据题意，证明 DE  BB DB E  45 ABB BB 可得 为等腰直角三角形；证明 ，可得的值； △BDB △CDE DEB CE （2）①连接 BD，通过正方形性质及旋转，表示出  ，结合 ，DE  BB EB D  AB D  AB B  45 BB 可得 为等腰直角三角形；证明 ，可得的值； △B DB △EDC DEB CE ②分为以 CD 为边和 CD 为对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）由题知 BAB  60°， BAD  90 °， AB  AD  AB B AD  30 °，且 ∴ 为等边三角形 ABB 1AB D  (180 30 )  75 ∴AB B  60°， 2∴DB E 180  60  75  45 ∵∴∴∴DE  BB DEB  90 °B DE  45 °△DEB 为等腰直角三角形连接 BD，如图所示 ∵∴BDC  B DE  45 °BDB  CDE BDC  B DC  B DE  B DC 即CD DE 2∵∴∴BD DB 2△BDB △CDE BB 2CE 22故答案为：等腰直角三角形， 2（2）①两个结论仍然成立连接 BD，如图所示： ∵∴，BAB   AB  AB 2ABB  90  ∵∴B AD   90 , AD  AB AB D 135  2∴∵∴∴∴EB D  AB D  AB B  45 DE  BB EDB  EB D  45 △DEB 是等腰直角三角形 DB  2 DE ∵四边形为正方形 ABCD BD  2,BDC  45 ∴∴CD BD DB CD DE EDB  BDC ∵∴∴B DB  EDC △B DB △EDC BB BD  2 ∴CE CD ∴结论不变，依然成立 B , E,C, D ②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以 CD 为边时，则CD//B E ，此时点 在线段 BA 的延长线上， B如图所示：此时点 E 与点 A 重合， BE 1 ∴BE  CE  B E ，得；B E ②当以 CD 为对角线时，如图所示：此时点 F 为 CD 中点， ∵∴DE  BB CB  BB ∵∴∴∴∴BCD  90 △BCF △CB F △BB C BC CBBB  2 CF BF CB BB  4B F BE  6B F, B E  2B F BE  3 ∴B E BE 综上：的值为 3 或 1． B E 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键．本试卷的题干 0635