2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷 一、选择题 1. 2 的倒数是（ ） 1212A. B. C. D. 2-2 B【答案】 【解析】 【分析】倒数定义：乘积为 1 的两个数互为倒数，由此即可得出答案. 1【详解】∵2× =1， 21∴2 的倒数是 故选 B . ，2【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为 1 的两个数互为倒数是解题的关键. 2. A. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 360000 套，缓解中低收入人群和新参加工作大 学生的住房需求．把 360000 用科学记数法表示应是（ ）6565B. C. D. 36×10 0.36×10 3.6×10 3.6×10 B【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解： 360 000＝3.6×105， 故选 B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如图，由 6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示： 故选 D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到 的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 4. 下列运算正确的是（ ）A. a3＋a2＝a5 B. a3÷a＝a3 C. a2•a3＝a5 D. (a2)4＝a6 C【答案】 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除， 底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判 断后即可求解． 【详解】A、a3、a2 不是同类项，不能合并，故 A 错误； B、a3÷a＝a2，故 B 错误； C、a2•a3＝a5，故 C 正确； D、(a2)4＝a8，故 D 错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法 则是解题的关键． 5. 某学校九年级 1 班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2， 5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5 A【答案】 【解析】 【分析】 根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：本题考查了求一组数据的中位数，众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排 列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数， 则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将 4，3，5， 5，2，5，3，4，1 按由小到大的顺序排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，处在最中间的数是 4，所以中 位数是 4，其中 5 出现了 3 次，出现次数最多，所以众数是 5， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义． 6. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1 的度数为（ ）A. 37° B. 43° C. 53° D. 54° C【答案】 【解析】 【分析】 的3 2 37 先根据平行线 性质得出 【详解】∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝37°， ∵∠FEG＝90°， ，再根据 即可求解． 1 3 90 ∴1 3 90 ∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53° 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 7. 如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 A′B′的位置，已知 AO 的长为 4 米．若栏杆的 旋转角∠AOA′＝α，则栏杆 A 端升高的高度为（ ）44A. 米B. 4sinα 米 C. 米D. 4cosα 米 sin cos B【答案】 【解析】 【分析】 过点 A′作 A′C⊥AB 于点 C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如答图，过点 A′作 A′C⊥AB 于点 C．在 Rt△OCA′，sinα＝ 意得 A′O＝AO＝4，所以 A′C＝4sinα，因此本题选 B． A C ，所以 A′C＝A′O·sinα．由题 A O 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 28. 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x ＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A. m＜2 【答案】 【解析】 【分析】 B. m≤2 C. m＜2 且 m≠1 D. m≤2 且 m≠1 D根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范 围． 【详解】解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有实数根，所以 b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得 m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0 是一元二次方程，所以 m－1≠0．综合知，m 的取值范围是 m≤2 且 m≠1， 因此本题选 D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出 关于 m 的一元一次不等式组是解题的关键． k9. 如图，在菱形 ABOC 中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象上， x则反比例函数的解析式为（ ）33 3 33A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝ xxxxB【答案】 【解析】 【分析】 根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点 C 的坐标，从而可以求得 k 的值，进而求得反比例函 数的解析式． 【详解】解：因为在菱形 ABOC 中，∠A＝60°，菱形边长为 2，所以 OC＝2，∠COB＝60°． 如答图，过点 C 作 CD⊥OB 于点 D， 13则 OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2× ＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2× ＝．322因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（－1， ）． 3kk因为顶点 C 在反比例函数 y═ 的图象上，所以 ＝，得 k＝ ，3 3 x1 3所以反比例函数的解析式为 y＝ ，x因此本题选 B． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点 C 的坐标． 210. 如图，抛物线 y＝ax ＋bx＋4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴于 C，D 5两点（点 C 在点 D 右边），对称轴为直线 x＝ ，连接AC，AD，BC．若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好 2落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ）16A. 点 B 坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16 D【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线 y=ax2+bx+4 交 y 轴于点 A，可得点 A 的坐标，然后由抛物线的对称性可得点 B 的坐标，由点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断 ∠BAC=∠ACB，从而可知 AB=AD；过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，由勾股定理可得 EC 的长，则点 C 坐标可 得，然后由对称性可得点 D 的坐标，则 OC•OD 的值可计算；由勾股定理可得 AD 的长，由交点式可得抛物 线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可． 5【详解】解：因为抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 y 轴于点 A，所以 A（0，4）．因为对称轴为直线 x＝ ，AB∥x 2轴，所以 B（5，4），选项 A 正确，不符合题意．如答图，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 BE＝4，AB＝ 5．因为 AB∥x 轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，所以∠ACO ＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以 BC＝AB＝5．在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 EC＝3，所以 C（8， 50），因为对称轴为直线 x＝ ，所以D（－3，0）．在 Rt△ADO 中，OA＝4，OD＝3，所以 AD＝5，所以 AB 2＝AD，选项 B 正确，不符合题意．设 y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将 A（0，4）代入得 4＝a(0＋3)(0－ 18)，解得 a＝ ，选项 C 正确，不符合题意．因为 OC＝8，OD＝3，所以 OC•OD＝24，选项 D 错误，符 6合题意，因此本题选 D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性 质并数形结合是解题的关键． 二、填空题 311. 多项式 分解因式的结果是______. a 4a a(a 2)(a 2) 【答案】 【解析】 【分析】 先提出公因式 a，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）． 故答案为 a（a+2）（a-2）． 【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法． x23xy的 12. 若 7a b与－a b和为单项式，则 y ＝________． 【答案】8 【解析】 【分析】 直接利用合并同类项法则进而得出 x，y 的值，即可得出答案． 【详解】解：因为 7axb2 与－a3by 的和为单项式，所以 7axb2 与－a3by 是同类项，所以 x＝3，y＝2，所以 yx＝ 23＝8，因此本题答案为 8． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确得出 x，y 的值是解题关键． 2x 6 3x﹐ 13. 不等式组 的解集为________． x 2 x 1 … 0 54【答案】－6＜x≤13 【解析】 【分析】 根据不等式组分别求出 x 的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交 集，则不等式无解． 2x 6 3x﹐ x 6 x 13 {，解得 【详解】 x 2 x 1 … 0 54在坐标轴上表示为： x∴不等式组的解集为﹣6＜ ≤13 x故答案为：﹣6＜ ≤13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键． 14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在线段 BC 上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ ，则 BD 3 3 的长度为________． 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 首先证明 DB=AD=2CD，然后再由条件 BC= 可得答案． 3 3 【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 1∴CD＝ AD． 2∵∠B＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD， ∴BD＝2CD． ∵BC＝ ，3 3 ∴CD＋2CD＝ ，3 3 ∴CD＝ ∴DB＝ ，3，2 3 故答案为： ．2 3 【点睛】此题主要考查了含 30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半． 15. 如图，正比例函数的图象与一次函数 y＝－x＋1 的图象相交于点 P，点 P 到 x 轴的距离是 2，则这个正比 例函数的解析式是________． 【答案】y＝－2x 【解析】 【分析】 首先将点 P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点 P 到 x 轴的距离为 2， ∴点 P 的纵坐标为 2， ∵点 P 在一次函数 y＝－x＋1 上， ∴2＝－x＋1，解得 x＝－1， ∴点 P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为 y＝kx， 把 P（－1，2）代入得 2＝－k，解得 k＝－2， ∴正比例函数解析式为 y＝－2x， 故答案为：y＝－2x． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与 线之间的转化计算是解题的关键． 16. 如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸片展平，再一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，已知 BC＝2，则线段 EG 的长度为________． 【答案】 3【解析】 【分析】 直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进 而得出答案． 【详解】解：如答图，由第一次折叠得 EF⊥AD，AE＝DE， ∴∠AEF＝90°，AD＝2AE． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∴∠AEF＝∠D， ∴EF∥CD， ∴△AEN∽△ADM， AN AE AD 12∴＝＝，AM 1∴AN＝ AM， 2∴AN＝MN， 又由第二次折叠得∠AGM＝∠D＝90°， 1∴NG＝ AM， 2∴AN＝NG， ∴∠2＝∠4． 由第二次折叠得∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4． ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB，∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3． ∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝2． 由第二次折叠得 AG＝AD＝2． 11由第一次折叠得 AE＝ AD＝ ×2＝1． 2222 12 AG2 AE2 在 Rt△AEG 中，由勾股定理得 EG＝ ＝＝，3故答案为： ．3【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出∠2=∠4 是解题关键． 17. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2020 次输出的结果为_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】 依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 1【详解】当 x＝625 时， x＝125， 51当 x＝125 时， x＝25， 51当 x＝25 时， x＝5， 51当 x＝5 时， x＝1， 5当 x＝1 时，x+4＝5， 1当 x＝5 时， x＝1， 5…依此类推，以 5，1 循环， （2020﹣2）÷2＝1010， 即输出的结果是 1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 18. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人． 【答案】10 【解析】 【分析】 如果设每轮传染中平均每人传染了 x 人，那么第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮则有 x（x+1）人被传染， 已知“共有 121 人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可． 【详解】设每轮传染中平均每人传染了 x 人， 则第一轮传染中有 x 人被传染， 第二轮则有 x(x+1)人被传染， 又知：共有 121 人患了流感， ∴可列方程：1+x+x(x+1)=121， x 10.x 12 解得， （不符合题意，舍去） 12∴每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 故答案为 10. 题键【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解 的关 是找准等量关系. 19. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 3 个菱形，第②个图 形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数 为________． 【答案】57 【解析】 【分析】 2根据题意得出第 n 个图形中菱形的个数为 ；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数． n n 1 2【详解】解：第①个图形中一共有 3 个菱形， ；3 1 2 2第②个图形中共有 7 个菱形， ；7 2 3 2第③个图形中共有 13 个菱形， ；13 3 4 …， 2第 n 个图形中菱形的个数为： ；n n 1 2则第⑦个图形中菱形的个数为 ．7 7 1 57 故答案为：57． 【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 20. 如图，在ABC 中， CA CB，ACB 90，AB 2 ，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角 为 90°的扇形 ，点 C 恰好在 上，则图中阴影部分的面积为________． EDF EF 412【答案】 【解析】 【详解】如解图，连接 ，过点 作DM BC 于点 ，DN AC 于点 ．CD NDM设交于点 H，交BC 于点 G，AC DE DF ，CA CB ACB 90 ，点 为的中点， DM BC ，DN AC ，DAB 12DC AB 1 ，四边形 DMCN 是正方形， ，DM 2290 12 4则，S扇形FDE 360 ，GDH MDN 90 ，GDM HDN DMG DNH DM DN 在和△DMG DNH 中， ，GDM HDN DMG≌DNH ASA ，1S四边形DGCH S正方形DMCN =，2412S阴影 ．【点睛】 三、解答题 2|－2cos45°＋(2020－π)0； 21. （1）计算：(－2) －| 2 2a 2 a（2）先化简，再求值：( )÷ ，其中 a＝ －1． 5a 1 a2 1 a 1 335【答案】（1）5－ ；（2） ，2 2 a 1 5【解析】 【分析】 （1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 2【详解】解：（1）原式＝4－ －2× ＋1＝＝4－ －＋1＝5－ 2．222 2 22(a 1) (a 1)(a 1) (a 1)(a 1) a 2 2(a 1) a 2 (a 1)(a 1) aa 1 a（2）解：原式＝[ ]÷ ＝·＝a 1 3a 3a 1 ·＝．(a 1)(a 1) aa 1 3335当 a＝ －1 时，原式＝ ＝＝55 11 55【点睛】此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 22. 规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就 称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 α 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角 线的交点 O 旋转 90°或 180°后，能与自身重合（如图 1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根 据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有：________（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称 图形，其中真命题的个数有（ A．0 B．1 C．2 D．3 ）个； （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45°，90°，135°，180°，将图形补充完 整． 【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计． 【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有(1)(3)(5)． 故答案为：(1)(3)(5)． （3）①中心对称图形，旋转 180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确； ②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度 α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋 转对称图形，故②不正确； ③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确； 即命题中①③正确， 故选：C． （4）图形如图所示： 【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决 问题． 23. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年 级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问 题： （1）本次抽样测试的学生人数是________名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 α 的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E，F，G，H，其中 E 为小明），班主任要从中随机选择两名同学 进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 1【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析， 2【解析】 【分析】 （1）条形统计图中知 B 级 12 名，扇形统计图知 B 级占比 30%，可得总人数； （2）计算出 A 级所占百分比，再乘以 360°即可； （3）用 A 级所占百分比乘以全校总人数即可； （4）根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）∵条形统计图知 B 级的频数为 12，扇形统计图中 B 级的百分比为 30%， ∴12÷30%＝40（名）； （2）∵A 组的频数为 6， 6∴A 级的扇形圆心角 α 的度数为： ×360°＝54°． 40 ∵C 级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图； 6500 75 （3）该校八年级学生中成绩为优秀的有： 40 （4）画树状图得 612∵共有 12 种等可能的结果，选中小明的有 6 种情况，∴选中小明的概率为 ＝12 【点睛】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键． 24. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自 行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元．若该 型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍．已知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售价格为 2400 元，应如何 组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】(1)2000 元；（2） A 型车 20 辆，B 型车 40 辆． 【解析】 【分析】 （1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60﹣a）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值． 【详解】解：（1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得 80000 80000(110%) ，xx 200 解得：x=2000． 经检验，x=2000 是原方程的根． 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60﹣a）辆，获利 y 元，由题意，得 y=a+（60﹣a）， y=﹣300a+36000． 的∵B 型车 进货数量不超过A 型车数量的两倍， ∴60﹣a≤2a， ∴a≥20． ∵y=﹣300a+36000． ∴k=﹣300＜0， ∴y 随 a 的增大而减小． ∴a=20 时，y 最大=30000 元． ∴B 型车的数量为：60﹣20=40 辆． ∴当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 25. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BC＝OB，点 E 是线段 OB 的中点，DE⊥AB 交⊙O 于点 D，点 P 是⊙O 上一动点（不与点 A，B 重合），连接 CD，PE，PC． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； PE （2）小明在研究的过程中发现 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以 PC 证明． 1【答案】（1）见解析；（2） ，解析 2【解析】 【分析】 本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接 OD，DB，由已知可得 DE 垂直平分 OB， 于是 DB＝DO，而 OB＝OD，所以 DB＝DO＝OB，即△ODB 是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰 三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以 OD⊥CD，所以 CD 是 ⊙O 的切线；（2）连接 OP，由已知条件得 OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明 △OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论． 【详解】解：（1）如答图，连接 OD，DB，∵点 E 是线段 OB 的中点，DE⊥AB 交⊙O 于点 D，∴DE 垂直 平分 OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB 是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝ 160°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE 为△BDC 的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝ ∠DBO．∵∠DBO＝60°， 2∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线； 1（2）这个确定的值是 ．2OE OP OP OC 12证明：如答图，连接 OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴ ＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC， PE PC OP OC 12∴＝＝．【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关 键． 226. 已知抛物线 y＝ax ＋bx＋6（a≠0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(－1，0)，交 y 轴于点 C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PD＋PE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分△AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标． 52727249 45 35 5 35 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为( ，)；（2）P(3，12)；（3）( ，)或( ，)22【解析】 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出 OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出 PD=PE，即可得出当 PE 的长度最大时，PE+PD 取最大值，设出点 E 坐标，表示出点 P 坐标，建立 PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出 NF∥x 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线 y＝ax2＋bx＋6 经过点 A（6，0），B（－1，0）， 0 a b 6， ∴0 36a 6b 6， 解得 a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6． 5249 4∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x )2＋ ，5249 4∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（ ，）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当 PE 的长度最大时，PE＋PD 取最大值． 设直线 AC 的函数关系式为 y＝kx＋d， 0 6k d， 6 d， 把 A（6，0），C（0，6）代入得 解得 k＝－1，d＝6， ∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋6． 设 E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则 P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当 t＝3 时，PE 最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF． ∵点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y 轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x 轴． 由（2）知直线 AC 的解析式为 y＝－x＋6， 572当 x＝ 时，y＝ ，25272∴F（ ，）， 7∴点 N 的纵坐标为 ．2∵点 N 在抛物线上， 75 35 5 35 ∴－x2＋5x＋6＝ ，解得，x1＝ 或 x2＝ ，2227275 35 5 35 的∴点 N 坐标为（ ，）或（ ，）． 222【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出 PD=PE，（3） 中 NF∥x 轴是解本题的关键． 本试卷的题干 0635
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