四川省达州市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　） A．2019 B．﹣2019 2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（　　） C． D．﹣ A． B． D． C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a4 C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2 4．（3分）如图是由 7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）一组数据 1，2，1，4的方差为（　　） A．1 6．（3分）下列判断正确的是（　　） A．＜0.5 B．若 ab＝0，则 a＝b＝0 C． D．3a 可以表示边长为 a 的等边三角形的周长 B．1.5 C．2 D．2.5 ＝17．（3分）某公司今年 4月的营业额为 2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9100 万元，设该公司 5、6两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 8．（3分）a 是不为 1的有理数，我们把 1的差倒数，已知a1＝5，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　） A．5 B．﹣ 称为 a 的差倒数，如 2的差倒数为＝﹣1，﹣ ＝C． D． 9．（3分）如图，边长都为 4的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将△EFG 沿 AB 方向以每秒 1个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形 ABCD 和△EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B（2 ，2），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，P 是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC，过点 P 作 PD⊥ PC，交 x 轴于点 D．下列结论： ①OA＝BC＝2 ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时，PC2+PD2＝7； ③在运动过程中，∠CDP 是一个定值； ④当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0）． 2其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为 4.62万亿美元（美国约为 4.278万亿美元），同比增长 12.6%，占全球贸易总额的 11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据 4.62万亿用科学记数法表示为　 12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　．　． 13．（3分）如图所示，点 C 位于点 A、B 之间（不与 A、B 重合），点 C 表示 1﹣2x，则 x 的取值范围是　． 14．（3分）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，△BEO 的周长是 8，则△BCD 的周长为　． 15．（3分）如图，A、B 两点在反比例函数 y＝的图象上，C、D 两点在反比例函数 y＝的图象上，AC⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则 k2﹣k1 ＝　． 316．（3分）如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2和 3之间，顶点为 B． ①抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1与直线 y＝m+2有且只有一个交点； ②若点 M（﹣2，y1）、点 N（，y2）、点 P（2，y3）在该函数图象上，则 y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线解析式为 y＝﹣（x+1） 2+m； ④点 A 关于直线 x＝1的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m＝1时，四边形 BCDE 周长的最小值为 +．其中正确判断的序号是　　．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72分） 17．（5分）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+ ﹣．18．（7 分）先化简：（ ﹣）÷ ，再选取一个适当的 x 的值代入求值． 19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计 4540 680 640 640 780 1110 1070 5460 （1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　元．　元，中位数是　　元，众数是　　（2）估计一个月的营业额（按 30天计算）： ①星期一到星期五营业额相差不大，用这 5天的平均数估算合适么？答（填“合适”或“不合适”）：　． ②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额． 20．（7分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； ②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E．（2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长． 21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了 96 元；节后，按标价的 6折购买，用了 72元，两次一共购买了 27个．这种粽子的标价是多少？ 22．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 作直线 DF∥BC．（1）判断直线 DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB＝6，AE＝，CE＝，求 BD 的长． 23．（8分）渠县賨人谷是国家 AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落” 享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头 5顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形 ABCD，想法测出了尾部 C 看头顶 B 的仰角为 40°，从前脚落地点 D 看上嘴尖 A 的仰角刚好 60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 3m．于是，他们很快就算出了 AB 的长．你也算算？（结果精确到 0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84. ≈1.41， ≈1.73） 24．（11分）箭头四角形模型规律如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 ②如图 3，∠ABE、∠ACE 的 2等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知∠BEC＝120 °，∠BAC＝50°，则∠BFC＝　．　． ③如图 4，BOi、COi 分别为∠ABO、∠ACO 的 2019 等分线（i＝1，2，3，…，2017， 2018）．它们的交点从上到下依次为 O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n °，则∠BO1000C＝　　度．（2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O 是四边形 ABCD 内一点，且 OA＝OB＝OD．求证：四边形 OBCD 是菱形． 625．（12分）如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 过点 A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点 D 的坐标；（3）如图 2．抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交 BE 于点 M，交 y 轴于点 N，△BMP 和△EMN 的面积分别为 m、n，求 m﹣n 的最大值． 72019年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题 3分，共 30分） 1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　） A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣ 【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A． 2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进而判断求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a4 C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、a8÷a4＝a4，故此选项正确； 8C、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；故选：B． 4．（3分）如图是由 7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D．【分析】由已知条件可知，左视图有 2列，每列小正方形数目分别为 3，1．据此可作出判断．【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是 3，1个正方形．故选：B． 5．（3分）一组数据 1，2，1，4的方差为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】先求得这组数据平均值，再根据方差公式，计算即可【解答】解：平均数为＝＝2 方差 S2＝ [（1﹣2）2+（2﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2]＝故选：B． 6．（3分）下列判断正确的是（　　） A． B．若 ab＝0，则 a＝b＝0 C． D．3a 可以表示边长为 a 的等边三角形的周长＜0.5 ＝【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．【解答】解：A、2＜＜3， 9∴＜＜1，本选项错误； B、若 ab＝0，则 a＝0或 b＝0或 a＝b＝0，本选项错误； C、当 a≥0，b＞0时，，本选项错误；＝D、3a 可以表示边长为 a 的等边三角形的周长，本选项正确；故选：D． 7．（3分）某公司今年 4月的营业额为 2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9100 万元，设该公司 5、6两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 【分析】分别表示出 5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司 5、6两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程得： 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D． 8．（3分）a 是不为 1的有理数，我们把 1的差倒数，已知a1＝5，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　） A．5 B．﹣ 称为 a 的差倒数，如 2的差倒数为＝﹣1，﹣ ＝C． D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每 3个数为一个循环组依次循环，用 2019除以 3，根据余数的情况确定出与 a2019相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5， a2＝ a3＝＝＝＝﹣ ，＝，10 a4＝＝＝5， …∴数列以 5，﹣ ，三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝故选：D．，9．（3分）如图，边长都为 4的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将△EFG 沿 AB 方向以每秒 1个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形 ABCD 和△EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（　　） A． B． C． D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当 0≤t≤2时，S＝＝，即 S 与 t 是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当 2 ＜ t ≤ 4 时， S ＝ ﹣＝，即 S 与 t 是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项 C 符合题意，故选：C． 10．（3分）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B（2 ，2），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，P 是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC，过点 P 作 PD⊥ PC，交 x 轴于点 D．下列结论： 11 ①OA＝BC＝2 ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时，PC2+PD2＝7； ③在运动过程中，∠CDP 是一个定值； ④当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据矩形的性质即可得到 OA＝BC＝2 ；故①正确； ②由点 D 为 OA 的中点，得到 OD＝ OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝ OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确； ③如图，过点 P 作 PF⊥OA 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E，PE＝a，则 PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到 BE＝ PE＝ a，求得 CE＝BC﹣BE＝2 ﹣a＝（2﹣ a），根据相似三角形的性质得到 FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③ 正确； ④当△ODP 为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到 OD＝ OC＝，Ⅱ、OP ＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0）．故④ 正确．【解答】解：①∵四边形 OABC 是矩形，B（2 ，2）， ∴OA＝BC＝2 ；故①正确； ②∵点 D 为 OA 的中点， ∴OD＝ OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确； 12 ③如图，过点 P 作 PF⊥OA 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E， ∴PE⊥BC，四边形 OFEC 是矩形， ∴EF＝OC＝2，设 PE＝a，则 PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在 Rt△BEP 中，tan∠CBO＝ ∴BE＝ PE＝ a，＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝2 ∵PD⊥PC， ﹣a＝（2﹣a）， ∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD， ∴∴＝＝，，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2 ，2），四边形 OABC 是矩形， ∴OA＝2 ，AB＝2， ∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP 为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD， ∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝60°， ∴∠ODC＝60°， 13 ∴OD＝ OC＝，Ⅱ、OP＝OD， ∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°， ∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； Ⅲ、OP＝PD， ∴∠POD＝∠PDO＝30°， ∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（故选：D．，0）．故④正确，二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为 4.62万亿美元（美国约为 4.278万亿美元），同比增长 12.6%，占全球贸易总额的 11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据 4.62万亿用科学记数法表示为　4.62×1012　．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：4.62万亿＝4.62×1012，故答案为：4.62×1012 12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　． 14 【分析】根据题意可得：随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，有 3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．【解答】解：因为随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，有 3种方法，其中有 2种能够让灯泡发光所以 P（灯泡发光）＝故本题答案为：．．13．（3分）如图所示，点 C 位于点 A、B 之间（不与 A、B 重合），点 C 表示 1﹣2x，则 x 的取值范围是　﹣ ＜x＜0　．【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出 x 的范围．【解答】解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣ ＜x＜0，则 x 的范围是﹣ ＜x＜0，故答案为：﹣ ＜x＜0 14．（3分）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，△BEO 的周长是 8，则△BCD 的周长为　16　．【分析】根据平行四边形的性质可得 BO＝DO＝ BD，进而可得 OE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得 AB＝CD，从而可得△BCD 的周长＝△BEO 的周长×2．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， 15 ∴BO＝DO＝ BD，BD＝2OB， ∴O 为 BD 中点， ∵点 E 是 AB 的中点， ∴AB＝2BE，BC＝2OE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴CD＝2BE． ∵△BEO 的周长为 8， ∴OB+OE+BE＝8， ∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16， ∴△BCD 的周长是 16，故答案为 16． 15．（3分）如图，A、B 两点在反比例函数 y＝的图象上，C、D 两点在反比例函数 y＝的图象上，AC⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则 k2﹣k1＝　 4　．【分析】设出 A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于 4．【解答】解：设 A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则 CA＝ ﹣＝2， ∴，16 得 a＝同理：BD＝又∵a﹣b＝3 ，得 b＝ ∴﹣＝3 解得：k2﹣k1＝4 16．（3分）如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2和 3之间，顶点为 B． ①抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1与直线 y＝m+2有且只有一个交点； ②若点 M（﹣2，y1）、点 N（，y2）、点 P（2，y3）在该函数图象上，则 y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线解析式为 y＝﹣（x+1） 2+m； ④点 A 关于直线 x＝1的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m＝1时，四边形 BCDE 周长的最小值为 +．其中正确判断的序号是　①③④　．【分析】①把 y＝m+2代入 y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因 BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点 B 关于 y 轴的对称点 B′，作 C 点关于 x 轴的对称点 C′，连接 B′C′，与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 点，求出 B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把 y＝m+2代入 y＝﹣x2+2x+m+1中，得 x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴ 此方程两个相等的实数根，则抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1与直线 y＝m+2有且只有一个交点， 17 故此小题结论正确； ②∵抛物线的对称轴为 x＝1，∴点 P（2，y3）关于 x＝1的对称点为 P′（0，y3），∵a＝﹣ 1＜0，∴当 x＜1时，y 随 x 增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点 N（ y2）、点 P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；，③将该抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣ （x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即 y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确； ④当 m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点 B 关于 y 轴的对称点 B′（﹣1，3），作 C 点关于 x 轴的对称点 C′（2，﹣2），连接 B′C′，与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 点，如图，则 BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知 B′C′最短，而BC 的长度一定， ∴ 此时，四边形BCDE 周长＝ B ′ C ′ +BC 最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：①③④．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72分） 17．（5分）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+ ﹣．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣4+3﹣2 ＝﹣2 ．18．（7 分）先化简：（ ﹣）÷ ，再选取一个适当的 x 的值代入求值． 18 【分析】先对括号里的分式进行整理，，，两式相减进行通分即可进行化简，再代入适当的值即可．【解答】解：化简得，原式＝＝＝﹣ 取 x＝1得，原式＝﹣ ＝﹣ 19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计 540 680 640 640 780 1110 1070 5460 （1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　780　元，中位数是　680　元，众数是　640　元．（2）估计一个月的营业额（按 30天计算）： ①星期一到星期五营业额相差不大，用这 5天的平均数估算合适么？答（填“合适”或“不合适”）：　不合适　． ②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义进行解答即可；（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可； ②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝780（元）；按照从小到大排列为 540、640、640、680、780、1070、1110，中位数为 680元，众数为 640元；故答案为：780，680，640；（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适； 19 故答案为：不合适； ②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为 30×780＝23400（元）． 20．（7分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； ②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E．（2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长．【分析】（1）利用基本作图，先画出 CD 平分∠ACB，然后作 DE⊥BC 于 E；（2）利用 CD 平分∠ACB 得到∠BCD＝45°，再判断△CDE 为等腰直角三角形，所以 DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出 DE．【解答】解：（1）如图，DE 为所作；（2）∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝45°， ∵DE⊥BC， ∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE＝CE， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝，即＝，∴DE＝．21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了 96 20 元；节后，按标价的 6折购买，用了 72元，两次一共购买了 27个．这种粽子的标价是多少？【分析】设这种粽子的标价是 x 元/个，则节后的价格是 0.6x 元/个，根据数量＝总价÷ 单价结合两次一共购买了 27个，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设这种粽子的标价是 x 元/个，则节后的价格是 0.6x 元/个，依题意，得： + 解得：x＝8，＝27，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是 8元/个． 22．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 作直线 DF∥BC．（1）判断直线 DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB＝6，AE＝，CE＝，求 BD 的长．【分析】（1）连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得＝，根据垂径定理得到 OD⊥BC，根据平行线的性质得到 OD⊥DF，于是得到 DF 与⊙O 相切；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）DF 与⊙O 相切，理由：连接 OD， ∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝，∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， 21 ∴OD⊥DF， ∴DF 与⊙O 相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C， ∴△ABD∽△AEC， ∴∴，＝，∴BD＝．23．（8分）渠县賨人谷是国家 AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落” 享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形 ABCD，想法测出了尾部 C 看头顶 B 的仰角为 40°，从前脚落地点 D 看上嘴尖 A 的仰角刚好 60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 3m．于是，他们很快就算出了 AB 的长．你也算算？（结果精确到 0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84. ≈1.41， ≈1.73）【分析】作 BF⊥CE 于 F，根据正弦的定义求出 BF，利用余弦的定义求出 CF，利用正切的定义求出 DE，结合图形计算即可．【解答】解：作 BF⊥CE 于 F， 22 在 Rt△BFC 中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20， CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在 Rt△ADE 中，DE＝＝＝≈1.73， ∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB＝ ≈0.6（m），答：AB 的长约为 0.6m． 24．（11分）箭头四角形模型规律如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　2α　． ②如图 3，∠ABE、∠ACE 的 2等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知∠BEC＝120 °，∠BAC＝50°，则∠BFC＝　85°　． ③如图 4，BOi、COi 分别为∠ABO、∠ACO 的 2019 等分线（i＝1，2，3，…，2017， 2018）．它们的交点从上到下依次为 O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n °，则∠BO1000C＝　（ m+ n）　度．（2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O 是四边形 ABCD 内一点，且 OA＝OB＝OD．求证：四边形 OBCD 是菱形． 23 【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α 可得答案； ②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A 且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF 知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝，代入计算可得； ③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000 C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC 知∠ABO+∠ACO＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C 得∠BOC＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝ ×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝（∠BOC+ ∠BAC）＝∠BOC+ ∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA 知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD ＝2∠BAD 得∠BCD＝∠BOD，连接 OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：（1）①如图 2，在凹四边形 ABOC 中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 24 在凹四边形 DOEF 中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图 3， ∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF， ∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F， ∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°， ∴∠F＝85°； ③如图 3，由题意知∠ABO1000 ＝∠ABO，∠OBO1000 ＝∠ABO， ∠ACO1000＝ ∠ACO，∠OCO1000 ＝∠ACO， ∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝ ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝代入∠BOC＝（∠BO1000C﹣∠BAC），（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C 得∠BOC＝ ×（∠BO1000C﹣∠ BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+ ∠BAC）＝ ∠BOC+ ∠BAC， ∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°， 25 ∴∠BO1000C＝ m°+ n°；故答案为：①2α；②85°；③（ m+ n）；（2）如图 5，连接 OC， ∵OA＝OB＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝∠BOD， ∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC 是公共边， ∴△OBC≌△ODC（SSS）， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO， ∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC＝ ∠BOD，∠BCO＝ ∠BCD，又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO， ∴BO＝BC，又 OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四边形 OBCD 是菱形． 25．（12分）如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 过点 A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点 D 的坐标；（3）如图 2．抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交 26 BE 于点 M，交 y 轴于点 N，△BMP 和△EMN 的面积分别为 m、n，求 m﹣n 的最大值．【分析】（1）利用待定系数法，将 A，B 的坐标代入 y＝﹣x2+bx+c 即可求得二次函数的解析式；（2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，在 Rt△CHO 中，可求得 tan∠COH＝4，推出∠ACO ＝∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出 AD 的长度，进一步可求出点 D 的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）设 P（a，﹣a2﹣2a+3），P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入 y＝kx+b，求出直线 PA 的解析式，求出点 N 的坐标，由 S△BPM＝S△BPA﹣S 四边形 BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S 四边形 BMNO 可推出 S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON，再用含 a 的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．，【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，得，，解得 b＝﹣2，c＝3， ∴y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x+1）2+4， ∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点 C 的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点 C（﹣1，4）， ∴抛物线对称轴为直线 x＝﹣1，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，则 H（﹣1，0），在 Rt△CHO 中，CH＝4，OH＝1， ∴tan∠COH＝＝4， ∵∠COH＝∠CAO+∠ACO， 27 ∴当∠ACO＝∠CDO 时， tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如图 1，当点 D 在对称轴左侧时， ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO， ∴△AOC∽△ACD， ∴＝，∵AC＝＝2 ，AO＝1， ∴＝，∴AD＝20， ∴OD＝19， ∴D（﹣19，0）；当点 D 在对称轴右侧时，点 D 关于直线 x＝1的对称点 D’的坐标为（17，0）， ∴点 D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设 P（a，﹣a2﹣2a+3），将 P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入 y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3， ∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，当 x＝0时，y＝a+3， ∴N（0，a+3），如图 2， ∵S△BPM＝S△BPA﹣S 四边形 BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S 四边形 BMNO ∴S△BPM﹣S△EMN ，＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON ＝ ×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣ ×3×3﹣ ×1×（a+3）＝﹣2a2﹣ a28 ＝﹣2（a+ ）2+ ，由二次函数的性质知，当 a＝﹣ 时，S△BPM﹣S△EMN 有最大值 ∵△BMP 和△EMN 的面积分别为 m、n，，∴m﹣n 的最大值为．29 30