四川省遂宁市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年四川省遂宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1．（4分）﹣|﹣ |的值为（　　） A． B．﹣ C．± D．2 2．（4分）下列等式成立的是（　　） A．2+ ＝2 B．（a2b3）2＝a4b6 D．5x2y﹣2x2y＝3 C．（2a2+a）÷a＝2a 3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字之积是（　　） A．﹣12 B．0 C．﹣8 D．﹣10 4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校 100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　） A．100 B．被抽取的 100名学生家长 C．被抽取的 100名学生家长的意见 D．全校学生家长的意见 5．（4分）已知关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为 x＝0，则 a 的值为（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 6．（4分）如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O 的半径 r＝4，则阴影部分的面积为（　　） 1A．4π﹣8 B．2π C．4π D．8π﹣8 7．（4分）如图，▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交 AD 于点 E，连接 BE，若▱ABCD 的周长为 28，则△ABE 的周长为（　　） A．28 B．24 ﹣1＝ B．k＜4 C．21 D．14 8．（4分）关于 x 的方程的解为正数，则 k 的取值范围是（　　） C．k＞﹣4且 k≠4 D．k＜4且 k≠﹣4 A．k＞﹣4 9．（4分）二次函数 y＝x2﹣ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x＝2，下列结论不正确的是（　　） A．a＝4 B．当 b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8） C．当 x＝﹣1时，b＞﹣5 D．当 x＞3时，y 随 x 的增大而增大 10．（4分）如图，四边形 ABCD 是边长为 1的正方形，△BPC 是等边三角形，连接 DP 并延长交 CB 的延长线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q，下列结论： ①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP ＝．其中正确的有（　　） 2A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分） 11．（4分）2018年 10月 24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全长 55000米，用科学记数法表示为　米． 12．（4分）若关于 x 的方程 x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为　 13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为 92分、85分、90分，综合成绩笔试占 40%，试讲占 40%，面试占 20%，则该名教师的　．综合成绩为　　分． 14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为 i2＝﹣1，这个数 i 叫做虚数单位，把形如 a+bi（a，b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i 根据以上信息，完成下面计算：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　　． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 落在坐标原点，点 A、点 C 分别位于 x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段 OA 上一点，将△OCG 沿 CG 翻折，O 点恰好落在对角线 AC 上的点 P 处，反比例函数 y＝经过点 B．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 C（0，3）、G、A 三点，则该二次函数的解析式为　．（填一般式） 3三、计算或解答题（本大题共 10小题，满分 90分） 16．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣ |17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 218．（7分）先化简，再求值： ÷﹣，其中 a，b 满足（a﹣2）+ ＝0． 19．（9分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，延长 BC 到 E，使 CE＝BC，连接 AE 交 CD 于点 F，点 F 是 CD 的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形 ABCD 是平行四边形． 20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长 200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从 A 至 B 共有 30级阶梯，平均每级阶梯高 30cm，斜坡 AB 的坡度 i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加 2米，斜坡 EF 的坡度 i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 421．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用 2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用 3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了 5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件 225元的价格销售第二批仙桃，售出 80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于 440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价） 22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型经典诵读与写作数学兴趣与培优英语阅读与写作艺体类 ABCDE其他为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了　　名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　　．（4）若该校共有 2000名学生，请估计该校喜欢 A、B、C 三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取 4位同学（其中女生 2名，男生 2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率． 523．（10分）如图，一次函数 y＝x﹣3的图象与反比例函数 y═ （k≠0）的图象交于点 A 与点 B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点 P 是第一象限内双曲线上的点（不与点 A 重合），连接 OP，且过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 C，连接 OC，若△POC 的面积为 3，求出点 P 的坐标． 24．（10分）如图，△ABC 内接于⊙O，直径 AD 交 BC 于点 E，延长 AD 至点 F，使 DF＝2OD，连接 FC 并延长交过点 A 的切线于点 G，且满足 AG∥BC，连接 OC，若 cos∠BAC＝，BC＝ 6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O 的半径 OC；（3）求证：CF 是⊙O 的切线． 25．（12分）如图，顶点为 P（3，3）的二次函数图象与 x 轴交于点 A（6，0），点 B 在该图 6象上，OB 交其对称轴 l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接 BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接 OP，当 OP＝ MN 时，请判断△NOB 的形状，并求出此时点 B 的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM． 72019年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1．【解答】解：﹣|﹣ |＝﹣ 故选：B．．2．【解答】解：A、2+ ，无法计算，故此选项错误； B、（a2b3）2＝a4b6，正确； C、（2a2+a）÷a＝2a+1，故此选项错误； D、故 5x2y﹣2x2y＝3x2y，此选项错误；故选：B． 3．【解答】解：数字为﹣2的面的对面上的数字是 6，其积为﹣2×6＝﹣12．故选：A． 4．【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校 100名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的 100名学生家长的意见．故选：C． 5．【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为 x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则 a 的值为：a＝﹣1．故选：D． 6．【解答】解：∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 BOC﹣S△BOC 故选：A．＝﹣ ×4×4＝4π﹣8， 7．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形的周长为 28， 8∴AB+AD＝14 ∵OE⊥BD， ∴OE 是线段 BD 的中垂线， ∴BE＝ED， ∴△ABE 的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，故选：D． 8．【解答】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且 ≠2，解得：k＞﹣4，且 k≠4．故选：C． 9．【解答】解：∵二次函数 y＝x2﹣ax+b ∴对称轴为直线 x＝＝2 ∴a＝4，故 A 选项正确；当 b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8 ∴顶点的坐标为（2，﹣8），故 B 选项正确；当 x＝﹣1时，由图象知此时 y＜0 即 1+4+b＜0 ∴b＜﹣5，故 C 选项不正确； ∵对称轴为直线 x＝2且图象开口向上 ∴当 x＞3时，y 随 x 的增大而增大，故 D 选项正确；故选：C． 10．【解答】解：∵△PBC 是等边三角形，四边形 ABCD 是正方形， ∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确； ∵∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠DBP＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH， 9∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点 Q 作 QE⊥CD 于 E，设 QE＝DE＝x，则 QD＝ x，CQ＝2QE＝2x， ∴CE＝ x，由 CE+DE＝CD 知 x+ x＝1，解得 x＝，∴QD＝ x＝，∵BD＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝则 DQ：BQ＝ ﹣＝，：≠1：2，故③错误； ∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°， ∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD＝75°， ∴∠DPQ＝∠DQP＝75°， ∴DP＝DQ＝ ∴S△BDP 故选：D．，＝BD•PDsin∠BDP＝ × × ×＝，故④正确；二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分） 11．【解答】解：55000＝5.5×104，故答案为 5.5×104． 12．【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即 4﹣4k＞0， k＜1． 10 故答案为：k＜1． 13．【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为： 92×40%+85×40%+90×20% ＝36.8+34+18 ＝88.8 故答案为：88.8 14．【解答】解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i ＝6﹣i﹣i2 ＝6﹣i+1 ＝7﹣i．故答案为：7﹣i． 15．【解答】解：点 C（0，3），反比例函数 y＝经过点 B，则点 B（4，3），则 OC＝3，OA＝4， ∴AC＝5，设 OG＝PG＝x，则 GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，解得：x＝，故点G（，0），将点 C、G、A 坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：y＝ x2﹣ x+3．三、计算或解答题（本大题共 10小题，满分 90分） 16．【解答】解：原式＝﹣1+ +1﹣4× +2 ﹣2 ＝﹣1+ +1﹣2 +2 ﹣2 ＝﹣ ．17．【解答】解： 11 解不等式①，x＞﹣3，解不等式②，x≤2， ∴﹣3＜x≤2，解集在数轴上表示如下： ∴x 的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2． 18．【解答】解：原式＝ ﹣＝﹣＝﹣ ，∵a，b 满足（a﹣2）2+ ∴a﹣2＝0，b+1＝0， a＝2，b＝﹣1，＝0，原式＝＝﹣1． 19．【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E， ∵点 F 是 CD 的中点， ∴DF＝CF，在△ADF 与△ECF 中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF， ∴AD＝EC， ∵CE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 20．【解答】解：过 A 作 AH⊥BC 于 H，过 E 作 EH⊥BC 于 G， 12 则四边形 EGHA 是矩形， ∴EG＝AH，GH＝AE＝2， ∵AB＝30×30＝900cm＝9米， ∵斜坡 AB 的坡度 i＝1：1， ∴AH＝BH＝，∴BG＝BH﹣HG＝，∵斜坡 EF 的坡度 i＝1： ∴FG＝ ∴BF＝FG﹣BG＝ ∴S 梯形 ABFE （2+ ∴共需土石为，，﹣，＝﹣）× ＝，×200＝50（81 ﹣81+36 ）立方米． 21．【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价 x 元，则 ×＝，解得 x＝180．经检验，x＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为 180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打 y 折．则： ×225×80%+ ×225×（1﹣80%）×0.1y﹣3700≥440，解得 y≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打 6折． 22．【解答】解：（1）此次调查的总人数为 40÷20%＝200（人），故答案为：200；（2）D 类型人数为 200×25%＝50（人）， B 类型人数为 200﹣（40+30+50+20）＝60（人）， 13 补全图形如下：（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 360°× ＝108°，故答案为：108°；（4）估计该校喜欢 A、B、C 三类活动的学生共有 2000× ＝1300（人）；（5）画树状图如下：，由树状图知，共有 12种等可能结果，其中一男一女的有 8种结果， ∴刚好一男一女参加决赛的概率＝．23．【解答】解：（1）将 B（a，﹣4）代入一次函数 y＝x﹣3中得：a＝﹣1 ∴B（﹣1，﹣4）将 B（﹣1，﹣4）代入反比例函数 y═ （k≠0）中得：k＝4 ∴反比例函数的表达式为 y＝（2）如图：；设点 P 的坐标为（m，）（m＞0），则 C（m，m﹣3） 14 ∴PC＝| ﹣（m﹣3）|，点 O 到直线 PC 的距离为 m ∴△POC 的面积＝ m×| ﹣（m﹣3）|＝3 解得：m＝5或﹣2或 1或 2 ∵点 P 不与点 A 重合，且 A（4，1） ∴m≠4 又∵m＞0 ∴m＝5或 1或 2 ∴点 P 的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）． 24．【解答】解：（1）∵AG 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的直径， ∴∠GAF＝90°， ∵AG∥BC， ∴AE⊥BC， ∴CE＝BE， ∴∠BAC＝2∠EAC， ∵∠COE＝2∠CAE， ∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC， ∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝， ∴设 OE＝x，OC＝3x， ∵BC＝6， ∴CE＝3， ∵CE⊥AD， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴x2+32＝9×2， ∴x＝（负值舍去）， ∴OC＝3x＝，∴⊙O 的半径 OC 为；15 （3）∵DF＝2OD， ∴OF＝3OD＝3OC， ∴，∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOE， ∴∠OCF＝∠DEC＝90°， ∴CF 是⊙O 的切线． 25．【解答】解：（1）∵二次函数顶点为 P（3，3） ∴设顶点式 y＝a（x﹣3）2+3 ∵二次函数图象过点 A（6，0） ∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣ ∴二次函数的关系式为 y＝﹣ （x﹣3）2+3＝﹣ x2+2x （2）设 B（b，﹣ b2+2b）（b＞3） ∴直线 OB 解析式为：y＝（﹣ b+2）x ∵OB 交对称轴 l 于点 M ∴当 xM＝3时，yM＝（﹣ b+2）×3＝﹣b+6 ∴M（3，﹣b+6） ∵点 M、N 关于点 P 对称 ∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3， ∴yN＝3+b﹣3＝b，即 N（3，b） ①∵OP＝ MN ∴OP＝MP ∴＝b﹣3 解得：b＝3+3 ∴﹣ b2+2b＝﹣ ×（3+3 ）2+2×（3+3 ）＝﹣3 ∴B（3+3 ，﹣3），N（3，3+3 ）16 ∴OB2＝（3+3 ）2+（﹣3）2＝36+18 ，ON2＝32+（3+3 ）2＝36+18 ，BN2＝（3+3 ﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3 ）2＝72+36 ∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2 ∴△NOB 是等腰直角三角形，此时点 B 坐标为（3+3 ，﹣3）． ②证明：如图，设直线 BN 与 x 轴交于点 D ∵B（b，﹣ b2+2b）、N（3，b）设直线 BN 解析式为 y＝kx+d ∴解得： ∴直线 BN：y＝﹣ bx+2b 当 y＝0时，﹣ bx+2b＝0，解得：x＝6 ∴D（6，0） ∵C（3，0），NC⊥x 轴 ∴NC 垂直平分 OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM 17 18