2021年北京市高考数学试题（原卷版）下载

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． A  x | 1 x 1 B  x | 0  x  2 A B  1. 已知集合 1,2 ，，则 （）(1,2] [0,1) [0,1] A. B. C. D. z(1i)z  2 z  2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （）1 i A. 2  i 3. 已知 B. 2 i C. f (x) D. 1 i f (x) f (x) 在[0,1] [0,1] [0,1] 上的最 是定义在上 的函数，那么“函数 在上单调递增”是“函数 f (1) 大值为 ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）3 3 AB. 4 C. D. 2 3 3 2×2 y2 2, 3 5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ 2）C : 1 a2 b2 y2 x2 3y2 3×2 x2  1  y2 1 x2  1  y2 1 A. B. C. D. 3333ak 1 k  5 a  288 b 192 b  ，则 （ aba  96 6.   和 是两个等差数列，其中 为常值， ，，）113nn5bk 256 A. B. 128 C. D. 64 512 f (x)  cos x  cos2x 的，试判断函数 奇偶性及最大值（ 7. 函数 ）A. 奇函数，最大值为 2 B. 偶函数，最大值为 2 9C. 奇函数，最大值为 89D. 偶函数，最大值为 8mm 10mm 10mm  25mm ），中雨（ 8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ 25mm 50mm 50mm 100mm 的），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时 雨水，如图， ），大雨（ ），暴雨（ 则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 22m  l : y  kx  m 9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时，截得圆 弦长的最小值为2，则 （）C : x  y  4 klCA. B. C. D. 2  3  5  2 a  a  a 100 n，则 的最大值为（ aa  3 10. 数列 是递增的整数数列，且 ，）12nn1A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 1(x3  )4 11. 展开式中常数项为__________． x12. 已知抛物线C : y2  4x ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 C，则 的横坐标是_______ FM  6 FMMS；作 轴于 ，则 N_______． MN  x FMN   (a  b)c  13. ，，，则 _______； _______． a  (2,1) b  (2,1) c  (0,1) ab  66yP(cos,sin) Q(cos(  ),sin(  )) 14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的  ___． f (x)  lg x  kx  2 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： f (x) f (x) f (x) ①若 ，则 有两个零点； 有一个零点； 有三个零点； k  0 k  0 ②③④，使得 ，使得 ，使得 k  0 f (x) 有三个零点． k  0 以上正确结论得序号 是_______． 三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 2 3C  16. 已知 ABC 中， ，．c  2bcos B 在（1）求 B的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． 3 3 ①；②周长为 ；③面积为 SABC ；4  2 3 c  2b 4ABCD  A B C D A D B C 17. 已知正方体 ，点 为1 中点，直线 交平面 于点 ．CDE EF1111111B C 1 的中点； 1（1）证明：点 为FA M 51A B M CF  E 的余弦值为 （2）若点 为棱 1 上一点，且二面角 ，求 的值． M1A B 11318. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为 阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已 知其中 2 人感染病毒． （1）①若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； 1②已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X 为总检测次数，求 11 检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)； （2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)． 3 2x f x 19. 已知函数 ．在  x2  a y  f x   1, f 1 （1）若 a  0 ，求   处切线方程； f x f x （2）若函数   在处取得极值，求  的单调区间，以及最大值和最小值． A(0,2) 1(a  b  0) x  1 x2 y2 a2 b2 20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．E : 4 5 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直 线 AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|≤15，求 k 的取值范围． n N ,a  a 4n ；③ 4n1 Ra  p  0 a  p  0 ， ；② a21. 定义 p 数列 ：对实数 p，满足：① 12nm,n N ．amn  a  a  p,a  a  p 1 ，mnmnR（1）对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 2 数列吗？说明理由； aR a 0 数列，求 5 的值； （2）若  是nn N , S  S Ra（3）是否存在 p，使得存在 p 数列 ，对 10 ？若存在，求出所有这样的 p；若不存在，说 nn明理由．