2003年上海高考数学真题（理科）试卷（word版）下载

第 1 页 共 12 页 绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 第Ⅰ卷 （共110分） 一、填空题（本大题满分 48分）本大题共有 12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 441．函数 y  sin xcos(x  )  cos xsin(x  ) 的最小正周期 T= .32．若 x  是方程2cos(x )  1的解,其中 (0,2 ),则  .3．在等差数列{an }中，a5=3, a6=－2,则 a4+a5+…+a10= 24．在极坐标系中，定点 A(1, ),点B在直线  cos   sin  0 上运动，当线段 AB最短 时，点 B的极坐标是 5．在正四棱锥 P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则异面直线 PA与 BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合 A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且 x  A  B} =.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表 示） 8．若首项为 a1，公比为 q的等比数列{an }的前 n项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1，公比 q的一组取值可以是（a1，q）= .9．某国际科研合作项目成员由 11个美国人、4个法国人和 5个中国人组成.现从中随机选 出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 分数表示） .（结果用 10．方程 x3+lgx=18的根 x≈ .（结果精确到 0.1） 22211．已知点 A(0, ),B(0, ),C(4  ,0),其中 n的为正整数.设 Sn表示△ABC外接圆的面 nnn积，则 lim Sn =.n 第 1 页 共 12 页 第 2 页 共 12 页 x2 y2 12．给出问题：F1、F2是双曲线 =1的焦点，点 P在双曲线上.若点 P到焦点 F1的距 16 20 离等于 9，求点 P到焦点 F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正 确的结果填在下面空格内. 二、选择题（本大题满分 16分）本大题共 4题，每题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （）A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). xC． y  sin(x  ). D． y | ctg |. 214．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 2（）A．α、β都垂直于平面 r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且 l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且 l∥α，m∥α, l∥β，m∥β. 15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0和 a2x2+b2x+c2>0的解集分 a1 b1 c1 别为集合 M和 N，那么“ ”是“M=N”的 （）a2 b2 c2 A．充分非必要条件. C．充要条件 B．必要非充分条件. D．既非充分又非必要条件. 16．f(x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x ）=af（ x ）+b， 则下 列关于函数 g（ x）的叙述正确的是 （）A．若 a<0,则函数 g（ x）的图象关于原点对称. ）=0有大于 2的实根. B．若 a=－1，－2<b<0,则方程 g（ xC．若 a≠0,b=2,则方程g（ D．若 a≥1,b<2,则方程 g（ xx）=0有两个实根. ）=0有三个实根. 三、解答题（本大题满分 86分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 第 2 页 共 12 页 第 3 页 共 12 页 17．（本题满分 12分） 已知复数 z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 18．（本题满分 12分） 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面 ABCD，AB=4，AD=2.若 B1D⊥BC，直线 B1D 与平面 ABCD所成的角等于 30°，求平行六面体 ABCD—A1B1C1D1的体积. 第 3 页 共 12 页 第 4 页 共 12 页 19．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 9分. 已知数列{an }（n为正整数）是首项是 a1，公比为 q的等比数列. （1）求和： a1C20  a2C21  a3C22 ,a1C30  a2C31  a3C32  a4C33 ; （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n的一个结论，并加以证明. 第 4 页 共 12 页 第 5 页 共 12 页 20．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道全 长 2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高 h为 6米，则隧道设计的拱 宽 l是多少？ （2）若最大拱高 h不小于 6米，则应如何设 计拱高 h和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ 4（半个椭圆的面积公式为 S  lh ，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米） 第 5 页 共 12 页 第 6 页 共 12 页 21．（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 5分，第 3小 题满分 7分. 在以 O为原点的直角坐标系中，点 A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|， 且点 B的纵坐标大于零. （1）求向量 AB 的坐标； （2）求圆 x2  6x  y2  2y  0 关于直线 OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数 a，使抛物线 y  ax2 1上总有关于直线 OB对称的两个点？若不存 在，说明理由：若存在，求 a的取值范围. 第 6 页 共 12 页 第 7 页 共 12 页 22．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 6分，第 3小 题满分 7分. 已知集合 M是满足下列性质的函数 f(x)的全体：存在非零常数 T，对任意 x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数 f(x)= x 是否属于集合 M？说明理由； （2）设函数 f(x)=ax（a>0,且 a≠1）的图象与 y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k的取值范围. 第 7 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页 第 9 页 共 12 页 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第 1题至第 12题） 432 3 1．π. 2． . 3．－49 .4． (,  ) . 5．arctg2. 6．[1,3]. 2 4 11 1119 190 7． arccos .8． (1, )(a1  0,0  q  1的一组数）. 9． 6211．4π 10．2.6 . 12．|PF2|=17. 二、（第 13题至第 16题） 题代号号13 C14 D15 D16 B三、（第 17题至第 22题） 17．[解] | z1  z2 ||1 sin cos  (cos  sin )i |  (1 sin cos )2  (cos  sin )2 1 2  sin2  cos2   2  sin2 2 . 43故| z1  z2 |的最大值为 , 最小值为 2 . 218．[解]连结 BD，因为 B1B⊥平面 ABCD，B1D⊥BC，所以 BC⊥BD. 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以 BD=2 3 .又因为直线 B1D与平面 ABCD所成的角等于 30°，所以 1∠B1DB=30°，于是 BB1= BD=2. 3故平行六面体 ABCD—A1B1C1D1的体积为 SABCD·BB1=8 3 19．[解]（1） .a1C20  a2C21  a3C22  a1  2a1q  a1q2  a1 (1 q)2 , a1C30  a2C31  a3C32  a4C33  a1  3a1q  3a1q2  a1q3  a1 (1 q)3. （2）归纳概括的结论为： 若数列{an }是首项为 a1，公比为 q的等比数列，则 a1Cn0  a2Cn1  a3Cn2  a4Cn3  (1)n an1Cnn  a1 (1 q)n ,n为正整数. 证明: a1Cn0  a2Cn1  a3Cn2  a4Cn3  (1)n an1Cnn  a1Cn0  a1qCn1  a1q2Cn2  a1q3Cn3  (1)n a1qnCnn  a1[Cn0  qCn1  q2Cn2  q3Cn3  (1)n qnCnn ]  a1 (1 q)n 第 9 页 共 12 页 第 10 页 共 12 页 x2 y2 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点 P（11，4.5）， 椭圆方程为  1 .a2 b2 44 7 788 7 7将 b=h=6与点 P坐标代入椭圆方程，得 a  ,此时l  2a   33.3.因此 隧道的拱宽约为 33.3米. （2）[解一] x2 y2 112 4.52 由椭圆方程  1，得  1. a2 b2 a2 b2 112 4.52 211 4.5 因为 即ab  99,且l  2a,h  b, a2 b2 ab ab 99 4所以S  lh  .22112 4.52 19 2 2当S取最小值时,有  ,得a  11 2,b  a2 b2 2此时l  2a  22 2 31.1,h  b  6.4 故当拱高约为 6.4米、拱宽约为 31.1米时，土方工程量最小. x2 y2 112 4.52 81 4a2 a2 121 [解二]由椭圆方程  1，得  1. 于是b2  ,a2 b2 a2 b2 81 1212 81 a2b2  (a2 121  242)  (2 1212  242)  81121, a2 121 441212 即ab  99,当S取最小值时,有a2 121  ,a2 121 9 2 得a  11 2,b  .以下同解一. 222| AB | 2 | OA | u  v  100 AB  {u,v},则由 ,即 21．[解]（1）设 得4u  3v  0, | AB |  | OA | 0 u  6 u  6 ,或 .因为OB  OA  AB  {u  4,v  3}, v  8 v  8 所以 v－3>0,得 v=8,故 AB ={6，8}. 第 10 页 共 12 页 第 11 页 共 12 页 1（2）由OB ={10，5}，得 B（10，5），于是直线 OB方程： y  x. 2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 10 设圆心（3，－1）关于直线 OB的对称点为（x ,y）则 .x  3 2y 1 x  3 y 1 2 2  0 x  1 ,得 ,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10. y  3  2 （3）设 P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线 OB对称两点，则 x  x y1  y2 212 2  0 ,得 x1  x2   22a,y1  y2 x1  x2 5  2a 2a2  2 x1x2  25  2a 2a2 即x1, x2为方程x2  x   0的两个相异实根, a4a2 5  2a 2a2 3于是由   4  0,得a  . 23故当 a  时，抛物线 y=ax2－1上总有关于直线 OB对称的两点. 222．[解]（1）对于非零常数 T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意 x∈R，x+T=Tx不能恒 成立，所以 f(x)=x  M. （2）因为函数 f(x)=ax（a>0且 a≠1）的图象与函数 y=x的图象有公共点， xy  a y  x 所以方程组： 有解，消去 y得 ax=x, 显然 x=0不是方程 ax=x的解，所以存在非零常数 T，使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax有 f (x  T)  axT  aT  ax  T  ax  Tf (x) 故 f(x)=ax∈M. （3）当 k=0时，f(x)=0，显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0时，因为 f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数 T，对任意 x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即 sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为 k≠0，且x∈R，所以 kx∈R，kx+kT∈R， 于是 sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 第 11 页 共 12 页 第 12 页 共 12 页 只有 T=1，当 T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则 k=2mπ, m∈Z . 当 T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即 sin(kx－k+π)= sinkx 成立， 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即 k=－2(m－1) π, m∈Z . 综合得，实数 k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z} 第 12 页 共 12 页