2022年高考数学真题（上海自主命题）（春季卷）下载

2022 年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） ¯푧 = 2 + 푖 푧= 푖1. 已知 （其中 为虚数单位），则． 퐴 = 퐵 = ，集合 ( ―1,2) 퐴 ∩ 퐵 = ，则 ． 2. 已知集合 (1,3) 푥 ― 1 < 0 3. 不等式 的解集为 ． 푥훼 + 휋4 =．tan훼 = 3 4. 若 tan ，则 푓= 푥3 푓―1 푓―1 =．(27) 5. 设函数 的反函数为 ，则 (푥) (푥) 12 的展开式中，则含푥14项的系数为 ． 푥3 + 1푥 6. 在 푥 + 푚푦 = 2 푚푥 + 16푦 = 8 푥푦푚有无穷多解，则实数 的值为． 7. 若关于 ， 的方程组 △ 퐴퐵퐶 中， ∠퐴 = 휋 퐴퐵 2퐴퐶 3 △ 퐴퐵퐶 ，则 的外接圆半径为． ＝8. 已知在 ，，＝312342134 9. 用数字 、 、 、 组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比 大的数字个数为 .（用数字作答） →→△ 퐴퐵퐶 ∠퐴 = 90∘ 퐴퐵 퐴퐶 2＝푀퐴퐵 푃，点 为边的中点，点 在边上，则 퐵퐶 푀푃 ⋅ 퐶푃 10. 在 中， ，的最小值为 ． ＝2푃푃훤:푥 ― 푦2 = 1 푥 푥> 푦 푦 11. 已知 ，1(푥1,푦1) 两点均在双曲线 2(푥2,푦2) 的右支上，若 2恒成立，则实 (푎 > 0) 121푎2 푎数 的取值范围为 ． 푦 = 푓 푥＝1푥 ∈ (0,1] 푓= ln푥 ，若将方 12. 已知函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 R对称，且当 时， (푥) (푥) 푓= 푥 + 1 푥푥2푥푥lim =．(푥푛+1 ― 푥푛) 程的正实数根从小到大依次记为 ，，3，…， 푛，则 (푥) 1푛→∞ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的 相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 1. 下列函数定义域为 的是（） R12112푦 = 푥― A. 푦 = 푥―1 B. 푦 = 푥 푦= 푥 3C. D. 푎 > 푏 > 푐 > 푑 2. 若 푎 + 푑 > 푏 + 푐 푎+ 푐 > 푏 + 푑 푎푐> 푏푑 A. B. C. ，则下列不等式恒成立的是（ ） 푎푑 > 푏푐 D. 03. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天 点至 12 12 0点（包含 点，不含点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ） 0A. 2B. 412 D. C. 푛푆푛的前 项和为 푛，前 项积为 푛，则下列选项判断正确的是（ ） 푇4. 已知等比数列 {푎푛} 푆2022 > 푆2021 ，则数列 A.若 是递增数列 {푎푛} 푇2022 > 푇2021 ，则数列 B.若 是递增数列 {푎푛} 푎2022 ≥ 푎2021 C.若数列 是递增数列，则 {푆푛} 푎2022 ≥ 푎2021 D.若数列 是递增数列，则 {푇푛} 三、简答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 푂푂퐴퐴 11为圆柱的母线，底面半径长为 ． 1. 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 、 ，1퐴퐴 = 4 푀퐴퐴 푀푂 ， 为1的中点，求直线 1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （1）若 1푂푂 （2）若圆柱过 1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 푎 = 1 2푛，其前 项和为 푆2. 已知在数列 中， ．푛{푎푛} 푆 = 3 푙푖푚푆 ；푛（1）若 是等比数列， ，求 {푎푛} 2푛→∞ 푆≥ 푛푑 ，求其公差 的取值范围． （2）若 是等差数列， {푎푛} 2푛 3. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是 퐴퐵퐶퐷 퐴퐵 30푚 퐴퐷 15푚 퐷．为保护 处的一棵古树，有关部门划定了以 一处要架空线入地的矩形地块 퐷퐴 ，，＝＝퐷퐴퐵 퐶퐷 퐸为圆心、 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为 边上的点，出线口为 퐹퐸퐹 퐸퐹 边上的点 ，施工要求与封闭区边界相切， 右侧的四边形地块 퐵퐶퐹퐸 将作为绿地保护生态区．（计算长 0.1ꢀ푚 0.01ꢀ푚2 度精确到 ，计算面积精确到 ）∠퐴퐷퐸 = 20∘ 퐸퐹 ，求 的长； （1）若 퐸퐴퐵 （2）当入线口 在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？ 2훤:푥 + 푦2 = 1 퐴퐵훤퐶퐷， 、 两点分别为 的左顶点、下顶点， 、 两点均在直线 푙:푥 = 푎 퐶上，且 4. 已知椭圆 (푎 > 1) 푎2 在第一象限． 퐹훤∠퐴퐹퐵 = 휋 6，求 的标准方程； 훤（1）设 是椭圆 的右焦点，且 퐶퐷21퐴퐷 퐵퐶 훤（2）若 、 两点纵坐标分别为 、 ，请判断直线与直线 的交点是否在椭圆上，并说明理由； 퐴퐷 퐵퐶 、훤푃푄分别交椭圆 于点 、点 ，若 、 关于原点对称，求 푃 푄 （3）设直线 的最小值． |퐶퐷| 푓푓휑变换的操作： 变换： 푓― 푓 휔 ∣푓 ； 变换： (푥 ― 푡) ―(푥 + 푡) 5. 已知函数 的定义域为 ，现有两种对 (푥) (푥) (푥) R，其中 为大于的常数． 푓∣푡0(푥) 푓푓푓= 2푥 푡1푔(푥) 푓휑做 变换后的结果，解方程： 푔 = 2 ；(푥) （1）设 （2）设 （3）设 ，，，为(푥) ＝(푥) = 푥2 ℎ(푥) 푓휔푓≥ ℎ 为做 变换后的结果，解不等式： ；(푥) (푥) (푥) (푥) 푓휑先做 变换后得到 푢(푥) 푢(푥) 휔再做 变换后得到 ℎ1(푥) 푓휔先做 在上单调递增， ，；(푥) (―∞,0) (푥) (푥) 푣(푥) 푣(푥) 휑再做 变换后得到 ℎ ℎ ．若 2(푥) 1(푥) = ℎ 2(푥) 푓变换后得到 ，恒成立，证明：函数 在 上单调递增． R(푥) 参考答案与试题解析 2022 年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1. 【答案】 2 ― 푖 【考点】 共轭复数 【解析】 根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解． 【解答】 ∵ 푧= 2 + 푖 解： ，¯∴ 푧= 2 ― 푖 ．2 ― 푖 故答案为： 2. 【答案】 .(1,2) 【考点】 交集及其运算 【解析】 利用交集定义直接求解． 【解答】 ∵퐴 = 퐵 = ，集合 (1,3) 解： 集合 ，( ―1,2) ．∴ 퐴∩ 퐵 = 故答案为： 3. (1,2) ．(1,2) 【答案】 (0,1) 【考点】 其他不等式的解法 【解析】 把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解． 【解答】 푥< 0 ，解：由题意得 (푥 ― 1) 0 < 푥 < 1 解得 ，故不等式的解集 ．(0,1) ．故答案为： 4. 【答案】 (0,1) ―2 【考点】 两角和与差的三角函数 【解析】 由两角和的正切公式直接求解即可． 【解答】 tan훼 = 3 解：若 ，tan훼 + tan 휋4 1 ― tan훼tan 휋4 3 + 1 훼 + 휋4 tan === ― 2 ．1 ― 3 × 1 则― 2 故答案为： 5. 【答案】 ．3【考点】 反函数 【解析】 直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值． 【解答】 푓푓―1 = 푥3 푓―1 解：函数 的反函数为 ；，(푥) (푥) (푥) 3푥=整理得 푓―1 = 3 所以 ．(27) 3故答案为： ． 6. 【答案】 66 【考点】 二项式定理的应用 【解析】 푥4푘求出展开式的通项公式，令 的次数为﹣ ，求出 的值即可． 【解答】 푘1푘+1 = 퐶푘 = 퐶1푘2푥36―4푘 12―푘 12(푥3) 푘 = 10 푇解：展开式的通项公式为 ，푥36 ― 4푘 = ― 4 4푘 = 40 由即，得 ，得 ，66 푥4 110 푇11 = 퐶 푥―4 =66 ，即含푥4项的系数为 ，12 66 故答案为： 7. 【答案】 ．4【考点】 方程组解的个数与两直线的位置关系 两条直线的交点坐标 直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】 푥 + 푚푦 = 2푚푥 + 16푦 8 푚 重合，由此求出 的值，即可得答案． ＝根据题意，分析可得直线 【解答】 和푥 + 푚푦 = 2 푚푥 + 16푦 = 8 푥푦解：根据题意，若关于 ， 的方程组 有无穷多解， 푥 + 푚푦 = 2푚푥 + 16푦 81 × 16 = 푚 × 푚 푚2 = 16 푚 =± 4 ，解可得 ， 则直线 和重合，则有 ，即 ＝푚 = 4 当当故时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 푚 = ― 4 时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 푚4．＝4故答案为： ． 8. 【答案】 21 3【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】 直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】 △ 퐴퐵퐶 中， ∠퐴 = 휋 퐴퐵 2퐴퐶 3，＝解：在 ，，＝3퐵퐶2 = 퐴퐶2 + 퐴퐵2 ― 2퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 ⋅ cos퐴 퐵퐶 = 7，利用余弦定理 ，整理得 퐵퐶 21 = 2푅 푅 = 3所以 ，解得 ．sin퐴 21 故答案为: .39. 【答案】 17 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【解析】 2根据题意，按四位数的千位数字分 种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【解答】 1解：根据题意，用数字 、 、 、 组成没有重复数字的四位数， 23434当其千位数字为 或 时，有 2퐴3 = 12 12 种情况，即有 个符合题意的四位数， 32当其千位数字为 时，有 种情况，其中最小的为 62134 6152134 个比 大的四位数， ，则有 ﹣ ＝12 + 517 个比 ＝2134 大的四位数， 故有 17 故答案为: 10. 【答案】 .98―【考点】 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 →→푀푃 ⋅ 퐶푃 = 2푥2 ― 3푥 建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出 ，再利用二次函数求最值即可． 【解答】 解：建立平面直角坐标系如下， 퐵퐶(0,2) 푀(1,0) 则，，，(2,0) 푦 = 1 푥 + 푦 2，＝푥퐵퐶 +直线 的方程为2 ，即 2푃点 在直线上，设 푃(푥,2 ― 푥) ，→→∴ 푀푃= 퐶푃 = (푥, ― 푥) ，，(푥 ― 1,2 ― 푥) 2→→∴ 푀푃⋅ 퐶푃 = 푥 ― 푥 = 2푥2 ― 3푥 = 2푥 ― 3 ― 98 ≥ ― 89 ，(푥 ― 1) (2 ― 푥) 4→→9∴ 푀푃⋅ 퐶푃 ―的最小值为 ．89―故答案为: .811. 【答案】 [1, + ∞) 【考点】 双曲线的简单几何性质 【解析】 푃푃푥 푥> 푦 푦 2，可得 푂→푃 ⋅푂→푃 > 0 ∠푀푂푁 ≤ 90∘ ，然后可得渐近线夹角 ，代 取2的对称点 ，结合 3(푥2, ― 푦2) 12113入渐近线斜率计算即可求得． 【解答】 푃解：设 2的对称点 푃3(푥2, ― 푦2) 仍在双曲线右支， 푥 푥> 푦 푦 푥 푥― 푦푦 > 0 푂→푃 ⋅푂→푃 > 0 恒成立， 由2，得 ，即 121121213∴ ∠푃1푂푃 ∠푀푂푁 ≤ 90∘ 1 ≤ 1 ，3恒为锐角，即 ，∴푦 = 1푥 其中一条渐近线 的斜率푎 푎∴ 푎≥ 1 ，푎所以实数 的取值范围为 [1, + ∞) ．[1, + ∞) 故答案为： 12. 【答案】 ．2【考点】 极限及其运算 【解析】 푓4lim 是周期为 的周期函数，作出图像， (푥푛+1 ― 푥푛) 的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出 (푥) 푛→∞ 结果． 【解答】 ∵푦 = 푓 푥＝1푥 ∈ (0,1] 时， 푓= ln푥 ，(푥) 解： 函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 对称，且当 (푥) R是周期为 的周期函数，图像如图： ∴ 푓 4(푥) 푓= 푥 + 1 푥 푥푥 푥 ， ，3，…， 푛，， 1 2 将方 的正实数根从小到大依次记为 (푥) lim 2的几何意义是两条渐近线之间的距离 ， 则(푥푛+1 ― 푥푛) 푛→∞ ∴lim = 2 ．(푥푛+1 ― 푥푛) 푛→∞ 2故答案为： ． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的 相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 1. 【答案】 C【考点】 函数的定义域及其求法 【解析】 化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】 11푦 = 푥― ={푥∣푥 > 0} 푥，定义域为 ， 2解： 1푦 = 푥―1 ={푥∣푥 ≠ 0} 푥，定义域为 ，133푥푦 = 푥 = ，定义域为 ， R12푥，定义域为 푦 = 푥 = {푥∣푥 ≥ 0} ．13∴푦 = 푥 定义域为 的是 R．故选: C . 2. 【答案】 B【考点】 不等式性质的应用 【解析】 根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】 푎2푏1푐1푑 2 푎 > 푏 > 푐 > 푑 ， ，满足 ＝﹣ 푎 + 푑 = 푏 + 푐 解：对于 A，令 ，，，但 ∴由不等式的可加性可得， ，故 A 错误， ＝＝＝﹣ ∵ 푎> 푏 > 푐 > 푑 푎 > 푏 푐> 푑 ，푎 + 푐 > 푏 + 푑 对于 B， 对于 C，令 对于 D，令 故选: B . 3. ，即 ，，故 B 正确， ，故 C 错误， ，故 D 错误． 푎2푏＝1푐1푑 2 ， ，满足 ＝﹣ 푎 > 푏 > 푐 > 푑 푎 > 푏 > 푐 > 푑 푎푐 = 푏푑 푎푑 < 푏푐 ，，，但 ＝＝﹣ 푎2푏，＝1푐1푑2，满足 ＝﹣ ，，，但 ＝＝﹣ 【答案】 B【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】 39点时和 点时相邻两钟面上的时针相互垂直． 【解答】 39解： 点时和 点时相邻两钟面上的时针相互垂直， ∴012 12 02每天 点至点（包含 点，不含点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为 ， 故选：B． 4. 【答案】 D【考点】 数列的应用 【解析】 反例判断 A；反例判断 B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断 C；推出数列公比以及数列项的范围， 即可判断 D． 【解答】 푎 = ― 1 12푆2022 > 푆2021 解：如果数列 ，公比为﹣ ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 A 不正确； {푎푛} 1푎 = 1 ―푇2022 > 푇2021 如果数列 ，公比为 2，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 B 不正确； {푎푛} 푎2022 < 푎 是递增数列，但是 2021，所以 C 不 1푛1푆 = 1 ― = 2 112푎 = 1 1如果数列 正确； ，公比为2， ，数列 1 ― 2푛 {푆푛} 푛12푇 > 푇 是递增数列，可知 푎 > 1 푛푞 ≥ 1 푎2022 ≥ 푎 ，可得 2021正确，所以 D 正确； 数列 푛―1，可得 ，所以 {푇푛} 푛故选：D． 三、简答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 1. 【答案】 퐴퐴 퐴퐴 解：（1）因为 1为圆柱的母线，所以 1垂直于上底面， 퐴1푀 ∠푀푂 퐴 푀푂 tan∠푀푂 퐴= =2 = 2 所以 所以 1是直线 1与上底面所成角， ，111푂1퐴1 1∠푀푂 퐴= arctan2 ．11푂푂 퐴퐴 = 2 （2）因为圆柱过 1的截面为正方形，所以 ，1푉 = 휋푟2ℎ = 휋 ⋅ 12 ⋅ 2 = 2휋 所以圆柱的体积为 ，푆 = 2휋푟ℎ = 2휋 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4휋 圆柱的侧面积为 ．【考点】 直线与平面所成的角 柱体、锥体、台体的体积计算 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】 （1）转化为解直角三角形问题求解； （2）用圆柱体积和侧面积公式求解． 【解答】 퐴퐴 퐴퐴 解：（1）因为 1为圆柱的母线，所以 1垂直于上底面， 퐴1푀 ∠푀푂 퐴 푀푂 tan∠푀푂 퐴= =2 = 2 所以 所以 1是直线 1与上底面所成角， ，111푂1퐴1 1∠푀푂 퐴= arctan2 ．11푂푂 퐴퐴 = 2 （2）因为圆柱过 1的截面为正方形，所以 ，1푉 = 휋푟2ℎ = 휋 ⋅ 12 ⋅ 2 = 2휋 所以圆柱的体积为 ，푆 = 2휋푟ℎ = 2휋 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4휋 圆柱的侧面积为 ．2. 【答案】 푎 = 1푆 = 3 푎 = 2 ，1解：（1）在等比数列 中， ，，则 {푎푛} 22푛∴푞 = 1 2，则 푆 = 푎 (1 ― 푞) = 4 11公比 ，1 ― 2푛 푛1 ― 푞 1푙푖푚푆푛 = 푙푖푚4 = 4 ；1 ― 2푛 푛→∞ 푛→∞ （2）若 是等差数列， {푎푛} 푆=(푎2 + 푎2푛―1) ⋅ 2푛 = 2푑푛2 + 푛 ≥ 푛 ，(2 ― 3푑) 则即当2푛 2푑 ≤ 1 푛 1 푑 ≤ 1 时， ＝，当 ；(3 ― 2푛) 11푛 ≥ 2 푑 ≥ 时， ∵∈ [ ― 1,0) ∴ 푑≥ 0 ， ． 3 ― 2푛恒成立， 3 ― 2푛 푑 ∈ [0,1] 综上所述， 【考点】 ．数列的极限 【解析】 푛（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前 项和，求极限得答案； 2푛 푆≥ 푛푛 ，对 分类分析得答案． （2）求出等差数列的前 项和，代入 【解答】 2푛 푎 = 1푆 = 3 푎 = 2 ，1解：（1）在等比数列 中， ，，则 {푎푛} 22푛∴푞 = 1 2，则 푆 = 푎 (1 ― 푞) = 4 11公比 ，1 ― 2푛 푛1 ― 푞 1푙푖푚푆푛 = 푙푖푚4 = 4 ；1 ― 2푛 푛→∞ 푛→∞ （2）若 是等差数列， {푎푛} 푆=(푎2 + 푎2푛―1) ⋅ 2푛 = 2푑푛2 + 푛 ≥ 푛 ，(2 ― 3푑) 则即当2푛 2푑 ≤ 1 푛 1 푑 ≤ 1 时， ＝，当 ；(3 ― 2푛) 11푛 ≥ 2 푑 ≥ 时， ∵∈ [ ― 1,0) ∴ 푑≥ 0 ， ． 3 ― 2푛恒成立， 3 ― 2푛 푑 ∈ [0,1] 综上所述， 3. ．【答案】 解：（1）作 퐷퐻 ⊥ 퐸퐹퐻 ，垂足为 ， 퐸퐹 = 퐸퐻 + 퐻퐹 = 15tan20∘ + 15tan50∘ ≈ 23.3푚 则；∘∠퐴퐷퐸 = 휃 ，则 퐴퐸 = 15tan휃 퐹퐻= 15tan ，(90 ― 2휃) （2）设 ，= 2푆△퐴퐷퐸 + 푆△퐷퐹퐻 = 2 × 12 × 15 × 15tan휃 + 12 × 15 × 15tan (90 ― 2휃) ∘푆四边形 ，ADFE 215 215 2130tan휃 + 15 ⋅ 1 + tan휃 ==(30tan휃 + 15cot2휃) 2tan휃 ，225 3225 2=≥3tan휃 + tan휃 4133时取等号， 3tan휃 = tan휃 = 当且仅当 tan휃，即 3450 ― 225 ≈ 255.14ꢀ푚2 3퐴퐸 = 15tan휃 = 5 此时 ，最大面积为 ．2【考点】 基本不等式及其应用 【解析】 퐷퐻 ⊥ 퐸퐹 퐸퐹 ，（1）作 （2）设 ，然后结合锐角三角函数定义表示出 ∠퐴퐷퐸 = 휃 퐴퐸 퐹퐻 ， ，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化 ，结合锐角三角函数定义可表示 简，再由基本不等式可求． 【解答】 퐷퐻 ⊥ 퐸퐹퐻 ，垂足为 ， 解：（1）作 퐸퐹 = 퐸퐻 + 퐻퐹 = 15tan20∘ + 15tan50∘ ≈ 23.3푚 则；∘∠퐴퐷퐸 = 휃 ，则 퐴퐸 = 15tan휃 퐹퐻= 15tan ，(90 ― 2휃) （2）设 ，= 2푆△퐴퐷퐸 + 푆△퐷퐹퐻 = 2 × 12 × 15 × 15tan휃 + 12 × 15 × 15tan ∘푆四边形 ，(90 ― 2휃) ADFE 215 215 30tan휃 + 15 ⋅ 1 + tan휃 ==(30tan휃 + 15cot2휃) 22tan휃 ，225 31225 2=≥3tan휃 + tan휃 4133时取等号， 3tan휃 = tan휃 = 当且仅当 tan휃，即 3450 ― 225 ≈ 255.14ꢀ푚2 3퐴퐸 = 15tan휃 = 5 此时 ，最大面积为 ．24. 【答案】 퐵퐹(푐,0) 解：（1）由题可得 ，，(0, ― 1) ∠퐴퐹퐵 = 휋 tan∠퐴퐹퐵 = 푏 =1푐 = tan휋6 = 33푐 = 因为 所以 6，所以 3 ，解得 ，푐푥2 2푎2 = 1 + () =4 훤+ 푦2 = 1 3，故 的标准方程为4 ；퐴퐷 퐵퐶 （2）直线 与直线 的交点在椭圆上， 퐴퐵퐶(푎,2) 퐷，(푎,1) 由题可得此时 ，( ―푎,0) ，，(0, ― 1) 1퐵퐶:푦 = 3푥 ― 1 퐴퐷:푦 = 2푎푥 + 1 2，交点为 3푎 4则直线 ，直线 ，,푎55223푎 5푎2 45+= 1 ，满足 퐴퐷 퐵퐶 故直线 与直线 的交点在椭圆上； 푎, sin휃 + 1 ― 1 퐶，所以 퐵푃퐵푃:푦 = sin휃 + 1푥 ― 1 （3） ，，则直线 (푎cos휃,sin휃) ，(0, ― 1) 푎cos휃 cos휃 sin휃 2sin휃 퐴푄퐴푄:푦 = 퐷，所以 푎, cos휃 ― 1 ，( ―푎,0) ，则直线 ，( ―푎cos휃, ― sin휃) 푎cos휃 ― 푎(푥 + 푎) 2sin 휃2 cos 휃2 + sin2 휃2 + cos2 휃 4sin 휃2 cos 휃 2sin휃 sin휃 + 1 ― 1 ― cos휃 ― 1 =―2 ― 1 2=所以 ，|퐶퐷| cos2 휃2 ― sin2 휃 ―2sin2 휃 cos휃 22tan휃 = 푡 = 2 ― 2 ，11设，则 |퐶퐷| +푡21 ― 푡 4141 + 1푏 ≥ 因为푎 + 1 ≥ 1 ― 푡 + 푡 = 4 푎 + 푏，所以1 ― 푡 ，푡≥ 6 6则，即 的最小值为 ． |퐶퐷| |퐶퐷| 【考点】 椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆结合的最值问题 【解析】 tan∠퐴퐹퐵 = 1 푐，解出 ，利用 푐푎2 = 푏2 + 푐2 푎，求得 ，即可求得答案； （1）根据条件可得 퐵퐶 퐴퐷 （2）分别表示出此时直线 、直线 的方程，求出其交点，验证即可； 푃푄퐵푃 퐴푄 ，表示出直线 、直线 方程，解出、 坐标，表示出 퐶퐷（3）设 ，，|퐶퐷| (푎cos휃,sin휃) ( ―푎cos휃, ― sin휃) 再利用基本不等式即可求出答案． 【解答】 퐵퐹(푐,0) 解：（1）由题可得 ∠퐴퐹퐵 = 휋 ，，(0, ― 1) tan∠퐴퐹퐵 = 푏 =1푐 = tan휋6 = 푐 = 33因为 所以 6，所以 3 ，解得 ，푐푥2 2푎2 = 1 + () =4 훤+ 푦2 = 1 ，故 的标准方程为4 ； 3퐴퐷 퐵퐶 （2）直线 与直线 的交点在椭圆上， 퐴퐵퐶(푎,2) 퐷，(푎,1) 由题可得此时 ，( ―푎,0) ，，(0, ― 1) 1퐵퐶:푦 = 3푥 ― 1 퐴퐷:푦 = 2푎푥 + 1 2，交点为 3푎 4则直线 ，直线 ，,푎55223푎 45푎2 += 1 ，满足 5퐴퐷 퐵퐶 故直线 与直线 的交点在椭圆上； 푎, sin휃 + 1 ― 1 퐶，所以 퐵푃퐵푃:푦 = sin휃 + 1푥 ― 1 （3） ，，则直线 (푎cos휃,sin휃) ，(0, ― 1) 푎cos휃 cos휃 sin휃 2sin휃 퐴푄퐴푄:푦 = 퐷，所以 푎, cos휃 ― 1 ，( ―푎,0) ，则直线 ，( ―푎cos휃, ― sin휃) 푎cos휃 ― 푎(푥 + 푎) 2sin 휃2 cos 휃2 + sin2 휃2 + cos2 휃 4sin 휃2 cos 휃 2sin휃 sin휃 + 1 ― 1 ― cos휃 ― 1 =―2 ― 1 2=所以 ，|퐶퐷| cos2 휃2 ― sin2 휃 ―2sin2 휃 cos휃 22tan휃 = 푡 = 2 ― 2 ，11设，则 |퐶퐷| +푡21 ― 푡 4141 + 1푏 ≥ 因为푎 + 1 ≥ 1 ― 푡 + 푡 = 4 푎 + 푏，所以1 ― 푡 ，푡≥ 6 6则，即 的最小值为 ． |퐶퐷| |퐶퐷| 5. 【答案】 ∵ 푓 = 2푥 푡 = 1 푔푓휑푔 = 2 ，(푥) 解：（1） ∴ 푔 (푥) ，，为做 变换后的结果， (푥) ― 푓 (푥) (푥) = 푓 = 2푥 ― 2푥―1 = 2푥―1 = 2 ，(푥) (푥 ― 1) 푥2．解得 ＝∵ 푓 = 푥2 2ℎ2푓휔做 变换后的结果， 푓≥ ℎ (푥) (푥) （2） ∴ 푥2 ≥ ，为，(푥) (푥) =(푥) 2，|(푥 + 푡) ― 푥| |2푡푥 + 푡 | 푥 ≤ ― 푡 2时， 푓≥ ℎ (푥) 当恒成立； (푥) 푥 > ― 푡 2时， 2푡푥 + 푡2 ≤ 푥2 ，当22푡，)푥 ≥ 푡)푥 ≤ 解得 ，或 (1 + (1 ― 22푓≥ ℎ (푥) 휑综上，不等式： 的解集为 ．(푥) 先做 变换后得到 ―∞,(1 ― )푡] ∪ [(1 +)푡, + ∞ 푓푢(푥) 푢(푥) 휔ℎ再做 变换后得到 1(푥) （3）证明： ，，(푥) ∴ 푢 (푥) = 푓 ― 푓 ℎ=，(푥 ― 푡) ，(푥) 先做 变换后得到 1(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) ― [푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)]| 푓휔푣(푥) 푣푥（ ） 휑再做 变换后得到 ℎ，，2(푥) (푥) ∴ 푣 ∵ ℎ ∴=ℎ=―，，(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| 2(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| |푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)| 上单调递增， = ℎ 푓，在(푥) (―∞,0) 1(푥) 2(푥) =―，|푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) ― [푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)]| |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| |푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)| 푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) > 푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡) 푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) > 0 푓(푥) > 푓(푥 ― 푡) ∴∴푡 > 0 恒成立， 对푓函数 在 上单调递增． R(푥) 【考点】 函数与方程的综合运用 【解析】 푔(푥) = 푓 ― 푓 = 2푥 ― 2푥―1 = 2푥―1 = 2 푥，由此能求出 ． （1）推导出 (푥) (푥 ― 1) 푥2 ≥ =푥 ≤ ― 푡 푓≥ ℎ (푥) (푥) 푥 > ― 푡 2푡푥 + 푡2 ≤ 2时， 222（2）推导出 ，当 2时， 恒成立；当 |(푥 + 푡) ― 푥| |2푡푥 + 푡 | 푥2 푓≥ ℎ ，由此能求出 的解集． (푥) (푥) 푢= 푓 ― 푓 ℎ=푣，先求出 (푥) =（3）先求出 ，从而 (푥) (푥) (푥 ― 푡) =1(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) ― [푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)]| = ℎ ∣푓 ，得 2(푥) (푥 + 푡) ℎ―ℎ1(푥) ― 푓 (푥) ，从而 ，由 |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| 2(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| |푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)| ― [푓 ―푓 ]푓― 푓 푓― 푓 ∣푓(푥) ，，再由 在上单调递增，能证明函数 (푥) (푥 ― 푡) | = |(푥 + 푡) (푥)| ― | (푥) (푥 ― 푡) (푥) (―∞,0) 푓【解答】 在 上单调递增． (푥) R∵ 푓 = 2푥 푡 = 1 푔(푥) 푓为 做变换后的结果， (푥) 휑푔= 2 ，解：（1） ，，(푥) ― 푓 ∴ 푔 = 푓 = 2푥 ― 2푥―1 = 2푥―1 = 2 ，(푥) (푥) (푥 ― 1) 푥＝2．解得 ∵ 푓 = 푥2 ℎ푓휔푓 ≥ℎ 做 变换后的结果， (푥) (푥) （2） ，为(푥) (푥) =(푥) ∴ 푥2 ≥ 222，|(푥 + 푡) ― 푥| |2푡푥 + 푡 | 푥 ≤ ― 푡 2时， 푓≥ ℎ (푥) 当恒成立； (푥) 푥 > ― 푡 2时， 2푡푥 + 푡2 ≤ 푥2 ，当22푡，)푥 ≥ 푡)푥 ≤ 解得 ，或 (1 + (1 ― 22푓≥ ℎ (푥) 휑综上，不等式： 的解集为 ．―∞,(1 ― )푡] ∪ [(1 +)푡, + ∞ (푥) 先做 变换后得到 푓푢(푥) 푢(푥) 휔ℎ再做 变换后得到 1(푥) （3）证明： ，，(푥) ∴ 푢 (푥) = 푓 ― 푓 ℎ=，(푥 ― 푡) ，(푥) 先做 变换后得到 1(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) ― [푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)]| 푓휔푣(푥) 푣푥（ ） 휑再做 变换后得到 ℎ，，2(푥) (푥) ∴ 푣 ∵ ℎ ∴=ℎ=―，，(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| 2(푥) |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| |푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)| 上单调递增， = ℎ 푓，在(푥) (―∞,0) 1(푥) 2(푥) =―，|푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) ― [푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)]| |푓(푥 + 푡) ― 푓(푥)| |푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡)| 푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) > 푓(푥) ― 푓(푥 ― 푡) 푓(푥 + 푡) ― 푓(푥) > 0 푓(푥) > 푓(푥 ― 푡) ∴∴푡 > 0 恒成立， 对푓函数 在 上单调递增． R(푥)