2021 年辽宁省鞍山市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列实数最小的是（ A. －2 ）B. －3.5 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可． 【详解】解：因 为，3.5 2 0 1 所以最小的实数是－3.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解 题的关键． 的2. 下列四幅图片上呈现 是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项符合题意； D.是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选 D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关 键． 3. 下列运算正确的是（ ）a2 a3＝a5 a3 a4＝a12 a3 a2＝a A. B. C. D. 23a3b ＝6a6b2 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方 的性质逐项计算可判断求解． 【详解】解：A． 2 与 3 不是同类项，不能合并，故 A 选项不符合题意； aa34B． C． D． 7 ，故 B 选项不符合题意； a a a 32，故 C 选项符合题意； a a a 326(3a b) 9a b 2 ，故 D 选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积 的乘方，掌握以上知识是解题的关键． 3 2x„ x 4. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. D. C. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：∵ ，3 2x x ∴，2x x 3 ∴，，3x 3 解得： x 1 ∴不等式的解集为： x 1 ，表示在数轴上如图： 故选 B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在 于能够熟练掌握相关知识进行求解. 30° 5. 如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 ，则 2 a / /b 1＝24 的度数为（ ）A. B. C. D. 120 136 156 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解，找出图中 ，进而求出∠3，再根据平行线 1 4 24 性质求出∠2 即可． 【详解】解：如图，作 ，c / /a 30° 三角尺是含 角的三角尺， ，3 4 60 ，a / /c ，1 4 24 ，3 60 24 36 ，a / /c a / /b ，，b / /c ，2 18036 144 故选：C． 【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关 系． 6. 某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 627896人数 18 14 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A. 18，7.5 【答案】D 【解析】 B. 18，7 C. 7，8 D. 7，7.5 【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为 7， 因为该班有 40 名同学，所以中位数为第 20 和 21 名同学时间，第 20 名同学的时间为 ，7h 第 21 名同学的时间为8h 7 8 ，． 7.5 所以中位数为 2故选：D． 【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是 将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均 数），叫做这组数据的中位数． O O C ，则 的度数为（ 7. 如图，AB 为 的直径，C，D 为 上的两点，若 ）ABD＝54 A. B. C. D. 34 36 46 54 【答案】B 【解析】 【分析】连接 AD，如图，根据圆周角定理得到 ，ADB 90 C A ，然后利用互余 C 计算出 ，从而得到 的度数． A 【详解】解：连接 AD，如图， O AB 为 的直径， ，ADB 90 ，A 90 ABD 9054 36 ．C A 36 故选 B． 【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在 于能够熟练掌握相关知识进行求解. 8. 如图， 是等边三角形， ，点 M 从点 C 出发沿 CB 方向以 1cm/s 的速度 ABC AB＝6cm 匀速运动到点 B，同时点 N 从点 C 出发沿射线 CA 方向以 的速度匀速运动，当点 M 2cm/s MP // CA 停止运动时，点 N 也随之停止．过点 M 作 交 AB 于点 P，连接 MN，NP，作 △MNP 关于直线 MP 对称的 ，设运动时间为ts， 与）重叠部分的面积为 MNP MNP BMP 2 ，则能表示 S 与 t 之间函数关系的大致图象为（ Scm A. C. B. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出当点 落在 AB 上时，t 的值，分 或0 t 2 2 t 3 两种情形，分别求 N 出 S 的解析式，可得结论． 【详解】解：如图 1 中，当点 落在 AB 上时，取 CN 的中点 T，连接 MT． N ，，，CM t CN 2t CT TN ，CT TN t 是等边三角形， ABC C A 60 ，是等边三角形， ，MCT TM TC TN CMN 90 ，MP // AC ，，，，BPM A MPN 60 BMP C 60 C CMP 180 ，是等边三角形， CMP 120 BMP ，BM MP ，CMP MPN 180 CM // PN ，MP // CN ，四边形 CMPN 是平行四边形， ，PM CN BM 2t ，3t 6 ，t 2 3如图 2 中，当 时，过点 M 作 MK AC 于 K，则 ，0 t 2 MK CM sin60 t21333t2 t．S (6 t) t 22421S 23(6 t)2 如图 3 中，当 时， ，2 t 3 4观察图象可知，选项 A 符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9. 第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为 1411780000 人．将 1411780000 用科 学记数法可表示为_______________． 9【答案】 1.4117810 【解析】 【分析】根据把一个大于 10 的数记成 n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n a10 是正整数，进行求解即可出得出答案． 9【详解】解： ．1411780000 1.4117810 9故答案为： ．1.4117810 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式， 其中 1≤|a|<10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 10. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑 色区域的概率是_________________． 1【答案】 4【解析】 【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 18【详解】解：由图可知：黑色方砖有 8 个小三角形，每 4 个三角形是大正方形面积的 1∴黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，414∴小球最终停留在黑色区域的概率 ，1故答案为： ．4【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整 个区域面积的关系. 11. 如图， 沿 BC 所在直线向右平移得 ，已知 ，EC 2 BF 8 ，则平移的 ABC DEF 距离为___． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平移的性质解决问题即可； 【详解】由平移的性质可知，BE=CF， ∵BF=8，EC=2， ∴BE+CF=8-2=6， ∴BE=CF=3， ∴平移的距离为 3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型； 12. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中 华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用 3600 元购买“四大名著”若干套后，发 现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该 套书，于是用 2400 元购买的套数只比第一批少 4 套．设第一批购买的“四大名著”每套的 价格为 x 元，则符合题意的方程是___________________． 3600 2400 4 【答案】 【解析】 x0.8x 【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x 元，则设第二批购买的“四大名著” 每套的价格为 0.8x 元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少 4 套， 即可得出关于 x 的分式方程，此题得解． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x 元，则设第二批购买的“四大名 著”每套的价格为 0.8x 元， 3600 2400 4 4 依题意得： 故答案为： ．．x0.8x 3600 2400 x0.8x 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出 方程. AB 3 13. 如图，矩形 ABCD 中， ，对角线 AC，BD 交于点 O， ，垂足为点 H， DH AC 若，则 AD 的长为_______________． ADH 2CDH 【答案】 【解析】 3 3 【分析】由矩形的性质得 ，ADC 90 ，求出 CDH 30 ，利用 30°角 CD AB 3 的直角三角形的性质求出 CH 的长度，再利用勾股定理求出 DH 的长度，根据 ADH 60 DAC 30 30° 角的直角三角形的性质即可求解． 求出 ，然后由含 【详解】解： 四边形ABCD 是矩形， CD AB 3 ，ADC 90 ，，ADH 2CDH ，，CDH 30 ADH 60 132CH CD ∴在2233 3 2 222中， RTDHC DH CD CH 3 2 DH AC ，，DHA 90 DAC 90 60 30 ，， AD 2DH 3 3 故答案为： ．3 3 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形 30°的性质，熟练掌握直角三角形 30° 的性质是解决本题的关键． POQ 90 14. 如图， ，定长为 a 的线段端点 A，B 分别在射线 OP，OQ 上运动（点 A， OAC B 不与点 O 重合），C 为 AB 的中点，作 关于直线 OC 对称的 ，OAC AO 交 AB 于 点 D，当 是等腰三角形时， 的度数为_____________． OBD OBD 【答案】 67.5 或72 【解析】 【 分 析 】 结 合 折 叠 及 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 等 于 斜 边 一 半 的 性 质 可 得 ，设 ，然后利用三角形外角和 COA COA BAO COA COA BAO x 等 腰 三 角 形 的 性 质 表 示 出 ，，，BCO 2x AOB 90 2x OBD 90 x ，从而利用分类讨论思想解题． BDO AOD BAO 3x POQ 90 【详解】解： ，C 为 AB 的中点， ，OC AC BC ，COA BAO OBC BOC ，又由折叠性质可得 ，COA COA ，COA COA BAO 设，则 ，BCO 2x AOB 90 2x ，COA COA BAO x ，OBD 90 x BDO AOD BAO 3x ，①当OB OD 时， ，ABO BDO ，90 x 3x 解得 x 22.5 ，；OBD 90 22.5 67.5 ②当 时， ，，BD OD OBD AOB ，方程无解， 90 x 90 2x 此情况不存在； ③当 时， OB DB BDO AOB ，3x 90 2x x 18 解得： ，；OBD 9018 72 综上， 的度数为 67.5 或72 ，OBD 故答案为： 67.5 或72 ．【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角 形的性质，难度一般． ky (x 0) 15. 如图， AB // x 的顶点 B 在反比例函数 的图象上，顶点 C 在 x 轴负半轴上， ABC xBE CO 32S13 轴，AB，BC 分别交 y 轴于点 D，E．若 ，，则 ABC CE AD k _____． 【答案】18 【解析】 【分析】过点 B 作 轴于点 F，通过设参数表示出△ABC 的面积，从而求出参数的值， BF x 再利用△ABC 与矩形 ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得 k 的值． 【详解】解：如图，过点 B 作 BF x 轴于点 F． 轴， AB / /x ，DBE∽COE DB BE DE ，CO CE EO BE CO 32，CE AD DB DE BE CO 32设，CO EO CE AD ，CO 3a DE 3b ，则 ，AD 2a OE 2b ，DB 32，，OD 5b 3a 9a BD ，213a AB AD DB ，211 13a SABC ABOD 5b 13 45ab ，22245ab ，9a S矩形ODBF BDOD 5b 18 ，22又反比例函数图象在第一象限， k 18 ，故答案为 18． 【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等， 难度一般． 16. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，F 是线段 OD 上的动点（点 F 不与点 O，D 重合），连接 CF，过点 F 作 FG CF 分别交 AC，AB 于点 H，G，连接 CG OE // CD 交 BD 于点 M，作 交 CG 于点 E，EF 交 AC 于点 N．有下列结论：①当 BG BM OH OF 2时， ；② ；③当 时， ；④ GM HF CF CN BC AG 2BG OM OC 2 ．其中正确的是_______（填序号即可）． CN2 BM 2 DF 【答案】①③④ 【解析】 AG AC 2 【分析】①正确．利用面积法证明 ②错误．假设成立，推出 即可． BG BC ，显然不符合条件． OFH OCM MQ AB 于 Q，连接 AF．想办法证明 ③正确．如图 2 中，过点 M 作 于 P， MP BC ，再利用相似三角形的性质，解决问题即可． CM CF ④正确．如图 3 中，将 绕点 C 顺时针旋转 得到 ，连接 FW．则 CBM 90 CDW ，，，，证明 ，CM CW BM DW MCW 90 CBM CDW 45 FM FW 利用勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：如图 1 中，过点 G 作 于 T． GT AC ，BG BM ，BGM BMG ，BGM GAC ACG BMG MBC BCM ，四边形 ABCD 是正方形， ，，GAC＝MBC＝45 AC＝ 2BC ，ACG＝BCG ，GB CB GT AC ，，GB＝GT 1 BC GB AC GT SBCG BG BC AC 121，SACG AG 22，故①正确， 成立， AG＝ 2BG OH OF 假设 OM OC ，FOH＝COM ，FOH∽COM OFH＝OCM ，显然这个条件不成立，故②错误， MQ AB 如图 2 中，过点 M 作 于 P， 于 Q，连接 AF． MP BC ，OFH FHO＝90 FHO FCO＝90 ，，OFH＝FCO ， AB＝CB ABF＝CBF ABF≌CBF（SAS） ，，BF＝BF ，， AF＝CF BAF＝BCF ，，CFG＝CBG＝90 ，，BCF BGF＝180 BGF AGF＝180 ，AGF＝BCF＝GAF ， AF＝FG ，FG＝FC ，FCG＝BCA＝45 ，ACF＝BCG MQ / /CB ，GMQ＝BCG＝ACF＝OFH ，，MQG＝FOH＝90 ，FH＝MG FOH≌MQG（AAS） ，MQ＝OF ，BMP＝MBQ MQ AB ，，，，MP BC MQ＝MP ，，MP＝OF ，CPM＝COF＝90 PCM＝OCF CPM≌COF（AAS） ，，，，CM＝CF OE / /AG EG＝EC OA＝OC ，是等腰直角三角形， ，FCG CFN＝45 ，，CFN＝CBM FCN＝BCM ，BCM∽FCN CM CB ，CN CF 2，故③正确， CF ＝CBCN 如图 3 中，将 绕点 C 顺时针旋转 得到 ，连接 FW．则 CM＝CW ，CBM 90 CDW ，，，BM＝DW MCW＝90 CBM＝CDW＝45 ∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°， ∴△FGM≌△CFN， ∴FM=CN， ，FCG＝FCW＝45 CM＝CW CFN≌CFW（SAS） ，CF＝CF ，，，FM＝FW ，FDW＝FDC CDW＝45 45＝90 ，FW 2＝DF2 DW 2 2 ，故④正确， CN2 FM 2＝BM 2 DF 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三 角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相 关知识进行求解. 三、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 13a 1 17. 先化简，再求值： ，其中 ．a 6 2 a 2 a2 4 a2 2a a6【答案】 【解析】 ，1 a 2 3a【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值． a 2 13a 1 【详解】解： a 2 a2 4 a2 2a a a 2 13a 2 a 2 a 2 a 1 a a 2 a 1 a 2 a 2 a 1 a．a 2 6 2 6 2 6 2 6 6当时，原式 1 ．a＝ 6 2 636 2 2 6【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求 出分式的值． 18. 如图，在 E，过点 A 作 中，G 为 BC 边上一点， ，延长 DG 交 AB 的延长线于点 ABCD AF // ED DG DC 交 CD 的延长线于点 F．求证：四边形 AEDF 是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形 AEDF 是平行四边形，再证 ，则 ，即可得 BAD＝ADE AE＝DE 出结论． 【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形， AD // BC AB // CD ，，，BAD＝C AF // ED ，四边形 AEDF 是平行四边形， AD // BC ，，DGC＝ADE ，DG＝DC ，DGC＝C ，BAD＝ADE ， AE＝DE 平行四边形 AEDF 是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何 性质是解题的关键． 四、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 19. 为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府 积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报 内容分别是： A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条； B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员； C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多； D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家． 志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报． （1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 B 海报的概率是． （2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人 中有一个人抽到 D 海报的概率． 112【答案】（1） ；（2） ．4【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到 D 海报的结 果有 6 种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1） 每套海报四张 1小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 B 海报的概率是 ，41故答案为： ；4（2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到 D 海报的结果有 6 种， 612=小张和小李两个人中有一个人抽到 D 海报的概率为 ．12 【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解 题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情 况数与总情况数之比． 20. 为庆祝建党 100 周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为 四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制 成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息解答下列问题： （1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？ （2）补全条形统计图． （3）本次活动共征集作品 1200 件，估计绘画作品有多少件． 【答案】（1）120；（2）图形见解析；（3）360 件 【解析】 【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数； （2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可； （3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以 1200 即可得到结果． 【详解】解：（1）根据题意得： （件）， 12 10% 120 所抽取的学生作品的样本容量是 120； 120 (42 30 12) 36 （2）绘画作品为 补全统计图，如图所示： （件）， 36 1200 360 （件）， （3）根据题意得： 120 则绘画作品约有 360 件． 答：本次活动共征集作品 1200 件时，绘画作品约有 360 件． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇 形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比 大小． 五、解答题（每小题 10 分，共 20 分） y k x b 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 1k2 D(6,2) DE // OC 交 x 轴 y 两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于 C， 两点， xAD AC 13于点 E，若 ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形 OCDE 的面积． 12 64 y＝x 8 y＝- 【答案】（1） ，；（2） x3【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求 得 C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得 A 点和 E 点坐标，然后用 的面积减去 的面积求解． △AOC AED k2 D(- 6，2) y 【详解】解：（1）将 代入 中， xk ＝- 62＝-12 ，212 y＝- 反比例函数的解析式为 ；x过点 D 作 轴，过点 C 作CN x 轴， DM x DE // OC ，，ADE∽ACO AD AE DM 13，AC AO CN ，CN＝3DM＝6 12 y＝6 y＝- 将代入 中， x12 - 6 ，x解得： ，x＝- 2 2,6 C 点坐标为 ，C 2,6 D 6,2 y＝k x b 将，代入 中， 12k b 6 1可得 ，6k1 b 2 k 1 1解得： ，b 8 y＝x 8 一次函数的解析式为 （2）设直线 OC 的解析式为 C 2,6 ；y＝mx ，将代入，得： ，，- 2m＝6 解得： m＝- 3 由将y＝- 3x ，直线 OC 的解析式为 DE // OC D 6,2 y＝- 3x n ，设直线 DE 的解析式为 ，- 3 – 6 n＝2 代入可得： ，，解得： n＝-16 y＝- 3x 16 直线 DE 的解析式为 ，y＝0 当时， ，3x 16＝0 16 3x 解得： ，16 ,0 E 点坐标为 ，316 OE＝ ，3y＝x 8 y＝0 时， 在中，当 ，，x 8＝0 解得： x＝- 8 8,0 A 点坐标为 ，，OA＝8 16 83 AE＝8 ＝，3S四边形OCDE＝SAOC﹣SAED 11 OACN AE DM 2121 8 86 2 22 3 83 24 64 ．3【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数 及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 22. 小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门 A 在南门 B 的正北方向，小 30° 明自公园北门 A 处出发，沿南偏东 方向前往游乐场 D 处；小华自南门 B 处出发，沿正 方向前往游乐场 D 处与小明汇合（如图所 东方向行走150m 到达 C 处，再沿北偏东 22.6 示），两人所走的路程相同．求公园北门 A 与南门 B 之间的距离．（结果取整数．参考数据： 512 13 5sin22.6 cos22.6 tan22.6 ，，，）3 1.732 13 12 【答案】 【解析】 1293m 【分析】作 DE AB 于 E， 于 F，易得四边形 BCFE 是矩形，则 BE＝CF ， CF DE DE＝ x 150 m ，设 ，则 ，在 中利用含 30 度的直角 EF＝BC＝15m DF＝xm Rt△ADE AD＝2DE＝2 x 150 m 三 角 形 三 边 的 关 系 得 到 ， 在RtDCF 中 ， DF 13 513x CD＝ xm 2 x 150 ＝ 150 ，根据题意得到 ，求得 x 的值，然后根据 sin 22.6 5勾股定理求得 AE 和 BE，进而求得 AB． 【详解】解：如图，作 DE AB 于 E， 于 F， CF DE ，BC AB 四边形 BCFE 是矩形， ，BE＝CF EF＝BC＝150m ，设在，则 ，DF＝xm DE＝（x 150）m 中， ，Rt△ADE BAD＝30 AD＝2DE＝2 x 150 m ，在RtDCF 中， ，FCD＝22.6 DF x513 5CD＝ xm ，sin 22.6 13 ， AD＝CD BC 13x 2 x 150 ＝ 150 ，，5解得： ，x＝250m ，DF＝250m DE＝250 150＝400m ， AD＝2DE＝800m ，CD＝800﹣150＝650m 2222由勾股定理得 ，AE AD DE 800 400 400 3m 2222，BE＝CF＝ CD DF ＝ 650 250 ＝600m ， AB＝AE BE＝400 3 600 1293(m) 答：公园北门 A 与南门 B 之间的距离约为 ．1293m 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题 的关键． 六、解答题（每小题 10 分，共 20 分） O O 23. 如图，AB 为 的直径，C 为 上一点，D 为 AB 上一点， ，过点 A 作 BD BC O 交 CD 的延长线于点 E，CE 交 于点 G，连接 AC，AG，在 EA 的延长线上取 AE AB 点 F，使 ．FCA 2E O （1）求证：CF 是 的切线； O （2）若 AC 6 ，，求 的半径． AG 10 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 根 据 题 意 判 定 ， 然 后 结 合 相 似 三 角 形 的 性 质 求 得 ADG∽DCB ，从而可得 ，然后结合等腰三角形的性质求得 ，AGD＝2E FCA＝AGD FCO＝90 O 从而判定 CF 是 的切线； （2）由切线长定理可得 ，从而可得 ，得到 AC＝AE ，然后利用 AF＝CF FAC＝2E 勾股定理解直角三角形可求得圆的半径． 【详解】（1）证明： ，，B＝AGC ADG＝CDB ，ADG∽DCB BD BC ，GD GA ，BD＝BC GD＝GA ，，ADG＝DAG 又 AE AB ，，EAD＝90 ，GAE DAG＝E ADG＝90 ，GAE＝E ， AG＝DG＝EG AGD＝2E ，，FCA＝2E ，FCA＝AGD＝B O AB 是 的直径， ，CAB B＝90 又，QOA＝OC ，ACO＝CAB ，FCA ACO＝90 ，FCO＝90 O 即 CF 是 的切线； O （2） CF 是 的切线， ，AE AB ， AF＝CF ，FAC＝FCA＝2E ， AC＝AE＝6 又， AG＝DG＝EG＝ 10 2222在中， ，Rt△ADE AD DE AE 2 10 6 2 O Rt△ABC 设在的半径为 x，则 ，，AB＝2x BD＝BC＝2x﹣2 222中， ，6 （2x﹣2）＝（2x） 解得： x＝5 O ，的半径为 5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理 等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键． 24. 2022 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行 销售，文化衫的进价为每件 30 元，当销售单价定为 70 元时，每天可售出 20 件，每销售一 件需缴纳网络平台管理费 2 元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调 查发现：销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 件（销售单价不低于进价），若设这款文 化衫的销售单价为 x（元），每天的销售量为 y（件）． （1）求每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ y＝ 2x 160 【答案】（1） 利润为 1152 元 【解析】 ；（2）当销售单价为 56 元时，每天所获得的利润最大，最大 【分析】（1）根据“销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 件”列函数关系式； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最 值． y＝20 2(70 x) 【详解】解：（1）由题意可得： y＝ 2x 160 ，整理，得： ，y＝ 2x 160 每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 ；（2）设销售所得利润为 w，由题意可得： w (x 30 2)y (x 32)(2x 160) 2×2 224x 5120 ，整理，得： w 2(x 56)2 1152 ，，2 0 当时，w 取最大值 为1152， x＝56 当销售单价为 56 元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为 1152 元． 【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握 相关知识是解题的关键． 七、解答题（本题满分 12 分） 25. 如图，在 中， ，，过点 A 作射线 AM 交 BAC （0 180） ABC AB AC CF // AM 射线 BC 于点 D，将 AM 绕点 A 逆时针旋转 得到AN，过点 C 作 交直线 AN 于 点 F，在 AM 上取点 E，使AEB ACB ．（1）当 AM 与线段 BC 相交时， ①如图 1，当 时，线段AE，CE 和 CF 之间的数量关系为． 60 ②如图 2，当 90时，写出线段 AE，CE 和 CF 之间的数量关系，并说明理由． 4tan （2）当 ，时，若 是直角三角形，直接写出 AF 的长． △CDE AB＝5 315 45 5 【答案】（1）① ；② ，理由见解析；（2） 或AE＝CF CE EC 2(AE CF) 4【解析】 CT // AF 交 AM 于 T．想办法证明 【分析】（1）①结论： ．如图 1 中，作 AE＝CF CE ，可得结论． ．过点 C 作 ，AT＝CF ET＝CE CQ AE CF＝AQ ，②结论： 于 Q．想办法证明 EC＝ （2 AE﹣CF） ，可得结论． CE＝ 2EQ （2）分两种情形：如图 3－1 中，当 时，过点 B 作 BJ AC 于 J，过点 F 作 CDE＝90 于 K．利用勾股定理以及面积法求出 CD，再证明 ，可得结论．如图 3 FK＝CD FK AE －2 中，当 时， ，解直角三角形求出 AK，可得结论． ECD＝90 DAB＝90 【详解】解：（1）①结论： 理由：如图 1 中，作 ．AE＝CF CE CT // AF 交 AM 于 T． ，BAC＝60 ，Q AB＝AC 是等边三角形， ，ABC CA＝CB ACB＝60 ， AF // CT CF // AT ，，四边形 AFCT 是平行四边形， ，CF＝AT ，ADC＝BDE DEB＝ACD ，，ACD∽BED AD CD ，BD ED AD BD ，DC ED ，ADB＝CDE ，ADB∽CDE ，ABD＝CED＝60 CT // AF ，，CTE＝FAE＝60 是等边三角形， CTE ，EC＝ET ． AE＝AT ET＝CF CE 故答案为： ．AE＝CF CE ②如图 2 中，结论： ．EC 2(AE CF) CQ AE 理由：过点 C 作 于 Q． ，CF / /AM ，CFA MAN＝180 ，MAN＝90 CFA＝FAQ＝90 ，CQA＝90 ，四边形 AFCQ 是矩形， CF＝AQ ，，ADC＝BDE DEB＝ACD ，，ACD∽BED AD CD ，，BD ED AD BD DC ED ，ADB＝CDE ，ADB∽CDE ，ABD＝CED＝45 CQE＝90 ，，CE＝ 2EQ AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ ，．EC 2(AE CF) （2）如图 3－1 中，当 K． 时，过点 B 作 BJ AC 于 J，过点 F 作 于CDE＝90 FK AE BJ AJ 4tanBAJ＝ ＝，在中， ，RtABJ AB＝5 3， AJ＝3 BJ＝4 ，， AC＝AB＝5 ，CJ AC AJ 53 2 2222，BC＝ BJ CJ ＝ 2 4 ＝2 5 11 AC BJ＝ BC AD ，2254 AD＝ ＝2 5 ，2 5 2222，CD＝ AC AD ＝ 5 (2 5)＝ 5 FK AD ，，CDE＝FKD＝90 CD // FK ，CF // DK ，四边形 CDKF 是平行四边形， ，FKD＝90 四边形 CDKF 是矩形， ，FK＝CD＝ 5 43tanFAK＝tanCAB＝ ，FK AK 43，3 AK＝ 5，42 3 5 45 5 4 AF＝ AK2 FK2＝ ( 5)2 ＝．如图 3－2 中，当 时，同理可得： ECD＝90 DAB＝EAC CAB EBC CEB 90 ，，CF / /AM ，AKF＝DAB＝90 CK AK 43tanCAK＝ ＝在中， ，，RtACK AC＝5 ，CK＝4 AK＝3 ，，MAN＝CAB ，，CAN＝DAB＝90 ，CAB BAF＝90 BAF AFK＝90 ，AFK＝CAB AK FK 43tanAFK＝ ＝，9FK＝ ，42915 4 AF＝ AK2 KF2＝ 32 ＝． 4 15 45 5 4综上所述，满足条件的 AF 的值为 或．【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性 质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各 知识点并掌握推理能力是解题的关键． 八、解答题（本题满分 14 分） 2A(1,0) B(3,0) ，26. 如图，抛物线 交 x 轴于点 ，D 是抛物线的顶点，P y ax bx 3 1AE // PD y x 2 是抛物线上的动点，点 P 的横坐标为 ，交直线 l： 于点 m（0 m 3） 2E，AP 交 DE 于点 F，交 y 轴于点 Q． （1）求抛物线的表达式； SSS = S 的面积为 2 ，当 2 时，求点 P 的坐标； 1（2）设 的面积为 ，PDF AEF 1BMQ＝45 （3）连接 BQ，点 M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点 P 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 M 也随之运动，直接写出点 M 的纵坐标 t 的取值范围． 52743 17 【答案】（1） y＝x2﹣2x﹣3 ；（2） ；（3） ．P, 2 2 t 2【解析】 代入 y＝ax2 bx﹣3，即可求得答案； AE // PD ，再根 A(1,0) B(3,0) ，【分析】（1）运用待定系数法将 D(1,4) （2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标 ，由 得AEF∽PDF 据与PDF AEF 的面积相等，可得 ，故点 F 分别是 AP、ED 的中点，设 AEF≌PDF 1P（m,m2﹣2m﹣3），结合中点坐标公式建立方程求解即可； E e, e 2 ，2（3）根据题意，分别求出 t 的最大值和最小值：①当点 P 与点 B 重合时，点 Q 与点 O 重合， O ，以 为圆心， 此时 t 的值最大，如图 2，以 OB 为斜边在第一象限内作等腰直角 OOB O OH y O M（1, t） ，过点 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 作轴于点 H，运用勾 OO 股定理即可求得答案，②当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 重合，此时 t 的值最小，如图 O 3，连接 BC，以 O 为圆心，OB 为半径作 交抛物线对称轴于点 M，连接 OM，设抛物线 对称轴交 x 轴于点 E，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1） 抛物线y＝ax2 bx﹣3交 x 轴于点 A(﹣1，0) B(3,0) ， ， a b 3 0 将 A、B 坐标分别代入抛物线解析式得： ，9a 3b 3 0 a 1 解得： ，b 2 抛物线的表达式为： y＝x2﹣2x﹣3 ；（2）如图， 22D 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ，y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4 D（1,﹣4） ，1 AE // PD y＝ x 2 交直线 l： 于点 E，P 是抛物线上的动点，点 P 的横坐标为 2m（0„ m„ 3） ，1P（m,m2﹣2m﹣3） S＝S ，2，E e, e 2 ，设 ，AEF∽PDF 2SS，2又的面积为 ，的面积为 PDF AEF 11，AEF≌PDF ，，即点 F 分别是 AP、ED 的中点， AF＝PF EF＝DF 1P（m,m2﹣2m﹣3） ， A(﹣1，0) E e, e 2 D（1,﹣4） ， ， 又，2m 1 e 1 22由中点坐标公式得： ，12e 2 4 2m 2m 3 0 225m＝0 AE // PD ”不符，应舍去）， m ＝ 解得： （与“ ，1221e2＝ ，25741 9 ,P , E，；22 4 （3）①当点 P 与点 B 重合时，点 Q 与点 O 重合，此时 t 的值最大，如图 2， 以 OB 为斜边在第一象限内作等腰直角 ，OOB 3 3 ,3 2 2O 则，，OO＝OB＝ 2 2 O O M（1, t） ，以为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 OO 123 2 2O OH y 作OH＝ 过点 轴于点 H，则 ，，，OHM＝90 OM＝OO＝ 2 23 2 117 2 22，MH＝ O MO H＝ ＝ 22 3t 217 3 17 ，22②当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 重合，此时 t 的值最小，如图 3， O 连接 BC，以 O 为圆心，OB 为半径作 交抛物线对称轴于点 M， ，OB＝OC＝3 O 经过点 C， 连接 OM，设抛物线对称轴交 x 轴于点 E， 则，OM＝OB＝3 OE＝1 ，，MEO＝90 2222，ME＝ OM OE ＝ 3 1 ＝2 2 ，t＝2 2 3 17 综上所述， ．2 2„ t„ 2【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元 一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．
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