辽宁省盘锦市2021年中考数学真题试卷（解析版）

辽宁省盘锦市 2021 年中考数学真题试卷一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 3 的相反数是（　　　） 113D. A. 3 B. -3 C. 3【答案】B 【解析】【分析】根据相反数的定义进行解答即可．【详解】解：3 的相反数是-3，故选 B．【点睛】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2. 图中三视图对应的正三棱柱是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，从而求解【详解】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定 A 选项正确．故选 A．的【点睛】本题考查由三视图判断几何体，掌握几何体三视图是本题的解题关键． 3. 下列运算正确的是（）a2  a3  a5 m2  m2 A. B. C. (2m)2  2m2 D. ab2  ab  b 【答案】D 【解析】【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．【详解】解： A A 、不符合题意； 2 和 3 不是同类项，不能合并，故 aa1m2 m2 B、，故 B不符合题意； (2m)2  4m2 、、，故不符合题意； CCD2，故符合题意． Dab  ab  b 故选：．D【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．的4. 空气是由多种气体混合而成，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ A. 条形图布直方图【答案】B 【解析】）B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分的【分析】由扇形统计图意义即可求得．【详解】由题意可知，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故选：B．【点睛】此题考查了扇形统计图的意义，解题的关键是熟记扇形统计图的意义． 5. 下列命题正确的是（ A. 同位角相等）B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】D 【解析】的【分析】根据平行线性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解： A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意； CD故选：．D【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大． 6. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ A. 调查某班学生的身高情况）B. 调查亚运会 100m 游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查某批汽车的抗撞击能力 D. 调查一架“歼 10”隐形战斗机各零部件的质量【答案】C 【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； B．调查亚运会 100m 游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．调查一架“歼 10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 7. 如图，已知直线 AB 和 AB 上的一点 C，过点 C 作直线 AB 的垂线，步骤如下：第一步：以点 C 为圆心，以任意长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； a第二步：分别以点 D 和点 E 为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；第三步：作直线 CF，直线 CF 即为所求． a下列关于的说法正确的是（）111aa≤DE DE a  DE A. ≥B. C. D. 2221a  DE 2【答案】C 【解析】【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可． a【详解】解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，DFE1a  DE 此时，2故选：．C【点睛】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？” 这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获 x得．设井深为尺，所列方程正确的是（）50.4 550.4 5×5A. B. C. D. 5 x xx  5 0.4 55 0.4 0.4 x【答案】A 【解析】【分析】如图，设 AD 交 BE 于 K．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，设 AD 交 BE 于 K． ∵DK∥BC， ∴△EKD∽△EBC， DK ED ∴，BC EC 0.4 55∴，5 x 故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 9. 甲、乙、丙、丁四人 10 次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这 10 次测验平均成绩较高且较稳定的是（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C 【解析】【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．【详解】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在 92 附近波动，甲、乙的成绩在 91 附近波动， ∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度， ∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，故选：C．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图． 10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 BD 沿射线 AD 方向平移，平移后的线段记为 PQ，射线 PQ 与射线 AC 交于点 M，连结 yy与xx的函数关系的是（） PC，设 OM 长为，△PMC 面积为．下列图象能正确反映出 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由四边形 ABCD 是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出 AC、AO、OC 的长，再设 OM＝x，利用解直角三角形表示出 PM，分点 M 在线段 OC 上（不含点 O）时和当点线段 OC 延长线上时两种情况分别表示出 y 再结合函数图象即可判断出正确答案．【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， 在M∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°−∠ABC＝120°， 1∴∠DAO＝ ∠BAD＝60°， 2∴△DAC 是等边三角形， ∴AD＝AC＝2， 1∴AO＝CO＝ AC＝1， 2设 OM＝x， ∵AC⊥BD，PQ 为 BD 平移而来， ∴∠AOD＝∠AMP＝90°， ∴△AMP 为直角三角形， ∴PM＝AM•tan∠PAM＝（1＋x）， 3①当点 M 在线段 OC 上（不含点 O）时，即 0≤x＜1，此时 CM＝1−x， 133则 y＝（1−x）× （1＋x）＝− x2  ，3222∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，故 B、C 不符合题意， ②当点 在线段 OC 延长线上时，即 x＞1，如图所示： M此时 C ＝x−1， M133则 y＝（x−1）× (x＋1)＝ x2  ，3222∴只有 D 选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟练掌握上述知识并能分点 M 在线段 OC 上（不含点 O）时和当点种情况分别表示出 y 再结合函数图象进行判断是解题的关键．二、填空题（本题有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 在线段 OC 延长线上时两 M11. 建党 100 周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约 1 300 000 参保人员获得更高质量的社会保障福祉．数据 1 300 000 用科学记数法表示为________ 【答案】1.3×106 【解析】 n1 a 10 ，n 为整数，确定 n 的【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中 a  10 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，n 是正数，当原数绝对值小于 1 时 n 是负数；由此进行求解即可得到答案. 6【详解】解： 1300000= 1.310 6故答案为： .1.310 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义. 212. 分解因式：＝________ 2x  2 2(x 1)(x 1) 【答案】【解析】【分析】先提取公因式 2，然后利用平方差公式求解即可得到答案. 2【详解】解： 2x  2  2 x2 1  2 x 1 x 1  2 x 1 x 1 .故答案为：  【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法. 3  2  12 13. 计算：＝________ 【答案】 2  3 【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式  2  3  2 3 ． 2  3 故答案为：．2  3 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． x 3(x  2)  4 14. 从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________ 2  2x  x 1 32【答案】 5【解析】 x 3(x  2)  4 【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案． 2  2x  x 1 3x 3(x  2)  4① 【详解】解：∵ ，2  2x  x 1② 3由①得：x≥1，由②得：x≤5， ∴不等式组的解集为：1≤x≤5， ∴整数解有：1，2，3，4，5； 25∴它是偶数的概率是．2故答案为：．5【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15. 如图,⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是_____cm2 【答案】2π 【解析】【分析】因为三个小扇形所在圆半径相等，根据三角形的内角和是 180 度，将三个小扇形组合成一个半圆，即可求面积． 180 22 【详解】解：S 阴影故答案是：2π． ==2π． 360 【点睛】本题考查了扇形面积的计算；三角形内角和定理．熟记公式是关键． yx中，点 A 在轴负半轴上，点B 在轴正半轴上，⊙D xOy 16. 如图，在平面直角坐标系经过 A，B，O，C 四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点 D 的坐标是________ 【答案】D（，1）  3 【解析】【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到 AB 为⊙D 的直径，则 D 点为 AB 的中点，接着利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OB＝2，OA＝ 2，所以 A（−2 ，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到 D 点坐标． 33【详解】解：∵四边形 ABOC 为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB 为⊙D 的直径， ∴D 点为 AB 的中点，在 Rt△ABO 中，∵∠ABO＝60°， 1∴OB＝ AB＝2， 2∴OA＝ OB＝2 ，33∴A（−2 ，0），B（0，2）， 3∴D 点坐标为（− ，1）． 3故答案为（− ，1）． 3【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 17. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧交 AD 于点 E， 1CE 分别以点 C，E 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 的延 2长线于点 F，∠CBE＝60°，BC＝6，则 BF 的长为________ 【答案】 6 3 【解析】 CBF  EBF  30 【分析】利用基本作图得到，平分，则，再 BE  BC  6 CBE BF F  EBF  30 根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作 EBE  FE 于H，如图，则，然后利用30°的三角函数值即可求出，从而 BH  FH BH EH  BF 得到的长． BF 【详解】解：由作法得，平分，BE  BC  6 CBE BF 又∵∠CBE＝60°， 1CBF  EBF  CBE  30 ，2四边形为平行四边形， ABCD  AD / /BC ，F  CBF ，F  EBF  30 ，BE  FE ，如图，过点作 E于H，EH  BF ∵∴，，BE  FE EH  BF ，BH  FH Rt△BEH BH 3在中，，cos∠EBH   cos30  BE 233， 6  3 3 BH  BE  22．BF  2BH  6 3 故答案为：．6 3 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用． 18. 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝，AD＝，点 P 为边 AB 上一点．以 DP 为 2 3 2 2 折痕将△DAP 翻折，点 A 的对应点为点 A’．连结 AA’，AA’ 交 PD 于点 M，点 Q 为线段 BC 上一点，连结 AQ，MQ，则 AQ＋MQ 的最小值是________ 【答案】 4 2 【解析】【分析】如图，作点 A 关于 BC 的对称点 T，取 AD 的中点 R，连接 BT，QT，RT，RM．想办法求出 RM，RT，求出 MT 的最小值，再根据 QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 T，取 AD 的中点 R，连接 BT，QT，RT，RM． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠RAT＝90°， ∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4 ，322222∴RT＝，AR  AT  ( 2)  (4 3)  5 2 ∵A，A′关于 DP 对称， ∴AA′⊥DP， ∴∠AMD＝90°， ∵AR＝RD， 1∴RM＝ AD＝，22∵MT≥RT−RM， ∴MT≥4 ，2∴MT 的最小值为 4 ，2∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT， ∴QA＋QM≥4 ，2∴QA＋QM 的最小值为 4 ．2故答案为：4 ．2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出 MT 的最小值，属于中考常考题型．三、解答题（共 96 分） x 3 x 3 x19. 先化简，再求值：，其中 x  2  4 x2 8x 16 x2 16 x  4 4【答案】【解析】，2 2 x  4 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行分解因式化简，然后代入值计算即可得到答案. x 3 (x  4)(x  4) x【详解】解：原式＝ (x  4)2 x 3 x  4 x  4 x4＝当x  4 x  4 x  4 时， x  2  4 44 2 2 原式＝ ( 2 4)  4 2【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简求解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法. 20. 某校七、八年级各有 500 名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取 15 人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分 10 分，8 分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； a（1）填空：＝________，＝________； b（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得 10 分的 4 名学生中随机抽取 2 人参加市党史知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的 2 人恰好是七、八年级各 1 人的概率． 1a【答案】（1）＝8，＝8；（2）见解析；（3）700 人；（4）图表见解析， b2【解析】 a【分析】（1）根据中位数的定义：可以直接从所给数据求得，从所给条形图分析解决； b（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；（4）根据题意列表，然后求出所有的等可能的结果数，然后求出恰好每个年级都有一个的结果数，然后计算即可. a【详解】解：（1）由题意可知：＝8，＝8； b（2）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下： ∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率的∴七年级学生党史知识掌握得较好；（3）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有 500 人×80%＝400 人，八年级达到优秀的人数可能有 500 人×60%＝300 人，所以两个年级能达优秀的总人数可能会有 700 人；（4）把七年级的学生记做 A，八年级的三名学生即为 B、C、D，列表如下： ABCD（A，B）（A，C）（A，D）（B，C）（B，D） ABCD（B，A）（C，A）（C，B）（C，D）（D，A）（D，B）（D，C）由表知，一共有 12 种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是 6， 1两人中恰好是七八年级各 1 人的概率是．2【点睛】本题主要考查了统计与概率，用样本估计总体，列表或画树状图求概率，中位数的定义等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4y  x  545x交轴于点M，四边形 OMAE 是矩形，S 矩形 OMAE＝4，反比例 21. 如图，直线 4y  x  545ky  (x  0) 函数的图象经过点 A，EA 的延长线交直线于点 D． x（1）求反比例函数的解析式； x（2）若点 B 在轴上，且AB＝AD，求点 B 的坐标． 4y  (x  0) 【答案】（1）；（2）点 B 为 B1（－2，0），B2（4，0） x【解析】 4y  x  545【分析】（1）根据直线可求出与 x 轴交点 M 的坐标，再根据 S 矩形 OMAE＝4，可以确定点 A 的坐标，进而求出 k 的值，确定反比例函数关系式；（2）根据一次函数的关系式求出点 D 的坐标，得出 AD 的长，于是分两种情况进行解答，即点 B 在点 M 的左侧和右侧，由勾股定理求解即可． 4y  x  545x与轴交点坐标为M（1，0），则 OM＝1，【详解】解：（1）求得直线而 S 矩形 OMAE＝4，即 OM·AM＝4， ∴AM＝4， ∴A（1，4）； ∵反比例函数的图象过点 A（1，4）， ∴，k  4 4y  (x  0) ∴所求函数为；x（2）∵点 D 在 EA 延长线上， y  4 ∴直线 AD：，445y  4 的交点坐标为 D（6，4）， y  x  求得直线与直线 5∴AD＝5； xx 1 设 B（，0），则 BM＝，Rt△ABM 中，AB＝AD＝5，AM＝4， x 1 x  2 x  4 ，∴BM＝3，即＝3，则，12∴所求点 B 为 B1（－2，0），B2（4，0）．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的交点，理解一次函数、反比例函数图象的意义是解决问题的前提，将点的坐标代入是常用的方法． 22. 如图，小华遥控无人机从点 A 处飞行到对面大厦 MN 的顶端 M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为 37°，小华在点 A 测得大厦底部 N 的俯角为 31°，两楼之间一棵树 EF 的顶 FN FB 12点 E 恰好在视线 AN 上，已知树的高度为 6 米，且，楼 AB，MN，树 EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离 AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据： cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）【答案】38 米【解析】 AB  3EF 18(m) CN 18m ，【分析】过 A作于，易证△EFN∽△ABN ，得，则 AC  MN CAC  30(m) 再由锐角三角函数求出的长即可．，然后在中，由锐角三角函数定义求出 RtACM AM 【详解】解：过 A作于，如图所示： AC  MN C则CN  AB ，，AC  BN FN FB 12，FN BN 1，3EF  6m 由题意得：，，AB  BN EF BN ， AB / /EF ，△EFN∽△ABN ，EF FN 13，AB BN  AB  3EF 18(m) ，CN 18m ，CN 35tanCAN   tan31  0.60  在Rt△ACN 中，，AC 55 AC  CN  18  30(m) ，33AC 4cosMAC   cos37  0.80  在中，，RtACM AM 555 AM  AC  30  38(m) ，44即无人机飞行的距离约是38m ． AM 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFN∽△ABN 是解题的关键． 23. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点 D 作，DG 交线 DG / /BC 段 AC 于点 G，交 AB 于点 E，交⊙O 于点 F，连接 DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若 AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求 DE 的长．【答案】（1）见解析；（2） 6 5 【解析】【分析】（1）如图 1，延长至H，证明，即可根据切线的判定可得与ABD  90 DB BD O 相切； OF （2）如图 2，连接，先根据圆周角定理证明，再证明△EFO∽△EDB ，列比 OF  AB O 例式可得OF  4 ，即的半径为 4，根据勾股定理可得的长． DE 【详解】（1）证明：如图 1，延长 H至， DB ，DG / /BC CBH  D ，，A  D A  CBH Q AB O ，是的直径， ACB  90 ，A  ABC  90 ，CBH  ABC  90 ，，ABD  90 ∴AB⊥BD， O 与相切； BD OF （2）解：如图 2，连接，ACB 平分，CF ACF  BCF ，，AF  BF ∴∠AOF＝∠BOF＝90°， OF  AB BD  AB ，，OF / /BD ，△EFO∽△EDB ，OF OE ，BD BE  AE  OE ，OE EB 13，OF 13，，12 OF  4 OA  OB  OF  4 ，BE  OE  OB  2  4  6 ，2222．DE  BD  BE  12  6  6 5 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第 2 问关键是证明△EFO∽△EDB ．24. 某工厂生产并销售 A，B 两种型号车床共 14 台，生产并销售 1 台 A 型车床可以获利 10 万元；如果生产并销售不超过 4 台 B 型车床，则每台 B 型车床可以获利 17 万元，如果超出 4 台 B 型车床，则每超出 1 台，每台 B 型车床获利将均减少 1 万元．设生产并销售 B 型车 x床台．（1）当时，完成以下两个问题： x  4 ①请补全下面的表格： A 型 B 型 x车床数量/台 ________ 10 每台车床获利/万元 ________ ②若生产并销售 B 型车床比生产并销售 A 型车床获得的利润多 70 万元，问：生产并销售 B 型车床多少台？ x（2）当 0＜ ≤14 时，设生产并销售 A，B 两种型号车床获得的总利润为 W 万元，如何分配生产并销售 A，B 两种车床的数量，使获得的总利润 W 最大？并求出最大利润．【答案】（1）① ，21 x；②10 台；（2）分配产销 A 型车床 9 台、B 型车床 5 台； 14  x 或产销 A 型车床 8 台、B 型车床 6 台，此时可获得总利润最大值 170 万元【解析】【分析】（1）①由题意可知，生产并销售 B 型车床 x 台时，生产 A 型车床（14-x）台，当 x  4 17  (x  4) 时，每台就要比 17 万元少（万元；）万元，所以每台获利，也就是（ 21 x ）x  4 x(21 x) 10(14  x)  70 ②根据题意可得根据题意：然后解方程即可； xx10(14  x) （2）当 0≤ ≤4时，W＝＋＝17x 7x 140 ，当 4＜ ≤14 时， 2W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. (x 5.5) 170.25 【详解】解：（1）当时，每台就要比 17 万元少（，也就是（ 21 x）万元）万元 x  4 x  4 17  (x  4) 所以每台获利 ①补全表格如下面：车床数量/台 A 型 B 型 x14  x 每台车床获利/万元 ②此时，由 A 型获得的利润是 10（ 10 21 x ）万元， 14  x x(21 x) 由 B 型可获得利润为万元， 2x(21 x) 10(14  x)  70 根据题意：，，x 31x  210  0 x(x  21)(x 10)  0 ，∵0≤ ≤14， ∴ ，x 10 即应产销 B 型车床 10 台； x（2）当 0≤ ≤4时， x当 0≤ ≤4 A 型 14  x 10 B 型 x车床数量/台每台车床获利/万元利润 17 10(14  x) 17x 10(14  x) 此时，W＝＋＝17x 7x 140 ，xx该函数值随着的增大而增大，当取最大值4 时，W 最大 1＝168（万元）； x当 4＜ ≤14 时， x当 4＜ ≤14 A 型 B 型 x车床数量/台每台车床获利/万元利润 14  x 10 21 x x(21 x) ＝10(14  x) ＝则 W＝ (x 5.5)2 170.25 ，210(14  x) x(21 x) ＋x 11x 140 x时（均满足条件 4＜ ≤14），W 达最大值 W 最大 2＝170（万元），当x  5 或x  6 ∵W 最大 2＞ W 最大 1 ，∴应分配产销 A 型车床 9 台、B 型车床 5 台；或产销 A 型车床 8 台、B 型车床 6 台，此时可获得总利润最大值 170 万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解. 25. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，N 为 EF 的中点，连结 NA，以 NA，NF 为邻边作□ANFG．连结 DG， DN，将 Rt△ECF 绕点 C 顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤ ≤360°）． （1）如图 1，当＝0°时，DG 与 DN 的关系为____________________；（2）如图 2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若 0    45 不成立，请说明理由；（3）在 Rt△ECF 旋转的过程中，当□ANFG 的顶点 G 落在正方形 ABCD 的边上，且 AB＝12， EC＝时，连结 GN，请直接写出 GN 的长． 5 2 【答案】（1）DG＝DN，且 DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝或7 213 2 【解析】【分析】（1）如图 1 中，连接 AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出 DG=DN， ∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；（2）如图 2 中，作直线 EF 交 AD 于 J，交 BC 于 K，连接 CN．证明△GAD≌△NCD （SAS），推出 DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；（3）分两种情形：如图 3-1 中，当点 G 落在 AD 上时，如图 3-2 中，当点 G 落在 AB 上时，分别利用勾股定理求出 GN 即可．【详解】解：（1）如图 1 中，连接 AE，AF，CN． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°， ∵CE=CF， ∴BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF， ∵EN=NF， ∴AN⊥EF，CN=NF=EN， ∵CE=CF，EN=NF， ∴CN⊥EF， ∴A，N，C 共线， ∵四边形 ANFG 是平行四边形，∠ANF=90°， ∴四边形 ANFG 是矩形， ∴AG=FN=CN，∠GAN=90°， ∵∠DCA=∠DAC=45°， ∴∠GAD=∠NCD=45°， ∴△GAD≌△NCD（SAS）， ∴DG=DN，∠ADG=∠CDN， ∴∠GDN=∠ADC=90°， ∴DG⊥DN，DG=DN．故答案为：DG⊥DN，DG=DN；（2）结论成立．理由：如图 2 中，作直线 EF 交 AD 于 J，交 BC 于 K，连接 CN． ∵四边形 ANFG 是平行四边形， ∴AG∥KJ，AG=NF， ∴∠DAG=∠J， ∵AJ∥BC， ∴∠J=∠CKE， ∵CE=CF，EN=NF， ∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF， ∴∠ECN=∠CEN=45°， ∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN， ∴∠DCN=∠CKE， ∴∠GAD=∠DCN， ∵GA=CN，AD=CD， ∴△GAD≌△NCD（SAS）， ∴DG=DN，∠ADG=∠CDN， ∴∠GDN=∠ADC=90°， ∴DG⊥DN，DG=DN；（3）如图 3-1 中，当点 G 落在 AD 上时， ∵△ECN 是等腰直角三角形，EC=5 ，2∴EN=CN=NF=5， ∵四边形 ANFG 是平行四边形， ∴AG=NF=5， ∵AD-CD=12， ∴DG=DN=7， ∴GN=7 ．2如图 3-2 中，当点 G 落在 AB 上时，同法可证，CN=5， ∵△DAG≌△DCN， ∴AG=CN=5， ∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17， GN  BG2  BN2  72 172  13 2 综上所述，满足条件的 GN 的值为或7 213 2 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 1y  x2  2x  6 y轴x26. 如图，抛物线与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 2yxy  x  2 交于点 C，直线与轴交于点 D，与轴交于点E，与直线 BC 交于点 F．（1）点 F 的坐标是________；（2）如图 1，点 P 为第一象限抛物线上的一点，PF 的延长线交 OB 于点 Q，PM⊥BC 于点 PM 11 M，QN⊥BC 于点 N，，求点 P 的坐标； QN 4（3）如图 2，点 S 为第一象限抛物线上的一点，且点 S 在射线 DE 上方，动点 G 从点 E 出 1tan SEG  发，沿射线 DE 方向以每秒求点 G 的运动时间．个单位长度的速度运动，当 SE＝SG，且时， 4 2 215 215 2【答案】（1）点 F 坐标为（4，2）；（2）P1（1，），P2（3，）；（3）2 秒【解析】 1y  x2  2x  6 B(6,0) C(0,6) ，，再求出直线BC 的解【分析】（1）先由抛物线 y  x  6 求出 2y  x  6 y  x  2 析式为，联立即可求点坐标； F△PMF∽△QNF ，（2）过点 P作轴于点 G，过点作轴交于点 H，证明 PG  x FH  x FPF 11 15 FH 415 PG  FH / /PG 得，再由，得，可求，即为 P点纵坐标为，则可求 QF 4PG 15 22得点 P 的坐标； SK  EG SH  x S（3）过点作于点，轴于点 H，交 EG 于点，证明是等腰直，ODE KL角三角形，为等腰直角三角形，△SKL 为等腰直角三角形，则有 LK  SK  2t △EHL S(t  2,3t) ，最后 EH  LH  t OH  t  2 SH  3t ，，，，，求出 SL  2SK  2t EL  2t 将点 S 的坐标代入二次函数解析式即可求得t  2 ，则可得点 G的运动时间为 2s ． 1y  x2  2x  6 【详解】解：（1）在抛物线中， 21 x2  2x  6  0 y  0 令，则，2解得：或x  2 x  6 ， A(2,0) B(6,0) ，，y  6 令，则，x  0 C(0,6) ，y  0 y  x  2 在直线中，令，则，x  2 E(2,0) ，y  2 ，令，则 x  0 D(0,2) ，y  kx  b 设直线 BC 的解析式为，B(6,0) C(0,6) ，代入，将b  6 得：，6k  b  0 k  1 b  6 ，y  x  6 ∴直线 BC 的解析式为，y  x  6 y  x  2 联立解得，x  4 ，y  2 F(4,2) ，(4,2) 故答案为：；（2）如图 1，过点 P作轴于点 G，过点作H轴于点， PG  x FH  x FQN  BC ，，PM  BC PMF  QNF  90 ，PFM  QFN 又∵ ，△PMF∽△QNF ，PM PF ，，QN QF PM 11 QN 4PF 11 ，QF 4FH / /PG ，FQ FH 4，PQ PG 15 FH  2 ，15 PG  ，215 2P 点纵坐标为，115 x2  2x  6  令，22x 1 x  3 ，（均满足x  0 ），解得： 1215 215 2∴点 P 的坐标为 P1（1，），P2（3，）； SH  x SK  EG S（3）如图 2，过点作于点，轴于点 H，交 EG 于点，KL由题意得，，，EG  4 2t SE  SG SK  EG ，1EK  GK  EG  2 2t ，2SK EK 12tanSEG  ∵在 Rt△SEK 中，，，SK  2t E(2,0) D(0,2) ，，，OE  OD 是等腰直角三角形，，ODE OED  45 KEH  OED  45 ，为等腰直角三角形， △EHL SLK  ELH  45 ，△SLK 为等腰直角三角形，，，SL  2SK  2t LK  SK  2t ，EL  EK  LK  2t EH  LH  t ，OH  OE  EH  t  2 SH  SL  LH  3t ，，S(t  2,3t) ，1y  x2  2x  6 S(t  2,3t) 将代入，21 (t  2)2  2(t  2)  6  3t 得，2解得：t  2 或t = – 8 （舍）， 点G的运动时间为 2s ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平移、三角形相似、解直角三角形等相关知识是解题的关键．