2021 年广西桂林市中考数学真题 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1. A. 有理数 3，1，﹣2，4 中，小于 0 的数是（ ） B. C. D. 31﹣2 4C【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较即可得出结论． 0 【详解】解：∵ 4 3 1 0 ，-2 ∴小于 0 的数是-2． 故选择 C． ，【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题关键． 2. 如图，直线 a，b 相交于点 O，∠1＝110°，则∠2 的度数是（ ） A. 70° B. 90° C. 110° D. 130° C【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角的性质即可求解． 【详解】∵直线 a，b 相交于点 O，∠1＝110°， ∴∠2=∠1＝110° 故选：C． 【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知对顶角的性质． 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．此 题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4. 某班 5 名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是 8，6，8，7， 9，这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 C【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解． 【详解】把数据排列为 6,7,8,8,9 故中位数是 8 故选 C． 【点睛】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义． x 2 x 3 5. 若分式 的值等于 0，则 x 的值是（ ） B. ﹣2 A. 2 C. 3 D. ﹣3 A【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为 0 的条件：分子为 0，分母不为 0 性质即可求解． x 2, x 3 【详解】由题意可得： 且x 2 0 x 3 0 ，解得 ．故选 A． 【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质． 6. 细菌的个体十分微小，大约 10 亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是 0.0000025 米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ） A. 25×10﹣5 米 B. 25×10﹣6 米 C. 2.5×10﹣5 米 D. 2.5×10﹣6 米 D【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学记数法不同 的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【详解】解：0.0000025=2.5×10-6． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． x＞ 2 x 3 7. 将不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的解集表示方法即可求解． x＞ 2 x 3 【详解】不等式组 的解集在数轴上表示出来为 故选 B． 【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法． k8. 若点 A（1，3）在反比例函数 y 的图象上，则 k 的值是（ ） C. 3 xA. 1 B. 2 D. 4 C【答案】 【解析】 kxy 【分析】利用待定系数法把（1，3）代入反比例函数 得到关于 k 的一元一次方程，解之即可． ky 【详解】解：把（1，3）代入反比例函数 得： xk＝3， 1解得：k＝3， 故选择 C． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确掌握待定系数法求反比例函数解析式方法，把 图象上点的坐标代入是解题的关键． 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连接 AC，BC，则∠C 的度数是（ ） A. 60° 【答案】 【解析】 B. 90° C. 120° D. 150° B的【分析】直接根据直径所对 圆周角是直角进行判断即可． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点， ∴∠C=90° 故选：B 【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角 是直角是解答此题的关键． 10. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） 1a2 A. B. C. D. a b 49D【答案】 【解析】 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是 整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 1【详解】A、 被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 9B、 C、 是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 4=2 2a =|a| D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开 方． 11. 如图，在平面直角坐标系内有一点 P（3，4），连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值是 （ ） 3A. 433545B. C. D. 4D【答案】 【解析】 【分析】作 PM⊥x 轴于点 M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：作 PM⊥x 轴于点 M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， PM OP 45sinα ∴，故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜 边之比． 12. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 16 元降为 9 元， 设平均每次降价的百分率是 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. 16（1﹣x）2＝9 B. 9（1+x）2＝16 C. 16（1﹣2x）＝9 D. 9（1+2x）＝16 A【答案】 【解析】 【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9． 故选：A． 的关【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 键． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 3(2) 13. 计算： =______． -6 【答案】 【解析】 .【详解】试题分析：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘 3(2) =-6 ．考点：有理数的乘法 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数 乘法法则，即可完成 14. ___ 的.如图，直线 a，b 被直线 c 所截，当∠1 ∠2 时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【答案】=． 【解析】 【分析】由图形可知∠1 与∠2 是同位角，利用直线平行判定定理可以确定∠1 =∠2，可判断 a//b． 【详解】解：∵直线 a，b 被直线 c 所截，∠1 与∠2 是同位角， ∴当∠1 =∠2，a//b． 故答案为=． 【点睛】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键． 15. 如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，若 DE＝4，则 BC 是________． 8【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】∵D、E 分别是 AB 和 AC 上的中点， ∴BC=2DE=8， 故答案为 8． 16. 在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的 5 个球：2 个白球和 3 个红球．从中任意取出 1 个球，取 出的球是红球的概率是 ___． 3【答案】 5【解析】 【分析】根据概率公式即可求解． 35【详解】2 个白球和 3 个红球．从中任意取出 1 个球，取出的球是红球的概率是 3故答案为： ．5【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的运用． 17. 如图，与图中直线 y＝﹣x+1 关于 x 轴对称的直线的函数表达式是 ___． 【答案】y=x-1 【解析】 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】解：直线 y＝﹣x+1 与关于 x 轴对称的直线的函数表达式为-y=-x+1， 即 y=x-1． 故答案为：y=x-1 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线 y=kx+b（k≠0，且 k，b 为常数）关于 x 轴对称，就是 x 不变，y 变成-y：-y=kx+b，即 y=-kx-b． 18. 如图，正方形 OABC 的边长为 2，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转角 α（0°＜α＜180°）得到正方 形 OA′B′C′，连接 BC′，当点 A′恰好落在线段 BC′上时，线段 BC′的长度是 ___． 【答案】 6 2 【解析】 【分析】连接 AA′，根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，再根据等 腰三角形的性质，结合已知条件得出旋转角 ，然后利用三角形的性质和勾股定理得出答案； 60 【详解】解：连接 AA′， ∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转角 α（0°＜α＜180°）得到正方形 OA′B′C′，连接 BC′，当点 A′恰好落在 线段 BC′ ∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2， 190 ∴∠OA′A=∠OAA′= ，212∴∠BAA′= ，190 4∴∠ABA′=∠AA′B= ，∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A， 1190 90 135 ∴∴，24 ，∠A′AB=30°， 60 ∴△OAA′为等边三角形， ∴AA′=AB=2， 过点 A′作 A′E⊥AB 于 E， ∵∠A′AB=30°， 12 1 则 A′E= ，AE= ，32∴BE= ，2 3 22∴A′B= ∵A′C′= ，2 3 1 6 2 ，2 2 ∴BC′= A′B+ A′C′= ；6 2 故答案为： 6 2 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是得出旋转 得出△OAA′为等边三角形． 角 60 三、解答题（本大题共 8 题，共 66 分） 计算：|﹣3|+（﹣2）2． 19. 【答案】7 【解析】 【分析】根据有理数的绝对值以及乘方的意义化简各数后即可得到答案． 【详解】解：|﹣3|+（﹣2）2 =3+4 =7 【点睛】此题主要考查了有理数的运算，正确化简各数是解答此题的关键． 20. 解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． 【答案】x =3． 【解析】 【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化 1 法即可． 【详解】解：4 x﹣1＝2x+5， 移项得：4 x﹣2x＝5+1 合并同类项得：2 x=6， ∴系数化 1 得：x =3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化 1．掌握解一元一次方程常用的方法要 根据方程的特点灵活选用合适的方法 21. 如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点的坐标分别是 A（﹣1，4），B（﹣3，1）． （1）画出线段 AB 向右平移 4 个单位后的线段 A1B1； （2）画出线段 AB 绕原点 O 旋转 180°后的线段 A2B2． 【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析 【解析】 A, B A , B A B 1 ，再连接 1 即可； 1【分析】（1）分别确定 向右平移 4 个单位后的对应点 1A, B A , B A B 2 ，再连接 2 即可. 2（2）分别确定 绕原点 O 旋转 180°后的对应点 2A B 【详解】解：（1）如图，线段 1 即为所求作的线段， 1A B （2）如图，线段 2 即为所求作的线段， 2【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 BD 的中点，EF 过点 O，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F． （1）求证：∠1＝∠2； （2）求证：△DOF≌△BOE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 AB//CD，根据平行线的性质即可得结论； （2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得 OD=OB，利用 AAS 即可证明△DOF≌△BOE． 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠1＝∠2． （2）∵点 O 是对角线 BD 的中点， ∴OD=OB， 1 2 DOF BOE OD OB 在△DOF 和△BOE 中， ∴△DOF≌△BOE． ，【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 23. 某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了 5 次投 篮试投比赛，试投每人每次投球 10 个．两人 5 次试投的成绩统计图如图所示． 的（1）甲同学 5 次试投进球个数 众数是多少？ （2）求乙同学 5 次试投进球个数的平均数； （3）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？ （4）学校投篮比赛的规则是每人投球 10 个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进 8 个 球即可获奖，但要取得冠军需要投进 10 个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加 学校的投篮比赛，并说明推荐的理由． 【答案】（1）众数是 8 个，（2） 个；（3）甲投篮成绩更加稳定；（4）推荐乙参加投篮比赛，理由见 x 8.2 解析． 【解析】 【分析】（1）根据众数定义求即可； （2）根据平均数公式求即可； （3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，可得甲投篮成绩更加稳定； （4）由乙的众数是 10，取得冠军需要投进 10 个球，推荐乙参加投篮比赛即可． 【详解】解：（1）∵甲同学 5 次试投进球个数分别为 8,7,8,9,8， ∴甲同学 5 次试投进球个数的众数是 8 个， （2）乙同学 5 次试投进球个数分别为 8,10,6,7,10， 1x 810 6 7 10 8.2 ∴个； 5（3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大， ∴甲投篮成绩更加稳定； （4）∵乙的众数是 10，取得冠军需要投进 10 个球，而甲没有进 10 球的可能，为了能获得冠军，推荐乙参 加投篮比赛． 【点睛】本题考查众数，平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策，掌握众数，平均数，图形的 波动大小，以及利用众数进行决策是解题关键． 24. 为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知 甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多 200 平方米，甲队与乙队合作一天能完成 800 平方米的绿化改造 面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有 12000 平方米，甲队每天的施工费用为 600 元，乙队每天的施工 费用为 400 元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪 一种方案的施工费用最少？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是 500 平方米，乙队每天能完成绿化的面积是 300 平方米；（2） 选择方案①完成施工费用最少 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x 平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成 800 平方米 的绿化改造面积，列出方程，求解即可； （2）设应安排甲队工作 a 天，根据这次的绿化总费用不超过 8 万元，列出不等式，求解即可． 【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是 x 平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米， 依题意得：x+x+200=800 解得：x=300， x+200=500 ∴甲队每天能完成绿化的面积是 500 平方米，乙队每天能完成绿化的面积是 300 平方米． 12000 600 14400 （2）选择方案①甲队单独完成所需费用= （元）； 500 12000 300 400 16000 400 600 选择方案②乙队单独完成所需费用= （元）； 12000 15000 选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用= ∴选择方案①完成施工费用最少． （元）； 800 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用 总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用． 25. 如图，四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，点 E 为 BC 中点，AE⊥DE 于点 E．点 O 是线段 AE 上的点， 以点 O 为圆心，OE 为半径的⊙O 与 AB 相切于点 G，交 BC 于点 F，连接 OG． （1）求证：△ECD∽△ABE； （2）求证：⊙O 与 AD 相切； （3）若 BC＝6，AB＝3 ，求⊙O 的半径和阴影部分的面积． 332 33 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）半径为 2，面积为 2【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质及相似三角形的判定定理即可求解； （2）延长 DE、AB 交于 N 点，先证明△DCE≌△NBE，再得到△AND 是等腰三角形，得到∠DAE=∠NAE， 再通过角平分线的性质即可得到 OG=OM=r，故可证明； （3）求出∠FOG=60°，再根据梯形与扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE 于点 E． ∴∠EAB+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠DEC 由∠B＝∠C＝90° ∴△ECD∽△ABE； （2）过点 O 作 OM⊥AD，延长 DE、AB 交于 N 点 ∴CD BN // ∴∠CDE=∠N ∵点 E 为 BC 中点 ∴CE=BE， 又∠EBN＝∠C＝90° ∴△DCE≌△NBE ∴DE=NE ∵AE⊥DN ∴AD=AN，∠ADE=∠ANE ∵∠DAE=90°-∠ADE，∠NAE=90°-∠ANE ∴∠DAE=∠NAE ∵AG 是⊙O 的切线 ∴OG⊥AB ∵∠AMO=∠AGO=90° ∴OG=OM=r ∴OM 是⊙O 的切线； （3）∵BC＝6， ∴BE=3 ∵AB＝3 ∴AE= ，322=2BE BE AB 6 ∴∠EAB=30° ∴AO=2OG，即 AO=2r， ∵AE=AO+OE=3r=6 ∴r=2 连接 OF ∵∠OEF=60°，OE=OF ∴△OEF 是等边三角形 ∴∠EOF=60°，EF=OF=2,BF=3-2=1 ∴∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60° AO2 OG2 2 3 在 Rt AOG 中，AG= ∴BG=AB-AG= 3322 31260 22 3 ∴S 阴=S 梯形 OFBG-S 扇形 FOG ==． 1 2 3 360 【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理、全等三角形与相似三 角形的判定与性质及扇形面积公式． 26. 如图，已知抛物线 y＝a（x﹣3）（x+6）过点 A（﹣1，5）和点 B（﹣5，m）与 x 轴的正半轴交于点 C． （1）求 a，m 的值和点 C 的坐标； PB PA 25（2）若点 P 是 x 轴上的点，连接 PB，PA，当 时，求点 P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 M，使 A，B 两点到直线 MC 的距离相等？若存在，求出满足条件的点 M 的横 坐标；若不存在，请说明理由． 27 23 1P ,0 ,P ,0 M 9,9 a ,m 2,C 3,0 【 答 案 】（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） 或73411 35 ,M .3 9 【解析】 【分析】（1）把 1a, m, A 1,5 B 5,m y x 3 x 6 , 代入函数解析式求解 再把 代入 求解 令 4y 0, 列方程，再解方程即可得到 的坐标； C22PB2 4P x,0 , （2）设 再利用勾股定理表示 PA2 x 1 25, PB2 x 5 4, 再利用 从而列 的中 ,PA2 25 方程解方程可得答案； （3）分两种情况讨论，当 时，求解 的解析式，再求解 的坐标即可，当 过AB//CM CM CM MAB 点时满足条件，再求解 的解析式即可得到答案. CM DA 1,5 【详解】解：（1）把 代入函数解析式得： 20a 5, 11a , y x 3 x 6 , 441B 5,m y x 3 x 6 , 把代入 41m 8 1 2, B 5,2 . 4y 0, 令1 x 3 x 6 0, 4x1 3, x2 6, C 3,0 . 结合题意可得： P x,0 , A 1,5 ,B 5,2 , （2）如图，设 而22PA2 x 1 25, PB2 x 5 4, PB2 4PB PA 2 ， 则,PA2 25 54PA2 25PB2 , 4 x2 2x 26 25 x2 10x 29 , 21×2 242x 621 0, 7x 27 3x 23 0, 27 23 3x1 , x2 ,727 23 P ,0 ,P ,0 . 73（3）存在，理由如下： AB, M , 如图，连接 过作CM //AB 交抛物线于 CA, B 则到直线 的距离相等， CM y kx b, 设直线 为AB 3k k b 5 423 4,,得： 5k b 2 b 323 y x ,直线 为AB 443AB//CM , C 3,0 , y x n 由设为，而 CM 4939n , y x , 则直线 为CM 44439y x 441y x 3 x 6 4x 3 y 0 x 9 y 9 ,解得： 或M 9,9 . S的中点 时，则 D SACD , 如图，当 过CM AB BCD A, B 到的距离相等， CM 72 A 1,5 ,B 5,2 ,D 3, ,则77y x , 同理可得： 的解析式为： CD 12 477y x 12 4,1y x 3 x 6 411 335 x x 3 y 0 ,解得： 或y 911 35 ,M .3 9 11 35 M 9,9 M ,.综上： 或3 9 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法， 两平行线之间的距离，三角形的中线的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
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