广东省2021年中考数学试题（解析版）

2021 年广东省中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. A. 下列实数中，最大的数是（）2 B. C. D. 32A【答案】【解析】的【分析】直接根据实数大小比较法则比较数的大小即可． 2  2 【详解】解：  3.14 2  2  3   ，，，2  1.414 ∴，故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 据国家卫生健康委员会发布，截至 2021 年 5 月 23 日，31 个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 51085.8 万剂次，将“51085.8 万”用科学记数法表示为（）0.510858109 51.0858107 5.10858104 5.10858108 A. B. C. D. D【答案】【解析】 n1| a | 10 ，n 为整数，一定要将题目中的“51085.8 万” 【分析】根据科学记数法的表示形式，其中 a  10 转化为数字 510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来． 8【详解】51085.8 万=510858000 ，= 5.10858´ 10 故选：D．【点睛】本题主要考察科学计数法的表示形式，科学记数法的表示形式 n1| a | 10 ，其中，n 为整 a  10 数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为 7 的概率是（）1161312A. B. C. D. 12 B【答案】【解析】【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为 7 的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．【详解】列表如下： 1234567234567834567894561234565676787898910 11 12 910 11 10 由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为 36 种，两枚骰子向上的点数之和为 7 的结果数为 6， 616故两枚骰子向上的点数之和为 7 的概率是：故选：B． 36 【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点． mn2m3n 4. 已知，则（）9  3,27  4 3A. 1 B. 6 C. 7 D. 12 D【答案】【解析】【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． mn【详解】解：∵ ，9  3,27  4 2m3n 2m 3n 2m3nmn∴，3 3 3  (3 )(3 ) 9 27 =34=12 ∴故选：D．【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 5. a  3  9a2 12ab  4b2  0 若，则（）ab  9A. B. C. D. 9 34 3 2B【答案】【解析】【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得 a、b 的值，从而可求得 ab 的值． a  3  9a2 12ab  4b2  0 22a  3  0 【详解】∵ ，，且 9a 12ab  4b  0 9a2 12ab  4b2  (3a  2b)2  0 a  3  0 a  3  0 ∴即∴，，且3a  2b  0 3 3 ，b  a  3 23 3 292∴ab  3 故选：B．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零． 6. 下列图形是正方体展开图的个数为（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C【答案】【解析】【分析】根据正方体的展开图的特征，11 种不同情况进行判断即可．【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第 2 个图不是正方体的展开图，故四个图中有 3 个图是正方体的展开图．故选：C．【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁． 7. AC  3,ABC 如图，是⊙ 的直径，点 C 为圆上一点，的平分线交于点 D，CD 1，则⊙ AC O OAB 的直径为（）A. B. C. 1 D. 2 32 3 B【答案】【解析】【分析】过 D 作 DE⊥AB 垂足为 E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到 DE=DC=1，再说明 Rt△DEB≌Rt△DCB 得到 BE=BC，然后再利用勾股定理求得 AE，设 BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ ，最后根 3据勾股定理列式求出 x，进而求得 AB．【详解】解：如图：过 D 作 DE⊥AB，垂足为 E ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90° ∵∠ABC 的角平分线 BD ∴DE=DC=1 在 Rt△DEB 和 Rt△DCB 中 DE=DC、BD=BD ∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL） ∴BE=BC 在 Rt△ADE 中，AD=AC-DC=3-1=2 AD2  DE2  22 12  3 AE= 设 BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 在 Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2 3则（x+ ∴AB= ）2=32+x2，解得 x= 33+=2 333故填：2 ．3【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 2a  10 b 8. 设的整数部分为 a，小数部分为 b，则的值是（）6  10 A. 6 B. C. 12 D. 2 10 9 10 A【答案】【解析】 a的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将 a与【分析】首先根据所求代数式的值．的值代入计算即可得到 bb10 ∵【详解】，3  10  4 ∴，2  6  10  3 ∴∴∴的整数部分，a  2 6  10 小数部分，b  6  10  2  4  10 2a  10 b  22  10 4 10  4  10 4 10 16 10  6 ．    故选： A．a的整数部分与小数部分的值是解题关键．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定 b6  10 9. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出 a  b  c p  的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 a，b，c，记，则其面积 2p  5,c  4 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最 S  p( p  a)( p b)( p  c) 大值为（）A. B. C. D. 5452 5 C【答案】【解析】【分析】由已知可得 a+b=6，，把 b=6-a 代入 S 的表达式中得： S  5(5 a)(5b)  5 ab 5 2，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得 S 的最大值． S  5 a  6a 5 a  b  c p  【详解】∵p=5，c=4， 2∴a+b=2p-c=6 ∴S  5(5 a)(5b)(5 4)  5 ab 5 2由 a+b=6，得 b=6-a，代入上式，得： S  5 a(6  a) 5  5 a  6a 5 y  a2 +6a 5 ，当 y  a2 +6a 5 取得最大值时，S 也取得最大值 y  a2 +6a 5  (a 3)2  4 设∵y∴当 a=3 时，取得最大值4 ∴S 的最大值为 5  4  2 5 故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出 a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．设 O 为坐标原点，点 A、B 为抛物线 y = x2 上的两个动点，且OA  OB ．连接点 A、B，过 O 作 10. OC  AB 于点 C，则点 C 到 y 轴距离的最大值（）1223A. B. C. D. 1 22A【答案】【解析】 1y =(a – )x +1 【分析】设 A(a，a²)，B(b，b²)，求出 AB 的解析式为，进而得到 OD=1，由∠OCB=90°可 a112r = OD = 知，C 点在以 OD 的中点 E 为圆心，以为半径的圆上运动，当 CH 为圆 E 半径时最大，由此 2即可求解．【详解】解：如下图所示：过 C 点作 y 轴垂线，垂足为 H，AB 与 x 轴的交点为 D，设 A(a，a²)，B(b，b²)，其中 a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， k k  1 ∴，OA OB a2 b2 ∴即，×= – 1 ab，ab  1 a2 – b2 a – b 1，kAB ==a +b =a – a1y =(a – )x +m 设 AB 的解析式为：，代入 A(a，a²)， a解得： m  1 ，∴∵，OD 1 ，即，OC  AB OCB  90 112r = OD = ∴C 点在以 OD 的中点 E 为圆心，以为半径的圆上运动， 2当 CH 为圆 E 的半径时，此时 CH 的长度最大， 1r  故 CH 的最大值为故选：A．，2【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出 AB 与 y 轴交点的纵坐标始终为 1，结合  ，由此确定点 E 的轨迹为圆进而求解． OCB  90 二、填空题：本大题 7 小题 x  2y  2 2x  y  2 11. 二元一次方程组的解为___． x  2 【答案】【解析】 y  2 【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解． x  2y  2① 【详解】解：，2x  y  2② x  2  2y 由①式得：，代入②式，，2(- 2- 2y)+ y = 2 得： y  2 解得再将，y  2 代入①式， x- 2´ 2 = – 2 ，解得，x  2 x  2 ∴，y  2 x  2 故填：．y  2 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．把抛物线 y  2×2 1向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 12. ___．【答案】 y  2×2  4x 【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线 y  2×2 1向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为： y  2(x 1)2 13，即： y  2×2  4x 故答案为： y  2×2  4x ．【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 13. A  90, BC  4 如图，等腰直角三角形中，．分别以点 B、点 C 为圆心，线段 BC 长的一半为 ABC 半径作圆弧，交 BC 、、于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为____． AC AB 【答案】 4  【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出 AC 的长，根据 S 阴影=S△ABC-2S 扇形 CEF 即可得答案． A  90, BC  4 【详解】∵等腰直角三角形中，，ABC 2∴AC=AB= ，∠B=∠C=45°， BC  2 2 2145 22 ∴S 阴影=S△ABC-2S 扇形 CEF ==4  ，AC  AB  2 2360 故答案为： 4  【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键． 2x , x 2 满足 3  x  1,1 x  3 14. 若一元二次方程（b，c 为常数）的两根，则符合条件 x  bx  c  0 112的一个方程为_____． 2【答案】【解析】（答案不唯一） x  4  0 【分析】设 y  x2  bx  c x、x 与交点为关于 y 轴对称和二次函 y  0 x , x 2 ，根据题意 3  x  1,1 x  3 112x，x 1| x | 3 数的对称性，可找到件的方程 2 的值（ 2 只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条 11【详解】设 y  x2  bx  c 与交点为 y  0 x , x ，213  x  1,1 x  3 根据题意 121| x | 3 则y  x2  bx  c 的对称轴为 x  0 x  2, x  2 故设 122则方程为：故答案为： x  4  0 2x  4  0 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键 113 61×2 15. x  x2  若且0  x 1，则 _____． x65 36 【答案】【解析】 113 125 36 1x  (x  )2  x  ，根据 x 的取值范围可得【分析】根据，利用完全平方公式可得的值，利 x6xx用平方差公式即可得答案． 113 6x  【详解】∵ ，x11125 36 (x  )2  (x  )2  4x  ∴∵∴，x0  x 1 1xx，x  ，x156x  ∴∴=，x11113 6565 36 x2  (x  )(x  ) ( ) ==，x2 xx665 36 故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键． 416. AD  5, AB  12,sin A  如图，在ABCD 中，．过点 D 作 DE  AB ，垂足为 E，则 5sinBCE  ______． 9 10 50 【答案】【解析】 sin A EB 【分析】首先根据题目中的，求出 ED 的长度，再用勾股定理求出，即可求出，利用平行四边 AE 形的性质，求出 CD，在 Rt△DEC 中，用勾股定理求出 EC，再作 BF⊥CE，在△BEC 中，利用等面积法求出 BF 的长，即可求出．sin BCE 【详解】∵ DE  AB ，∴△ADE 为直角三角形， 4AD  5,sin A  又∵ ，545DE DE sin A = ==∴,AD 5解得 DE=4, 在 Rt△ADE 中，由勾股定理得： 2222,AE  AD  DE  5  4  3 又∵AB=12, ∴,BE = AB- AE = 12- 3= 9 又∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB=12,AD=BC=5 在 Rt△DEC 中，由勾股定理得： 2222,EC = CD + DE = 12 + 4 = 4 10 过点 B 作 BF⊥CE，垂足为 F,如图在△EBC 中： 121gEBgDE = ´9´ 4 = 18 S△EBC= ;2121=gCEgBF = ´4 10gBF=2 10BF 又∵S△EBC 2∴,2 10BF = 18 9 10 解得 ,BF = 10 在 Rt△BFC 中， BF 9 10 9 10 50 ,sinÐBCF = =¸ 5 = BC 10 9 10 故填：．50 【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高． 17. ABC  90, AB  2, BC  3 在ABC 中，长度的最小值为_____．．点 D 为平面上一个动点，，则线段 ADB  45 CD 【答案】 5  2【解析】【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角 ADB  45 AB  2 的一半可知，点在以为圆心 O为半径的圆上，线段长度的最小值为．OB CD CO OD D12ON  AB,OM  BC AB 【详解】如图：以为半径作圆，过圆心作，O以为圆心为半径作圆，则点在圆上， DOOB OADB  45 ∴ AOB  90  AB  2 AN  BN 1  AO  12 12  2 1ON  OM  AB 1 ,BC  3 2OC  12  (31)2  5 CO OD  5  2 线段长度的最小值为: ．CD 5  2故答案为：．5  2【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题（一）：本大题共 3 小题 2x  4  3 x  2 18. 解不等式组 .x  7 4x  2【答案】﹣1＜x≤2．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可. 2x  4  3 x  2 ① 【详解】解： x  7 4x  ②2由①得：x≤2；由②得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体 600 名学生中抽取 20 名，其竞赛成绩如图：（1）求这 20 名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于 90 分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．【答案】（1）众数：90，中位数：90，平均数：90.5；（2）450 人【解析】【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；（2）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】解：（1）由列表中 90 分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是 90，由于人数总和是 20 人为偶数，将数据从小到大排列后，第 10 个和第 11 个数据都是 90 分，因此这组数据的中位数应该是 90，众数：90，中位数：90， 802  853 908  9551002  90.5 平均数．20 答：这 20 名学生成绩的众数 90，中位数 90，和平均数 90.5；（2）20 名中有人为优秀， 8 5 2 15 15 20 34∴优秀等级占比： 3600 450 ∴该年级优秀等级学生人数为：答：该年级优秀等级学生人数（人） 4为450 人．【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 20. 如图，在中， A  90，作 BC 的垂直平分线交于点 D，延长至点 E，使 AC RtABC AC CE  AB ．（1）若（2）若，求的周长； △ABD AE 1 1AD  BD ，求的值． tan ABC 3【答案】（1）1；（2） 2【解析】【分析】(1)作出 BC 的垂直平分线，连接 BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到 DB=DC，由此即可求出△ABD 的周长； (2)设，AD  x BD  3x ，进而求出 AC  AD  CD  4x ，在 Rt△ABD 中使用勾股定理求得，由此即可求出的值． tan ABC AB  2 2x 【详解】解：(1)如图，连接，设 BC 垂直平分线交 BC 于点 F， BD ∵∴为BC 垂直平分线， DF ，BD  CD CABD  AB  AD  BD  AB  AD  DC  AB  AC ∵∴，AB  CE C AC  CE  AE  1 ．ABD (2)设，∴ ，AD  x BD  3x 又∵ ，∴ AC  AD  CD  4x ，BD  CD 2222中，．Rt△ABD 在AB  BD  AD  (3x)  x  2 2x AC AB 4x tanABC   2 ∴．2 2x 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．四、解答题（二）：本大题共 3 小题 xOy y  kx  b k 0 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与 21. 在平面直角坐标系中，一次函数 4P 1,m ．y  反比例函数图象的一个交点为 x（1）求 m 的值；（2）若，求 k 的值． PA  2AB 【答案】（1）4；（2）或k  6 k  2 【解析】 4y  【分析】（1）将 P 点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得 m； x（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似， PA  2AB 过过 P 作轴交 x 轴于点 H，证明VABO : VAPH ，即可求出 k 和 b 的值；当一次函数过一、三、 PH  x 四象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，证明 PA  2AB VBAO : VBPQ 即可求出 k 和 b 的值． 4y  【详解】解：（1）∵P 为反比例函数上一点， x4m  4 ∴代入得，1∴．m  4 y  0 （2）令，即 kx  b  0 ，bbA  ,0 x   ∴，，kkx  0, y  b B(0,b) ，令，∴ ∵．PA  2AB 由图象得，可分为以下两种情况， ①B 在 y 轴正半轴时，，b  0 ∵，PA  2AB B O  A HPAO  B AO ，过 P 作轴交 x 轴于点 H，又，PH  x 1111 1 AOB ∽A HP, ∴111A B AO BO 121111A PA HPH 11A B AO 1111111==B O  PH  4 2 ∴，,1B POH 221A B= B P, AO = OH 即,1111∴∴，b  2 AO  OH  1 ，．1b 1,k  2 ∴kPQ  y b  0 ②B 在 y 轴负半轴时，，过 P 作轴，，PQ  B Q, A O  B Q,A B O  A B Q ∵∴2222222A OB ∽PQB ，222A B2 13A OB2O 22∴∴，PB2 PQ B2Q b k113A O   PQ  ，2311B O  B Q  OQ  b  2 ，2232b  0 ∵，bk13b  2 ∴∴，代入 k  6 ，综上，或k  6 ．k  2 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10 元，某商家用 8000 元购进的猪肉粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价 50 元时，每天可售出 100 盒；每盒售价提高 1 元时，每天少售出 2 盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (50  x  65), y （2）设猪肉粽每盒售价 x 元的函数解析式并求最大利润．表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求 y 关于 x 2【答案】（1）猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元；（2），y  2x  280x 8000(50  x  65) 最大利润为 1750 元【解析】 a 10 元，根据某商家用 8000 元购进的猪肉粽【分析】（1）设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； [100  2(x  50)] （2）根据题意当时，每天可售 100 盒，猪肉粽每盒售 x 元时，每天可售盒，列出 x  50 二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． a 10 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价 元． 8000 6000 则aa 10 解得：，经检验是方程的解． a  40 a  40 ∴猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元．答：猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元．（2）由题意得，当时，每天可售 100 盒． x  50 [100  2(x  50)] 当猪肉粽每盒售 x 元时，每天可售盒．每盒的利润为( )x  40 y  (x  40)[100  2(x 50)] ∴， 2×2  280x 8000 2配方得： y  2(x  70) 1800 当∴时，y 取最大值为 1750 元． x  65 2，最大利润为 1750 元． y  2x  280x 8000(50  x  65) 2答：y 关于 x 的函数解析式为，且最大利润为 1750 元． y  2x  280x 8000(50  x  65) 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． FBE, BF 23. 如图，边长为 1 的正方形中，点 E 为的中点．连接 BE ，将沿BE 折叠得到 ABCD AD △ABE CG 的长．交于点 G，求 AC 3CG  2【答案】【解析】 7RtEDH≌RtEFH HL 【分析】根据题意，延长交于 H 连，通过证明 、CD BF EH DHE∽AEB 33CH  CG  AC CG CG ，进而即可求得的长．得到，再由HGC∽BGA 得到 44【详解】解：延长交于 H 连，CD BF EH ∵由FBE △ABE 沿BE 折叠得到， ∴，，EFB  EAB  90 EA  EF ∵E 为中点，正方形边长为 1， ABCD AD 1EA  ED  ∴∴，21ED  EF  ，2∵四边形是正方形， ABCD D  EFB  EFH  90 RtEFH 中， ∴在，和Rt△EDH ED  EF EH  EH ，RtEDH≌RtEFH HL ∴∴，，DEH  FEH 又∵ ，AEB  FEB ∴∵∴∴DEH  AEB  90 ，，ABE  AEB  90 ，ABE  DEH ，DHE∽AEB DH AE 12∴，DE AB 1DH  ∴∴，413CH  CD  DH 1  ，44∵∴，CH∥AB HGC∽BGA ，，CG CH 34∴AG AB 33CG  AG  AC CG ∴∵∴，44CB 1 ，，，CBA  90 AB 1 ，AC  2 34CG  CG  2 CG ∴∴，372．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．五、解答题（三）：本大题共 2 小题 24. 如图，在四边形中， AB//CD，AB  CD，ABC  90，点 E、F 分别在线段 BC 、上， ABCD AD 且EF//CD，AB  AF，CD  DF ．（1）求证：；CF  FB （2）求证：以为直径的圆与 BC 相切； AD （3）若 EF  2，DFE 120 ，求的面积． ADE 83【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 3【解析】【分析】 (1) 设 DCF  DFC   ，进而求得 ABF  AFB  90  ，再由 CFB 180  CFD  BFA  90 即可求得CF  FB ；1OM  AB  CD (2)取中点 O，过点 O 作，由梯形中位线定理得到，利用 OM  BC AD  2OA AD 2AF  AB，DF  DC 得到，进而OA  OM  OD ，由此即可证明；  SEFD  SEFA 于点 M，N，得到 EF S(3)过点 D，点 A 分别向作垂线交，分别求出 EF ADE EF 23BE  3，再代入求解即可． CE  3EF  2 3 3【详解】解：(1)∵ ，设DCF  DFC   ，CD  DF ∴FDC  180  2 ，∵CD∥AB， ∴，BAF 180  (180  2)  2 又∵ ，AB  AF 180  2 ABF  AFB   90  ∴，2CFB  180  CFD  BFA  180   (90 )  90 ∴∴，．CF  BF (2)如图，取中点 O，过点 O 作，OM  BC AD ∵CD∥AB，∠BCD=90°， ∴，，DCB  90 又∵ OM  BC ∴OM∥AB， ∴M 为中点， BC 1OM  AB  CD ∴，2∵，AD  AF  DF AF  AB, DF  DC 又∵ ，∴AD  AB  CD  2OM ，又∵ ，AD  2OA ∴OA  OM  OD ，∴以为直径的圆与 BC 相切． AD (3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB， ∴，CDA  60，BAD 120，AFE  60 又∵ DC  DF ∴为等边三角形，，DCF DFC  FCD  60 ∵CD∥EF， ∴CFE  FCD  60 ，由(2)得： CFB  90 ，∴∴，EFB  30 BFA  FBA  30 ，∵，在中，三边之比为，Rt△BFE EF  2 BE  1: 3: 2 EF 23，∴33在∴RtCEF 中，三边之比为，1: 3: 2 ，CE  3EF  2 3 如图，过点 D，点 A 分别向作垂线交于点 M，N， EF EF ∵，ÐCEM =ÐEMD =ÐECD =90 ∴四边形为矩形， CDME ∴，CE  DM  2 3 同理，四边形 BENA 为，矩形， 2BE  AN  3∴311SADE  SEFD  SEFA  EF  DM  EF  AN 221 EF (DN  AN) 2123 2 2 3 32833．【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、圆的切线的证明方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键．已知二次函数 y  ax2  bx  c的图象过点 1,0 ，且对任意实数 x，都有 25. 22．4x 12  ax  bx  c  2x 8x  6 （1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与 x 轴的正半轴交点为 A，与 y 轴交点为 C；点 M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在 x 轴上是否存在点 N，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） y  x2  2x 3 ；（2）存在， 或或或1,0 5,0 7  2,0 2  7,0 【解析】，可得函数 y  ax2  bx  c 必过 2x  x  3 (3,0) ，再结合【分析】（1）令，解得 4x 12  2x 8x  6 12y  ax2  bx  c 必过得出 b  2a ，c  3a ，即可得到y  ax2  2ax 3a ，再根据 (1,0) 22y  4x 12 ，可看成二次函数 y  ax  2ax 3a 与一次函数仅有一个交点，且 4x 12  ax  2ax 3a 2y  4x 12 整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，a  0   0 4x 12  ax  2ax 3a a可解得的值，即可求出二次函数解析式． M m,m2  2m  3 ,N(n,0) （2）结合（1）求出点 C 的坐标，设，①当为对角线时，②当为对 AC 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案． AM 角线时，③当 AN 2x  x  3 【详解】解：（1）令，解得，4x 12  2x 8x  6 122当∴x  3时，，4x 12  2x 8x  6  0 y  ax2  bx  c 必过，(3,0) 又∵ y  ax2  bx  c 必过，(1,0) a b  c  0 b  2a ∴，9a  3b  c  0 c  3a ∴ y  ax2  2ax 3a ， 2即，4x 12  ax  2ax 3a 2y  4x 12 y  4x 12 即可看成二次函数 y  ax  2ax 3a 与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，a  0 2有两个相等的实数根 4x 12  ax  2ax 3a   0 ∴∴(2a  4)2  4a(12 3a)  0 ，(a 1)2  0 ，a 1 ∴∴，b  2 ，，．c  3 2∴y  x  2x 3 A(3,0) C(0,3) ，M m,m2  2m  3 ,N(n,0) （2）由（1）可知：，设，x  x  x  x ACMN①当为对角线时， AC yA  yC  yn  yN 3 0  m  n m  0 m  2 ∴∴，解得（舍），，120  (3)  m2  2m 3 0 N (1,0) n 1，即．1x  x  x  x AMCN②当为对角线时， AM yA  yM  yC  yN 3 m  0  n m  0 m  2 ∴∴，解得（舍），120  m2  2m 3  3 0 N (5,0) n  5，即．2x  x  x  x ANCM③当为对角线时， AN yA  yN  yC  yM 3 n  0  m ∴，解得 m1  1 7,m2  1 7 ，0  0  3 m2  2m 3 ∴∴或，n  7  2 n  2  7 ．N3( 7 2,0), N4 (2  7,0) 1,0 5,0 7  2,0 2  7,0 综上所述：N 点坐标为 或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性 问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．