四川省凉山州 2020 年中考数学试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． （﹣1）2020 等于（ ） 1. A. B. C. D. 1﹣2020 2020 ﹣1 D【答案】 【解析】 【分析】 根据负数的偶次方是正数可以解答． 【详解】（﹣1）2020=1， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1 的奇次方是-1，-1 的偶次方是 1，是常考题型． 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. C. B. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答． 【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题． A 2,3 3. 点关于 x 轴对称的点的坐标是（ 2,3 ）2,3 2,3 2,3 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 的利用平面直角坐标系内，对称坐标 特点即可解答. 【详解】关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数 A 2,3 关于 x 轴对称的点的坐标是（2，-3） ∴点 故选 B 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数； 关于 y 轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数. 4. 已知一组数据 1，0，3，-1，x，2，3 的平均数是 1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1 和 3 D. 1 和 3 C【答案】 【解析】 【分析】 先根据平均数的定义求出 x 的值，再根据众数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，得： ，解得： ，1 0 31 x 2 3 17 x 1 所以这组数据的众数是：﹣1 和 3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 25. 一元二次方程 x =2x 的解为（ ）A. x=0 B. x=2 C. x=0 或 x=2 D. x=0 且 x=2 C【答案】 【解析】 【详解】 x2 2x 0, x x 2 0, x 2 0, x 0 或x1 0, x2 2. 故选 C. 6. 下列等式成立的是（ ） 5 2 5 2 (tan 451)0 1 A. C. B. D. 81 9 1( )1 2 2C【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】A. ，故错误； ，故错误； 81 9 5 2 5 2 B. 1( )1 2 C. ，正确； 2D.∵ ，tan 45111 0 ∴(tan 451)0 无意义； 故选 C． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数 值． 7. 已知一次函数 y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则 m的取值范围（ ）1211A. m>- B. m<3 C. -<m<3 2D. -<m≤3 2D【答案】 【解析】 【分析】 一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况. 【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时， 2m＋1＞0 m 3＜0 1，解得：－ ＜m＜3. 2当函数图象经过第一，三象限时， 2m＋1＞0 m 3＝0 ，解得 m＝3 1∴－ ＜m≤3. 2故选 D. 【点睛】一次函数的图象所在的象限由 k，b 的符号确定：①当 k＞0，b＞0 时，函数 y＝kx＋b 的图象经过 第一，二，三象限；②当 k＞0，b＜0 时，函数 y＝kx＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当 k＜0，b＞0 时，函数 y＝kx＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当 k＜0，b＜0 时，函数 y＝kx＋b 的图象经过第二， 三，四象限.注意当 b＝0 的特殊情况. 8. 点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点．若线段 ，则线段 BD 的长为（ ） D. 2cm 或 4cm AB 12cm A. 10cm B. 8cm C. 8cm 或 10cm C【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点 C 是线段 AB 的中点， 1∴AC=BC= AB=6cm 22当 AD= AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm 3∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 1当 AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm 3∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选 C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 D【答案】 【解析】 【分析】 根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故 A 错误； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故 B 错误； C、圆的切线垂直于过切点的半径，故 C 错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故 D 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质， 解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断． 10. 如图所示， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为（ ） ABC tan A 122A. B. C. 2 D. 2 2 2A【答案】 【解析】 【分析】 如图，取格点 E，连接 BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格点 E，连接 BE， 22∠AEB 90 由题意得： ，，，BE 2 AE= 2+2 =22 BE 21∴．t an A= AE 22 2 故答案选 A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的 关键． 11. O 如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 ，则 （ ） AD : AB A. B. C. D. 2 :3 3 :2 3 : 22 2 2:3 B【答案】 【解析】 【分析】 过点 O 作 ，OM BC ON AD ，设圆的半径为 r，根据垂径定理可得△OBM 与△ODN 是直角三角形， 根据三角函数值进行求解即可得到结果． 【详解】如图，过点 O 作 ，OM BC ON AD ，设圆的半径为 r， ∴△OBM 与△ODN 是直角三角形， ，，OD OB r O ，∵等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于 ∴,OBM 30 ODN DON 45 23∴，，DN ODt an 45 rBM OBcos 30 r22∴∴，AD 2DN 2r BC 2BM= 3r ，．AD : AB 2r ∶ 3r 2∶ 3 故答案选 B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解 是解题的关键． 二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③ ；④ 12. abc 0 2a b 0 3b 2c 0 2（m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ） am bm a b A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 D【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断 a，结合抛物线的对称轴可判断 b， 根据抛物线与 y 轴的交点可判断 c，进而可判断①；由图象可得：当 x=3 时，y＞0，即 9a+3b+c＞0，结合② 2的结论可判断③；由于当 x=1 时，二次函数 y 取最小值 a+b+c，即 （m 为实数）， am bm c a b c 进一步即可对④进行判断，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0， b1 ∵抛物线的对称轴是直线 x=1，∴ ，2a ∴b＜0， ，故②正确； 2a b 0 ∵抛物线与 y 轴交于负半轴，∴c＜0， ，故①正确； ∴abc 0 ∵当 x=3 时，y＞0，∴9a+3b+c＞0， 19a b b 3b c 0 ∵，∴ ，22整理即得： ，故③正确； 3b 2c 0 ∵当 x=1 时，二次函数 y 取最小值 a+b+c， 22∴（m 为实数），即 （m 为实数），故④正确． am bm c a b c am bm a b 综上，正确结论的个数有 4 个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌 握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 函数 中，自变量 x 的取值范围是__________． y x 1 【答案】x≥﹣1. 【解析】 【分析】 的根据二次根式有意义 条件判断即可. 【详解】由于二次根式需要有意义,则 x+1≥0,x≥﹣1. 故答案为 x≥﹣1. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识. 32 =_______________. 14. 因式分解： a ab a(a+b)(a-b). 【答案】 【解析】 分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为 a(a+b)(a-b). 15. 如图， 的对角线 AC、BD 相交于点 O， 交 AD 于点 E，若 OA=1， 的周长等 ABCD OE / /AB AOE 于 5，则 的周长等于__________． ABCD 【答案】16 【解析】 【分析】 根据已知可得 E 为 AD 的中点，OE 是△ABD 的中位线，据此可求得 AB，根据 OA=1， 5，可求得具体的结果． 的周长等于 AOE 【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 是对角线， ∴O 为 BD 和 AC 的中点， 又∵ ，OE / /AB OE AB ∴，，E 为 AD 的中点， AB 2OE 又∵OA=1， 的周长等于 5， AOE ∴AE+OE=4， AD AB 2 AE OE 2 4 8 ∴∴，2 AD AB 2 8 16 的周长= ．ABCD 故答案为 16． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键． 3216. 如图，点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积为 ，则半圆的半径 OA 的长为 __________． 【答案】 3. 【解析】 【分析】 3 2OC,OD,CD, CD / /AB, 再证明 S S阴影 =，从而可以列方程求解半径． 如图，连接 证明 扇形OCD OC,OD,CD, 【详解】解：如图，连接 点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点， AOC COD DOB 60, OC OD, COD 为等边三角形， OCD 60, AOC DCO, CD / /AB, SCOD SBCD ,3 2S扇形OCD S阴影 =，60 OA2 3 ,360 2OA 3, 解得： （负根舍去）， 故答案为： 3. 【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算， 掌握以上知识是解题的关键． ky (k 0, x 0) 17. 如图，矩形 OABC 的面积为 3，对角线 OB 与双曲线 相交于点 D，且 ，OB :OD 5：3 x则 k 的值为__________． 27 【答案】 25 【解析】 【分析】 过 D 作 DM⊥OA 于 M，DN⊥OC 于 N，设 D 的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定 33理求出 DM＝ AB，DN＝ BC，代入矩形的面积即可求出答案． 55【详解】过 D 作 DM⊥OA 于 M，DN⊥OC 于 N， 设 D 的坐标是（x，y）， 则 DM＝y，DN＝x， ∵OB：OD＝5：3，四边形 OABC是矩形， ∴∠BAO＝90°， ∵DM⊥OA， ∴DM∥BA， ∴△ODM∽△OBA， DM OD 35∴，AB OB 3∴DM＝ AB， 53同理 DN＝ BC， 5∵四边形 OABC 的面积为 3， ∴AB×BC＝3， 3327 25 9∴DM×DN＝xy＝ AB× BC＝ ×3＝ 25 ，5527 即 k＝xy＝ ．25 27 故答案为： ．25 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等 33知识点的理解和掌握，能推出 DM＝ AB 和 DN＝ BC 是解此题的关键． 55三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． x 2 22x 1 18. x 1 解方程： 327x 【答案】 【解析】 【分析】 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为1，依此即可求解． x 2 22x 1 x 1 【详解】解： 36x 3 x 2 6 2 2x 1 6x 3x 6 6 4x 2 6x 3x 4x 6 6 2 7x 2 2x 7【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐 向 x＝a 形式转化． 219. 化简求值： (2x 3)(2x 3) (x 2) 4(x 3) ，其中 x 2 2【答案】 ，5 3x 1 【解析】 【分析】 利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将 代入求值即可． x 2 【详解】原式= (4×2 9) (x2 4x 4) 4x 12 22==4x 9 x 4x 4 4x 12 23x 1 将代入得原式=3×2-1=5． x 2 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键． 20. 如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使 正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm． 【答案】48mm 【解析】 【分析】 设正方形的边长为 x，表示出 AI 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进 行计算即可得解． 【详解】设正方形的边长为 x mm， 则 AI＝AD﹣x＝80﹣x， ∵EFHG 是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， EF AI ∴即,BC AD x80 x 80 ，120 解得 x＝48 mm， ∴这个正方形零件的边长是 48mm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 21. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校 20 个班的作品进行评比在第 一批评比中，随机抽取 A、B、C、D 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统 计图， （1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心角的度数 为；（2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A 班 D 班各有一件、B 班 C 班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中 随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率． 13 【答案】（1）24；150°（2）见解析（3） 15 【解析】 【分析】 （1）根据 B 班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的 4 个班共征集的作品件数，再求出 C 班的作品数 量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据 C 班的作品数量即可补全统计图； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品为 6÷25%=24 套， ∴C 班的作品数量为 24-4-6-4=10 套， 故 C 班的扇形的圆心角的度数为 150° 故答案为 24；150°； （2）∵C 班的作品数量为 10 套， 故补全条形统计图如下： （3）依题意可得到树状图： 26 13 ∴P（抽取的作品在两个不同班级）= ．30 15 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的 结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考 查了统计图． BAC 22. 如图，AB 是半圆 AOB 的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分 交半圆于点 D，过点 D 作 DH AC 与 AC 的延长线交于点 H． （1）求证：DH 是半圆的切线； 5（2）若 ，DH 2 5sin BAC ，求半圆的直径． 3【答案】（1）见详解；（2）12 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，先证明 OD∥AH，然后根据 DH⊥AH，可得 OD⊥DH，即可证明； （2）过点 O 作 OE⊥AH 于 E，由（1）知，四边形 ODHE 是矩形，可得 OE=DH= ，2 5 3OE OA OE 5在 Rt△AOE 中，根据 sin∠BAC= ，sin∠BAC= ，可得 AO= =×=6，即可求出 2 5 sin∠BAC 53直径． 【详解】（1）连接 OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， BAC ∵AD 平分 ，∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AH， ∵DH⊥AH， ∴OD⊥DH， ∴DH 是半圆的切线； （2）过点 O 作 OE⊥AH 于 E，由（1）知，四边形 ODHE 矩形， 是∴OE=DH= ，2 5 在 Rt△AOE 中， OE OA 5∵sin∠BAC= ，sin∠BAC= ，33OE ∴AO= =×=6， 2 5 sin∠BAC 5∴AB=2OA=12， ∴半圆的直径长为 12． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所 学知识点是解题关键． 2x 3(x 3) 1 23. 关于 x的不等式组 有四个整数解，则 a的取值范围是________________. 3x 2 x a 4 11 5【答案】- ≤a＜- 42【解析】 【分析】 解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出 a 的范围． 2x 3 x 3 1① 3x 2 4【详解】 x a② 解不等式①得，x＞8； 解不等式②得，x＜2-4a； ∴不等式组的解集为 8＜x＜2-4a. ∵不等式组有 4 个整数解， ∴12＜2-4a≤13， 11 5∴- ≤a＜- 4224. 如图，矩形 ABCD 中，AD=12，AB=8，E 是 AB 上一点，且 EB=3，F 是 BC 上一动点，若将 沿EBF EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距为 ．【答案】 【解析】 【分析】 10. ED, PD, 如图 ，连接 1利用三角形三边之间的关系得到 P最短时 的位置，如图 利用勾股定理计算 PD 2，从而可得答案． ED ED, PD, 【详解】解：如图 ，连接 1则＞，ED EP PD 为定值， 上时， EP BE 3 当P落在 最短， ED PD 图 1如图 ，连接 2，ED 22由勾股定理得： ED AE AD 13, PD ED PE 133 10. 即的最小值为： 10. PD 故答案为： 10. 图 2【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用， 掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，点 P、Q 分别是等边 边 AB、BC 上的动点（端点除外），点 P、点 Q 以相同的速度，同时 ABC 从点 A、点 B 出发． ABQ CAP （1）如图 1，连接 AQ、CP 求证： QMC （2）如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M， 的大小是否变化？ 若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 QMC （3）如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M， 的大小是否变 化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°． 【解析】 【分析】 （1）根据点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发，可得 BQ=AP，结合等边三角形的性质证全 等即可； （2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数，再根据对顶角 QMC 相等可得 的度数； △ CBP △ ACQ （3）先证出 ，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°． 【详解】解：（1）证明：∵三角形 ABC 为等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， ∵点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发， ∴BQ=AP， 在△ABQ 与△CAB 中， AB AC ABC CAB BQ AP ABQ CAP SAS ∴．（2）角度不变，60°，理由如下： ABQ CAP ∵∴∠CPA=∠AQB， 在△AMP 中， ∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°， 故∠QMC 的度数不变，度数为 60°． （3）角度不变，120°，理由如下： 当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时， 有 AP=BQ，∴BP=CQ ∵∠ABC=∠BCA=60°， ∴∠CBP=∠ACQ=120°， BC AC CBP ACQ BP CQ △ CBP △ ACQ SAS ∴∴∠Q=∠P， ∵∠QCM=∠BCP， ∴∠QMC=∠CBP=120°， 故∠QMC 的度数不变，度数为 120°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角 形的性质证全等是解题的关键． l：y x 5 26. 如图，已知直线 ky (k 0, x 0) （1）当反比例函数 （2）若反比例函数 x x 3 的图象与直线 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 lxky (k 0, x 0) A(x , y ) B(x , y ) 、 ，当 1 12 2 的图象与直线 在第一象限内相交于点 lxkx 5 时，求 k 的值并根据图象写出此时关的不等式 的解集 21×25 0 k 【答案】（1） ；（2） ；0 x 1 或；k 4 x 4 4【解析】 【分析】 （1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于 0，可得答案； x x 3 （2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合 ，即可求出 k 的值；进而求出点 A、B 的横坐 21标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集． ky x 5 y (k 0, x 0) 与【详解】解：（1）∵ 的图像在第一象限内至少有一个交点， xk2x 5 ∴令 ，则 ，x 5x k 0 x 25 4(1)(k) 0 ∴，25 k ∴；425 0 k ∴k 的取值范围为： ；42（2）由（1）得 ，x 5x k 0 x x 5 x x k ，∴∴，1212(x x )2 (x x )2 4x x 121212x x 3 ∵，21∴∴，25 4k 9 ；k 4 2∴，x 5x 4 0 x 1 x 4 ，解得： ，12kxx 5 ∴不等式 的解集是： 0 x 1 或；x 4 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解 题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题． 27. 如图， O ÐB C 、 所对的边分别是a、b、c 的半径为 R，其内接锐角三角形 ABC 中， 、A abc 2R （1）求证： sin A sin B sin C ，（2）若 ，A 60 C 45 ，利用（1）的结论求 AB 的长和sin B 的值 BC4 3 2 6 4【答案】(1)详见解析;(2)AB= ,.sin B 4 2 【解析】 【分析】 (1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证. (2)利用(1)中的结论代入求出 AB,再作 BD⊥AC,利用三角函数求出 AC 的值,再根据(1)的结论求出sin B 【详解】(1) .BCA 90 A A 1 ,根据三角函数可得 如图所示,连接 BO 并延长交圆于 A1,连接 A1C,可得 ,1BC aasin A sin A 2R ,则 .1A B2R sin A 1bc 2R 2R .同理可得 ,sin B sin C abc 2R ∴.sin A sin B sin C ac(2)根据(1)的结论可得 ,sin A sin C 12sin A ,,.将值代入得: a BC 4 3 sin C 224 3 3c,解得 ,即 AB= .c 4 2 4 2 222a4 3 2R 8 sin A 32o过点 B 作 BD⊥AC,由题意可得 ,,1 30 2 45 124 2 2 2 ∴AD=AB·sin =, AD=BC·sin 2 =.1 4 3´ = 2 6 22∴AC=AD+CD= .2 2 2 6 b2 2 2 6 sin B 2 2 2 6 2 6 4 2R ∴即,得 . 8 sin B sin B 8【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线. 33如图，二次函数 y ax2 bx c的图象过O( 0，0) 28. 、、三点 A(1，0) B,2 2 （1）求二次函数的解析式； （2）若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交于点 D，求直线 CD 的解析式； PQ x （3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 的长最大时，求点 P 的坐标． 轴，交直线 CD 于 Q，当线段 PQ 142 3 32 3 35 3 x2 x3【答案】（1） ；（2）y=- x+ ；（3）（- 3，）． y 24 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法即可求解； 3（2）先求出直线 OB 的解析式为 y= x 与线段 OB 的中点 E 的坐标，可设直线 CD 的解析式为 y= x+m， 33再把 E 点代入即可求出直线 CD 的解析式； （3）设 P 的横坐标为 t，先联立直线 CD 与抛物线得到 D 点的横坐标，得到 t 的取值，再得到线段 PQ 关于 t 的关系式，利用二次函数的性质即可求解． 33代入 y ax2 bx c A(1，0) B,【详解】（1）把O( 0，0) 、、2 2 0 0 0 c 0 a b c 得393 a b c 2 422 3 3a 2 3 b c 0 解得 32 3 32 3 3×2 x∴二次函数的解析式为 ；y 3,3B（2）如图，∵O( 0，0) ∴其中点 E 的坐标为 ，2 2 33,4 4 设直线 OB 的解析式为 y=kx 3333B,把代入得 k 2 2 223解得 k= 33∴直线 OB 的解析式为 y= ∵直线 CD 垂直平分 OB， x， 3∴可设直线 CD 的解析式为 y=- x+m, 33333,把 E 代入得 3 m 4 4 44解得 m= 3∴直线 CD 的解析式为 y=- x+ ；332 3 32 3 3y x2 x（3）联立 y 3x 3 2 3 2 3 3×2 x得到 3x 3 35解得 x1=- ,x2=1， 22 3 32 3 3t2 t设 P 的横坐标为 t，则 P（t, ）， PQ x ∵过点 P 作 ∴Q（t，- 轴，交直线 CD 于 Q， t+ t+ ）332 3 32 3 32 3 1(t )2 425 3 24 33t2 ∴PQ=（- ）-（ ）=- t3125 3 故当 t=- 时 PQ 有最大值 424 145 3 此时 P 的坐标为（- ，）． 24 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质． 本试卷的题干 0635
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