内江市 2020 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题 A 卷（共 100 分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好． 2、答 A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号． 第Ⅰ卷（选择题 共36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 11. A. 的倒数是（ ）21212B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求解． 12=1 【详解】解：∵ 21∴的倒数是 2 2故选：A． 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键． 2. 下列四个数中，最小的数是（ ） 1A. 0 B. C. 5 D. 1 2020 D【答案】 【解析】 【分析】 先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项． 11 0 5 【详解】∵ ，2020 ∴最小的数是 ，1 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反 而小． 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转 180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心 对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D 都不是中心对称图形，只有 B 是中心对称图形. 故选 B. 4. 如图，已知直线 a / /b ，，则 2 的度数为（ ） 1 50 A. B. C. D. 40 140 130 50 B【答案】 【解析】 【分析】 利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】如图，∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°， ∴∠2＝180°−50°＝130°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则 这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 80，90 B. 90，90 C. 90，85 D. 90，95 B【答案】 【解析】 【分析】 根据中位数、众数的定义即可求解． 【详解】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95 故中位数为 90，众数为 90 故选 B． 【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位数、众数的定义． y 2x 1 6. 将直线 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） y 2x 5 y 2x 3 y 2x 1 y 2x 3 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 向上平移时，k 的值不变，只有 b 发生变化． 【详解】解：原直线的 k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的 k=-2，b=-1+2=1． ∴新直线的解析式为 y=-2x+1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时 k 和 b 的值发生变 化． S15 S7. 如图，在 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点， ，则 （ ） ABC 四边形BCED ABC A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 D【答案】 【解析】 【分析】 首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积． 1【详解】解：根据题意，点 D 和点 E 分别是 AB 和 AC 的中点，则 DE∥BC 且 DE= BC，故可以判断出 2SSSABC =1：4，则 △ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ：：ADE 四边形BCED S15 ，故可得 ADE =5， ABC =20 SSSABC =3：4，题中已知 四边形BCED 故本题选择 D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 DE 是中位线，从而判断 △ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题． ，点 B 是 的中点，则 8. 如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上， 的度数是（ ）AOC 120 D AC 30° A. B. 40 C. 50 D. 60 A【答案】 【解析】 【分析】 1根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝ ∠AOC，再根据圆周角定理解答． 2【详解】连接 OB， ∵点 B 是 的中点， AC 1∴∠AOB＝ ∠AOC＝60°， 21由圆周角定理得，∠D＝ ∠AOB＝30°， 2故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． k9. y 如图，点 A 是反比例函数 图象上的一点，过点 A 作 AC x 轴，垂足为点 C，D 为 AC 的中点， x若AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） 4383A. B. C. 3 D. 4 D【答案】 【解析】 【分析】 先设出点 A 的坐标，进而表示出点 D 的坐标，利用△ADO 的面积建立方程求出 【详解】点 A 的坐标为（m，2n）， ，即可得出结论． mn 2 ∴，2mn k ∵D 为 AC 的中点， ∴D（m，n）， x∵AC⊥ 轴，△ADO 的面积为 1， 1211SADOC 2n n m mn 1 ∴，ADO 22∴∴，mn 2 ，k 2mn 4 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明 确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 10. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折 回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳索长 x 尺．则符合题意的方程是（ ） 1212x x 5 5 x x 5 5 A. C. B. D. 2x x 5 5 2x x 5 5 A【答案】 【解析】 【分析】 xx)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于 一元 设索为 尺，杆子为( x 5 一次方程． x【详解】设索为 尺，杆子为( )尺， x 5 1x 根据题意得： ()．x 5 5 2故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 11. 如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF．已知 ，则 EF 的长为（ ）AB 3，BC 4 5 13 A. 3 B. 5 C. D. 13 6C【答案】 【解析】 【分析】 由矩形的性质和已知求出 BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设 AE 的长度为 x，在 Rt△EMD 中， 由勾股定理求出 DE 的长度，同理在 Rt△DNF 中求出 DF 的长度，在 Rt△DEF 中利用勾股定理即可求出 EF 的长度． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=4， 32 42 ∴BD= =5， 设 AE 的长度为 x， 由折叠可得：△ABE≌△MBE， ∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在 Rt△EMD 中，EM2+DM2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 33 5 =2 2 解得：x= ，ED=4- ，2设 CF 的长度为 y， 由折叠可得：△CBF≌△NBF， ∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1， 在 Rt△DNF 中，DN2+NF2=DF2， ∴y2+12=（3-y）2， 44353解得：x= ，DF=3- =，322555 13 6 DE2 DF2 在 Rt△DEF 中，EF= 故答案为：C． ， 23 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出 DE 和 DF 的长度是解题的关键． y tx 2t 2 12. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 （）与两 t 0 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（ ）121 t 2 t 1 A. CB. D. 212 t 2 且1 t 2 t 1 D【答案】 【解析】 【分析】 画出函数图象，利用图象可得 t 的取值范围. y tx 2t 2 【详解】∵ ，2∴当 y=0 时，x= ；当 x=0 时，y=2t+2， 2 t2y tx 2t 2 ∴直线 与 x 轴的交点坐标为（ ，0），与 y 轴的交点坐标为（0，2t+2）， 2 t∵t>0， ∴2t+2>2， 12y tx 2t 2 当 t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （）与两坐标轴围成的三角形 2 t 0 2t区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 1， 2y tx 2t 2 当 t=2 时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （）与两坐标轴围成的三角形区 2 t 0 t域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 2， 2y tx 2t 2 当 t=1 时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （）与两坐标轴围成的三角形区域 2 t 0 t（不含边界）中有且只有三个整点，如图 3， 1 t 2 ∴且，t 1 2故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据 t 的值正确画出图象理解 题意是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题 共64 分） 注意事项： 1、第Ⅱ卷共 4 页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2、答题前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 1x中，自变量 的取值范围是_____ ． 13. y 函数 2x 4 【答案】 【解析】 x 2 【详解】根据函数可知： 2x 4 0 ,解得： ．x 2 故答案为： ．x 2 14. 2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五 的十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗 终端产品 至少有 7 亿台，其中 7 亿用科学记数法表示为______________ 8【答案】 710 【解析】 【分析】 na，其中 1≤∣ ∣﹤10，n 为整数，确定 a 值和 n 值即可解答． 科学记数法的表示形式为： a 10 8【详解】7 亿=700000000= ，710 8故答案为： ．710 【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定 a 的值和 n 的值是解答的关键． 2已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3mx 3 0 有一实数根为 ，则该方程的另一个实数根为 15. 1 _____________ 1【答案】 3【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解的定义把 x=-1 代入原方程得到关于 m 的一元二次方程，解得 m 的值，然后根据一 元二次方程的定义确定 m 的值． 2【详解】解：把 x=-1 代入 m 1 x2 3mx 3 0 得 m2-5m+4=0，解得 m1=1,m2=4， ∵(m-1)2≠0， ∴m 1． ∴m=4. ∴方程为 9×2+12x+3=0. 3设另一个根为 a,则-a= .91∴a=- .313故答案为: – ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方 程的根．也考查了一元二次方程的定义． 16. 如图，在矩形 ABCD 中， ，BC 10 ABD 30 ，若点 M、N 分别是线段 DB、AB 上的两个动点， 则的最小值为___________________． AM MN 【答案】 【解析】 【分析】 15. 如图，过 A 作 AG BD 于G，延长 AG ，使 ，过 作EN AB 于，交 于，则 AG EG NEBD MAM MN EN 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 EN 即可得到答案． 【详解】解：如图，过 A 作 AG BD 于G，延长 AG ，使 ，过 作EN AB 于，交 AG EG NEBD 于，则 AM MN EN 最短， M四边形 为矩形， ，BC 10 ABD 30 ，ABCD AD 10, BD 20, AB BD cos30 10 3, AG BD AD AB, 20AG 1010 3, AG 5 3,AE 2AG 10 3, AE BD, EN AB,EMG BMN, E ABD 30, 3EN AE cos30 10 3 AM MN 15, 15, 2即的最小值为 AM MN 15. 故答案为： 15. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的 最小值问题，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 1 1017. 计算： 2 4sin 60 12 3 2【答案】-3 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简， 再进行加减计算即可． 1 10【详解】解： 2 4sin 60 12 3 2 2 2 2 3 2 31 3 【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和 零次幂的运算法则是解题的关键． 18. 如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D． （1）求证：AB=CD； （2）若 AB＝CF，∠B＝40°，求∠D 的度数． 【答案】（1）AB＝CD（2）70° 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据 AAS 推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出 AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出 CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABE 和△CDF 中， ∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D． ∴△AEB≌△DFC． ∴AB＝CD. （2）∵AB＝CD， AB＝CF， ∴CD＝CF， ∵∠B＝∠C=40°， ∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三 角形的判定求出△ABE≌△CDF 是解此题的关键． 19. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制 成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值为 ；（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生中选出 2 名去参加市中学生知识竞赛．已知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 2【答案】（1）5（2）72°；40（3） 3【解析】 【分析】 （1）先根据“A 等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B 等级”的学生人数； （2）根据“D 等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C 等级”的人数即可求出 m 的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）学生总人数为 3÷15%=20（人） ∴成绩为“B 等级”的学生人数有 20-3-8-4=5（人） 故答案为：5； 4360 72 （2）“D 等级”的扇形的圆心角度数为 20 8100 40 m= ，20 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： 4623∴P（女生被选中）= ．【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法． 20. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监 船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 方向上，海监船继续向东航行 60 30° 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； 方向上． （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的 【解析】 【分析】 （1）作 PD⊥AB 于 D．求出∠PAB、∠PBA、∠P 的度数，证得△ABP 为等腰三角形，即可解决问题； （2）在 Rt△PBD 中，解直角三角形求出 PD 的值即可判定． 【详解】（1）过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， 由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°， ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB， ∴PB=AB=60（海里）， 答：B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； （2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°， ∴PB=AB=60（海里） 在 Rt△PBD 中， 3PD=BPsin60° 60 （海里）， 30 3 2∵，30 3 50 ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌 握锐角三角函数的概念是解题的关键． OD ^ BC 21. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线 于点 E，连结 BE． （1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）设 OE 交⊙O 于点 F，若 ，求线段 EF 的长； DF 2，BC 4 3 （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 16 3【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3） 16 3 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 OD⊥BC 得到 CD=BD，则 OE 为 BC 的垂直平分线，所以 EB=EC， 根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得 ∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得 BE 与⊙O 相切； （2）设⊙O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R，在 Rt△OBD，利用勾股定理解得 R=4，再利用含 30º 角的直角三角形边角关系可求得 OE，利用 EF=OE-OF 即可解答； S阴影 =S四边形OBEC S （3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用 扇形OBC代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接 OC，如图， ∵OD⊥BC， ∴CD=BD， ∴OE 为 BC 的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE， ∵CE 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°， ∴OB⊥BE， ∴BE 与⊙O 相切． （2）设⊙O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R， 1在 Rt△OBD 中，BD= BC= 2 3 2∵OD2+BD2=OB2， 22∴2 ，解得 R=4， (R 2) (2 3) R ∴OD=2，OB=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°， ∴在 Rt△OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8， ∴EF=OE-OF=8-4=4， 即 EF=4； （3）由∠OCD=∠OBD=30º和 OD⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º， ∴∠BOC=120º，又 BC= ，OE=8， 4 3 S阴影 =S四边形OBEC S扇形OBC ∴1120 42 =84 3 2360 16 316 3 ,【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含 30º角的直角三角形边角关系、 勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键． B 卷（共 60 分） 四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．） 4222. 分解因式： _____________ b b 12 b2 3 b 2 b 2 【答案】 【解析】 【分析】 先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解． b2 3 b2 4 b2 3 b 2 b 2 42【详解】 b b 12 b2 3 b 2 b 2 故答案为： ．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． x 2 x 1 1 x a23. 3 的解为非负数，且使关于 y 的不等式组 若数 a 使关于 x 的分式方程 y 3 y 1 13 12 y 0 43的解集为 ，则符合条件的所有整数 a 的积为_____________ 2 y a 0 【答案】40 【解析】 【分析】 y 0 5根据分式方程的解为正数即可得出 a 5且 a≠3，根据不等式组的解集为 ，即可得出 a>0，找出 0<a 且 a≠3 中所有的整数，将其相乘即可得出结论． x 2 x 1 1 x a5 a 2 3 的解为 x= 【详解】解：分式方程 且 x≠1， x 2 a 3 ∵分式方程 的解为非负数， x 1 1 x 5 a 5 a 0 ∴且≠1. 22∴a 5且 a≠3. y 3 y 1 13 ①4312 2 y a 0② y 0 解不等式 .①，得 解不等式 ，得y<a. ②y 3 y 1 13 12 y 0 43关于 y 的不等式组 的解集为 ，∵2 y a 0 ∴a>0. ∴0<a 5且 a≠3. 又 a 为整数，则 a 的值为 1，2，4，5. 符合条件的所有整数 a 的积为1245 40 故答案为：40. .【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集 y 0 为，找出 a 的取值范围是解题的关键． 3324. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，0），直线 与 x 轴交于点 B，以 AB 为边作等 l : y x 33ABA A1 ，过点 1 作 A B/ /x BA B A B A AA B/ /x 2 ，过点 2 作 2 2 边轴，交直线 l 于点 1 ，以 1 为边作等边 轴， 3 ，以此类推……，则点 2020 的纵坐标是______________ 211111BA B A B A A交直线 l 于点 2 ，以 2 为边作等边 223(22020 1) 【答案】 2【解析】 【分析】 如图，过 A1 作 A1C⊥AB 与 C，过 A2 作 A2C1⊥A1B1 于 C1，过 A3 作 A3C2⊥A2B2 于 C2，先根据直线方程与 x 轴交于点 B（-1，0），且与 x 轴夹角为 30º，则有 AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、 含 30º的直角三角形的性质，分别求的 A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到 An 的纵坐标，据此可得 A2020 的 纵坐标，即可解答． 【详解】如图，过 A1 作 A1C⊥AB 与 C，过 A2 作 A2C1⊥A1B1 于 C1，过 A3 作 A3C2⊥A2B2 于 C2，先根据直 3线方程与 x 轴交于点 B（-1，0），与 y 轴交于点 D（0， ）， 33∴OB=1,OD= ∴∠DBO=30º ,3由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º ∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º， ∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n 33∴A1C= AB= ×1， 223231A1 纵坐标为 ×1= ；(2 1) 23321 A2C1= A1B1= ，223333301221 (2 2 ) 3 (2 1) A2 的纵坐标为 ×1+ ===；222223322 A3C2= A2B2= ,22333333012321 22 (2 2 2 ) 7 (2 1) A3 的纵坐标为 ×1+ +===；222222…32n1 由此规律可得：AnCn-1= ,233012n1 nAn 的纵坐标为 =，(2 2 2 2 ) (2 1) 223(22020 1) ∴A2020 =，23(22020 1) 故答案为： 2【点睛】 本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含 30º角的直角三角形的 性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化 规律． 25. y x2 4x y 2x b ．我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函 已知抛物线 （如图）和直线 21y数值分别为 1 和 2 ．若 yy y yyy y M y y 2 ，取 1 和 2 中较大者为 M；若 2 ，记 2 ．①当 x 2 时， 时，使 的x 111M y 的 x 的取值范围是 – 1< x <3 2M 的最大值为 4；②当 时，使 ；③当 b 3 b 5 M 3 x 1 x 3 ， ；④当b 1时，M 随 x 的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论 的值是 12的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】 根据题目中的较大者 M 的定义逐个分析即可． y 22 42 4 y 22 b=4+b ，显然只要b 0，则 M 的 【详解】解：对于①：当 x 2 时， 值为 4+b ，故①错误； ，21y , y 对于②：当b 3 时，在同一直角坐标系内画出 2 的图像，如下图所示，其中红色部分即表示 M，联 12y , y M y 2 的 x 的取 立的函数表达式，即 2，求得交点横坐标为 和，观察图形可知 31 x 4x 2x 3 1值范围是 – 1< x <3 ，故②正确； y , y 2 的图像，如下图所示，其中红色部分即表示 M， 对于③：当 时，在同一直角坐标系内画出 b 5 12y , y 联立 的函数表达式，即 2，求得其交点的横坐标为 和1+ 61 6 ，x 4x 2x 5 1y x2 4x 3 时，解得 x3 4， x 3 x 1 或y 2x 5 3 故 M=3 时分类讨论：当 时，解得 ，当 1221故③错误； y y y y y 1 ，此时 2 图像一直在 1 图像上方，如下图所示，故此时 M= 2 ，故 M 对于④：当b 1时，函数 2随 x 的增大而增大，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解 M 的含义，学会 用数形结合的方法分析问题． 五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分） x mn 26. m n 我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解： （m，n 是正整数，且 ），在 x mn 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 x 的最佳分解．并规定： mf x ． n例如：18 可以分解成118 ，29 或，因为181 9 2 6 3，所以 是 18 的最佳分解，所以 36 36 3612f 18 ．f 6 ________ f 9 _________ （1）填空： ； ；（2）一个两位正整数 t（ ，t 10a b 1 a b 9 ，a，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数 f t 字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 的最大值； （3）填空： f 22 357 _____________ ①②③；；；f 23 357 _____________ f 24 357 _____________ f 25 357 _____________ ④．2420 14 15 14 f t ,,,【答案】（1） ；1；（2）t 为 39，28，17； 的最大值 ；（3） 3721 15 28 15 【解析】 【分析】 23f 6 f 9 （1）6＝1×6＝2×3，由已知可求 ＝；9=1×9=3×3，由已知可求 =1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到 b−a＝6，可求 f t t 的值，故可得到 的最大值； mf x （3）根据 的定义即可依次求解． n【详解】（1）6＝1×6＝2×3， ∵6−1＞3−2， 2f 6 ∴＝；39=1×9=3×3， ∵9−1＞3−3， f 9 ∴ =1， 2故答案为： ；1； 3（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54， ∴b−a＝6， ∵1≤a≤b≤9， ∴b＝9，a＝3 或 b＝8，a＝2 或 b＝7，a＝1， ∴t 为 39，28，17； ∵39＝1×39＝3×13， 3f 39 ∴＝；13 28＝1×28＝2×14＝4×7， 4f 28 ∴＝；717＝1×17， 1f 17 ∴∴；17 47f t 的 最大值 ．2（3）①∵ =20×21 2 357 20 f 22 357 ∴；21 3②=28×30 2 357 28 14 f 23 357 ∴；；，30 15 4③∵ =56×30 2 357 30 15 f 24 357 ∴56 28 5④∵ =56×60 2 357 56 14 f 25 357 ∴60 15 20 14 15 14 ,,,故答案 为：．21 15 28 15 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求 解是解题的关键． 27. 如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合），连结 BP，将 BP 绕点 B 顺 时针旋转 到BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F． 90 AP CQ （1）连结 CQ，求证： ；1AP AC CE : BC 的值； （2）若 ，求 4PF EQ （3）求证： ．3【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析 8【解析】 【分析】 (1)由旋转知△PBQ 为等腰直角三角形，得到 PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB 即可； (2)设 AP=x，则 AC=4x，PC=3x，由(1)知 CQ=AP=x，又△ABC 为等腰直角三角形，所以 2BC= ，PQ= ，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出 BE，进而求出 CE:BC 的值； 10x AC=2 2x 2(3)在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到 PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG 即 可得到 QG=EQ，进而求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵BP 绕点 B 顺时针旋转 ∴BP=BQ，∠PBQ=90°， 到 BQ， 90 ∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, ∴∠ABP=∠CBQ， 在△APB 和△CQB 中， AB BC ABP CBQ BP QB ，∴△APB≌△CQB(SAS)， ∴AP=CQ． (2) 设 AP=x，则 AC=4x，PC=3x，由(1)知 CQ=AP=x， 2△ABC 为等腰直角三角形，∴BC= ，AC=2 2x 22222在 Rt△PCQ 中，由勾股定理有： ，PQ PC CQ 9x x 10x 且△PBQ 为等腰直角三角形， 2∴，BQ PQ 5x 2又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°， ∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ， ∴△BQE∽△BCQ， BQ BE 5x BE =∴，代入数据： ，=BC BQ 2 2x 5x 5 2 43 2 4∴BE= ，∴CE=BC-BE= ，xx3 2 42 2 38∴，CE : BC= 3故答案为： ．8(3) 在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA，如图所示： ∵∠FAP=∠GCQ=45°， 且由(1)知 AP=CQ，且截取 CG=FA， 故有△PFA≌△QGC(SAS)， ∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ， 又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ， ∴∠DFP=∠QGE， ∵DA BC， // ∴∠DFP=∠CEQ， ∴∠QGE=∠CEQ， ∴△QGE 为等腰三角形， ∴GQ=QE， 故 PF=QE． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综 合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA 这条辅助线． 如图，抛物线 y ax2 bx c经过 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点 D（x，y）为抛物线上 28. 第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当 的面积为 3 时，求点 D 的坐标； BCD （3）过点 D 作 ，垂足为点 E，是否存在点 D，使得 中的某个角等于ABC 的 2 倍？若 CDE DE BC 存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由． 1329 y x2 x 2 【答案】（1） ；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2 或 ．11 22【解析】 【分析】 （1）根据点 A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据三角形面积公式可求与 BC 平行的经过点 D 的 y 轴上点 M 的坐标，再根据待定系数法可求 DM 的解析式，再联立抛物线可求点 D 的坐标； （3）分∠DCE＝2∠ABC 及∠CDE＝2∠ABC 两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC 时，取点 F（0，−2）， 连接 BF，则 CD∥BF，由点 B，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BF，CD 的解析式，联立直线 CD 及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点 D 的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC 时，过点 C 作 CN⊥BF 于点 N，交 OB 于 H．作点 N 关于 BC 的对称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q，由△OCH∽△OBF 求 出 H 点坐标，利用待定系数法求出直线 CN 的解析式，联立直线 BF 及直线 CN 成方程组，通过解方程组可 求出点 N 的坐标，利用对称的性质可求出点 P 的坐标，由点 C、P 的坐标，利用待定系数法可求出直线 CP 的解析式，将直线 CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其非零值可得出 点 D 的横坐标．依此即可得解． 【详解】解答：解：（1）将 A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入 y＝ax2＋bx＋c 得： a b c 0 16a 4b c 0 ，c 2 12a 3b 解得： 2c 2 13y x2 x 2 故抛物线的解析式为 ．22（2）如图 2，过点 D 作 DM∥BC，交 y 轴于点 M，设点 M 的坐标为（0，m），使得△BCM 的面积为 3， CM=3×2÷4＝1.5， 7则 m＝2＋1.5＝ ，27M（0， ）2∵点 B（4，0），C（0，2）， 12∴直线 BC 的解析式为 y＝− x＋2， 71∴DM 的解析式为 y＝− x＋ ，2217y x 2123联立抛物线解析式 ，2y x x 2 22x 3 x 1 12解得 ，．y2 2 y2 3 ∴点 D 的坐标为（3，2）或（1，3）． （3）分两种情况考虑： ①当∠DCE＝2∠ABC 时，取点 F（0，−2），连接 BF，如图 3 所示． ∵OC＝OF，OB⊥CF， ∴∠ABC＝∠ABF， ∴∠CBF＝2∠ABC． ∵∠DCB＝2∠ABC， ∴∠DCB＝∠CBF， ∴CD∥BF． ∵点 B（4，0），F（0，−2）， 1∴直线 BF 的解析式为 y＝ x−2， 21∴直线 CD 的解析式为 y＝ x＋2． 21y x 2 2联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组得： ，132y x x 2 22x 0 x 2 12解得： （舍去）， ，y1 2 y2 3 ∴点 D 的坐标为（2，3）； ②当∠CDE＝2∠ABC 时，过点 C 作 CN⊥BF 于点 N，交 OB 于 H．作点 N 关于 BC 的对称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q，如图 4 所示． ∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN， ∠OHC＝∠BHN， ∴∠OCH＝∠OBF． 在△OCH 与△OBF 中 COH BOF 90 OCH OBF ，∴△OCH∽△OBF， OH OC OH 24∴，即 ，OF OB 2∴OH＝1，H（1，0）． 设直线 CN 的解析式为 y＝kx＋n（k≠0）， ∵C（0，2），H（1，0）， n 2 k 2 n 2 ∴，解得 ，k n 0 ∴直线 CN 的解析式为 y＝−2x＋2． 连接直线 BF 及直线 CN 成方程组得： 1y x 2 ，2y 2x 2 85x 解得： ，65y 8565, ∴点 N 的坐标为（ ）． ∵点 B（4，0），C（0，2）， 12∴直线 BC 的解析式为 y＝− x＋2． 856, ∵NP⊥BC，且点 N（ ）， 522 ∴直线 NP 的解析式为 y＝2x− ．5联立直线 BC 及直线 NP 成方程组得： 1y x 2 2，22 y 2x 564 25 18 25 x y 解得： ，64 18 ,∴点 Q 的坐标为（ ）． 25 25 8565, ∵点 N（ ），点 N，P 关于 BC 对称， 88 66 , ∴点 P 的坐标为（ ）． 25 25 88 66 , ∵点 C（0，2），P（ ）， 25 25 2∴直线 CP 的解析式为 y＝ x＋2． 11 213y x2 x 2 将 y＝ x＋2 代入 整理，得：11×2−29x＝0， 11 2229 解得：x1＝0（舍去），x2＝ ，11 29 ∴点 D 的横坐标为 ．11 29 11 综上所述：存在点 D，使得△CDE 的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍，点 D 的横坐标为 2 或 ．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、 勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数 解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物 线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点 D 的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC 及∠CDE＝ 2∠ABC 两种情况求出点 D 的横坐标． 本试卷的题干 0635
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