2020年湖南省常德市中考数学试卷（解析版）

2020 年常德市中考数学试卷一、选择题（共 8 小题）. 1．4 的倒数为（　　） A． B．2 C．1 D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　） A． C． B． D． 3．如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 4．下列计算正确的是（　　） A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6 D．a2•a3＝a5 C．a10÷a5＝a2 5．下列说法正确的是（　　） A．明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个 6．一个圆锥的底面半径 r＝10，高 h＝20，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．100 πB．200 πC．100 πD．200 π7．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋 2020 次．移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　） A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F 二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．分解因式：xy2﹣4x＝　　． 10．若代数式 11．计算：在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 +＝　．　． ﹣12．如图，若反比例函数 y＝（x＜0）的图象经过点 A，AB⊥x 轴于 B，且△AOB 的面积为 6，则 k＝　． 13．4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x 小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 864若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为　． 14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　　次． 15．如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点），若 GF＝4，EG＝6，则 DG 的长为　　． 16．阅读理解：对于 x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣ n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果 x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有 x﹣n＝0 或 x2+nx﹣1＝0，因此，方程 x﹣n＝0 和 x2+nx﹣1＝0 的所有解就是方程 x3﹣（n2+1）x+n＝0 的解．解决问题：求方程 x3﹣5x+2＝0 的解为　　．三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） ﹣1 17．计算：20+（）•﹣4tan45°． 18．解不等式组．四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ．20．第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21．已知一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过 A（3，18）和 B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 22．如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60°，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45°，若AC ＝ 2 米，求BC 的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈ 0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41）六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．今年 2﹣4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B、D 两位患者的概率． 24．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DE⊥AB 于 D， DE 交 BC 于 F，且 EF＝EC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若 BD＝4，BC＝8，圆的半径 OB＝5，求切线 EC 的长．七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．如图，已知抛物线 y＝ax2 过点 A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线 l 过点 A，M（，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证： MC2＝MA•MB；（3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标． 26．已知 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点 D 作 Rt△DEF 使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EP＝CE，连接 BE， FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N．（1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°；（2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．4 的倒数为（　　） A． B．2 C．1 D．﹣4 【分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4 的倒数为故选：A．．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　） A． C． B． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C． 3．如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE 的度数，本题得以解决．解：作 CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°，故选：B． 4．下列计算正确的是（　　） A．a2+b2＝（a+b）2 C．a10÷a5＝a2 B．a2+a4＝a6 D．a2•a3＝a5 【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a2 与 a4 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为 80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误； C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C． 6．一个圆锥的底面半径 r＝10，高 h＝20，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．100 πB．200 πC．100 πD．200 π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10 ，这个圆锥的侧面积＝ ×2π×10×10 ＝100 π．故选：C． 7．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为 x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出 a＜0，进而判断出 b＞0，再用抛物线与 y 轴的交点的位置判断出 c＞0，判断出结论③，最后用 x＝﹣2 时，抛物线在 x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， ∴方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为 x＝2， ∴﹣ ＝2， ∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵4a+b＝0， ∴b＞0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故③正确，由图象知，当 x＝﹣2 时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有 3 个，故选：B． 8．如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋 2020 次．移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　） A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F 【分析】设顶点 A，B，C，D，E，F，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k＝ k（k+1），然后根据题目中所给的第 k 次依次移动 k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到．设顶点 A，B，C，D，E，F，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k＝ k（k+1），应停在第 k（k+1）﹣ 7p 格，这时 P 是整数，且使 0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取 k＝1，2，3，4，5，6，7 时， k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第 2，4，5 格没有停棋，若 7＜k≤2020，设 k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1），由此可知，停棋的情形与 k＝t 时相同，故第 2，4，5 格没有停棋，即顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2） 10．若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　x＞3　．【分析】根据二次根式有意义的条件可得 2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3． 11．计算：【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝ +2 ＝3 故答案为：3 ﹣+＝　3 　． ﹣．．12．如图，若反比例函数 y＝（x＜0）的图象经过点 A，AB⊥x 轴于 B，且△AOB 的面积为 6，则 k＝　﹣12　．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB， ∴S△AOB ＝＝6， ∴k＝±12， ∵反比例函数的图象在二四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣12，故答案为﹣12． 13．4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x 小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 864若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为　 400 人　．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200× ＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人． 14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　4　次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是 x，买到口罩的次数是 y，根据买口罩的次数是 10 次和家里现有口罩 35 只，可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是 x，买到口罩的次数是 y，由题意得：，整理得：解得：，．故答案为：4． 15．如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点），若 GF＝4，EG＝6，则 DG 的长为　 12　．【分析】设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折及已知线段的长，可用含 x 的式子分别表示出 BE、BF 及 EF 的长；在 Rt△BEF 中，由勾股定理得关于 x 的方程，解得 x 的值，即为 DG 的长．解：设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折可得： DG＝DA＝DC＝x， ∵GF＝4，EG＝6， ∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4， ∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图 1 所示：在 Rt△BEF 中，由勾股定理得： BE2+BF2＝EF2， ∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102， ∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100， ∴x2﹣10x﹣24＝0， ∴（x+2）（x﹣12）＝0， ∴x1＝﹣2（舍），x2＝12． ∴DG＝12．故答案为：12． 16．阅读理解：对于 x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣ n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果 x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有 x﹣n＝0 或 x2+nx﹣1＝0，因此，方程 x﹣n＝0 和 x2+nx﹣1＝0 的所有解就是方程 x3﹣（n2+1）x+n＝0 的解．解决问题：求方程 x3﹣5x+2＝0 的解为　x＝2 或 x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为 x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣ 1]＝0，据此得到两个关于 x 的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0 或 x2+2x﹣1＝0，解得 x＝2 或 x＝﹣1 ，故答案为：x＝2 或 x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣ ．三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） ﹣1 17．计算：20+（）•﹣4tan45°．【分析】先计算 20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1 ＝1+6﹣4 ＝3． 18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1﹣ ）÷ ＝＝＝＝，当 x＝2 时，原式＝＝﹣ ． 20．第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，根据题意可得等量关系：4G 下载 600 兆所用时间﹣5G 下载 600 兆所用时间＝140 秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，由题意得： ﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆．五、（本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21．已知一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过 A（3，18）和 B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数 y＝kx+b 中可得关于 k、b 的方程组，再解方程组可得 k、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数 y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为 y＝2x+12；（2）∵一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝（m≠0）的图象只有一个交点， ∴只有一组解，即 2×2+12x﹣m＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0， ∴m＝﹣18．把 m＝﹣18 代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把 x＝﹣3 代入 y＝2x+12 得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）． 22．如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60°，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45°，若AC ＝ 2 米，求BC 的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈ 0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41）【分析】直接过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，利用锐角三角函数关系得出 CF 的长，进而得出 BC 的长．【解答】方法一：解：如图 1，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，在 Rt△ACF 中， ∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在 Rt△BCF 中， ∵∠ABC＝45°， ∴CF＝BF， ∴BC＝ CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．方法二：解：如图 2，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，在 Rt△ACE 中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°， ∴cosC＝cos70°＝即 CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68， sinC＝sin70°＝，，即 AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在 Rt△AEB 中，∠ABC＝45°， ∴AE＝BE， ∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．今年 2﹣4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B、D 两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中 B、D 两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝（4）列表得：＝2.15（万元）； ABCDEABCDE（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）（C，B）（D，B）（E，B）（A，B）（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）（E，D）（A，D）（B，D）（C，D）（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有 20 种等可能的结果，恰好选中 B、D 两位同学的有 2 种情况， ∴P（恰好选中 B、D）＝＝．24．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DE⊥AB 于 D， DE 交 BC 于 F，且 EF＝EC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若 BD＝4，BC＝8，圆的半径 OB＝5，求切线 EC 的长．【分析】（1）连接 OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝ 90°，可证 EC 是⊙O 的切线；（2）由勾股定理可求 AC＝6，由锐角三角函数可求 BF＝5，可求 CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．解：（1）连接 OC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DE⊥AB， ∴∠OBC+∠DFB＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OB＝5， ∴AB＝10， ∴AC＝＝＝6， ∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠A， ∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∴△OAC∽△ECF， ∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．如图，已知抛物线 y＝ax2 过点 A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线 l 过点 A，M（，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证： MC2＝MA•MB；（3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点 B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图 2 中，设 P（t， t2），根据 PD＝CD 构建方程求出 t 即可解决问题．解：（1）把点 A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a， ∴a＝，∴抛物线的解析式为 y＝ x2．（2）设直线 l 的解析式为 y＝kx+b，则有，解得，∴直线 l 的解析式为 y＝﹣ x+ ，令 x＝0，得到 y＝ ∴C（0，），，由，解得或，∴B（1，），如图 1 中，过点 A 作 AA1⊥x 轴于 A1，过 B 作 BB1⊥x 轴于 B1，则 BB1∥OC∥AA1， ∴∴＝＝＝＝，＝＝＝，，即 MC2＝MA•MB．（3）如图 2 中，设 P（t， t2） ∵OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D（t，﹣ t+ ）， ∴| t2﹣（﹣ t+ ）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0 或 t2+2t＝0，解得 t＝﹣1﹣ 或﹣1＝或﹣2 或 0（舍弃）， ∴P（﹣1﹣ ，2+ ）或（﹣1+ ，2﹣ ）或（﹣2，1）． 26．已知 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点 D 作 Rt△DEF 使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EP＝CE，连接 BE， FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N．（1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°；（2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP 是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； ②根据同位角相等可得 BC∥EF，由平行线的性质得 BP⊥EF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQ＝DE，连接 CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC （SAS），则 PQ＝DC＝DB，由 QE＝DE，∠DEF＝90°，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由 EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°， ∴∠A＝∠EDF＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠DMB＝∠ACB＝90°， ∵D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，AC∥DM， ∴，即 M 是 BC 的中点， ∵EP＝CE，即 E 是 PC 的中点， ∴ED∥BP， ∴∠CBP＝∠DMB＝90°， ∴△CBP 是直角三角形， ∴BE＝ PC＝EP； ②∵∠ABC＝∠DFE＝30°， ∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°， ∴BP⊥EF， ∵EB＝EP， ∴EF 是线段 BP 的垂直平分线， ∴PF＝BF， ∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQ＝DE，连接 CD，PQ，FQ， ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP， ∴△QEP≌△DEC（SAS），则 PQ＝DC＝DB， ∵QE＝DE，∠DEF＝90° ∴EF 是 DQ 的垂直平分线， ∴QF＝DF， ∵CD＝AD， ∴∠CDA＝∠A＝60°， ∴∠CDB＝120°， ∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP ＝∠FQP， ∴△FQP≌△FDB（SAS）， ∴∠QFP＝∠BFD， ∵EF 是 DQ 的垂直平分线， ∴∠QFE＝∠EFD＝30°， ∴∠QFP+∠EFP＝30°， ∴∠BFD+∠EFP＝30°．