广西贺州市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年广西贺州市中考数学试卷一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在试卷上作答无效．） 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．﹣ 2．（3分）如图，已知直线 a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．45° 3．（3分）一组数据 2，3，4，x，6的平均数是 4，则 x 是（　　） A．2 B．3 C．4 4．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　） B．55° C．60° D．120° D．5 A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱 5．（3分）某图书馆有图书约 985000册，数据 985000用科学记数法可表示为（　　） A．985×103 B．98.5×104 C．9.85×105 D．0.985×106 6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆 7．（3分）如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则 BC 等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（3分）把多项式 4a2﹣1分解因式，结果正确的是（　　） A．（4a+1）（4a﹣1） C．（2a﹣1）2 B．（2a+1）（2a﹣1） D．（2a+1）2 9．（3分）已知方程组 A．﹣2 ，则 2x+6y 的值是（　　） B．2 C．﹣4 D．4 10．（3分）已知 ab＜0，一次函数 y＝ax﹣b 与反比例函数 y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ OD，AB＝12，CD 的长是（　　） A．2 B．2 B． C．3 +…+ C． D．4 12．（3分）计算 +++的结果是（　　） A． D．二、填空题：（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效.） 213．（3分）要使分式有意义，则 x 的取值范围是　　．　． 14．（3分）计算 a3•a 的结果是　 15．（3分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用　面调查”或“抽样调查”）　方式更合适．（填“全 16．（3 分）已知圆锥的底面半径是 1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是　　　度． 17．（3分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是　（填写序号）． 18．（3分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分∠BAE 交 BC 于点 F，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG，则 CF 的长为　．三、解答题：（本大题共 8题，满分 66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效） 19．（6分）计算：（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣ +2sin30°． 20．（6分）解不等式组： 21．（8分）箱子里有 4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这 4瓶牛奶中不放回地任意抽取 2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； 3（2）求抽出的 2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率． 22．（8分）如图，在 A 处的正东方向有一港口 B．某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60°方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20海里/小时的速度行驶 3小时到达港口 B．求 A，B 间的距离．（ ≈1.73， ≈1.4，结果保留一位小数）． 23．（8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到 2018年，家庭年人均纯收入达到了 3600元．（1）求该贫困户 2016年到 2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 24．（8分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 边上的点，且 AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当 AC⊥EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明理由． 25．（10分）如图，BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与⊙O 相切于点 A，交 DB 的延长线于点 F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB 的度数；（2）求 AC 的长度． 426．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣1，0），且 OA＝OC＝4OB，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过 A，B，C 三点．（1）求 A，C 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值． 52019年广西贺州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在试卷上作答无效．） 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．﹣ 【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键． 2．（3分）如图，已知直线 a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．120° 【分析】直接利用平行线的性质得出∠2的度数．【解答】解：∵直线 a∥b，∠1＝60°， ∴∠2＝60°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键． 3．（3分）一组数据 2，3，4，x，6的平均数是 4，则 x 是（　　） A．2 【分析】利用平均数的定义，列出方程【解答】解：∵数据 2，3，4，x，6的平均数是 4， B．3 C．4 D．5 ＝4即可求解． ∴＝4，解得：x＝5， 6故选：D．【点评】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 4．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱【分析】由已知三视图得到几何体是正方体．【解答】解：由已知三视图得到几何体是以正方体；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键． 5．（3分）某图书馆有图书约 985000册，数据 985000用科学记数法可表示为（　　） A．985×103 B．98.5×104 C．9.85×105 D．0.985×106 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 985000有 6位，所以可以确定 n＝6﹣1＝5．【解答】解：985000＝9.85×105，故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； B．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； C．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形； D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部 7分重合． 7．（3分）如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则 BC 等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴即＝，＝，解得：BC＝6，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 8．（3分）把多项式 4a2﹣1分解因式，结果正确的是（　　） A．（4a+1）（4a﹣1） C．（2a﹣1）2 B．（2a+1）（2a﹣1） D．（2a+1）2 【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故选：B．【点评】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键 9．（3分）已知方程组 A．﹣2 ，则 2x+6y 的值是（　　） C．﹣4 B．2 D．4 【分析】两式相减，得 x+3y＝﹣2，所以 2（x+3y）＝﹣4，即 2x+6y＝﹣4． 8【解答】解：两式相减，得 x+3y＝﹣2， ∴2（x+3y）＝﹣4，即 2x+6y＝﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键． 10．（3分）已知 ab＜0，一次函数 y＝ax﹣b 与反比例函数 y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A． B． C． D．【分析】根据反比例函数图象确定 b 的符号，结合已知条件求得 a 的符号，由 a、b 的符号确定一次函数图象所经过的象限．【解答】解：若反比例函数 y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以 b＜0．则一次函数 y ＝ax﹣b 的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数 y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以 b＞0．则一次函数 y＝ax﹣b 的图象应该经过第二、三、四象限．故选项 A 正确；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 11．（3分）如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ OD，AB＝12，CD 的长是（　　） 9A．2 B．2 C．3 D．4 【分析】由切线的性质得出 AC⊥OD，求出∠A＝30°，证出∠ODB＝∠CBD，得出 OD∥BC，得出∠C＝∠ADO＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，BC＝ AB＝6，AC＝ BC＝6 ，得出∠CBD＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：∵⊙O 与 AC 相切于点 D， ∴AC⊥OD， ∴∠ADO＝90°， ∵AD＝ OD， ∴tanA＝＝，∴∠A＝30°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴∠C＝∠ADO＝90°， ∴∠ABC＝60°，BC＝ AB＝6，AC＝ BC＝6 ，∴∠CBD＝30°， ∴CD＝ BC＝ ×6＝2 ；故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出 OD∥BC 是解题的关键． 10 12．（3分）计算 A． ++++…+ C．的结果是（　　） B． D．【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．【解答】解：原式＝＝＝．故选：B．【点评】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．二、填空题：（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效.） 13．（3分）要使分式有意义，则 x 的取值范围是　x≠﹣1　．【分析】根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义， ∴x+1≠0，即 x≠﹣﹣1 故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 14．（3分）计算 a3•a 的结果是　a4　．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加【解答】解：a3•a＝a4，故答案为 a4．【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘法的运算是解题的关键． 15．（3 分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用　抽样调查　方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 11 【解答】解：调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适，故答案为：抽样调查．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 16．（3分）已知圆锥的底面半径是 1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是　90　度．【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为 4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得，a＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 n°，根据题意得 2π•1＝，解得 n＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 90°．故答案为：90．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17．（3分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是　 ①③④　（填写序号）．【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得 a＜0，根据图象与 y 轴交点可得 c＞0，再根据二次函数的对称轴 x＝﹣ ＝1，结合 a 的取值可判定出 b＞0，根据 a、b、c 的正负即可判断出①的正误；把 x＝﹣1代入函数关系式 y＝ax2+bx+c 中得 y＝a﹣b+c，再根 12 据对称性判断出②的正误；把 b＝﹣2a 代入 a﹣b+c 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．【解答】解：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x＝﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确；把 x＝﹣1代入函数关系式 y＝ax2+bx+c 中得：y＝a﹣b+c，由抛物线的对称轴是直线 x＝1，且过点（3，0），可得当 x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，故②错误； ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即：3a+c＝0，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向，当 a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；② 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左侧；当a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c）． 18．（3分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分∠BAE 交 BC 于点 F，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG，则 CF 的长为　6﹣2 　．【分析】作 FM⊥AD 于 M，FN⊥AG 于 N，如图，易得四边形 CFMD 为矩形，则 FM＝4，利用勾股定理计算出 AE═2 ，再根据旋转的性质得到 AG＝AE＝2 ，BG＝DE＝2，∠3＝∠ 13 4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，于是可判断点 G 在 CB 的延长线上，接着证明 FA 平分∠GAD 得到 FN＝FM＝4，然后利用面积法计算出 GF，从而计算 CG﹣GF 就可得到 CF 的长．【解答】解：作 FM⊥AD 于 M，FN⊥AG 于 N，如图，易得四边形 CFMD 为矩形，则 FM＝4， ∵正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点， ∴DE＝2， ∴AE＝＝2 ，∵△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG， ∴AG＝AE＝2 ，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°， ∴点 G 在 CB 的延长线上， ∵AF 平分∠BAE 交 BC 于点 F， ∴∠1＝∠2， ∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即 FA 平分∠GAD， ∴FN＝FM＝4， ∵AB•GF＝ FN•AG， ∴GF＝ ∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2 ＝6﹣2 故答案为 6﹣2 ＝2 ，．．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三、解答题：（本大题共 8题，满分 66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效） 19．（6分）计算：（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣ +2sin30°． 14 【分析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法．【解答】解：原式＝﹣1+1﹣4+2× ＝﹣4+1 ＝﹣3．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键． 20．（6分）解不等式组：【分析】分别解两个不等式得到 x＞2和 x＞﹣3，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解①得 x＞2，解②得 x＞﹣3，所以不等式组的解集为﹣3＜x＜2．【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 21．（8分）箱子里有 4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这 4瓶牛奶中不放回地任意抽取 2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的 2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为 A、B、C、D，其中过期牛奶为 A，画树状图可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到抽出的 2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为 A、B、C、D，其中过期牛奶为 A，画树状图如图所示， 15 由图可知，共有 12种等可能结果；（2）由树状图知，所抽取的 12种等可能结果中，抽出的 2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有 6种结果，所以抽出的 2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）如图，在 A 处的正东方向有一港口 B．某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60°方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20海里/小时的速度行驶 3小时到达港口 B．求 A，B 间的距离．（ ≈1.73， ≈1.4，结果保留一位小数）．【分析】过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出 BD，AD 的长，将其相加即可求出 AB 的长．【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．在 Rt△BCD 中，sin∠BCD＝ ∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3× 在 Rt△ACD 中，tan∠ACD＝，cos∠BCD＝，≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3× ≈42；，∴AD＝CD•tan∠ACD＝42× ≈72.2． ∴AB＝AD+BD＝72.2+42＝114.2． ∴A，B 间的距离约为 114.2海里． 16 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出 BD，AD 的长是解题的关键． 23．（8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到 2018年，家庭年人均纯收入达到了 3600元．（1）求该贫困户 2016年到 2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？【分析】（1）设该贫困户 2016年到 2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x，根据该该贫困户 2016年及 2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；（2）根据 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入 ×（1+增长率），可求出 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与 4200比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设该贫困户 2016年到 2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户 2016年到 2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元）， 4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 边上的点，且 AE＝CF． 17 （1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当 AC⊥EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明理由．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，由 HL 证明 Rt△ABE≌Rt△CDF 即可；（2）由全等三角形的性质得出 BE＝DF，得出 CE＝AF，由 CE∥AF，证出四边形 AECF 是平行四边形，再由 AC⊥EF，即可得出四边形 AECF 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；，（2）解：当 AC⊥EF 时，四边形 AECF 是菱形，理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BC＝AD， ∴CE＝AF， ∵CE∥AF， ∴四边形 AECF 是平行四边形，又∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF 是菱形．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 25．（10分）如图，BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与⊙O 相切于点 A，交 DB 的延长线于点 F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB 的度数；（2）求 AC 的长度． 18 【分析】（1）由切线的性质得出 AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出 AF∥BC，得出 OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出 BE＝CE＝ BC＝4，得出 AB＝AC，证明△AOB 是等边三角形，得出 AB ＝OB，由直角三角形的性质得出 OE＝ OB，BE＝ OE＝4，求出 OE＝＝AB＝OB＝2OE＝，即可得出 AC ．【解答】解：（1）∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°， ∴∠F＝∠DBC， ∴AF∥BC， ∴OA⊥BC， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝ ∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC， ∴BE＝CE＝ BC＝4， ∴AB＝AC， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB 是等边三角形， 19 ∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OE＝ OB，BE＝ OE＝4， ∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出 OA⊥BC 是解题的关键． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣1，0），且 OA＝OC＝4OB，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过 A，B，C 三点．（1）求 A，C 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；（3）PD＝HPsin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4，即可求解．【解答】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点 A、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 20 即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线 CA 过点 C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点 A 坐标代入上式并解得：k＝1，故直线 CA 的表达式为：y＝x﹣4，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H， ∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y 轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点 P（x，x2﹣3x﹣4），则点 H（x，x﹣4）， PD＝HPsin∠PFD＝＜0，∴PD 有最大值，当 x＝2时，其最大值为 2 此时点 P（2，﹣6）．（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣ x2+2 x， ∵，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示 PD，是本题解题的关键． 21