宜宾市 2020 年初中学业水平即高中阶段学校招生考试 数学 一、选择题 ()1. 6 的相反数为 1616A. B. C. D. -6 6A【答案】 【解析】 【分析】 义进 根据相反数的定 行求解. 为﹣选6．故 A. 【详解】6 的相反数 ：题查义练义【点睛】本 主要考 相反数的定 ，熟 掌握相反数的定 是解答的关 键绝对值 ， 相等，符号相反的两 为个数互 相反数. 2. 我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三 号组网卫星，该卫星发射升空的速度是 7100 米/秒，将 7100 用科学记数法表示为（ ） 0.71104 71102 7.1103 A. 7100 B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 3【详解】7100＝ 故选：D． ．7.110 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如图所示，圆柱的主视图是（ ） A. C. B. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4. 计算正确的是（ ） 22a3 a4 a12 A. B. 2a 4a2 C. a 1 a2 2a 1 D. 3a 2b 5ab C【答案】 【解析】 【分析】 对每个选项进行计算判断即可． 【详解】解：A. 和2b 不是同类项，不能合并，选项错误； 3a 22a 4a2 ，选项错误； B. 22C. D. ，选项正确； a 1 a 2a 1 a3 a4 a 7 ，选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则 是解题的关键． x 2 0 5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 2x 11 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案． x 2 0① 【详解】解： ，2x 11② 由①得， x 2 ，，由②得， x 1 ∴不等式组的解集为 1 x 2 故选：A． ，【点睛】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 6. 7 名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别 是（ ）A. 20，21 B. 21，22 C. 22，22 D. 22，23 C【答案】 【解析】 【分析】 根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为 20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是 22； 数据 22 出现了 3 次，出现次数最多，所以众数是 22． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最 中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是出现次数最多的数据． A 65,ANM 45 ÐB =（ ） 7. 如图，M，N 分别是 的边 AB，AC 的中点，若 ，则 ABC A. 20 B. C. D. 45 65 70 D【答案】 【解析】 【分析】 由 M，N 分别是 求出∠B 的值． 的边 AB，AC 的中点，可知 MN 为△ABC 的中位线，即可得到 C 45，从而可 ABC 【详解】解：∵M，N 分别是 ∴MN∥BC， 的边 AB，AC 的中点， ABC ∴∠ANM=∠C， ∵∴ANM 45 C 45 ，，又∵ A 65 ∴∠B 180 A∠C 180 65 45 70 ，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键． 8. 学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的 价格多 8 元，已知学校用 15000 元购买科普类图书的本数与用 12000 元购买文学书的本数相等，设文学类 图书平均每本 x 元，则列方程正确的是（ ） 15000 12000 15000 12000 A. C. B. D. x 8 xx 8 x15000 12000 15000 12000 8 xx 8 xxB【答案】 【解析】 【分析】 设文学类图书平均每本 x 元，根据购买的书本数相等即可列出方程． 15000 12000 【详解】设文学类图书平均每本 x 元，依题意可得 x 8 x故选 B． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 9. 如图，AB 是 O 的直径，点 C 是圆上一点，连结 AC 和 BC，过点 C 作 O 于 D，且 CD AB CD 4, BD 3 ，则 的周长为（ ）50 625 9625 25 A. B. C. D. 336 3A【答案】 【解析】 【分析】 BD BC 先根据勾股定理求出 BC，再根据圆周角的性质得到 AC⊥BC，得到 cosB= O ,代入即可求出 AB， BC AB 故可求出 的周长． CD 4, BD 3 【详解】∵ ，，CD AB 32 42 5 O ∴BC= ∵AB 是 的直径， ∴AC⊥BC， ∴cosB= BD BC BC AB 355即AB 25 解得 AB= 325 3O ∴的周长为 故选 A． 【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用． 10. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶 6 个，市场上有 A 型和 B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃 圾桶 500 元/个，B 型分类垃圾桶 550 元/个，总费用不超过 3100 元，则不同的购买方式有（ A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 ）B【答案】 【解析】 【分析】 设购买 A 型分类垃圾桶 x 个，则购买 B 型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数 解的个数即可． 【详解】解：设购买 A 型分类垃圾桶 x 个，则购买 B 型垃圾桶（6-x）个 500x 55（0 6 x） 3100 x 6 由题意得： ，解得 4≤x≤6 则 x 可取 4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为 B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本 题的关键． ABC,ECD BE, AD ，点 M，N 分别是线 11. 如图， 都是等边三角形，且 B，C，D 在一条直线上，连结 11BM BE, AN AD 段 BE，AD 上的两点，且 ，则 CMN 的形状是（ ） 33A. 等腰三角形 C. 等边三角形 B. 直角三角形 D. 不等边三角形 C【答案】 【解析】 【分析】 先证明 ，得到 ，根据已知条件可得 ，证明 ，得到 BCE ACD AN BM BE AD △BCM △ACN ，即可得到结果； MCN=60 ABC,ECD 【详解】∵ 都是等边三角形， ∴∴∴在BC AC ，，BCA DCE 60 ，CE CD ，BCA+ACE DCE ACE ，BCE ACD 和BCE △ACD 中， BC AC BCE ACD CE CD ，△BCE △ACD SAS ∴，∴，BE AD CBM ACN ，11BM BE, AN AD 又∵ ，33∴，BM AN △ACN 在和中， BCM BM AN CBM ACN BC AC ，△BCM △ACN SAS ∴，∴∴∴，，MC NC BCM ACN ，BCM+ACM ACN ACM 60 CMN 是等边三角形． 故答案选 C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键． 2的12. 函数 y ax bx c(a 0) 图象与 x 轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中 n 0 ，以下结论正 确的是（ ） ①；abc 0 2x 1, x 2 ②函数 ③函数 ④函数 在处的函数值相等； 图象总有两个不同的交点； y ax bx c(a 0) 2y kx 1 的图象与的函数 y ax bx c(a 0) 23≤ x ≤ 3 y ax bx c(a 0) 在内既有最大值又有最小值． C. ①④ A. ①③ 【答案】 【解析】 【分析】 B. ①②③ D. ②③④ C根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解． 【详解】如图，根据题意作图， 故 a＜0，b＜0，c＞0 ，①正确； ∴abc 0 ∵对称轴为 x=-1 ∴函数 y ax2 bx c(a 0) 在处的函数值相等，故②错误； x 1, x 3 的图象与的函数 y ax2 bx c(a 0)图象无交点，故③错误； y kx 1 图中函数 时，x=-1 时，函数 y ax2 bx c(a 0)有最大值 3≤ x ≤ 3 当2x=3 时，函数 故选 C． 有最小值，故④正确； y ax bx c(a 0) 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解． 二、填空题 313. 分解因式： ________________． a a a a1 a1 .【答案】 【解析】 【分析】 首先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解即可． a(a2 1) ．3a(a 1)(a 1) 【详解】 ==a a a(a 1)(a 1) 故答案为 ．14. O cosA ________________． 如图，A，B，C 是 上的三点，若 是等边三角形，则 OBC 3【答案】 2【解析】 【分析】 由△OBC 是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵△OBC 是等边三角形 ∴∠COB=60° 1COB ∴∠A= =30° 23o∴=2．cosA cos30 3故答案为 ．2【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题 的关键． x2 x1 x1 x2 2 2×1 x2 ________________ x , x 2 ，则 15. 一元二次方程 的两根为 x 2x 8 0 137 【答案】 2【解析】 【分析】 x x x x 根据根与系数的关系表示出 2 和 2 即可； 112【详解】∵ ，x 2x 8 0 a 1 ∴，，b 2 c 8 ，bc∴， 2 x1x2= =-8 ，x1 x2=- aax2 x1 x22 x12 2×1 x2 2×1 x2 ∴==，x1 x2 x1x2 x x 2 2×1 x2 2 x1x2 1， 2×1 x2 22 2 8 37 ． 2 8 8 237 2故答案为 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． DA AB,CB AB, AD 3, AB 5, BC 2, P 16. 如图，四边形 中， 是 AB 上一动点，则 ABCD 的最小值是________________ PC PD 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 作 C 点关于 AB 的对称点 C’，连接 C’D， E，根据勾股定理即可求解． 的最小值即为 C’D 的长，作 C’E⊥DA 的延长线于点 PC PD 【详解】如图，作 C 点关于 AB 的对称点 C’，连接 C’D， 作 C’E⊥DA 的延长线于点 E， 的最小值即为 C’D 的长， PC PD ∴四边形 ABC’E 是矩形 ∴DE=AD+AE=AD+BC’=5, 52 52 5 2 ∴C’D= 故答案为： ．5 2 【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用． n17. 定义：分数 （m，n 为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子 m711111…. 19 19 57111mn 1 7172 2 2 2 …. ：例如 都为 1），记作 ，251521a1 a2 1 1 1 19 122 1171 1 1 1 1 1 1 2 的连分数是 ，记作 ，则________________ ．11 2 3 1 19 21 2 2 122 7【答案】 10 【解析】 【分析】 根据连分数的定义即可求解． 1 1 1 【详解】依题意可设 a 1 2 3 111110 7711733710 1+ 1+ 1+ ∴a= 132+ 7故答案为： ．10 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解． 在直角三角形 ABC 中， ACB 90 , D 是 AB 的中点，BE 平分ABC 交 AC 于点 E 连接 CD 交 BE 于 18. AC 8, BC 6 点 O，若 ，则 OE 的长是________． 9 5 11 【答案】 【解析】 【分析】 过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点，根据三角形面积公式求出 CE=EG=3，延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F，可得 3△ACD≌△BFD，得到 BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到 EO= BE，再求出 BE 即可求解． 11 【详解】过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点， ∵BE 平分ABC ∴CE=EG, 设 CE=EG=x, ∵,ACB 90 62 82 10 ∴AB= ∵S△ABC= S△ABE+S△BCE ，111AC BC CE BC AB EG 故即21221186 x6 10 x 222解得 x=3 ∴CE=3, 延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F， ∵D 是 AB 中点 ∴AD=BD 又 AC∥BF ∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF ∴△ACD≌△BFD， ∴BF=AC=8, ∵AC∥BF ∴△CEO∽△FBO， EO EC 38∴BO BF 339 5 11 32 62 ∴EO= BE= ×=，11 11 9 5 故答案为： ．11 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质 及相似三角形的判定与性质． 三、解答题 1 102020 19. （1）计算： 3 3 1 4 2a2 2a a2 1 1 1 （2）化简： a 1 【答案】（1）1；（2）2 【解析】 【分析】 （1）运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可； （2）先算括号里面的，然后进行分式乘除运算即可； 【详解】（1）原式=4-1-3+1， =1． 2a(a 1) (a 1)(a 1) a 1 a 1 a 1 1（2）原式= ，2a a，a 1 a 1 2a a1 a 1 ，a=2． 【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简，计算准确是解题的关键． 20. 如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 BC 上的中点，连接 AD 并延长到点 E，使 ，连接 CE． DE AD （1）求证： ABD ECD （2）若 的面积为 5，求 ACE 的面积． ABD 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】 （1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用 SAS 即可证明； S SACD S S SABD 5 （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到 、ECD ，再结合 以及 ABD ABD SACE SACD S ECD 解答即可． 【详解】证明：（1）∵D 是 BC 的中点， ∴BD=CD 在△ABD 和△CED 中， BD CD ADB CED AD ED 所以 ；ABD ECD (2)∵在△ABC 中，D 是 BC 的中点 S SACD ∴ABD ABD ECD SABD SECD S 5 ∵ABD SACE SACD SECD 5 5 10 ．的答：三角形 ACE 面积为 10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定 与性质是解答本题的关键． 21. 在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生 的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择 一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题． （1）本次受调查的学生有________人； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，若本校有 1800 名学生，估计有多少名学生与任课教师在线辅导？ 【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900 【解析】 【分析】 （1）根据 A 得占比和人数已知可得结果； （2）算出 C 的人数，然后补全条形统计图； （3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可； 【详解】（1）由题可知受调查人数 9 15%=60 ，，故答案为 60． （2）补全图形如图：C的人数= 60- 9- 30- 6=15 30 1800 900 （3）学生数为 60 答：在线辅导的有 900 人． 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键． AB,CD 22. 如图， 两楼地面距离 BC 为 米，楼 AB 高 30 米，从楼 AB 的顶部点 A 测得楼 CD 顶部点 D 30 3 的仰角为 45 度． CAD （1）求 的大小； （2）求楼 CD 的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）75°；（2） 30 30 3 【解析】 【分析】 3（ 1 ） 如 图 ： 过 点A 作 于 点E ， 在Rt△ABC 中 运 用 三 角 函 数 可 得 ， 即 AE CD tan ACB 3 、进一步可得∠EAC=30°，再结合 即可解答； ACB 30 EAD 45 （2）先根据题意求得 DE=AE= ,然后在 Rt△ACE 中解直角三角形求得 CE，最后利用 CD=CE+DE 进 30 3 行计算即可． 【详解】（1）如图：过点 A 作 于点 E， AE CD ∵在 Rt△ABC 中， BC 30 3,AB 30 AB 3tan ACB BC 3ACB 30 ACB 30 EAC ∵AE//BC EAD 45 ；CAD CAE DAE 75 (2)∵在 RtAED 中，AE=BC= ，∠DAE=45° 30 3 ∴DE=AE= 30 3 ∵在 Rt△ACE 中，∠CAE=30° ∴CE=tan30°·AE=30 ．CD CE DE 30 30 3 【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题 的关键． my kx b A 3,n , B 1,3 23. y (x 0) 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点，过 x点 A 作 于点 C． AC OP （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形 ABOC 的面积． 11 y x 4 【答案】（1） ；（2） 2【解析】 【分析】 mx3y y （1）将点 B(-1，-3)代入 ，可得反比例函数解析式 ，即可求出 A 点的坐标，将 A、B 代入解析 x式即可求解； S SACOQ S （2）过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E，根据 OBQ 关系式可求解； ABOE my 【详解】解：（1）将点 B(-1，-3)代入 ，x解得 m 3 3y 所以反比例函数的表达式为 ；x3y 将点 A(-3，n)代入 有，n=-1 xy kx b 将 A，B 代入 得3k b 1 k b 3 k 1,b 4 解得 y x 4 所以一次函数表达式为 ；（2）过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E， y x 4 Q 0,4 SABOE SACOQ SOBQ 11AO OQ OC OQ BE 21211 4 3 41 2211 211 2答：四边形的面积为 ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键． 24. 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆上异于 A，B 的一点，连接 BC 并延长至点 D，使得 O 是等腰三角形； ，连接 AD 交 于点 E，连接 BE． CD BC （1）求证： ABD AB 4,CF 1 （2）连接 OC 并延长，与 B 以为切点的切线交于点 F，若 ，求 的长． DE 4DE 【答案】（1）详见解析；（2） 3【解析】 【分析】 （1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可； 8AE （2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明 OBF AEB ，可得 ，即可求出 DE． 3【详解】（1）证明：因为 AB 是圆 O 的直径， 所以 ，ACB 90 AC BD ，，BC CD 所以点 C 是 BD 的中点， 所以 AB=AD， 所以三角形 ABD 是等腰三角形． （2）因为三角形 ABD 是等腰三角形， 1BAC BAD, AB AD, BC BD ，21BAC BOC ，2，BAD BOC 因为 BF 是切线， 所以 ，FOB 90 因为 AB 是直径， 所以 ，AEB OBF 90 ，OBF AEB OB OF ，AE AB AB 4,OF OC CF 3 ，8 AE ，34DE AD AE ．3【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点 F(0，1)作 x 轴的平行 线交二次函数的图像于 M，N 两点 （1）求二次函数的表达式； （2）P 为平面内一点，当 时等边三角形时，求点 P 的坐标； PMN y 1 （3）在二次函数的图象上是否存在一点 E，使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和和点 N，且与直线 相切， E 若存在，求出点 E 的坐标，并求 的半径；若不存在，说明理由． 1y x2 【答案】（1） ；（2） 或P(0,1 2 3)P(0,1 2 3) ；（3）在二次函数图像上存在点 E，使得以点 E 45y 1 为圆心，半径为 的圆，过点F，N 且与直线 相切． 4【解析】 【分析】 （1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为 2 ，然后将（2，1）代入 2 求得 a 即 y ax y ax 可； 1y x2 4（2）将 y=1 代入 解得 ，可确定 M、N 的坐标，进而确定 MN 的长度；再根据 是等 x 2 PMN 边三角形确定 PM 的长，然后解三角形确定 PF 的长，最后结合 F 点坐标即可解答； （3）先假设这样的点存在，设点 Q 是 FN 的中点，即 Q(1，1) 【详解】解：（1）∵二次函数的顶点是原点 2∴设二次函数的解析式为 ，y ax 2将（2，1）代入 ，y ax 1 a22 1a 解得 41y x2 所以二次函数的解析式为 （2）如图：将 y=1 代入 M 2,1 ,N 2,1 ；4111 x2 4y x2 ，得 ，解得 x 2 4MN 4 PMN 是等边三角形 ∴点 P 在 y 轴上且 PM=4 ∴PF PM cos30 =23 F(0,1) 或P(0,1 2 3)P(0,1 2 3) ；（3）假设在二次函数的图像上存在点 E 满足条件 设点 Q 是 FN 的中点，即 Q(1，1) ∴点 E 在 FN 的垂直平分线上 1y x2 4114y 12 ∴点 E 是 FN 的垂直平分线 x=1 与 的图像的交点，即 414E 1, ，1542EN 2 1 (1 )2 ∴41542EF 1 0 (1 )2 415 1 ∴点 E 到直线 y=-1 的距离为 445y 1 ∴在二次函数图像上存在点 E，使得以点 E 为圆心，半径为 的圆，过点F，N 且与直线 相切． 4【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知 识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键． 本试卷的题干 0635
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